新人教版八年级数学上册全册导学案(137页)
新人教版八年级数学上册全册导学案
第二十二章二次函数
22.1二次函数的图象和性质
22.1.1二次函数
结合具体情境体会二次函数的意义,理解二次函数的有关概念;能够表示简单变量之间的二次函数关系.
重点:能够表示简单变量之间的二次函数关系.
难点:理解二次函数的有关概念.
一、自学指导.(10分钟)
自学:自学课本P28~29,自学“思考”,理解二次函数的概念及意义,完成填空.
总结归纳:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0)的函数叫做二次函数,其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为a,b,c.现在我们已学过的函数有一次函数、二次函数,其表达式分别是y=ax+b(a,b为常数,且a≠0)、y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0).
二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)
1.下列函数中,是二次函数的有__A,B,C__.
A.y=(x-3)2-1
B.y=1-2x2
C.y=1
3(x+2)(x-2)
D.y=(x-1)2-x2
2.二次函数y=-x2+2x中,二次项系数是__-1__,一次项系数是__2__,常数项是__0__.
3.半径为R的圆,半径增加x,圆的面积增加y,则y与x之间的函数关系式为y=πx2+2πRx(x≥0).
点拨精讲:判断二次函数关系要紧扣定义.
一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(10分钟)
探究1若y=(b-2)x2+4是二次函数,则__b≠2__.
探究2某超市购进一种单价为40元的篮球,如果以单价50元出售,那么每月可售出500个,根据销售经验,售价每提高1元,销售量相应减少10个,如果超市将篮球售价定为x元(x>50),每月销售这种篮球获利y元.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)超市计划下月销售这种篮球获利8000元,又要吸引更多的顾客,那么这种篮球的售价为多少元?
解:(1)y=-10x2+1400x-40000(50 (2)由题意得:-10x2+1400x-40000=8000, 化简得x2-140x+4800=0,∴x1=60,x2=80. ∵要吸引更多的顾客,∴售价应定为60元. 二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(8分钟) 1.如果函数y=(k+1)xk2+1是y关于x的二次函数,则k的值为多少? 2.设y=y1-y2,若y1与x2成正比例,y2与1 x成反比例,则y与x的函数关系是(A) A.二次函数B.一次函数 C.正比例函数D.反比例函数 3.已知,函数y=(m-4)xm2-m+2x2-3x-1是关于x的函数.(1)m为何值时,它是y关于x的一次函数? (2)m为何值时,它是y关于x的二次函数? 点拨精讲:第3题的第(2)问,要分情况讨论. 4.如图,在矩形ABCD中,AB=2 cm,BC=4 cm,P是BC上的一动点,动点Q仅在PC或其延长线上,且BP=PQ,以PQ为一边作正方形PQRS,点P从B点开始沿射线BC方向运动,设BP=x cm,正方形PQRS与矩形ABCD重叠部分面积为y cm2, 试分别写出0≤x≤2和2≤x≤4时,y与x之间的函数关系式. 点拨精讲:1.二次函数不要忽视二次项系数a≠0. 2.有时候要根据自变量的取值范围写函数关系式. 学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟) 学习至此,请使用本课时的对应训练部分.(10分钟) 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 1.能够用描点法作出函数的图象,并能根据图象认识和理解其性质. 2.初步建立二次函数表达式与图象之间的联系,体会数形的结合与转化,体会数学内在的美感. 重点:描点法作出函数的图象. 难点:根据图象认识和理解其性质. 一、自学指导.(7分钟) 自学:自学课本P30~31“例1”“思考”“探究”,掌握用描点法作出函数的图象,理解其性质,完成填空. (1)画函数图象的一般步骤:取值-描点-连线; (2)在同一坐标系中画出函数y=x2,y=1 2x2和y=2x2的图象; 点拨精讲:根据y≥0,可得出y有最小值,此时x=0,所以以(0,0)为对称点,对称取点. (3)观察上述图象的特征:形状是抛物线,开口向上,图象关于y轴对称,其顶点坐标 是(0,0),其顶点是最低点(最高点或最低点); (4)找出上述三条抛物线的异同:______. (5)在同一坐标系中画出函数y=-x2,y=-1 2x2和y=-2x2的图象,找出图象的异同. 点拨精讲:可从顶点、对称轴、开口方向、开口大小去比较寻找规律. 总结归纳:一般地,抛物线的对称轴是y轴,顶点是(0,0),当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点.a越大,抛物线的开口越小;当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点,a越大,抛物线的开口越大. 二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟) 1.教材P41习题22.1第3,4题. 一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(13分 钟) 探究1 填空:(1)函数y =(-2x)2的图象形状是______,顶点坐标是______,对称轴是______,开口方向是______. (2)函数y =x 2,y =1 2x 2和y =-2x 2的图象如图所示,请指出三条抛物线的解析式. 解:(1)抛物线,(0,0),y 轴,向上; (2)根据抛物线y =ax 2中,a 的值来判断,在x 轴上方开口小的抛物线为y =x 2,开口大的为y =1 2 x 2,在x 轴下方的为y =-2x 2. 点拨精讲:解析式需化为一般式,再根据图象特征解答,避免发生错误.抛物线y =ax 2 中,a>0时,开口向上;a<0时,开口向下;|a|越大,开口越小. 探究2 已知函数y =(m +2)xm 2+m -4是关于x 的二次函数. (1)求满足条件的m 的值; (2)m 为何值时,抛物线有最低点?求这个最低点;当x 为何值时,y 随x 的增大而增大? (3)m 为何值时,函数有最大值?最大值为多少?当x 为何值时,y 随x 的增大而减小? 解:(1)由题意得? ????m 2+m -4=2,m +2≠0. 解得???? ?m =2或m =-3,m ≠-2. ∴当m =2或m =-3时,原函数为二次函数. (2)若抛物线有最低点,则抛物线开口向上,∴m +2>0,即m>-2,∴只能取m =2. ∵这个最低点为抛物线的顶点,其坐标为(0,0),∴当x>0时,y 随x 的增大而增大. (3)若函数有最大值,则抛物线开口向下,∴m +2<0,即m<-2, ∴只能取m =-3. ∵函数的最大值为抛物线顶点的纵坐标,其顶点坐标为(0,0), ∴m =-3时,函数有最大值为0. ∴x>0时,y 随x 的增大而减小. 二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(5分钟) 1.二次函数y =ax 2与y =-ax 2的图象之间有何关系? 2.已知函数y =ax 2经过点(-1,3). (1)求a的值; (2)当x<0时,y的值随x值的增大而变化的情况. 3.二次函数y=-2x2,当x1>x2>0,则y1与y2的关系是__y1<y2__. 4.二次函数y=ax2与一次函数y=-ax(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是(B) 点拨精讲:1.二次函数y=ax2的图象的画法是列表、描点、连线,列表时一般取5~7个点,描点时可描出一侧的几个点,再根据对称性找出另一侧的几个点,连线将几个点用平滑的曲线顺次连接起来,抛物线的两端要无限延伸,要“出头”; 2.抛物线y=ax2的开口大小与|a|有关,|a|越大,开口越小,|a|相等,则其形状相同. 学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟) 学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟) 22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(1) 1.会作函数y=ax2和y=ax2+k的图象,能比较它们的异同;理解a,k对二次函数图象的影响,能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 2.了解抛物线y=ax2上下平移规律. 重点:会作函数的图象. 难点:能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 一、自学指导.(10分钟) 自学:自学课本P32~33“例2”及两个思考,理解y=ax2+k中a,k对二次函数图象的影响,完成填空. 总结归纳:二次函数y=ax2的图象是一条抛物线,其对称轴是y轴,顶点是(0,0),开口方向由a的符号决定:当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向__下__.当a>0时,在对称轴的左侧,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随x的增大而增大.抛物线有最__低__点,函数y有最__小__值.当a<0时,在对称轴的左侧,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,y随x的增大而减小.抛物线有最__高__点,函数y有最__大__值. 抛物线y=ax2+k可由抛物线y=ax2沿__y__轴方向平移__|k|__单位得到,当k>0时,向__上__平移;当k<0时,向__下__平移. 二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(7分钟) 1.在抛物线y =x 2-2上的一个点是( C ) A .(4,4) B .(1,-4) C .(2,2) D .(0,4) 2.抛物线y =x 2-16与x 轴交于B ,C 两点,顶点为A ,则△ABC 的面积为__64__. 点拨精讲:与x 轴的交点的横坐标即当y 等于0时x 的值,即可求出两个交点的坐标. 3.画出二次函数y =x 2-1,y =x 2,y =x 2+1的图象,观察图象有哪些异同? 点拨精讲:可从开口方向、对称轴、形状大小、顶点、位置去找. 一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(5分钟) 探究1 抛物线y =ax 2与y =ax 2±c 有什么关系? 解:(1)抛物线y =ax 2±c 的形状与y =ax 2的形状完全相同,只是位置不同; (2)抛物线y =ax 2向上平移c 个单位得到抛物线y =ax 2+c ; 抛物线y =ax 2向下平移c 个单位得到抛物线y =ax 2-c. 探究2 已知抛物线y =ax 2+c 向下平移2个单位后,所得抛物线为y =-2x 2+4,试求a ,c 的值. 解:根据题意,得???a =-2,c -2=4,解得? ????a =-2,c =6. 二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(13分钟) 1.函数y=ax2-a与y=ax-a(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是(D) 2.二次函数的图象如图所示,则它的解析式为(B) A.y=x2-4 B.y=-3 4x2+3 C.y=3 2(2-x)2 D.y=3 2(x2-2) 3.二次函数y=-x2+4图象的对称轴是y轴,顶点坐标是(0,4),当x<0,y随x的增大而增大. 4.抛物线y=ax2+c与y=-3x2的形状大小,开口方向都相同,且其顶点坐标是(0,5),则其表达式为y=-3x2+5,它是由抛物线y=-3x2向__上__平移__5__个单位得到的. 5.将抛物线y=-3x2+4绕顶点旋转180°,所得抛物线的解析式为y=3x2+4. 6.已知函数y=ax2+c的图象与函数y=5x2+1的图象关于x轴对称,则a=__-5__,c=__-1__. 点拨精讲:1.函数的图象与性质以及抛物线上下平移规律.(可结合图象理解) 2.抛物线平移多少个单位,主要看两顶点坐标,确定两顶点相隔的距离,从而确定平移的方向与单位长,有时也可以比较两抛物线上横坐标相同的两点相隔的距离,从而确定平移的方向与单位长. 学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟) 学习至此,请使用本课时对应训练部 分.(10分钟) 22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(2) 1.进一步熟悉作函数图象的主要步骤,会作函数y=a(x-h)2的图象. 2.能正确说出y=a(x-h)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 3.掌握抛物线y=a(x-h)2的平移规律. 重点:熟悉作函数图象的主要步骤,会作函数y=a(x-h)2的图象. 难点:能正确说出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,掌握抛物线y=a(x-h)2的平移规律. 一、自学指导.(10分钟) 自学:自学课本P33~34“探究”与“思考”,掌握y=a(x-h)2与y=ax2之间的关系,理解并掌握y=a(x-h)2的相关性质,完成填空. 画函数y=-1 2x2、y=- 1 2(x+1)2和y=- 1 2(x-1)2的图象,观察后两个函数图象与抛物 线y=-1 2x2有何关系?它们的对称轴、顶点坐标分别是什么? 点拨精讲:观察图象移动过程,要特别注意特殊点(如顶点)的移动情况. 总结归纳:二次函数y=a(x-h)2的顶点坐标为(h,0),对称轴为直线x=h.当a>0时,在对称轴的左侧y随x的增大而减小,在对称轴的右侧y随x的增大而增大,抛物线有最低点,函数y有最小值;当a<0时,在对称轴的左侧y随x的增大而增大,在对称轴的右侧y 随x的增大而减小,抛物线有最高点,函数y有最大值.抛物线y=ax2向左平移h个单位,即为抛物线y=a(x+h)2(h>0);抛物线y=ax2向右平移h个单位,即为抛物线y=a(x-h)2(h>0). 二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(7分钟) 1.教材P35练习题; 2.抛物线y=-1 2(x-1)2的开口向下,顶点坐标是(1,0),对称轴是x=1,通过向左平 移1个单位后,得到抛物线y=-1 2x2. 一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟) 探究1在直角坐标系中画出函数y =1 2(x +3)2的图象. (1)指出函数图象的对称轴和顶点坐标; (2)根据图象回答,当x 取何值时,y 随x 的增大而减小?当x 取何值时,y 随x 的增大而增大?当x 取何值时,y 取最大值或最小值? (3)怎样平移函数y =12x 2的图象得到函数y =1 2 (x +3)2的图象? 解:(1)对称轴是直线x =-3,顶点坐标(-3,0);(2)当x<-3时,y 随x 的增大而减小;当x>-3时,y 随x 的的增大而增大;当x =-3时,y 有最小值;(3)将函数y =1 2x 2的 图象沿x 轴向左平移3个单位得到函数y =1 2 (x +3)2的图象. 点拨精讲:二次函数的增减性以对称轴为分界,画图象取点时以顶点为分界对称取点. 探究2 已知直线y =x +1与x 轴交于点A ,抛物线y =-2x 2平移后的顶点与点A 重合.(1)求平移后的抛物线l 的解析式;(2)若点B(x 1,y 1),C(x 2,y 2)在抛物线l 上,且-12 试比较y 1,y 2的大小. 解:(1)∵y =x +1,∴令y =0,则x =-1,∴A(-1,0),即抛物线l 的顶点坐标为(-1,0),又抛物线l 是由抛物线y =-2x 2平移得到的,∴抛物线l 的解析式为y =-2(x +1)2. (2)由(1)可知,抛物线l 的对称轴为x =-1,∵a =-2<0,∴当x>-1时,y 随x 的增大而减小,又-1 2 二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟) 1.不画图象,回答下列问题: (1)函数y=3(x-1)2的图象可以看成是由函数y=3x2的图象作怎样的平移得到的? (2)说出函数y=3(x-1)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. (3)函数有哪些性质? (4)若将函数y=3(x-1)2的图象向左平移3个单位得到哪个函数图象? 点拨精讲:性质从增减性、最值来说. 2.与抛物线y=-2(x+5)2顶点相同,形状也相同,而开口方向相反的抛物线所对应的函数关系式是y=2(x+5)2. 3.对于函数y=-3(x+1)2,当x>-1时,函数y随x的增大而减小,当x=-1时,函数取得最大值,最大值y=0. 4.二次函数y=ax2+bx+c的图象向左平移2个单位长度得到y=x2-2x+1的图象,则b=-6,c=9. 点拨精讲:比较函数值的大小,往往可根据函数的性质,结合函数图象,能使解题过程简洁明了. 学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟) 学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟) 22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(3) 1.进一步熟悉作函数图象的主要步骤,会作函数y=a(x-h)2+k的图象. 2.能正确说出y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 3.掌握抛物线y=a(x-h)2+k的平移规律. 重点:熟悉作函数图象的主要步骤,会作函数y=a(x-h)2+k的图象. 难点:能正确说出y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,掌握抛物线y=a(x-h)2+k的平移规律. 一、自学指导.(10分钟) 自学:自学课本P35~36“例3、例4”,掌握y=a(x-h)2+k与y=ax2之间的关系,理解并掌握y=a(x-h)2+k的相关性质,完成填空. 总结归纳:一般地,抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的形状相同,位置不同,把抛物线y=ax2向上(下)向左(右)平移,可以得到抛物线y=a(x-h)2+k,平移的方向、距离要根据h,k的值来决定:当h>0时,表明将抛物线向右平移h个单位;当k<0时,表明将抛物线向下平移|k|个单位. 抛物线y=a(x-h)2+k的特点是:当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下;对称轴是直线x=h;顶点坐标是(h,k).