全等证明--解题方法归纳

【第1部分 全等基础知识归纳、小结】

1、全等三角形的定义： 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。两个全等三角形中，

互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。

概念深入理解：

（1）形状一样，大小也一样的两个三角形称为全等三角形。（外观长的像）

（2）经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。（位置变化）

2、全等三角形的表示方法：若△ABC 和△A′B′C′是全等的，记作“△ABC≌△A′B′C′”其中，“≌”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3、全等三角形的性质：

全等是工具、手段，最终是为了得到边等或角等，从而解决某些问题。 （1）全等三角形的对应角相等、对应边相等。

（2）全等三角形的对应边上的高，中线，角平分线对应相等。 （3）全等三角形周长，面积相等。

4、寻找对应元素的方法

图

3

图

1

图2

（1）根据对应顶点找

如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。

（2）根据已知的对应元素寻找

全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；

（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。

通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的；运动一般有3种：平移、对称、旋转；

5、全等三角形的判定：（深入理解）

①边边边（SSS）②边角边（SAS）③角边角（ASA）④角角边（AAS）

⑤斜边，直角边（HL）

注意：（容易出错）

（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等（边定全等）；

（2）不能证明两个三角形全等的是，㈠三个角对应相等，即AAA；㈡有两边和其中一角对应相等，即SSA。

全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。

6、常见辅助线写法：（照着辅助线说明要能做出图、养成严谨、严密的习惯）

如：⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F

⑵过点A 作BC 的垂线，垂足为D ⑶延长AB 至C ，使BC ＝AC ⑷在AB 上截取AC ，使AC ＝DE ⑸作∠ABC 的平分线，交AC 于D ⑹取AB 中点C ，连接CD 交EF 于G 点

同一条辅助线，可以说法不一样，那么得到的条件、证明的方法也不同。

【第2部分 中点条件的运用】

1、还原中心对称图形（倍长中线法）

中心对称与中心对称图形知识：

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这

两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。

中心对称的两条基本性质：

（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分。 （2）关于中心对称的两个图形是全等图形。

B'

中心对称图形

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。（一个图形）如：平行四边形

线段本身就是中心对称图形，中点就是它的对称中心，所以遇到中点问题，依托中点借助辅助线还原中点对称图形，可以把分散的条件集中起来（集散思想）。

例1、AD 是△ABC 中BC 边上的中线，

若AB =2，AC =4，则AD 的取值范围是_________。

例2、已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF =EF ，

求证：AC =BE 。

例3、如图，D 是△ABC 的边BC 上的点，且CD=AB ，∠ADB=∠BAD，AE 是△ABD

的中线。求证：AC=2AE

例4 △ABC 中，AD 、BE 、CF 是三边对应中线。（则O 为重心）

A B

C

D

E

F

求证：①AD、BE 、CF 交于点O 。（类倍长中线）； ②AOB BOC COA S S S ==V V V 练习

1、在△ABC 中，D 为BC 边上的点，已知∠BAD =∠CAD ，BD =CD ，求证：AB =AC

A

B

C

D

2、如图，已知四边形ABCD 中，AB =CD ，M 、N 分别为BC 、AD 中点，延长MN 与AB 、

CD 延长线交于E 、F ，求证∠BEM =∠CFM

3、如图，AB=AE ，AB⊥AE，AD=AC ，AD⊥AC，点M 为BC 的中点，求证：DE=2AM （基本型：同角或等角的补角相等、K 型）

2、两条平行线间线段的中点（“八字型”全等）

如图，1l ∥2l ，C 是线段AB 的中点，那么过点C

直线都可以和二条平行线以及AB 构造“8字型”全等

E

F

A

C

D

M

B

例1 已知梯形ABCD ，AD∥BC，点E 是AB 的中点，连接DE 、CE 。

求证：ABCD 1

2

DEC S S =V 梯

例2 如图，在平行四边形ABCD 中，AD=2AB ，M 是AD 的中点，CE⊥AB 于点E ，

∠CEM=40°，求∠DME 的大小。（提示：直角三角形斜边中线等于斜边的一半）

例3 已知△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD =∠ACE=90°，连接DE ，设M 为DE

的中点。⑴求证：MB =MC ；⑵设∠BAD =∠CAE，固定Rt△ABD，让Rt△ACE 移至图示位置，此时MB =MC

是否成立？请证明你的结论。

练习 1、已知：如图，梯形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=90°．若BD=BC ，F 是CD 的中

E

A

B

E

A

C

D

M B

E

A

C

D

M

B

点，试问：∠BAF 与∠BCD 的大小关系如何？请写出你的结论并加以证明；

2、Rt△ABC 中，∠BAC=90°，M 为BC 的中点，过A 点作某直线l ，过B 作BD l ⊥于点D ，过C 作CE l ⊥于点E 。

（1）中的结论是否任然成立？

3

、如图（1），在正方形ABCD 和正方形CGEF （CG ＞BC ）中，点B 、C 、G 在同一直线上，M 是AE 的中点，（1）探究线段MD 、MF 的位置及数量关系，并证明；

（2）将图（1）中的正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转，使正方形CGEF 的对角线CE 恰好与正方形ABCD 的边BC 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变。（1）中得到的两个结

A B

C

D

F

3、构造中位线

三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形中位线性质：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．

重点区分：要把三角形的中位线与三角形的中线区分开，三角形中线是连结一顶点和它对边的中点；而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段。

（全等法）在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，证明：DE∥BC，DE=

1

2

BC 证明：延长DE 至F 点，使DE=EF ，连接CF （倍长中线）

三角形的中位线在位置关系和数量关系二方面把三角形有关线段联系起来，将题目给出 的分散条件集中起来（集散思想）。注：题目中给出多个中点时，往往中点还是不够用的。

例1 在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、

求证：四边形EFGH 是平行四边形。

例2 已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC=BD ，M

、N 分别是AB 、

CD 的中点，MN 分别交BD 、AC 于点E 、F. 你能说出OE 与OF 的大小关系并加以证明吗？

B

D B

练习 1、三角形ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，BD⊥AD，点D 是垂足，点E 是边BC 的中点，如果AB=6，AC=14，求DE 的长。

2、AB∥CD，BC∥AD ，DE⊥BE ，DF=EF ，甲从B 出发，沿着BA->AD->DF 的方向运动，乙B 出发，沿着BC->CE->EF 的方向运动，如果两人的速度是相同的，且同时从B 出发，则谁先到达F 点？

3、等腰Rt△ABC 与等腰Rt△CDE 中，∠ACB=∠EDC=90°，连AE 、BE ，点M 为BE 的中点，连DM 。 （1）当D 点在BC 上时，求

DM

AE

的值 （2）当△CDE 绕点C 顺时针旋转一个锐角时，上结论是否任然成立，试证明

F

B

D

4、△ABC、△CEF 都为等腰直角三角形，当E 、F 在AC 、BC 上，∠ACB=90°，连BE 、 AF ，点M 、N 分别为AF 、BE 的中点 （1）MN 与AE 的数量关系

（2）将△CEF 绕C 点顺时针旋转一个锐角，MN 与AE 的数量关系

4、与等面积相关的图形转换

A F

A

F

在涉及三角形的面积问题时，中点提供了底边相等的条件，这里有个基本几何图形

如图，△ABC 中，E 为BC 边的中点，那么显然

△ABE 和△AEC 有相同的高AD ，底边也相等，故面积相等。

例 E 、F 是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则

AGCD

ABCD

S S 四边形矩形=

扩展 如图，等腰Rt △A CD 与Rt △A BC 组成一个四边形ABCD ，AC=4，对角线BD 把

四边形ABCD 分成了二部分，求ABD BCD S S V V 的值。

【5、等腰三角形中的“三线合一”】

“三线合一”是相当重要的结论和解题工具，它告诉我们等腰三角形与直角三角形有着极为亲密的关系。

例 △ABC 中，AB=AC ，BD⊥AC 于D ，问∠CBD 和∠BAC 的关系？

B

C

F

B

B

B

A

C

分析：∠CBD 和∠BAC 分别位于不同类型的三角形中，可以考虑转为同类三角形。

例 在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点M 为BC 中点，

MN⊥AC 于点N ，则MN=_____

【6、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半】

这可以作为一个定理直接运用，关于这个定理的证明有多种方法，包括利用前面所讲中点的一些知识。

例 如图Rt△ABC 中，∠ACD=90°，CD 为斜边AB 上的中线 求证：CD=

1

2

AB （1）利用垂直平分线的性质：垂直平分线上任一点到线段 的二个端点的距离相等。

取AC 的中点E ，连接DE 。则DE∥BC（中位线性质） Q ∠ACB=90°∴BC⊥AC ，DE⊥AC 则DE 是线段AC 的垂直平分线∴AD=CD

（2）全等法，证法略。

例 在三角形ABC 中，AD 是三角形的高，点D 是垂足，点E 、F 、G

的中点，求证：四边形EFGD 是等腰梯形。

练习 1、在Rt△AB C 中，∠A=90°，AC=AB ，M 、N 分别在AC 、AB 上，且AN=BM 。

B

E

B

B

O 为斜边BC 的中点。试判断△OMN 的形状，并说明理由。

2、ΔABC 中，∠A=90°，D 是BC 的中点，DE⊥ DF。求证: 2

2

2

BE CF EF += （集散思想）

3、ΔABC 中，AB=AC ，点D 在BC 上，E 在AB 上，且BD=DE ，点P 、M 、N 分别为AD 、BE 、BC 的中点

（1）若∠BAC=90°，则∠PMN=_______，并证明 （2）若∠BAC=60°，则∠PMN=_______

【中点问题练习题】

1、假设给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题： （1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称；

（2）如图1

，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在BC 上，且CD=CA ，点E 、F 分别为BC 、AD

的中点，连接EF 并延长交AB 于点G ．求证：四边形AGEC 是等邻角四边形； （3）如图2，若点D 在△ABC 的内部，（2）中的其他条件不变，EF 与CD 交于点H ，是否

B

B

C

存在等邻角四边形，若存在，是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由．

2、已知：△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，点M 是CE 的中点，连接BM

（1）如图①，点D 在AB 上，连接DM ，并延长DM 交BC 于点N ，可探究得出BD

与BM 的数量关系为_________________，写出证明过程。

（2）如图②，点D 不在AB 上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不

成立，说明理由。

3、在△AOB 中，AB=OB=2，△COD 中，CD=OC=3，∠ABO=∠DCO．连接AD 、BC ，点

M 、N 、P 分别为OA 、OD 、BC 的中点．

C

B

C

B

C

A

E

若A、O、C三点在同一直线上，∠ABO=60°，则△PMN

的形状是___________，此时AD

=____________

BC

4、已知：如图①，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于

F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

（1）求证：EG=CG；

（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45o，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的

E