随机过程读书报告

随机过程读书报告

老子云：“合抱之木，生于毫末；九层之台，起于垒土；千里之行，始于足下。”而这句话的哲理就是告诉我们量变最终可以达到质变。而对于任何事物的认识只有逐渐积累，扩大视野，把握其整体基础体系并不断思索，才会上升到一个新的高度。其实考试只是一种形式，而真正的去理解和领悟一门课程知识才是最为重要的，而学期结束时写一篇读书报告有利于我们去对这门课整体把握同时也复习一下已经掌握的知识。因此，我想这也是老师的一番苦心吧！

说实在的，我本科是师范类专业的，从未接触过随机过程这门在工程技术中广泛应用的课程知识。但我感到很庆幸，有幸在读研期间接触到这门课程。并对其有了初步的了解和认识。下面对自己对随机过程的学习做以下报告：学习过程中通过老师的讲解和自己课下的学习我了解到随机过程的理论与方法，已广泛地应用于科学技术各个领域，并越来越显示出十分重要的作用。例如，平稳过程的滤波和预测应用于通信、雷达及导航；时间序列分析应用于系统建模及气象预报；卡尔曼滤波应用于空间技术及信息处理；线性系统在随机作用下的分析计算应用于电力系统运行及船舶自动航行等等。不仅如此，随机过程理论与方法已广泛地渗透到很多专业和技术领域中，特别是，作为控制科学与工程的基础课，为许多后续专业课，如系统辨识与参数估计，自适应控制，随机控制，最优估计，智能控制与专家系统等学习，打下坚实的理论基础。因此，我认识到对于工科院校的研究生以及从事科学研究、工程技术的工作者，随机过程无疑是一门很重要的基础课程。

下面具体谈一下我所了解和学到的随机过程知识。

一般来说，把一组随机变量定义为随机过程。在研究随机过程时人们透过表面的偶然性描述出必然的内在规律并以概率的形式来描述这些规律，从偶然中悟出必然正是这一学科的魅力所在。

古人云：“欲灭一国，必先灭其历史文化。”由此可见历史文化的重要性，下面我们就一起来了解一下随机过程学科的历史发展，随机过程整个学科的理论基础是由柯尔莫哥洛夫和杜布奠定的。这一学科最早源于对物理学的研究，如吉布斯、玻尔兹曼、庞加莱等人对统计力学的研究，及后来爱因斯坦、维纳、莱维等人对布朗运动的开创性工作。1907年前后，马尔可夫研究了一系列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链。1923年维纳给出布朗运动的数学定义，直到今日这一过程仍是重要的研究课题。随机过程一般理论的研究通常认为开始于20世纪30年代。1931年，柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》，1934年A·辛钦发表了《平稳过程的相关理论》，这两篇著作奠定了马尔可夫过程与平稳过程的理论基础。1953年，杜布出版了名著《随机过程论》，系统且严格地叙述了随机过程基本理论。

在研究方法方面，研究随机过程的方法多种多样，主要可以分为两大类：一类是概率方法，其中用到轨道性质、停时和随机微分方程等；另一类是分析的方法，其中用到测度论、微分方程、半群理论、函数堆和希尔伯特空间等。实际研究中常常两种方法并用。另外组合方法和代数方法在某些特殊随机过程的研究中也有一定作用。而该课程研究的主要内容有：多指标随机过程、无穷质点与马尔可夫过程、概率与位势及各种特殊过程的专题讨论等。中国学者在平稳过程、马

尔科夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面做出了较好的工作。

然而一个实际的随机过程是任意一个受概率支配的过程，例子有：①看做是受孟德尔遗传学支配的群体的发展；②受分子碰撞影响的微观质点的布朗运动，或者是宏观空间的星体运动；③赌场中一系列的赌博；④公路一指定点汽车的通行。

在每一种情形，一个随机系统在演化，这就是说它的状态随着时间而改变，于是，在时间t的状态具有偶然性，它是一个随机变量x(t)，参数t的集通常是一个区间(连续参数的随机过程)或一个整数集合(离散参数的随机过程)。然而，有些作者会只把随机过程这个术语用于连续参数的情形。当系统的状态用一个数来表示，x(t)就是数值的，在其他情形，x(t)可以是向量值或者更为复杂。在本条的讨论中，通常限于数值的情形。当状态变化时，它的值确定一个时间的函数——样本函数，支配过程的概率规律确定赋予样本函数的各种可能性质的概率。

数学上的随机过程是由实际随机过程概念引起的一种数学结构。人们研究这种过程，是因为它是实际随机过程的数学模型，或者是因为它的内在数学意义以及它在概率论领域之外的应用。数学上的随机过程可以简单的定义为一组随机变量，即指定一参数集，对于其中每一参数点t指定一个随机变量x(t)。如果回忆起随机变量自身就是一个函数，以ω表示随机变量x(t)的定义域中的一点，并以x(t，ω)表示随机变量在ω的值，则随机过程就由刚才定义的点偶(t，ω)的函数以及概率的分配完全确定。如果固定t，这个二元函数就定义一个ω的函数，即以x(t)表示的随机变量。如果固定ω，这个二元函数就定义一个t的函数，这是过程的样本函数。

一个随机过程的概率分配通常是由指定它的随机变量的联合分布来给定的，这些联合分布以及由它们诱导出来的概率可以解释为样本函数的性质的概率。例

如，如果0t是一个参数值，样本函数在0t取正值的概率是随机变量X(0t)有正值

的概率。在这个水平上的基本定理：任意指定的自身相容的联合概率分布对应一随机过程。

发展过程

随时间推进的随机现象的数学抽象。例如，某地第n年的年降水量

x由于

n

受许多随机因素的影响，它本身具有随机性,因此{

x,n=1,2,…}便是一个随机

n

过程。类似地，森林中某种动物的头数，液体中受分子碰撞而作布朗运动的粒子位置，百货公司每天的顾客数，等等，都随时间变化而形成随机过程。严格说来，现实中大多数过程都具有程度不同的随机性。气体分子运动时，由于相互碰撞等原因而迅速改变自己的位置与速度，其运动的过程是随机的。人们希望知道，运动的轨道有什么性质(是否连续、可微等等)？分子从一点出发能达到某区域的概率有多大？如果有两类分子同时运动，由于扩散而互相渗透，那么扩散是如何进行的,要经过多久其混合才会变得均匀？又如，在一定时间内，放射性物质中有多少原子会分裂或转化？电话交换台将收到多少次呼唤？机器会出现多少次故障？物价如何波动？这些实际问题的数学抽象为随机过程论提供了研究的课题。

学习过程中我了解到一些特殊的随机过程早已引起注意，例如1907年前后，Α.Α.马尔可夫研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链（见马尔可夫过程）；又如1923年N.维纳给出了布朗运动的数学定义（后人也

称数学上的布朗运动为维纳过程），这种过程至今仍是重要的研究对象。虽然如

此，随机过程一般理论的研究通常认为开始于30年代。1931年，Α.Η.柯尔莫

哥洛夫发表了《概率论的解析方法》；三年后，Α.Я.辛钦发表了《平稳过程的

相关理论》。这两篇重要论文为马尔可夫过程与平稳过程奠定了理论基础。稍后，

P.莱维出版了关于布朗运动与可加过程的两本书，其中蕴含着丰富的概率思想。

1953年，J.L.杜布的名著《随机过程论》问世，它系统且严格地叙述了随机过

程的基本理论。1951年伊藤清建立了关于布朗运动的随机微分方程的理论(见随

机积分)，为研究马尔可夫过程开辟了新的道路；近年来由于鞅论的进展，人们

讨论了关于半鞅的随机微分方程；而流形上的随机微分方程的理论，正方兴未艾。

60年代，法国学派基于马尔可夫过程和位势理论中的一些思想与结果，在相当

大的程度上发展了随机过程的一般理论，包括截口定理与过程的投影理论等，中

国学者在平稳过程、马尔可夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面也做

出了较好的工作。

以下为我说了解的特殊随机过程：

对过程的概率结构作各种假设,便得到各类特殊的随机过程。除上述正态过

程、二阶过程外，重要的还有独立增量过程、马尔可夫过程、平稳过程、鞅点过

程和分支过程等。贯穿这些过程类的有两个最重要最基本的过程，布朗运动和泊

松过程，它们的结构比较简单，便于研究而应用又很广泛。从它们出发,可以构

造出许多其他过程。这两种过程的轨道性质不同，前者连续而后者则是上升的阶

梯函数。

广义过程正如从普通函数发展到广义函数一样，随机过程也可发展到广义过

程。设D 为R 上全体无穷次可微且支集有界的实值函数φ的集，定义在D 上的连

续线性泛函称为广义函数、全体广义函数的集记为x D 。考虑Ω?D 上的二元函数

x(Φ,ω),如果对固定的ω，x(·,ω)∈x D 是广义函数，而对固定的Φ,x(Φ，·)

是随机变量，则称{x(Φ,ω):Φ∈D}为定义在(Ω，F,p)上的广义过程。它在

n ΦΦΦ,,,21 上的联合分布为全体这种联合分布构成了广义过程x 的"有穷维分

布族"。前两阶矩分别称为均值泛函和相关泛函

根据有穷维分布族的性质，也可以定义特殊的广义过程类，象广义平稳过程、

广义正态过程等。例如，若对D 中任意有限个线性独立函数n ΦΦΦ,,,21 有限维

分布都是正态分布，则称x={x(φ,ω)}为广义正态过程。

基础理论整理

随机过程定义[1]

1.设随机试验的样本空间为{}X S = ，对于空间的每一个样本S x i ∈，总有一个

时间函数)(t X i 与之对应，而对于空间的所有样本S x ∈ ，可有一组时间函数

{})(t X i 与其对应，那么，此时称此组时间函数 {})(,),(),(21t X t X t X n 为随机过

程)(t X 。

定义[2]:对于某一固定时刻T t t ∈=1，)(1t X 为时间函数在1t t = 时 的状态，它

是一个随机变量，它的样本空间为{})(,),(),(11211t X t X t X n 。如果把该状态样本

空间描述为状态函数的形式，那么我们依赖于时刻t 就有一组这样的状态函数，

我们称此组状态函数{})(,),(),(21m t X t X t X 为随机过程)(t X 。

定义1与定义2本质上是一致的，后者常用于做理论分析。

讨论

1. 若t 和x 都是变量，则随机过程是一组样本记录，可用全部样本记录的集合

描述；

2. 若t 是变量，而x 是固定值，则随机过程只是一个样本记发，它可描述为一

个确定的时间函数；

3. 若t 是固定值，而x 是变量，则随机过程是一个随机变量，它只是全部样本

记录中某个固定时刻的点集合；

4. 若t 和x 都是固定值，则随机过程是确定值。

显然，只有（1）才反映一个随机变量的完整的随机过程，其他都只是随机过程

的一个样本或样点。

随机过程分类

1. 按时间和状态是否连续分为：连续型随机过程、离散型随机过程、连续随机

序列、离散随机序列；

2. 按样本函数形式分为：不确定随机过程和确定随机过程；

3. 按随机过程分布函数的特性不同分为：平稳过程、马尔克夫过程、独立增量

过程等；

4. 按有无平稳性分为：平稳随机过程和非平稳随机过程；

5. 按有无各态历经分为：各态历经随机过程和非各态历经随机过程；

6. 按功率谱特性分为：白色过程和有色过程，宽带过程和窄带过程。

随机过程的统计特性

1. 随机过程的均值函数

计算随机过程均值的方法有两种，一是关于总体样本点的平均，简称总体平均；

二是关于时间样本点的平均，简称时间平均。

究竟采用上述哪种平均法，可根据随机变量的随机过程是否为平稳随机过程加以

确定。但不论是否为平稳过程，采用总体平均的方法总是通用的。

该均值对平稳随机过程来说，为物理量随机信号的平均幅值，它反映了物理量的

随机信号的直流分量。

2.随机过程的协方差函数

3.随机过程的方差函数

对于平稳随机过程来说，它是一种定量反映物理量随机信号脉动能量大小的一个量。

4.随机过程的相关函数

5.随机过程协方差函数与相关函数之间的关系

6.随机过程均值函数、方差函数之间的关系

均方值函数为方差函数与均值函数的平方之和，即对平稳随机过程来说，随机信号的总体能量为直流能量与脉动能量之和。

7.单个样本记录的时间平均

时间平均是一种针对“各态历经”过程的随机信号统计特征的平均方法。它只需要一个样本记录)

x，并从中获取随机信号的统计特征。值得一提的是，由于

(t

物理现象中大多数参变量的信号为平稳过程，并可将它们近似为各态历经的，所以工程中对于获取有关平稳过程随机信号的统计特性常采用时间平均法。

对于一个平稳随机过程来说，信号的时间平均结果应与总体平均的结果具有同样的效果。

几个重要的随机过程

1. 平稳随机过程

采用和或计算随机过程的一阶矩和二阶矩时，如果其结果不随给定时刻t 而变化，那么该随机过程就为弱平稳过程或广义平稳过程，工程上也称之为平稳过程。

2. 强平稳过程

如果对于一个随机过程来说，除了一阶矩和二阶矩的结果外，它的无限个高阶矩和联合矩的结果都不随给定时刻t而变化，那么该随机过程就为强平稳过程。

3. 非平稳过程

在采用和或求取随机过程的一阶矩和二阶联合矩时，只要它们的结果中有一个随给定时刻t而变化，那么该随机过程就为非平稳过程。

4. 各态历经过程

对于在可能控制的相同实验条件下所有样本记录来说，如果它们每一个样本记录都包含相同的随机现象的特征信息，则可称该随机现象的随机过程为各态历经的。显然，对“各态历经”过程的随机信号来说，无需采用总体平均这一方法获取信号的平均值，而只需取一个单个样本作时间平均即可。工程上，一般可以将一个平稳的随机过程看成是“各态历经”的。

光阴似箭，岁月如梭。转眼间已经到了学期末尾，而随机过程也即将结课，忆往昔，我对着门课有了初步的了解，当然首先要感谢包老师您的谆谆教导，虽然自己对书中的知识学习的比较粗糙和肤浅，但我也认识到它的重要性，而且它和我的方向动力系统结合也产生了一门新的数学分支——随机动力系统。

正所谓：“路漫漫，其修远兮，吾将上下而求索。”在以后的学习过程中我会继续学好这门非常重要的课程，当然，在此过程中还要多劳烦老师了！