重点高中数学竞赛解题策略-几何分册第32章勃罗卡定理

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第32章勃罗卡定理

勃罗卡()Brocard 定理凸四边形ABCD 内接于O ，延长AB 、DC 交于点E ．延长BC 、AD 交于点F ．AC 与BD 交于点G ．联结EF ，则OG EF ⊥．

证法1如图321-，在射线EG 上取一点N ，使得N ，D ，C ，G 四点共圆（即取完全四边形ECDGAB 的密克尔点N ），从而B 、G 、N 、A 及E 、D 、N 、B 分别四点共圆．

分别注意到点E 、G 对O 的幂，O 的半径为R ，则22EG EN EC ED OE R ?=?=-．

22EG GN BG GD R OG ?=?=-．

以上两式相减得()22222EG OE R R OG =---，

即22222OE EG R OG -=-．

同理，22222OF FG R OG -=-．

又由上述两式，有2222OE EG OF FG -=-．

于是，由定差幂线定理，知OG EF ⊥．

证法2如图321-EG 上，且ON EG ⊥，由此知N 为过点G 的O EN OF ⊥． 同理，在完全四边形FDAGBC 中，其密克尔点L ． 于是，知G 为OEF △的垂心，故OG EF ⊥．

证法3如图321-EF 上，且OM EF ⊥．联结BM 、CM 、DM 、OB 、此时，由密克尔点的性质，知E

即有BME BCE DCF ∠=∠=∠=∠从而90BMO DMO DMF ∠-∠=?-∠11180909022BOD ??=?-∠-?=?-∠ ???

即知点M 在同理，知点OM 为OBD 与OAC 的公共弦．

由于三圆O ，OBD ，OAC 两两相交，由根心定理，知其三条公共弦BD ，AC ，OM 共点于G ．即知O ，G ，M 共线，故OG EF ⊥．

该定理有如下推论

推论1凸四边形ABCD 内接于O ，延长AB 、DC 交于点E ，延长BC 、AD 交于点F ，AC 与BD 交于点G M ，则M 为完全四边形ABECFD 的密克尔点．

事实上，若设M '为完全四边形ABECFD 的密克尔点，则M '在EF 上，且OM EF '⊥．

由勃罗卡定理，知OG EF ⊥，即OM EF ⊥．而过同一点只能作一条直线与已知直线垂直，从而OM 与OM '重合，即M 与M '重合．

推论2凸四边形ABCD 内接于圆，延长AB 、DC 交于点E ，延长BC 、AD 交于点F ，AC 与BD 交于点G ，M 为完全四边形ABECFD 的密克尔点的充要条件是GM EF ⊥于M ．

推论3凸四边形ABCD 内接于圆O ，延长AB 、DC 交于点E ，延长BC 、AD 交于点F ，AC 与BD 交于点G ，则G 为OEF △的垂心．

事实上，由定理的证法2即得，或者由极点公式：22222EG OE OG R =+-，22222FG OF OG R =+-，22222EF OE OF R =+-两两相减，再由定差幂线定理即证．

下面给出定理及推论的应用实例．

例1（2001年北方数学邀请赛题）设圆内接四边形的两组对边的延长线分别交于点P ，Q ，两对角线交于点R ，则圆心O 恰为PQR △的垂心．

事实上，由推论3知R 为OPQ △的垂心，再由垂心组的性质即知O 为PQR △的垂心．

例2如图322-，凸四边形ABCD 内接于O ，延长AB ，DC 交于点E ，延长BC ，AD 交于点F ，AC 与BD 交于点P ，直线OP 交EF 于点G ．求证：AGB CGD ∠=∠．

证明由勃罗卡定理知，OP EF ⊥于点G ．

延长AC 交EF 于点Q ，则在完全四边形ABECFD 中，点P ，Q 调和分割AC ，从而GA ，GC ，GP ，GQ 为调和线束，而GP GQ ⊥，于是GP 平分AGC ∠延长DB 交直线EF 于点L （或无穷远点L ），则知DGP ． 故AGB CGD ∠=∠．

例3（2011年全国高中联赛题）如图323-边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线M ． 求证：若OK MN ⊥，则A ，B ，D ，C 证明用反证法．若A ，B ，D ，C 的外接圆O 与直线E ，直线CE 交直线AB 于P ．直线BE 交直线AC 于Q ，则由勃罗卡定理，知． 由题设，OK MN ⊥，从而知PQ MN ∥．

即有AQ AP QN PM

=．① 对NDA △及截线BEQ ，对MDA △ 有NB DE AQ BD EA ??

及MC DE CD EA ? 从而DMN DCB △∽△．

于是，DMN DCB ∠=∠．即有BC MN ∥，从而OK BC ⊥，得到K 为BC 的中点，这与已知矛盾．故A ，B ，D ，C 四点共圆．

例4（1997年CMO 试题）设四边形ABCD 内接于圆，边AB 与DC 的延长线交于点P ，AD 与BC 的延长线交于点Q ．由点Q 作该圆的两条切线QE ，QF ，切点分别为E ，F ．求

证：P ，E ，F 三点共线．

证明如图324-，设ABCD 的圆心为O ，AC 与BD 交于点G ，联结PQ ，则由勃罗卡定理，知OG PQ ⊥． 设直线OG 交PQ 于点M ，则由推论1，知M 为完全四边形ABPCQD 的密克尔点，即知M 、Q 、D 、

C 四点共圆．

又O 、E 、Q 、F 四点共圆，且OQ 为其直径，注意到OM MQ ⊥，知点M 也在OEQF 上． 此时，MQ ，CD ，EF 分别为MQDC ，OEMQF ，ABCD 两两相交的三条公共弦．由根心定理，知MQ 、CD 、EF 三条直线共点于P ．

故P ，E ，F 三点共线．

例5（2006年瑞士国家队选拔赛题）在锐角ABC △中，AB AC ≠，H 为ABC △的垂心，M 为BC 的中点，D 、E 分别为AB ，AC 上的点，且AD AE =，D 、H 、E 三点共线．求证：ABC △的外接圆与ADE △的外接圆的公共弦垂直于HM ．

证明如图325-，分别延长BH ，CH 交AC 、AB 于点B '、C '，则知A 、C '、H 、B '及B 、C 、B '、C '分别四点共圆，且AH 为AC HB ''的直径，点M

设直线BC 与直线C B ''交于点Q ，联结AQ MH AQ ⊥．

设直线MH 交AQ 于点P ，则由推论1，2知HP ⊥此，即知P 为ABC 与AC HB ''为ABC 与AC HB ''定理，知三条公共弦BC ，C B ''，AP ．故AP HM ⊥．

下证点P 在ADE △的外接圆上．

延长HM 至N ，使MN HM =ABC 上．

由DBH ECH △∽△， 有BD CE BH CH

=． 由BPN S S =△△

并注意BN =于是由*， 即BD CE BP CP

=而DBP ∠=∠，即有BDP CEP ∠=∠．

于是，ADP AEP ∠=∠，即点P 在ADE △的外接圆上．

故ABC △的外接圆与ADE △的外接圆的公共弦AP 垂直于HM ．

下面看定理的演变及应用

将定理中的凸四边形ABCD 内接于圆，演变成凸四边形外切于圆，则有

例6如图326-，凸四边形ABCD 外切于O ，延长AB 、DC 交于点E ，延长BC 、AD 交于点F ，AC 与BD 交于点G ．则OG EF ⊥．

证明设O 与边AB ，BC ，CD ，DA 分别切于点M 、N 、R 、S ，则由牛顿定理，知AC 、BD 、MR 、NS 四线共点于G ．

注意到EM ER =，在等腰ERM △中应用斯特瓦尔特定理，有22EG EM MG GR =-?．

同理，22FG FS SG GN =-?．

由上述两式相减，得

2222EG FG EM FS MG GR SG GN -=--?+?．

联结MO 、EO 、FO 、SO ，设O 的半径为r ，则由勾股定理，有222FM OE r =-，222FS OF r =-．又显然，有MG GR SG GN ?=?．

于是，2222EG FG EO FO -=-．

由定差幂线定理，知OG EF ⊥．

由此例及勃罗卡定理，则可简捷处理如下问题：

例7（1989年IMO 预选题）证明：双心四边形的两个圆心与其对角线交点共线（双心四边形指既有外接圆，又有内切圆的四边形）．

证明如图327-，设O ，I 分别为四边形ABCD 的外接圆、内切圆圆心，AC 与BD 交于点G ．当ABCD 为梯形时，结论显然成立，O ，I ，G 共线于上、下底中点的联线．

当ABCD 不为梯形时，可设直线AD 与直线DC 交于点E ，直线BC 与直线AD 交于点F ，联结EF ． 由勃罗卡定理，知OG EF ⊥；由例6的结论，知IG EF ⊥．

故O ，I ，G 三点共线．

将推论2完全四边形另一条对角线上的射影，则有

例8（2002年中国国家队选拔赛题）如图328-，E ，F 两点，两对角线的交点为P ，过P 作PO EF ⊥事实上，可类似于前面例2例9（2001年全国高中联赛题）如图329-，△H ，直线ED 和AB 交于点M ，FD 和AC 交于点N ．

求证：（1）OB DF ⊥，OC DE ⊥;（2）OH MN ⊥．证明（1）由A 、C 、D 、F 四点共圆，知BDF ∠

又()1180902

OBC BOC ∠=?-∠=?-即90OBD BDF ∠=?-∠，故OB ⊥同理，OC DE ⊥．

（2）要证OH MN ⊥

有22MO MH -

注意到CH ⊥22AC AH -，①

BH NA ⊥，有2．②

DA BC ⊥，有2，③

OB DN ⊥，有2，④

OC DM ⊥2OD ．⑤

由①-②+③+222ON OM =-．

即有2222MO MH NO NH -=-．

故OH MN ⊥．

将例9中的外心O 演变为一般的点，则有

例10如图3210-，设H 是ABC △的垂心，O 是ABC △所在平面内一点，作HP OB ⊥于P ，交AC 的延长线于点N ，作HQ OC ⊥于Q 交AB 的延长线于点M ．求证：OH MN ⊥．

证明要证OH MN ⊥，由定差幂线定理知，只要证明有2222OM HM HN ON -=-即可．

注意到HN OB ⊥，HM OC ⊥，分别有

2222OH ON BH BN -=-，2222OH OM CH CM -=-．

从而得222222OM ON CM BN BH CH -=-+-．①

由BH AN ⊥，有2222BA BN HA HN -=-，

CH AM ⊥，有2222CA CM HA HM -=-， AH BC ⊥，有2222AB AC HB HC -=-． 从而得222222HM HN CM BN BH CH -=-+-．② 由①，②得2222OM ON HM HN -=-．故OH MN ⊥．