山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第12章圆与圆相交(1)

第12章圆与圆相交

在圆与圆相交的问题中，两圆相交是基础．在这一章中，我们重点讨论两圆相交的基本性质及应用1234；三圆两两相交问题仅讨论共公共弦的问题．

两圆相交为圆周角定理、圆内接四边形性质定理等提供了用武之地．性质1 相交两圆的连心线垂直平分公共弦．

性质2 以相交两圆的一交点为顶点，过另一交点的割线段为对边的三角形称为相交两圆的内接三角形．相交两圆的内接三角形的三个内角均为定值．推论1 在相交两圆中，内接三角形均相似．

事实上，如图12-1，1O ⊙与2O ⊙相交于P 、A ，AB 、CD 、EF 为过点Q 的割线段，则PAB PCD PEF QGH △∽∽△∽．

（2）

R （1）

A R

图12-1

推论 2 如图12-1中字母所设，又设M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则PAC PBD PMN △∽△∽．证明参见图12-1，由PAB PCD ∽△，有APC APB CPB CPD CPB BPD ∠=∠-∠=∠-∠=∠，

亦即P A M △∽△，从而P B P A P

P D P C P

N ==

，且M P N C P N C ∠=∠-∠=∠-∠=∠

．由此APC PBD PMN △∽△∽△．推论3在相交两圆中，若过同一交点的两条割线段的长相等，则以这两条割线段为边的内接三角形全等，且公共弦平分这两条割线所构成的夹角，反之亦真．

事实上，如图12-1，1O ⊙与2O ⊙相交于P 、Q ，若过点Q 的两条割线满足AB CD =，则

PAB PCD △≌△，于是PD PB =．联结BD ，则A Q P B D P D B P D Q P ∠=∠=∠

=∠，知PQ 平分AQD ∠．反之亦真．

推论4在相交两圆中，若公共弦与内接三角形的一条边垂直，则另两边必分别为两圆直径．反之亦真．

事实上，如图12-11O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q ，过Q （或P ）的割线段与PQ 垂直，则由直角所张的弦为直径知PE （或QG ），PF （或QH ）分别为1O ⊙，2O ⊙的直径．反之亦真．推论5 在相交两圆中，内接三角形的交点顶点（即两圆一相交点）、两非交点顶点以及非交点顶点处的两切线的交点，此四点共圆，或者说，两非交点顶点处的两切线的交点在相交两圆的内接三角形外接圆上，事实上，如图12-1（1），1O ⊙与2O ⊙相交于P 、Q ，过点Q 的割线段CD 在端点处的切线于点R ，由弦切角定理，有QCR QPC ∠=∠，QDR QPD ∠=∠．于是，P C R P D R P C D Q C R Q D R C ∠+∠=∠+∠+∠+∠=△的内角和180=?．故P 、C 、R 、D 四点共圆．或者说点R 在PCD △的外接圆上．对于图12-1（2），也可类似地证明（略）．

1沈文选．相交两圆的性质及应用[J]．数学通讯，2010（7）：56-58． 2

沈文选．再谈相交两圆的性质及应用[J]．数学通讯，2010（11）：56-58． 3

沈文选．三谈相交两圆的性质及应用[J]．数学通讯，2011（2）：61- 64． 4

沈文选．两圆相交的几个结论[J]．中学教学参考，2011（5）：49-52.

性质3 两相交圆的公共弦所在直线平分外公切线线段．

事实上，如图12-2，1O ⊙与2O ⊙相交于P 、Q ，设外公切线段为ST ，直线PQ 交ST 于M ，则由22SM MP MQ MT =?=，知M 为ST 的中点．

图12-2

性质4 以相交两圆的两个交点分别为视点，对同一外公切线线段的张角之和为180?．事实上，如图12-2，1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q ，ST 为两圆外公切线段，连接SP 、SQ 、TP 、TQ ，则由弦切角定理，SQP TSP ∠=∠，TQP STP ∠=∠．从而SPT SQT SPT TSP STP SOT ∠+∠=∠+∠+∠=△的内角和180=?．

性质5两圆1O ⊙与2O ⊙相交于P 、Q 两点，过点Q 的割线段AB 、CD 分别交1O ⊙于点A ，C ，交2O ⊙于点B ，D ，直线AC 与直线BD 交于点S ，则（1）ASB ∠为定值；

（2）P ，C ，S ，D 及A ，S ，B ．P v 分别四点共圆；（3）APC BPD △∽△．

证明如图12-3，联结PQ ．

图12-3

从而ASB BSC ∠=∠

360SBQ SCQ BQC =?-∠-∠-∠360QPD APQ QD =?-∠-∠-∠

360()QPD PQD AQP AQD =?-∠-∠+∠-∠180180QPD PQD AQP AQD

=?-∠-∠+?-∠-∠PAQ PDQ αβ=∠+∠=+（定值）

．（2）180180180180DPC PCD PDC PAQ PDQ αβBSC ∠=?-∠-∠=?-∠-∠=?--=?-∠，同理，知P ，C ，S ，D 四点共圆．

（3）由180CPD αβAPB ∠=?--=∠，有APC BPD ∠=∠及PAC PQD PBD ∠=∠=∠即证．当过Q 的两条割线段AB ，CD 重合时，则有结论：

推论6 两圆1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q 两点，过点Q 的割线段AB 分别交1O ⊙，于A ，交2O ⊙于B ，两圆在A ，B 处的切线交于点S ．则（1）ASB ∠为定值；（2）A ，S ，B ，P 四点共圆，

考虑过Q 的两条割线AB ，CD 端点处的割线时，则有结论：

图12-4

推论7 设1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q 两点，过点Q 的两条割线段AB ，CD 分别交1O ⊙于点A 、

C ，交2O ⊙于点B 、

D ，两圆在A ，B 处的切线交于点

E ，两圆在C ，D 处的切线交于点

F ，PE PF =的充要条件是AB CD =．

证明如图12-5，联结有关线段如图．设直线AC 与直线DB 交于点R ．

图12-5

由性质5及推论6，知P ，C ，R ，D 及P ，C ，F ，D 分别四点共圆，于是，有P ，C ，R ，F ，D 五点共圆，由PCF PAC ∠=∠，ARP CRP CFP ∠=∠=∠，知PCF PAR △∽△，有PF PC PR PA

=． ① 由PCD PAB △∽△，有PC CD PD

PA AB PB

． ② 同理，P ，A ，E ，R ，B 五点共圆．

由PRD PEB ∠=∠，PBE PDB PDR ∠=∠=∠，知PRD PEB △∽△，有PD PR

PB PE

． ③ 由①，②，③得PF PC CD PD PR

PR PA AB PB PE

====

．故PE PF PE PR AB CD =?=?=．

性质6 两相交圆为等圆的充要条件是内接三角形为等腰三角形，且以割线段为底边．

证明如图12-6，设1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q ，QB 为过点Q 的割线段，令PAQ α∠=，PBQ β∠=．

由正弦定理，有1O ⊙与2O ⊙为等圆(,(0,90))sin sin PQ PQ

αβa βPAB αβ

=?=∈??△为等腰三角形．

性质7两相交圆为等圆的充要条件是下述条件之一成立：（1）公共弦对两圆的张角相等；

（2）过同一交点的两条割线交两圆所得两弦相等，

图12-6

证明如图12-7，1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q ．

图12-7

（1）设点E 在1O ⊙上，点F 在2O ⊙上，令PEQ α∠=，PFQ β∠=，则由正弦定理，有1

O ⊙与2O ⊙为等圆(,(0,90))sin sin PQ PQ

αβαβαβ

?=?=∈??．

（2）设AB ，CD 是过点Q 的两条割线段，联结AC ，BD ，则由正弦定理知，1O ⊙与1

O ⊙为等圆sin sin AC BD

AC BD AQC BQD

?=?=∠∠．

性质8过相交两圆的两交点分别作割线，交两圆于四点，同一圆上的两点的弦互相平行．事实上，如图12-8，1O ⊙与2O ⊙交于P ，Q ，割线AB ，CD 分别过P ，Q ，则AC BD ∥．

(3)

(2)

(1)

图12-8

性质9 设1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q ，AB 与CD 是过点Q 的两条割线段，直线PQ 与AQD △、CQB △的外接圆分别交于点S ，T 则P 为ST 的中点．证明12-9，联结SD 、BT 、PA 、PC 、PB 、PD 、BD ，则由BTQ BCQ ∠=∠，BDQ BPQ ∠=∠，

知BTP BCD △∽△，即有TP BP

CD BD

． ①

图12-9

同理，由DPS DBA △∽△，有PS DP

BA BD =

．

②

①÷②得

TP BP CD

PS DP BA

．

③

又PBA PDC ∠=∠，PAB PCD ∠=∠，或由推论1，知PAB PCD △∽△，有

BP BA

DP CD

． ④

将④式代入③式，得TP PS =．故P 为ST 的中点．

性质10 设1O ⊙与2O ⊙相交于P 、Q ，AB 与CD 是过点Q 的两条割线段，若A 、C 、B 、D 四点共圆O ⊙，则OP PQ ⊥．

证明如图12-10，首先可证B ，O ，P ，C 四点共圆．连接有关线段如图，则对于图12-10（1），由2BPC BPQ CPQ BDC BAC BDC BOC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=∠，对于图12-10（2），由1801802180BPC BPQ CPQ BDC CAQ BDC BOC ∠=∠-∠=?-∠-∠=?-∠=?-∠，从而B ，O ，P ，C 四点共圆．

（1）

（2）

图12-10

然后再证OP PQ ⊥．由B ，O ，P ，C 四点共圆，有OPB OCB ∠=∠．对于图12-10（1），

902

OPQ BPQ OPB BDC OCB BOC OCB ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=?

对于图12-10（2），

118018018090902OPQ BPQ OPB BDC OCB BOC OCB ??

∠=∠-∠=?-∠-∠=?-∠+∠=?-?=?

???

．

性质11 1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q ，AB 是过点Q 的一条割线段，M 为AB 的中点，N 为12O O 的中点，则NM NQ =．

证明如图12-11，设点1M ，K ，2M 分别为点1O ，N ，2O 在AB 上的射影，由垂径定理，知1M ，2M 分别是AQ ，BQ 的中点．由梯形中位线定理，知K 为12M M 的中点．

图12-11

不妨设AQ QB >则

121122244M M AQ AQ AQ QB AQ QB

KQ M Q M K +-=-=

-=-=

， 244

AQ QB AQ QB AQ QB

MK MB KQ QB QB ++-=--=--=

．于是，MK KQ =，即K 为MQ 的中点．注意到NK MQ ⊥，故NM NQ =．性质12 设1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q ，AB 是过点Q 的割线段，K 为PQ 上异于端点的一点，直线AK 交2O ⊙于C ，D ，直线BK 交1O ⊙于E ，F ，则E ，C ，F ，D 四点共圆于O ⊙，且OQ AB ⊥．

证明如图12-12，由相交弦定理，有CK KD PK KQ EK KF ?=?=?．

图12-12

再由相交弦定理之逆定理，知E ，C ，F ，D 四点共圆．

设O ⊙的半径为r ，注意到个线定理，则知B 关于O ⊙的幂22BO r BE BF BA BQ =-=?=?，

A 关于O ⊙的幂22AO r AC AD A

B AQ =-=?=?．

于是，2222()()()AO BO AB AQ BA BQ AB AQ BQ AQ BQ AQ BQ AQ BQ -=?-?=-=+-=-．故由定差幂线定理，知OQ AB ⊥．

性质13 两圆1O ⊙于2O ⊙相交于P 、Q 两点，K 为PQ 上异于端点的一点，直线1O K 交2O ⊙于A ，C ，直线2O K 交1O ⊙于B ，D ．若A ，B ，C ，D 四点共圆于O ⊙，则圆心O 在直线PQ 上．

证明如图12-13，由于PQ ，QC ，BD 分别是1O ⊙与2O ⊙，2O ⊙与O ⊙，1O ⊙与O ⊙的根轴，则知K 为其根心．

图12-13

于是，1OO BD ⊥，2OO AC ⊥，12O O PQ ⊥，即知K 为12OO O △的垂心，因此12OK O O ⊥．又12PQ O O ⊥，且K 在PQ 上，故点O 在直线PQ 上．

注：此性质即表明：圆心不共线的三圆两两相交，若其中两圆的圆心在其中两条根轴上，则第三圆的圆心也在第三条根轴上．

性质14 两圆1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q ，1O ⊙在P 点处的切线PB 交2O ⊙于B ，2O ⊙在P 点处的切线交1O ⊙于A ，M 为AB 的中点，则APQ BPM ∠=∠．

证明如图12-14，延长PM 至P '，使MP PM '=，则四边形PAP B '为平行四边形

图12-14

由弦切角与所夹弧上圆角的关系．知APQ PBQ ∠=∠，PAQ BPQ ∠=∠，于是

P A Q B P Q △∽△，即知AQP PQB ∠=．联结AQ 并延长交2O ⊙于C ，联结BQ 并延长交1O ⊙于D ，则由推论3，知AC DB =，

PB PC =，PA PD =．

此时，180PBC PCB BPA PBP '∠=∠=∠=?-∠，即知P '，B ，C 三点共线．同理，P '，A ，D 三点共线．

注意懂啊PDP B '为等腰梯形，则DPP DBP QPC ''∠=∠=∠．又推论2中的结论，知DPA BPC ∠=∠．

故APQ DPP DPA QPP QPC BPC QPP BPM '''∠=∠-∠=∠=∠-∠-∠=∠．

性质15 两圆1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q 两点，12PO O △的外接圆分别交1O ⊙于R ，交2O ⊙于S ，则点Q 为PRS △的内心或旁心．

证明如图12-15（1），由1121

PRQ PO Q PO O ∠=∠=∠及122PO O PRO ∠=∠，有P R Q P R O

∠=∠，即知R ，Q ，2O 三点共线．

（1）

（2）

图12-15

对于图12-15（2），112

1801802

P R Q P O Q P O O

∠=?-∠=?-∠及122180PO O PRO =?-∠，有

2PRQ PRO ∠=∠，即知R ，Q ，2O 三点共线．

注意懂啊22PO O S =，则在PRS ⊙中，有22PO O S =，即点Q 在PRS ∠的内角（或外角）平分线上．

同理，点Q 在么PSR ∠的内角（或外角）平分线上，

故点Q 为PRS △的内心或旁心．

性质16 两圆1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q 两点，过点Q 的割线段AB 与1O ⊙交于点A ，与2O ⊙交于点B ．

（1）设M 为12O O 的中点，则MQ AB ⊥的充要条件是点Q 为AB 的中点；

（2）设C ，D 分别为弧AP ,PB 的中点，则PQ CD ⊥的充要条件是点Q 为AB 的中点．证明

（1）作1O G A Q ⊥

于点G

，作2O H Q B ⊥于点H ，则12MQ AB O G MQ O H MQ

⊥??∥∥为直

角

梯

形

12O GHO 的中位线

GQ QH AQ QB ?=?=．

（2）12-16联结有关点，设AP 与CQ 交于点E ，BP 与DQ 交于点F ，则由AC CP =，知

CPE CQP ∠=∠．又P C E Q C P ∠=∠，则C P E C Q P △∽△，即有

C P C E

C Q C P

=，亦即2C P C E C Q =?．

图12-16

同理，2

DP DF DQ =?．

由ACQ QPE △∽△有CQ QE AQ QP ???．同理DQ QF BQ QP ???．注意

到

22()()CP DP CE CQ DF DQ CQ EQ CQ DQ FQ DQ -=?-?=-?--?=2

D -

，

则2

P Q

D C

P D

⊥?

-=-?

．性质17 两圆1O ⊙与2O ⊙相交于,P Q 两点，离点Q 较近的两圆外公切线切1O ⊙于点A ，切

2O ⊙于点B ，则（1）180APB AQB ∠+∠=?，且较小者121

APB O PO ∠=∠，较大者

121

1802

AQB O PO ∠=?-∠；

（2）PA QA PB QB =．证明如图12-17，联结1212,,,PQ PO PO O O ．

图12-17

（1）180APB AQB APQ QPB AQB QAB AQB ∠+∠=∠+∠+∠=∠+=? 由

180()()AQB APB PAB PBA PAQ PBQ QAB QBA ∠=?-∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠122112()180180PO O PO O APB O PO AQB =∠+∠+∠=?-∠+?-∠

有1211802AQB O PO ∠=?-∠，从而121

APB O PO ∠=∠．

（2）设直线PQ 交PAB △的外接圆于点E ，则么EAB EPB QBA ∠=∠=∠．于是AE QB ∥．同理，AQ EB ∥．从而四边形AEBQ 为平行四边形．此时E A Q ∠=∠，

由正弦定理，有sin sin sin sin sin sin QA QA QE PEA QBE PEA PA

QB QE QB EAQ BEP BEP PB

∠∠∠=?=?==

∠∠∠．故结论获证．性质18 两圆，1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q 两点，过点P 的1O ⊙的弦PA 是2O ⊙的切线，过点P 的2O ⊙的弦PB 是1O ⊙的切线．

（1）延长AQ 交2O ⊙于点C ，延长BQ 交1O ⊙于点D ，则AC DB =；（2）线段AB 交1O ⊙于点E ，交O ⊙于点F ，与直线PQ 交于点M ，则AM AF

BM BE

．证明如图12-18．

图12-18

（1）由题设知PAQ BPQ ∠=∠，APQ PBQ ∠=∠，即有AQP BPQ ∠=∠，从而DQP CQP ∠=∠．此时，PDA CQP DQP DAP ∠=∠=∠=∠，于是，PD PA =．注意，POB PAC △∽△，则

PDB PAC

△≌△，故AC DB =．（2）延长PQ 交PAB △的外接圆于点N ，联结AN ，NB ．注意到sin sin PAN PBN ∠=∠ 知PAN PBN S AM AP AN BM S BP BN ?==

?△△． ① 由PAQ BPQ BAN ∠=∠=∠，APQ ABN ∠=∠，有PAQ BAN △∽△，即有PQ AP

BN AB

．

②

②÷③得AN AP

BN BP

，将其代入①式得22AM AP AF AB AF BM BP BE AB BE ?===?．性质19 两圆1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q 两点，离点P 较近的外公切新啊1O ⊙于点A ，切2O ⊙于点B ，过点P 的1O ⊙的弦PC 是2O ⊙的切线，过点P 的2O ⊙的弦PD 是1O ⊙的切线．直线AP 交BD 于点T ，交2O ⊙于点F ，直线BP 交AC 于点S ，交1O ⊙于点E ．则（1）A ，S ，Q ，B 五点共圆；

（2）当M ，N 分别为AE ，BF 上的点时，Q ，S ，M 及Q ，T ，N 分别三点共线的充要条件是M ，N 分别为AE ，BF 的中点．证明如图12-19，联结PQ ，AQ ，BQ ．

A X Y

B M N

N 'S

D P Z

T F

图12-19

（1）延长DP 交AB 于点X ，则X A P X P A ∠=∠=∠

，从而ATB PTB BDP TPD ABP BAP BQP AQP AQB ∠=∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠，即知A ，Q ，T ，

B 四点共圆．

同理，A ，S ，Q ，B 四点共圆．故A ，S ，Q ，T ，B 五点共圆．

（2）充分性．当N 为BF 的中点时，延长QP 交AB 于点Y ，则22AY YP YQ YB =?=，知Y 为AB 的中点，联结YN 交PB 于点Z ，则YN AF ∥，即有BNY BFA ∠=∠．注意到ABP BFA ∠=∠，则B N Y A ∠=∠，从而YBZ YNB △∽△于是，2YZ YN BY YP YQ ?==?，由此即知P ，Q ，N ，Z 四点共圆，从而PQN BZN BPF ∠=∠=∠． ①

又由A ，Q ，T ，B 四点共圆，知BQT BAT ∠=∠．于是，

PQT PQB BQT ABP BAT BPF ∠=∠+∠=∠+∠=∠．

② 故PQN PQT ∠=∠，即知Q ，T ，N 三点共线．同理，Q ，S ，M 三点共线．

必要性．当Q ，T ，N 三点共线时，有PQN PQT ∠=∠．

取BF 的中点N '，则同①式的证法有PQN BPF '∠=∠．同样有②式，则PQN PQN '∠=∠，即知N '与N 重合，从而N 为BF 的中点．

同理，当Q ，S ，M 三点共线时，M 有AE 的中点．

性质20 两圆1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q 两点，2O ⊙的弦AB 为1O ⊙的切线的充要条件是AB 与1O ⊙的公共点E ，满足APE BQE ∠=∠．

证明如图12-20，注意到P ，Q ，B ，A 四点共圆，则180APE EPQ APQ ABQ ∠+∠=∠=?-∠．BQE BEQ =∠+∠．

图12-20

于是，APE BQE EPQ BEQ AB ∠=∠?∠=∠?与PQE ⊙（即1O ⊙）切于点E ．

性质21 两圆1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q 两点，过点P 的割线段AF ，BE 分别交1O ⊙于A ，E ，

交2O ⊙于F ，B ，直线EA 与直线FB 交于S ，则A S Q B S P ∠=∠的充要条件是AB EF ∥．证明如图12-21，由A ，E ，Q ，P 及P ，Q ，F ，B 分别四点共圆，有AEQ QPF QBF ∠=∠=∠，即知S ，E ，Q ，B 四点共圆．

图12-21

同理，S ，A ，Q ，F 四点共圆．于是，ESQ EBQ PFQ ∠=∠=∠． ① 又QES QPF ∠=∠，知SEQ FPQ △∽△．

同理，EQP SQF △∽△，从而QF SF

PQ EP

② 充分性．

若AB EF ∥，则SB AB PB

SF EF EP

，所以SF SB EP PB =

．故QF SB PQ PB

=．又SBP FQP ∠=∠，则SPB SEQ △∽△．从而ESQ PSB ∠=∠，即ASQ BSP ∠=∠．

必要性．若ASQ BSP ∠=∠，即ESQ PSB ∠=∠，则由①式，有PFQ PSB ∠=∠．

又SBP FQP ∠=∠，则PQF PBS △∽△，所以QF SB

PQ PB

．注意到②式，则有SF SB EP PB =．因而EP SF

PB SB

．对SEB △及截线APF 应用梅涅劳斯定理，有1SA EP BF

AE PB FS

??=．

因此1SA SF BF AE SB SF ??=，从而SA SB AE BF =

，故AB EF ∥．性质22 两圆1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q 两点，一直线分别交1O ⊙于点B ，E ，

交2O ⊙于点F ，C ．设A 为QP 延长线上的一点，直线QF 交AB 于点X ，直线QF 交AC 于点Y ，则XY BC ∥．

证明如图12-22，设直线AP 交BC 于点S ，分别对ABS △及截线FQX ，ASC △及截线EQY

应用梅涅劳斯定理，有1AX BF SQ XB FS QA ??=，1AQ SE CY

QS EC YA

??=．

A B

A 图12-22

上式两式相乘得

1AX BF SE CY

XB FS EC YA

???=．

（*）又由元幂定理，有SE SB SQ SP SF SC ?=?=?．于是，SE SB SE SF SF SC SE SF ?+?=?+?

即()()SE SB SF SF SC SE +=+，亦即SE BF SF EC ?=?，故1BF SE

FS EC

?=．

将上式代入（*）式，得1AX CY XB YA ?=，即AX AY

XB YC

，故XY BC ∥．性质23 两圆1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q 两点，直线12O O 分别交1O ⊙于A ，B ，交2O ⊙于CD ，

则1290O PO ∠=?的充要条件是AC AD

CB DB

．（即两圆正交的充分必要条件是两圆连心线所在直线与两圆的交点成调和点列．）

证明如图12-23，充分性．当AC AD

CB DB =

时，11111111AO O C DO AO AC AD CB DB AO O C DO AO ++=?=-- A

图12-23

211

11111

2222AO DO O C O D AO O C AO ?=??=．此时，2211111CO O D AO PO ?==，即知1PO 识2O ⊙的切线，即1290O PO ∠=?．

必要性．由1290O PO ∠=?，则122190PO O PO O ∠+∠=?，即12290APO CDP ∠+∠=?，亦即， 11145APO CDP APO O PC APC ?=∠+∠=∠+∠=∠，从而知PC 平分APB ∠．由此亦知PD 平分APB ∠的外角．故AC PA AD CB PB DB

==．性质24 两圆1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q 两点，过点Q 的割线段AB 分别交1O ⊙于点A ，交

2O ⊙于点B ，直线AP 交2O ⊙于点C ，直线BP 交1O ⊙于点D ．设PCD △的外心为O ，则OQ AB ⊥．

证明如图12-24（1），（2），（3），联结PQ ，首先证明AB 平分CQD ∠的外角．

（3）

（2）（1）

图12-24

事实上，对于图12-24（1），B Q D A P D C P B A Q C ∠=∠=∠=∠．对于图12-24（2），180BQC BPC APD AQD ∠=?-∠=∠=∠ 对于图12-24（3），B Q C B P C A P D A Q D ∠=∠=∠=∠．其次，作C 关于过点Q 的AB 的垂线的对称点C '，则C C A B '∥，

且C '在QD 上，QC QC '=，

于是CC Q BQC

''∠=∠（或180BQC '?-∠）BQD =∠（或180BQD ?-∠）APD =∠（或180APD ?-∠）CPD =∠（或180CPD ?-∠）

，由此说明点C '在PCD △的外接圆上．从而OC OC '=．又QC QC '=，因此OQ CC '⊥．故OQ AB ⊥．

性质25 两圆1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q 两点，过点P 的割线AB 交1O ⊙于点A ，交2O ⊙于点B ，直线BQ 交1O ⊙于点C ，直线AC 交2O ⊙于D ，E 两点．则（1）AC 为定值（不依赖点A 的位置）；（2）BE BD =，且2BO AC ⊥．证明如图12-25，联结AQ ，PQ ，DQ ，PD ．

（1）由于QAB △的三个内角均为定值，从而AQC ∠为定值，故AC 的长为定值．

（2）由E B E D B Q D ∠=∠=∠（对于图（2）BPD ∠）BQP PQD =∠+∠（或APQ QPD ∠+∠）BDP PBD =∠+∠（或ACQ QBD ∠+∠）BDE =∠，知BE BD =．（3）由BE BD =，知2BO DE ⊥，故2BO AC ⊥．

（1）

（2）

图12-25

性质26 两圆1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q 两点，点A 在1O ⊙上，割线段AP ，AQ 交2O ⊙于C ，

D ，点B 在2O ⊙上，割线段BP ，BQ 交1O ⊙于

E ，

F ．直线AF 与直线BD 交于点M ，直线AE 与直线BC 交于点N ，则AMP ANQ ∠=∠，BMP BNQ ∠=∠．证明如图12-26，联结PF ，PQ ，PD ，QE ．

图12-26

由QBC APQ QFM ∠=∠=∠，知A M C B ∥，则180EQB FAE ENB ∠=∠=?-∠，于是，知E ，Q ，B ，N 四点共圆，从而ANQ ENQ QBE FBP ∠=∠=∠=∠．由性质5，知F ，M ，B ，P 四点共圆．从而 AMP FMP FBP ANQ ∠=∠=∠=∠．（*）注意到APF AQF BQD BPD ∠=∠=∠=∠，

则APD APF FPD BPD FPD FPB ∠=∠+∠=∠+∠=∠．

又由性质5，知A ，M ，D ，P 四点共圆，则

180180A M D A P D F P B ∠=?-∠=?-∠=180180F P E F A E ?-∠=?-∠，从而AN MB ∥．

由（*）式即知BMP BNQ ∠=∠．

性质27 两圆1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q 两点，一条外公切线切1O ⊙于A ，切2O ⊙于D ，过点P 的割线段AB ，CD 分别交2O ⊙于B ，交1O ⊙于C ，设M ，N 分别为AC ，BD 的中点，则PQM PQN ∠=∠．

证明如图12-27，延长QP 交AD 于点T ，由22AT TP TQ TD =?=知T 为AD 的中点．联结TN

交PD 于点E ，则TN AB ∥，从而DNT DBA ADP ∠=∠=∠，于是，TDE TND △∽△，既有DT TE

NT TD

，亦即有2DT TE TN =?，而2DT TP TQ =?，由此即知P ，Q ，N ，E 四点共圆．

图12-27

于是，PQN DEN DPB ∠=∠=∠．

同理，PQM APC ∠=∠．而APC BPD ∠=∠，故PQM PQN ∠=∠．

性质28 两圆1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q 两点，过点P 的割线段AB ，CD 分别交1O ⊙于点B ，

C ，交2O ⊙于点A ，

D ，且A ，B ，C ，D 四点共圆于O ⊙．若过点P 的直线分别交1O ⊙于点

E ，交2O ⊙于点

F ，交O ⊙于点

G ，

H ，则GE FH =．证明如图12-28，设过点O 垂直于直线GH 的直线为l ，令B ，D 关于直线l 对称的点为B '，D '，则知B '、D '均在O ⊙上，且BB D D GH ''∥∥．

（1）

（2）

图12-28

此时，对图12-28（1），D BB D A B D A P D F P

'∠=∠=∠=∠．对于图（2），

180DB B DAB '∠=?-∠=180180D A P D F P ?-∠=?-∠．因BB PF '∥，则知D ，F ，B '三点共线．同理，D '，E ，B 三点共线．

注意到E ，F 分别为BD '，B D '与直线EF 的交点，所以E ，F 为关于直线l 的对称点．又点G ，H 关于直线l 对称．故GH FH =．

性质29 两圆1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q 两点，过点P 的割线段AB ，CD 分别交1O ⊙于A ，

C ，交2O ⊙于B ，

D ．点M ，N 分别在线段AC ，BD 上，且满足BD BN

λAC AM

==（λ为正

常数），直线MN 交PC 于点S ，交PB 于点T ，则P ，S ，Q ，T 四点共圆．

证明如图12-29联结有关线段．则由QDB QPB QCA ∠=∠=∠，

BQD BPD APC AQC ∠=∠=∠=∠，知Q B D Q C A △∽△，即有

QB QD BD

λQA QC AC

===，且Q B N Q A M ∠=∠．于是，QN

λQM

=，且B Q N A Q M ∠=∠，亦即知NQM BQA DQC △∽△∽△，

从而()QBA QNM QDC ∠=∠=∠所以Q ，B ，N ，T 四点共圆，Q ，N ，D ，S 四点共圆．此时，QTB QNB QSP ∠=∠=∠，故P ，S ，Q ，T 四点共圆．

图12-29

性质30 两圆1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q 两点，过点Q 的割线段AB ，E ，F 分别交1O ⊙于A ，

E ，交2O ⊙于B ，

F ．若点D ，C 分别在AE ，BF 的延长线上，

且满足AE BF

ED FC

=，则P D E △的外接圆与PCF △的外接圆的另一交点为直线CD 与直线QF 的交点T ．

证明如图12-30，联结PQ ，PA ，PB ．由PAE PQE PQF PBF ∠=∠=∠=∠，

Q 图12-30

180180PEA PQA PQB PFB ∠=?-∠=?-∠=∠，知PAE PBF △∽△，即有

PE EA

PF FB

．结合已知条件，有

PE ED

PF FC

．（*）在DPE △和CPF △中，180180DEP PEA PFB CFP ∠=?-∠=?-∠=∠，注意到（*）式，知

DPE CPF △∽△，即有CPF DAE ∠=∠，PE PD

PF PC

．此时，由上述两角相等导出CPD FPE ∠=∠，结合上述比例式知PCD PFE △∽△，于是PCD PFE ∠=∠，即PCT PFT ∠=∠，所以，P ，C ，F ，T 四点共圆．又由P C D △∽△知PDC PEF

∠=∠，即有180180PDT PDC PEF PET ∠=?-∠=?-∠=∠，从而知P ，D ，E ，T 四点共圆．证毕．性质31 两圆1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q 两点，过点Q 的割线段AB 交1O ⊙于点A ，交2O ⊙于点B ，且Q 为AB 的中点，以AB 为直径的半圆交1O ⊙于点C ，交2O ⊙于点D ，直线CD 与直线AB 交于点O ，则OP PQ ⊥．

证明如图12-31，延长1QO 交1O ⊙于M ，延长2QO 交2O ⊙于N ．由于12O O 垂直平分PQ ，且12O O 是QMN △的中位线，所以知直线MN 过点P ，有M N P O ⊥．下只需M ，N ，O 三点共线即可．

易知MA ，MC ，ND ，NB 均与Q ⊙相切，且MA NB ∥．

（1）

（2）

图12-31

设MC 与ND 交于点E ，作A D

B '∥交之心啊CD 于D '，则

A D C

B D O B D N

'∠=∠=∠∠1111

2222

B D N E D

C B Q

D D Q C B Q C B A C

A M C

=∠∠=∠∠=∠=-∠=∠．而MA MC =，所以，知M 为D AC '△的外心．

于是D M MC '=，MD C D CM DCM EDC NDO ''∠=∠=∠=∠=∠，于是知D M DN '∥．注意到MA NB ∥，AD BD '∥，且A ，B ，O 共线，D '，D ，O 共线，则知AD M '△与BDN △为位似形，位似中心为O ，故M ，N ，O 三点共线．

性质32 来个能源1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q 两点，过点Q 的割线段AB PQ ⊥，且交1O ⊙于

点A ，交2O ⊙于点B ，点C 在劣弧AQ 上，点D 在劣弧QB 上，且AB 为CQD ∠的外角平分线．又直线CQ 交PB 于点F ，直线DQ 交PA 于点E ．设M ，N 分别为CD ，EF 的中点，则P ，N ，M 三点共线．

证明如图12-32，延长DE 交1O ⊙于点X ，延长CF 交2O ⊙于点Y ．由题设知AP ，BP 分别为1O ⊙，2O ⊙的直径．由AB 平分CQE ∠知，PC 与PX 关于PA 对称，PD 与PY

关于PB 对称．

X Y

图12-32

令PQE PQF α∠=∠=，APQ QBP β∠=∠=，则

sin sin(90)

sin(90)sin AQP AXP S QE AQ QP ββEX S AX XP αα

???-===??-?△△．同理，

sin(90)sin sin sin(90)QF ββ

FY αα?-?=

??-．即有 QE QF EX FY =

．于是，XY EF ∥．

设XY 交AP 于点T ，则C T E X T E F E P E ∠=∠=∠=∠，从而T C P N

∥，即有C P N T C P ∠=∠=T X P P X Y

∠=∠．同理DPN PYX ∠=∠．

所以，sin sin sin sin CPN PXY PY PD

DPN PYX PX PC

∠∠===

∠∠．

因M 为CD 的中点，

则由sin 1sin PCM

PDM

S PC CPM PD DPM S ?∠==?∠△△，

有

sin sin PD CPM

PC DPM

∠=

∠．于是，sin sin sin sin CPN CPM

DPN DPM

∠∠=

∠∠，故知P ，N ，M 三点共线．

性质33 两圆1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q 两点，且1290O QO ∠=?，过点Q 的割线段AB 交1O ⊙于点A ，交2O ⊙于点B ，且使1O ，2O 分别在AQP ∠，BQP ∠的平分线上，与1O 的距离等于1O 到AQ 的距离的直线1l 交1O ⊙于点C ，E （点C 在AE 上），与2O 的距离等于2O 到QB 的距离的直线2l 交2O ⊙于点D ，F （点D 在BF 上），则CA ，PQ ，DB 三线共点．证明如图12-33，设直线1l ，2l ，AB 两两相交于X ，Y ，Z ，联结XQ ，由题设知1O ，2O 分别为XYQ △，XQZ △的内心，且DF QB =，DF ，QB 的中点M ，N 分别为内切圆切点．

Y Z

X 图12-33

于是，11

()()22

XD XM FM XM QN XQ XZ QZ XQ QZ XZ XQ =+=+=+-++-=．

同理，XC XQ =，即知XCD △为等腰三角形．进而YCA △，ZDB △均为等腰三角形．

此时，111

1809090

90222

A C D X Y Z ????∠=?-?-∠-?-∠

? ?????，而1

180902

A B D D B Z Z ∠=?-∠=?+∠．于是A ，B ，C ，D 四点共圆．

设直线CA 与直线DB 交于点R ，则RA RC RB RD ?=?．

上式说明点R 在1O ⊙与2O ⊙的根轴上，故CA 、PQ 、DB 三线共线．

三圆相交的问题，我们仅讨论如下一种特殊情形：共一条公共弦的问题．三个圆两两相共一条公共弦有如下一系列有趣结论和推论，它们在处理有关平面几何竞赛题中，常发挥要作用．性质34 三个圆两两相交，共一条公共弦的充分必要条件是三圆的圆心共线．事实上，这可由相交两圆的连心线垂直平分公共弦及线段的中垂线唯一即证．推论8 三个圆两两相切，共切点的充分必要条件是三圆的圆心共线，性质35 三个圆两两相交（或相切），共一条公共弦（或共切点）的充分必要条件是从一交点（或切点）引出的两条直线被这三圆依次截得的两条对应线段成比例．证明先证必要性．当三圆共一条公共弦PQ （或共切点P ）时．

证法1如图12-34，设三个圆的圆心依次为1O ，2O ，3O ．因三个圆有公共弦PQ (或有公切点P )，则由性质34及推论8，知1O ，2O ，3O 共线，过1O ，2O ，3O 分别作直线PZ (P 为三个圆的公共交点或切点，PZ 依次交三圆于X ，Y ，Z )和直线PZ '

（PZ '依次交三圆于X '，

Y '，Z '的垂线，垂足分别为1H ，2H ，3H ；1H '，2

H '，3H '．（4）

（3）

（2）

（1）

P Z

图12-34

易知，12PX PH =，22PY PH =，32PZ PH =，于是1212

2323

H H O O XY YZ H H O O ==

．

同理，

12122323H H O O X Y Y Z H H O O ''''==''''．故XY X Y YZ Y Z ''

．证法2 仅就如图12-35的情形给出证明（其他情形图的证明留给读者，下同）．1O ⊙，2O ⊙，3O ⊙有公共弦PQ ，直线PZ ，直线PZ '依次交三圆于X ，Y ，Z ；X '，Y '，Z '．

P Q

图12-35

由180180QXY QXP QX P QX Y '''∠=?-∠=?-∠=∠，及Q Y P Q Y P '∠=∠，知Q X Y Q XY '△∽△．同理QYZ QY Z '△∽△．

于是，有QX XY QX X Y ='''，QY YZ

QY Y Z

''．又QXX QPX QPY QYY ''''∠=∠=∠=∠ 180XX Q YPQ YY Q ''∠=?-∠=∠，

则知QXX QYY ''△∽△，即有QX QX

QX QY =

．于是XY YZ X Y Y Z =

''''，即XY X Y YZ Y Z ''=

．再证充分性．如图12-35，设三个圆的圆心依次为1O ，2O ，3O ，三个圆的公共点为P ，过P

任作两条之心啊分别与三个圆的交点依次为X ，Y ，Z ；X '，Y '，Z '，

且满足XY X Y YZ Y Z

='．又设2O ⊙与3O ⊙的另一个交点为Q ，下证1O ⊙也过点Q ．

设过P ，Q ，X 的圆O '⊙交直线AZ '于X ''，则由必要性证明，有XY X Y

YZ Y Z ''=

．

此时，

X Y X Y Y Z Y Z '''''

''''

，即知X ''与X '重合，亦即知O '⊙与1O ⊙重合．故1O ⊙也过点Q ．亦即1O ⊙，2O ⊙，3O ⊙有公共弦PQ ．

推论9 三个圆两两相交（或相切）有公共弦PQ （或公切点P ）时，过点P 的割线段PA ，PB 依次交三个圆于D ，E ，A ；C ，F ，B ．若点M ，N ，L 分别在线段DC ，EF ，AB

上，且满足DM EN AL

MC NF LB

，则M ，N ，L 三点共线．证明仅就图12-36的情形给出证明． K

P T

C F B

D E L Q

M L'

图12-36

设直线NM 交直线PA 于点T ，交BP 或延长线于点K ．

对PDC △及截线K T M ，对PEF △及截线KTN 分别应用梅涅劳斯定理，有1PT DM CK TD MC KP ??=；

高中数学解题八个思维模式和十个思维策略

高中数学解题八种思维模式和十种思维策略引言 “数学是思维的体操” “数学教学是数学(思维)活动的教学。” 学习数学应该看成是学习数学思维过程以及数学思维结果这二者的综合，因而可以说数学思维是动的数学，而数学知识本身是静的数学，这二者是辩证的统一。作为思维载体的数学语言简练准确和数学形式具有符号化、抽象化、结构化倾向。高中数学思维中的重要向题它可以包括: 高中数学思维的基本形式高中数学思维的一般方法高中数学中的重要思维模式高中数学解题常用的数学思维策略高中数学非逻辑思维(包括形象思维、直觉思维)问题研究; 高中数学思维的指向性(如定向思维、逆向思维、集中思维和发散思维等)研究; 高中数学思维能力评估：广阔性、深刻性、灵活性、敏捷性、批判性、创造性高中数学思维的基本形式从思维科学的角度分析，作为理性认识的人的个体思维题可以分成三种：逻辑思维、形象思维、直觉思维一数学逻辑思维的基本形式1、概念是逻辑思维的最基本的思维形式，数学概念间的逻辑关系，a同一关系b从属关系c交叉关系以及d对立关系e矛盾关系12、判断是逻辑思维在概念基础上的发展，它表现为对概念的性质或关系有所肯定或否定，是认识概念间联系的思维形式。3、推理是从一个或几个已知判断推出另一个新判断的思维形式，是对判断间的逻辑关系的认识。二数学形象思维的基本形式1图形表象是与外部几何图形的形状相一致的脑中示意图，2图式表象是与外部数学式子的结初关系相一致的模式形象。3形象识别直感是用数学表象这个类象（普遍形象）的特征去比较数学对象的个象，根据形象特征整合的相似性来判别个象是否与类象同质的思维形式。4模式补形直感是利用主体已在头脑中建构的数学表象模式1，对具有部分特征相同的数学对象进行表象补形，实施整合的思维形式。5形象相似直感是以形象识别直感和模式补形直感为基础基础的复合直感。6 象质转换直感是利用数学表象的变化或差异来判别数学在对象的质变或质异的形象特征判断。7图形

高中数学解题思想之分类讨论思想

分类讨论思想方法在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： ①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 ②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。 ③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。 Ⅰ、再现性题组： 1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A?B，那么a的范围是_____。 A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 00且a≠1，p＝log a (a3＋a＋1)，q＝log a (a2＋a＋1)，则p、q的大小关系是 _____。 A. p＝q B. pq D.当a>1时，p>q；当0

高中数学竞赛解题策略几何分册勃罗卡定理

第32章勃罗卡定理勃罗卡()Brocard 定理凸四边形ABCD 内接于O e ，延长AB 、DC 交于点E ．延长BC 、AD 交于点F ．AC 与BD 交于点G ．联结EF ，则OG EF ⊥．证法1如图321-，在射线EG 上取一点N ，使得N ，D ，C ，G 四点共圆（即取完全四边形ECDGAB 的密克尔点N ），从而B 、G 、N 、A 及E 、D 、N 、B 分别四点共圆．分别注意到点E 、G 对O e 的幂，O e 的半径为R ，则22EG EN EC ED OE R ?=?=-． 22EG GN BG GD R OG ?=?=-．以上两式相减得() 22222EG OE R R OG =---，即22222OE EG R OG -=-．同理，22222OF FG R OG -=-．又由上述两式，有2222OE EG OF FG -=-．于是，由定差幂线定理，知OG EF ⊥．证法2如图321-，注意到完全四边形的性质．在完全四边形ECDGAB 中，其密克尔点N 在直线EG 上，且ON EG ⊥，由此知N 为过点G 的O e 的弦的中点，亦即知O ，N ，F 三点共线，从而EN OF ⊥．同理，在完全四边形FDAGBC 中，其密克尔点L 在直线FG 上，且OL FG ⊥，亦有FL OE ⊥．于是，知G 为OEF △的垂心，故OG EF ⊥．证法3如图321-．注意到完全四边形的性质，在完全四边形ABECFD 中，其密克尔点M 在直线EF 上，且OM EF ⊥．联结BM 、CM 、DM 、OB 、OD ．此时，由密克尔点的性质，知E 、M 、C 、B 四点共圆，M 、F 、D 、C 四点共圆，即有BME BCE DCF DMF ∠=∠=∠=∠，从而9090BMO DMO DMF DCF ∠-∠=?-∠=?-∠ 11180909022BOD BOD BOD ??=?-∠-?=?-∠=∠ ??? ，即知点M 在OBD △的外接圆上．同理，知点M 也在OAC △的外接圆上，亦即知OM 为OBD e 与OAC e 的公共弦．由于三圆O e ，OBD e ，OAC e 两两相交，由根心定理，知其三条公共弦BD ，AC ，OM 共点于G ．即知O ，G ，M 共线，故OG EF ⊥．该定理有如下推论推论1凸四边形ABCD 内接于O e ，延长AB 、DC 交于点E ，延长BC 、AD 交于点F ，AC 与BD 交于点G ，直线OG 与直线EF 交于点M ，则M 为完全四边形ABECFD 的密克尔点．事实上，若设M '为完全四边形ABECFD 的密克尔点，则M '在EF 上，且OM EF '⊥．由勃罗卡定理，知OG EF ⊥，即OM EF ⊥．而过同一点只能作一条直线与已知直线垂直，从而OM 与OM '重合，即M 与M '重合．推论2凸四边形ABCD 内接于圆，延长AB 、DC 交于点E ，延长BC 、AD 交于点F ，AC 与BD 交于点G ，M 为完全四边形ABECFD 的密克尔点的充要条件是GM EF ⊥于M ．推论3凸四边形ABCD 内接于圆O ，延长AB 、DC 交于点E ，延长BC 、AD 交于点F ，AC 与BD 交于点G ，则G 为OEF △的垂心．事实上，由定理的证法2即得，或者由极点公式：22222EG OE OG R =+-，22222FG OF OG R =+-，22222EF OE OF R =+-两两相减，再由定差幂线定理即证．下面给出定理及推论的应用实例．例1（2001年北方数学邀请赛题）设圆内接四边形的两组对边的延长线分别交于点P ，Q ，两对角线交于点R ，则圆心O 恰为PQR △的垂心．

高中数学竞赛平面几何中的几个重要定理

平面几何中几个重要定理及其证明一、塞瓦定理 1．塞瓦定理及其证明定理：在?ABC 内一点P ，该点与?ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交?ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 三点均不是?ABC 的顶点，则有 1AD BE CF DB EC FA ??=．证明：运用面积比可得ADC ADP BDP BDC S S AD DB S S ????==．根据等比定理有 ADC ADC ADP APC ADP BDP BDC BDC BDP BPC S S S S S S S S S S ??????????-=== -，所以APC BPC S AD DB S ??=．同理可得APB APC S BE EC S ??=，BPC APB S CF FA S ??=．三式相乘得 1AD BE CF DB EC FA ??=．注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高” A B C D F P

还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”． 2．塞瓦定理的逆定理及其证明定理：在?ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F ，且D 、 E 、 F 均不是?ABC 的顶点，若1AD BE CF DB EC FA ??=，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点．证明：设直线AE 与直线BF 交于点P ，直线CP 交AB 于点D /，则据塞瓦定理有 / / 1AD BE CF D B EC FA ??=．因为 1AD BE CF DB EC FA ??=，所以有/ /AD AD DB D B =．由于点D 、D /都在线段AB 上，所以点D 与D /重合．即得D 、E 、F 三点共线．注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证．二、梅涅劳斯定理 A B C D E F P D /

高中数学解题方法大全

第一章高中数学解题基本方法一、配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy 项的二次曲线的平移变换等问题。配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a ＋b) ＝a ＋2ab ＋b ，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： a 2 ＋ b 2＝(a ＋b)2 －2ab ＝(a －b)2 ＋2ab ； a 2 ＋a b ＋b 2 ＝(a ＋b)2 －ab ＝(a －b)2 ＋3ab ； a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ＋ab ＋bc ＋ca ＝ 2 1[(a ＋b)2 ＋(b ＋c) 2＋(c ＋a) 2] a 2＋b 2＋c 2＝(a ＋b ＋c) 2－2(ab ＋bc ＋ca)＝(a ＋b －c)2 －2(ab －bc －ca)＝… 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 1＋sin2α＝1＋2sin αcos α＝（sin α＋cos α）； x ＋＝(x ＋ ) －2＝(x － ) ＋2 ；…… 等等。 Ⅰ、再现性题组： 1. 在正项等比数列{a }中，a ?a +2a ?a +a ?a =25，则 a ＋a ＝_______。 2. 方程x ＋y －4kx －2y ＋5k ＝0表示圆的充要条件是_____。 A. 1 C. k ∈R D. k ＝或k ＝1 3. 已知sin α＋cos α＝1，则sin α＋cos α的值为______。

高考数学思想方法汇总(80页)

高考数学思想方法前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化（化归）思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案…………………………………… 前言

美国著名数学教育家波利亚说过,掌握数学就意味着要善于解题.而当我们解题时遇到一个新问题,总想用熟悉的题型去“套”,这只是满足于解出来,只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时,才能提出新看法、巧解法.高考试题十分重视对于数学思想方法的考查,特别是突出考查能力的试题,其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法.我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题,形成能力,提高数学素质,使自己具有数学头脑和眼光. 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等. 数学思想方法与数学基础知识相比较,它有较高的地位和层次.数学知识是数学内容,可以用文字和符号来记录和描述,随着时间的推移,记忆力的减退,将来可能忘记.而数学思想方法则是一种数学意识,只能够领会和运用,属于思维的范畴,用以对数学问题的认识、处理和解决,掌握数学思想方法,不是受用一阵子,而是受用一辈子,即使数学知识忘记了,数学思想方法也还是对你起作用. 数学思想方法中,数学基本方法是数学思想的体现,是数学的行为,具有模式化与可操作性的特征,可以选用作为解题的具体手段.数学思想是数学的灵魂,它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得. 可以说,“知识”是基础,“方法”是手段,“思想”是深化,提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用,数学素质的综合体现就是“能力”. 为了帮助学生掌握解题的金钥匙,掌握解题的思想方法,本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法,再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想.最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题,并在附录部分提供了近几年的高考试卷. 在每节的内容中,先是对方法或者问题进行综合性的叙述,再以三种题组的形式出现.再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现,示范性题组进行详细的解答和分析,对方法和问题进行示范.巩固性题组旨在检查学习的效果,起到巩固的作用.每个题组中习题的选取,又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识. 第一章高中数学解题基本方法一、配方法

数学竞赛平面几何重要知识点绝对精华

数学竞赛平面几何重要知识点梅涅劳斯定理：设D 、E 、F 分别是ABC ?三边（或其延长线）上的三点，则D 、E 、F 三点共线的充要条件是1=??EA CE FC BF DB AD 。斯德瓦特定理：设P 是ABC ?的边BC 边上的任一点，则 BC PC BP AP BC AB PC AC BP ??+?=?+?222 西摩松定理：设P 是ABC ?外接圆上任一点，过P 向ABC ?的三边分别作垂线，设垂足为D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线。

6、共角定理：设ABC ?和C B A '''?中有一个角相等或互补（不妨设A=A '）则 C A B A AC AB S S C B A ABC ' '?''?='''?? 与圆有关的重要定理 4.四点共圆的主要判定定理（1）若∠1=∠2，则A 、B 、C 、D 四点共圆；（2）若∠EAB=∠BCD ，则A 、B 、C 、D 四点共圆；（3）若PA ?PC=PB ?PD ，则A 、B 、C 、D 四点共圆；三角形的五心三角形的三条中线共点，三条角平分线共点，三条高线共点，三条中垂线共点。三角形的垂心、重心、外心共线（欧拉线），并且重心把连结垂心和外心的线段分成2∶1的两段。三角形的外心和内心的距离)2(r R R d -=。此公式称为欧拉式，由此还得到r R 2≥。当且仅当△ABC 为正三角形时,d=0,此时R=2r.其中R 和r 分别是三角形外接圆半径和内切圆半径。与△的一边及另两边的延长线均相切的圆称为△的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心。

重要例题例1.设M 是任意ABC ?的边BC 上的中点，在AB 、AC 上分别取点E 、F,连EF 与AM 交于N ，求证：)(21AF AC AE AB AN AM +=（1978年辽宁省中学数学竞赛）例 2. 已知点O 在ABC ?内部，022=++OC OB OA .OCB ABC ??与的面积之比为_________________. 例3. 如图①，P 为△ABC 内一点，连接P A 、PB 、PC ，在△P AB 、△PBC 和△P AC 中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P 为△ABC 的自相似点． ⑴如图②，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ACB ＞∠A ，CD 是AB 上的中线，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，试说明E 是△ABC 的自相似点． ⑵在△ABC 中，∠A ＜∠B ＜∠C ． ①如图③，利用尺规作出△ABC 的自相似点P （写出作法并保留作图痕迹）； ②若△ABC 的内心P 是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．

高中数学解题思维策略

高中数学解题思维策略文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

第四讲数学思维的开拓性一、概述数学思维开拓性指的是对一个问题能从多方面考虑；对一个对象能从多种角度观察；对一个题目能想出多种不同的解法，即一题多解。 “数学是一个有机的整体，它的各个部分之间存在概念的亲缘关系。我们在学习每一分支时，注意了横向联系，把亲缘关系结成一张网，就可覆盖全部内容，使之融会贯通”，这里所说的横向联系，主要是靠一题多解来完成的。通过用不同的方法解决同一道数学题，既可以开拓解题思路，巩固所学知识；又可激发学习数学的兴趣和积极性，达到开发潜能，发展智力，提高能力的目的。从而培养创新精神和创造能力。在一题多解的训练中，我们要密切注意每种解法的特点，善于发现解题规律，从中发现最有意义的简捷解法。数学思维的开拓性主要体现在： (1)一题的多种解法例如已知复数z 满足1||=z ，求||i z -的最大值。我们可以考虑用下面几种方法来解决： ①运用复数的代数形式； ②运用复数的三角形式； ③运用复数的几何意义； ④运用复数模的性质（三角不等式）||||||||||||212121z z z z z z +≤-≤-； ⑤运用复数的模与共轭复数的关系z z z ?=2||； ⑥（数形结合）运用复数方程表示的几何图形，转化为两圆1||=z 与r i z =-||有公共点时，r 的最大值。 (2)一题的多种解释例如，函数式22 1ax y =可以有以下几种解释： ①可以看成自由落体公式.2 12gt s = ②可以看成动能公式.2 12mv E = ③可以看成热量公式.2 12RI Q = 又如“1”这个数字，它可以根据具体情况变成各种形式，使解题变得简捷。“1”可以变换为：x tg x a b x x x x a b a a 2222sec ),(log )(log ,cos sin ,,log -?+，等等。 1．思维训练实例例1 已知.1,12222=+=+y x b a 求证：.1≤+by ax 分析1 用比较法。本题只要证.0)(1≥+-by ax 为了同时利用两个已知条件，只需要观察到两式相加等于2便不难解决。

高中数学解题四大思想方法

思想方法一、函数与方程思想姓名：方法1 构造函数关系，利用函数性质解题班别：根据题设条件把所求的问题转化为对某一函数性质的讨论，从而使问题得到解决，称为构造函数解题。通过构造函数，利用函数的单调性解题，在解方程和证明不等式中最为广泛，解题思路简洁明快。例1 （10安徽）设232555322(),(),(),555 a b c ===则,,a b c 的大小关系是（） ....A a c b B a b c C c a b D b c a >>>>>>>> 例2 已知函数21()(1)ln , 1.2 f x x ax a x a =-+-> （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：若5,a <则对任意12121212 ()(),(0,),, 1.f x f x x x x x x x -∈+∞≠>--有方法2 选择主从变量，揭示函数关系含有多个变量的数学问题中，对变量的理解要选择更加合适的角度，先选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系，再利用函数性质解题。例3 对于满足04p ≤≤的实数p ，使2 43x px x p +>+-恒成立的x 的取值范围是 . 方法3 变函数为方程，求解函数性质实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式，我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题一般是通过方程来实现的……函数与方程是密切相关的。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。例4 函数()2)f x x π=≤≤的值域是（） 11111122.,.,.,.,44332233A B C D ????????----?????????? ??????

高中数学解题基本方法——换元法

高中数学解题基本方法——换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x ＝sin2α，α∈[0,π 2 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S 2 ＋t，y＝ S 2 －t等等。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0,π 2 ]。 Ⅰ、再现性题组： 1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。 2.设f(x2＋1)＝log a (4－x4) （a>1），则f(x)的值域是_______________。 3.已知数列{a n }中，a 1 ＝－1，a n+1 ·a n ＝a n+1 －a n ，则数列通项a n ＝___________。 4.设实数x、y满足x2＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。 5.方程13 13 + + -x x ＝3的解是_______________。 6.不等式log 2(2x－1) ·log 2 (2x+1－2)〈2的解集是_______________。

山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第25章九点圆定理汇总

第25章九点圆定理九点圆定理三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆．如图25-1，设ABC △三条高AD ，BE ，CF 的垂足分别为D 、E 、F ，三边BC 、CA 、AB 的中点分别为L 、M 、N ，又AH 、BH 、CH 的中点分别为P 、Q 、R ，则D 、E 、F 、L 、M 、N 、P 、O 、R 九点共圆． H O Q L R N M P F E D C B A 图25-1 证法1联结PQ ，QL ，LM ，MP ，则1 2 L M B A Q P ∥∥，即知L M P Q 为平行四边形，又LQ CH AB LM ⊥∥∥，知LMPQ 为矩形．从而L 、M 、P 、Q 四点共圆，且圆心V 为PL 与QM 的交点．同理，MNQR 为矩形，从而L 、M 、N 、P 、Q 、R 六点共圆，且PL ，QM ，NR 均为这个圆的直径．由90PDL QEM RFN ∠∠=∠=?=，知D ，E ，F 三点也在这个圆上，故D 、E 、F 、L 、M 、N 、P 、Q 、R 九点共圆．证法2如图25-1，由1 1801802NQD BQD BHD ∠=?-∠=?-∠，以及注意到DE 是N 与R 的公共弦，知 NR DE ⊥，有1 2 N R D D R E C ∠= ∠=∠，亦即180NRD EHD ∠=?-∠，从而知 ()360180NQD NRD BHD EHD ∠+∠=?-∠+∠=?．因此，N 、Q 、D 、R 四点共圆．同理，Q 、L 、D 、R 四点共圆．即知N 、Q 、L 、D 、R 五点共圆．同理，L 、D 、R 、M 、E 以及R 、M 、E 、P 、F ；E 、P 、F 、N 、Q ；F 、N 、Q 、L 、D 分别五点共圆．故D 、E 、F 、L 、M 、N 、P 、Q 、R 九点共圆．证法3如图25-1．联结PL 、PN 、PQ 、PF 、LQ 、LF 、QN 、FL ，则90PDL ∠=?．注意到PN BH ∥，NL AC ∥，BE AC ⊥，则PN NL ⊥，即90PNL ∠=?．又PQ AB ∥，QL CH ∥，而CH AB ⊥，则QL PQ ⊥，即90PQL ∠=?．注意到PF PH =，则PFH PHF CHD ∠∠∠==．由LF LC =，有CFL HCD ∠∠=．因90CHD HCD ∠+∠?=，则90PFL PFH CFL ∠∠+∠?==．同理，PM L ∠、PEL ∠、PRL ∠皆等于90?．即D 、N 、Q 、F 、M 、E 、R 各点皆在以PL 为直径的圆周上．故D 、E 、F 、L 、M 、N 、P 、Q 、R 九点共圆．证法4如图25-1，注意到LQHR 为平行四边形，QP BA ∥，RP CA ∥，则么180180QLR QHR A QPR ∠=∠?-∠?∠==-，即知L 、Q 、P 、R 四点共圆．又180180QDR QDH RDH QHD RHD QHR A QPR ∠∠+∠∠+∠∠?∠?-∠====-=（注意QP BA ∥，

高中数学知识点以及解题方法大全

前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化（化归）思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案…………………………………… 前言美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（第一章高中数学解题基本方法一、配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b) 2 ＝a 2 ＋2ab＋b 2 ，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： a 2 ＋b 2 ＝(a＋b) 2 －2ab＝(a－b) 2 ＋2ab； a 2 ＋ab＋b 2 ＝(a＋b) 2 －ab＝(a－b) 2 ＋3ab＝(a＋ b 2) 2 ＋（ 3 2b） 2 ； a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＋ab＋bc＋ca＝ 1 2[(a＋b) 2 ＋(b＋c) 2 ＋(c＋a) 2 ] a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＝(a＋b＋c) 2 －2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c) 2 －2(ab－bc－ca)＝… 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα） 2 ； x 2 ＋ 1 2 x＝(x＋ 1 x) 2 －2＝(x－ 1 x) 2 ＋2 ；……等等。 Ⅰ、再现性题组： 1. 在正项等比数列{a n}中，a1?a5+2a3?a5+a3?a7=25，则 a3＋a5＝_______。 2. 方程x 2 ＋y 2 －4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。 A. 1 41 C. k∈R D. k＝ 1 4或k＝1 3. 已知sin 4 α＋cos 4 α＝1，则sinα＋cosα的值为______。 A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0 4. 函数y＝log1 2 (－2x 2 ＋5x＋3)的单调递增区间是_____。 A. （－∞, 5 4] B. [ 5 4,+∞) C. (－ 1 2, 5 4] D. [ 5 4,3) 5. 已知方程x 2 +(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x 2 +y 2 =4上，则实数a＝_____。【简解】 1小题：利用等比数列性质a m p -a m p +＝a m 2 ，将已知等式左边后配方（a3＋a5） 2 易求。答案是：5。 2小题：配方成圆的标准方程形式(x－a) 2 ＋(y－b) 2 ＝r 2 ，解r 2 >0即可，选B。 3小题：已知等式经配方成(sin 2 α＋cos 2 α) 2 －2sin 2 αcos 2 α＝1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选C。 4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。 5小题：答案3－11。 Ⅱ、示范性题组：例1.已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。 A. 23 B. 14 C. 5 D. 6 【分析】先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z，则211 424 () () xy yz xz x y z ++= ++= ? ? ? ,而欲求对角线长x y z 222 ++，将其配凑成两已知式的组合形式可得。

高中数学解题思想方法技巧：西瓜开门滚到成功

第2 西瓜开门滚到成功 ●计名释义比起“芝麻”来，“西瓜”则不是一个“点”，而一个球. 因为它能够“滚”，所以靠“滚到成功”. 球能不断地变换碰撞面，在滚动中能选出有效的“触面”. 数学命题是二维的. 一是知识内容，二是思想方法. 基本的数学思想并不多，只有五种：①函数方程思想，②数形结合思想，③划分讨论思想，④等价交换思想，⑤特殊一般思想. 数学破题，不妨将这五种思想“滚动”一遍，总有一种思想方法能与题目对上号. ●典例示范［题1］ (2006年赣卷第5题) 对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f '(x )≥0，则必有 A. f (0)＋f (2)< 2f (1) B. f (0)＋f (2)≤2 f (1) C. f (0)＋f (2)≥ 2f (1) D. f (0)＋f (2)>2f (1) ［分析］用五种数学思想进行“滚动”，最容易找到感觉应是③：分类讨论思想. 这点在已条件(x -1)f ＇(x )≥0中暗示得极为显目. 其一，对f ＇(x )有大于、等于和小于0三种情况；其二，对x -1，也有大于、等于、小于0三种情况. 因此，本题破门，首先想到的是划分讨论. ［解一］ (i)若f ＇(x ) ≡ 0时，则f (x )为常数：此时选项B 、C 符合条件. (ii)若f ＇(x )不恒为0时. 则f ＇(x )≥0时有x ≥1，f (x )在[)∞,1上为增函数；f ＇(x )≤0时x ≤1. 即f (x )在(]1,-∞上为减函数. 此时，选项C 、D 符合条件. 综合(i)，(ii)，本题的正确答案为C. ［插语］考场上多见的错误是选D. 忽略了f ＇(x ) ≡ 0的可能. 以为(x-1)f ＇(x ) ≥0中等号成立的条件只是x -1=0，其实x-1=0与f ＇(x )=0的意义是不同的：前者只涉x 的一个值，即x =1，而后是对x 的所有可取值，有f ＇(x ) ≡ 0. ［再析］本题f (x )是种抽象函数，或者说是满足本题条件的一类函数的集合. 而选择支中，又是一些具体的函数值f (0)，f (1)，f (2). 因此容易使人联想到数学⑤：一般特殊思想. ［解二］ (i)若f ＇(x )=0，可设f (x )=１. 选项Ｂ、Ｃ符合条件. (ii)f ＇(x )≠0. 可设f (x ) =(x-1)2 又 f ＇(x )=2(x-1). 满足 (x-1) f ＇(x ) =2 (x-1)2≥0，而对 f (x )= (x-1)2. 有f (0)= f (2)=1，f (1)=0 选项C ，D 符合条件. 综合(i)，(ii)答案为C. ［插语］在这类 f (x )的函数中，我们找到了简单的特殊函数(x -1)2. 如果在同类中找到了(x -1)4 ，(x-1)3 4 ，自然要麻烦些. 由此看到，特殊化就是简单化. ［再析］本题以函数(及导数)为载体. 数学思想①——“函数方程(不等式)思想”. 贯穿始终，如由f '(x )= 0找最值点x =0，由f '(x )>0(<0)找单调区间，最后的问题是函数比大小的问题. 由于函数与图象相联，因此数形结合思想也容易想到. ［解三］ (i)若f (0)= f (1)= f (2)，即选B ，C ，则常数f (x ) = 1符合条件. (右图水平直线) (ii)若f (0)= f (2)< f (1)对应选项A.(右图上拱曲线)，但不满足条件(x -1)

高中数学19种答题方法及6种解题思想

高中数学19种答题方法及6种解题思想一．十九种数学解题方法 1.函数函数题目，先直接思考后建立三者的联系。首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。 2.方程或不等式如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法； 3.初等函数面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。如所过的定点，二次函数的对称轴或是……； 4.选择与填空中的不等式选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法； 5.参数的取值范围求参数的取值范围，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法； 6.恒成立问题恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏； 7.圆锥曲线问题圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择韦达定理公式法；使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式； 8.曲线方程求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定系数法，如果不知道曲线的形状，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简（注意去掉不符合条件的特殊点）； 9.离心率求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可； 10.三角函数三角函数求周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答；解三角形的题目，重视内角和定理的使用；与向量联系的题目，注意向量角的范围； 11.数列问题数列的题目与和有关，优选和通公式，优选作差的方法；注意归纳、猜想之后证明；猜想的方向是两种特殊数列；解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想； 12.立体几何问题立体几何第一问如果是为建系服务的，一定用传统做法完成，如果不是，可以从第一问开始就建系完成；注意向量角与线线角、线面角、面面角都不相同，熟练掌握它们之间的三角函数值的转化；锥体体积的计算注意系数1/3，而三角形面积的计算注意系数1/2 ；与球有关的题目也不得不防，注意连接“心心距”创造直角三角形解题； 13.导数导数的题目常规的一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或是前问中找到突破口，必要时应该放弃；重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上；

山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第12章 圆与圆相交(1)