解三角形复习

解三角形

一.正弦定理： 1.正弦定理：

R C

c B

b A

a 2sin sin sin ==

=

（其中R 是三角形外接圆的半径）

2.变形：①C B A c b a sin :sin :sin ::= ②角化边 C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2=== ③边化角 R

c C R

b B R

a A 2sin 2sin 2sin =

=

=

如：△ABC 中，①B b A a cos cos =

②B a A b cos cos =3.三角形内角平分线定理：

如图△ABC 中，AD 是A ∠

4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，a 无解；

②A b a sin =或b a ≥时，a 有一个解； ③b a A b <

如：①已知32,2,60===O b a A ,求B (有一个解)

②已知32,2,60===O a b A ,求B (有两个解) 注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。 二.三角形面积 1.B ac A bc C ab S ABC sin 2

1sin 2

1sin 2

1=

==

?

2. r c b a S ABC )(2

1++=

?,其中r 是三角形内切圆半径.

注:由面积公式求角时注意解的个数 三.余弦定理

1.余弦定理：)cos 1(2)(cos 22

2

2

2

A bc c b A bc c b a +-+=-+= )c o s 1(2)(c o s 22

2

2

2

B ac c a B ac c a b +-+=-+= )c o s 1(2)(c o s 22

2

2

2

C ab b a C ab b a c +-+=-+= 注：后面的变形常与韦达定理结合使用。

2.变形：bc

a

c b A 2cos 2

22-+=

ac b

c a B 2cos 2

2

2

-+=

ab

c

b a C 2cos 2

2

2

-+=

注意整体代入，如：2

1cos 222=?=-+B ac b c a

3.三角形中线：

△ABC 中， D 是BC 的中点，则2

2

2

22

1BC

AC AB

AD -+=

4.三角形的形状

①若2

2

2

c b a >+时,角C 是锐角 ②若22

2c b a =+时,

角C 是直角 ③若222c b

a <+时,角C 是钝角

如:锐角三角形的三边为x ,2,1,求x 的取值范围; 钝角三角形的三边为x ,2,1,求x 的取值范围; 5.应用

①用余弦定理求角时只有一个解 ②已知32,2,60===O b a A ,求边c

四.应用题

1.步骤：①由已知条件作出图形，②在图上标出已知量和要求的量；

③将实际问题转化为数学问题； ④答 2.注意方位角；俯角；仰角；张角；张角等

如：方位角是指北方向顺时针转到目标方向线的角。