新必修二 8.5空间直线、平面的平行(教案+练习)

8.5空间直线、平面的平行

【学习目标】

1.掌握直线与平面平行的判定定理；

2.掌握两平面平行的判定定理；

3．能熟练应用直线与平面、平面与平面平行的判定定理解决相关问题．

【要点梳理】

要点一、直线与直线平行

基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：//a b ，////b c a c ?.

基本事实4说明平行具有传递性，在平面、空间都适用.

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

要点二、直线和平面平行的判定

判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.简记为：线线平行，则线面平行.

图形语言：

符号语言：a α?、b α?，//a b //a α?.

要点诠释：

（1）用该定理判断直线a 与平面α平行时，必须具备三个条件：

①直线a 在平面α外，即a α?；

②直线b 在平面α内，即b α?；

③直线a ，b 平行，即a ∥b ．

这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立．

（2）定理的作用

将直线和平面平行的判定转化为直线与直线平行的判定，也就是说，要证明一条直线和一个平面平行，只要在平面内找一条直线与已知直线平行即可．

要点三、直线和平面平行的性质定理

定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简记为：线面平行则线线平行.

符号语言：若//a α，a β?，b αβ=I ，则//a b .

图形语言：

要点诠释：

直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”．可以用符号表示：若a ∥α，

αβ?，，则a ∥b ．这个性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理，用该定理判断直线a 与b 平行

时，必须具备三个条件：

（1）直线a 和平面α平行，即a ∥α；

（2）平面α和β相交，即b αβ=I ；

（3）直线a 在平面β内，即a β?．

三个条件缺一不可，在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内一切直线”的错误．

要点四、两平面平行的判定

判定定理：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.

图形语言：

符号语言：若a α?、b α?，，且//a β、//b β，则//αβ.

要点诠释：

（1）定理中平行于同一个平面的两条直线必须是相交的．

（2）定理充分体现了等价转化的思想，即把面面平行转化为线面平行，可概述为：线面平行?面面平行．

要点五、平面和平面平行的性质定理

定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.

符号语言：若//αβ，a αγ=I ，b βγ=I ，则//a b .

图形语言：

要点诠释：

（1）面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理．

（2）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线（否则将导致这两个平面有公共点）．

要点六、平行关系的综合转化

空间中的平行关系有线线平行、线面平行、面面平行．这三种关系不是孤立的，而是互相联系的．它们之间的转化关系如下：

证明平行关系的综合问题需灵活运用三种平行关系的定义、判定定理、性质定理．

有关线面、面面平行的判定与性质，可按下面的口诀去记忆：

空间之中两直线，平行相交和异面．

线线平行同方向，等角定理进空间．

判断线和面平行，面中找条平行线；

已知线和面平行，过线作面找交线．

要证面和面平行，面中找出两交线．

线面平行若成立，面面平行不用看．

已知面与面平行，线面平行是必然．

若与三面都相交，则得两条平行线．

【典型例题】

类型一、直线与直线平行

例1．如右图所示，在空间四边形ABCD （不共面的四边形称为空间四边形）中，E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 的中点．

（1）求证：四边形EFGH 是平行四边形；

（2）如果AC=BD ，求证：四边形EFGH 是菱形．

例2．如右图所示，△ABC 和△'''A B C 的对应顶点的连线AA ＇，BB ＇，CC ＇交于同

一点D ，且2'''3

AO BO CO OA OB OC ===．（1）求证：//''AB A B ，//''AC A C ，//''BC B C ； （2）求

'''ABC A B C S S ??的值．

【总结升华】“等角定理”是平面几何中等角定理的类比推广，但平面几何中的“如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等或互补”推广到空间中就不成立．因此，我们必须慎重地类比推广平面几何中的相关结论．

在运用“等角定理”判定两个角是相等还是互补的途径有二：一是判定两个角的方向是否相同，若相同则必相等，若相反则必互补；二是判定这两个角是否均为锐角或均为钝角，若均是则相等，若不均是则互补．

举一反三：

【变式1】 已知E 、E 1分别是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱AD 、A 1D 1的中点．

求证：∠BEC=∠B 1E 1C 1．

类型二、直线与平面平行的判定

例3．已知AB ，BC ，CD 是不在同一平面内的三条线段，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，CD 的中点，求证：AC//平面EFG ， BD//平面EFG ．

【总结升华】由线面平行的判定定理判定直线与平面平行的顺序是：（1）在平面内寻找直线的平行线；（2）证明这两条直线平行；（3）由判定定理得出结论．

例4．已知有公共边AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不在同一个平面内，P 、Q 分别为对角线AE 、BD 上的点，且AP=DQ ，如右图．求证：PQ ∥平面CBE ．

【总结升华】证线面平行，需证线线平行，寻找平行线是解决此类问题的关键．

举一反三：

【变式1】在正方体1111ABCD A B C D 中，1O 是正方形1111A B C D 的中心，求证：1//AO 面1BC D ．

【变式2】 已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 、F 分别为AB 、PD 的中点，求证：AF ∥平面PEC.

【总结升华】要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了．注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用．

【变式3】如右图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB，PC的中点．

（1）证明：EF∥平面PAD；

（2）求三棱锥E—ABC的体积V．

类型三：直线与平面平行的性质定理

例5．四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP 作平面交平面BDM于GH．求证：AP∥GH．

【总结升华】利用线面平行的性质定理解题的步骤：（1）确定（或寻找）一条直线平行于一个平面；（2）确定（或寻找）过这条直线且与这个平面相交的平面；（3）确定交线；（4）由定理得出结论．

例6．如图所示，已知异面直线AB、CD都平行于平面α，且AB、CD在α的两侧，若AC、BD与α分别交于

M、N两点，求证：AM BN MC ND

=．

【总结升华】利用线面平行的性质定理，可以把有的立体问题转化为平面内的平行问题，利用平行线截割定理，可以解决有关线段成比例或三角形的面积比等问题．

在应用线面平行的性质定理时，应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线还需作出辅助平面，本例通过连接AD作出平面ACD与平面ABD，得到交线MQ和NQ．

举一反三：

【变式1】已知直线a∥平面α，直线a∥平面β，平面α平面β=b，求证//

a b．

类型四、平面与平面平行的判定

例7．如右图，已知正方体ABC D —A 1B 1C 1D 1，求证：平面AB 1D 1∥平面BDC 1．

【总结升华】利用面面平行的判定定理判定两个平面平行的程序是：（1）在第一个平面内找出（或作出）两条平行于第二个平面的直线；（2）说明这两条直线是相交直线；（3）由判定定理得出结论．

例8．如右图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、B 1C 1、

C 1

D 1的中点．求证：平面AMN ∥平面EFDB ．

【总结升华】应用判定定理时，一定要注意“两条相交直线”这一关键性条件，问题最终转化为证明直线和直线的平行．

举一反三：

【变式1】点P 是△ABC 所在平面外一点，123,,G G G 分别是△PBC ，△APC ，△ABP 的重心，求证：面123//G G G 面ABC .

【变式2】 如右图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，点D ，E 分别是BC 与B 1C 1的中点．

求证：平面A 1EB ∥平面ADC 1．

【变式3】 已知在正方体''''ABCD A B C D -中 ，M ，N 分别是''A D ，''A B 的中点，在该正方体中作出过顶点且与平面AMN 平行的平面，并证明你的结论．

类型五：平面与平面平行的性质定理

例9．已知：平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l ，m 分别与平面α，β，γ相交

于点A ，B ，C 和点D ，E ，F （如图）．求证：AB DE BC EF =．

【总结升华】利用面面平行的性质定理判定两线平行的程序是：（1）先找两个平面，使这两个平面分别经过这两线中的一条；（2）判定这两个平面平行；（3）再找一个平面，使这两条直线都在这个平面内；（4）由定理得出结论．

举一反三：

【变式1】 已知面α∥平面β，点A ，C ∈α，点B ，D ∈β，直线AB ，CD 交于点S ，且SA=8，SB=9，CD=34．（1）若点S 在平面α，β之间，则SC=________；（2）若点S 不在平面α，β之间，则SC=________． 例10．如图所示，平面α∥平面β，A ，C ∈α，D ∈β，点E ，F 分别在线段AB ，

CD 上，且

AE CF EB FD

=．求证：EF ∥β．

【总结升华】（1）面面平行的性质定理的应用问题，往往涉及面面平行的判定、线面平行的判定与性质的综合运用．解题时，要准确地找到解题的切入点，灵活地运用相关定理来解决问题．如在本例的第二种情况：面面平行→线线平行→平行四边形→线面平行→面面平行→线面平行．

（2）由面面平行的定义可知，一个面内任意一条直线与另一个平行平面都没有交点，因而有面面平行的一个重要性质：两个平行平面中的一个平面内任意一条直线必平行另一个平面，如本例（2）中由平面EFG

∥β得出EF∥β，便是这一性质的灵活运用．

举一反三：

【变式1】四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，点E在PD上，且PE∶ED=2∶1，问在棱PC上能否找到一点F，使BF∥平面AEC？试说明你的看法．

类型六：线面平行的判定与性质的综合应用

例11．如图所示，已知平面α∥平面β，AB与CD是两条异面直线，且AB?α，CD?β．如

果E，F，G分别是AC，CB，BD的中点，求证：平面EFG∥α∥β．

【总结升华】（1）要善于对线线、线面平行的概念、判定和性质进行类比、探索、总结，特别要注意相互转化，使之统一．（2）要能够灵活地作出辅助线和辅助平面来解题，在作辅助线和辅助平面时，必须有理论依据，也就是要以某一定理为依据，切忌主观臆断，随意地作辅助线、辅助平面．

举一反三：

【变式1】如图所示，已知点P是Y ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PBC∩平面APD=l．（1）求证：l∥BC；

（2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．

判定【巩固练习】 1．下列说法中正确的是（ ）

A ．如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行

B ．如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行

C ．如果一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行

D ．如果两个平面平行于同一直线，则这两个平面平行

3．已知m ，n 是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，给出下列三个命题：

①////m m n n ββ?????；②//m n n m ββ

????与异面与相交；③//////m n m n αα????。

其中正确命题的个数是（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

4．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是( )

A ．α、β都平行于直线l

B ．α内存在不共线的三点到β的距离相等

C ．l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥β

D ．l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β

5．下列四个正方体图形中，,A B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别是

为其所在棱的中点，能得出//AB MNP 平面的图形的序号是( )

A.①③

B.①④

C.②③

D.②④( )

6．已知平面α，β和直线,,a b c ，给出下列条件：

①//,//a c b c ；②//,//,//a b αβαβ；③,,//a b αβαβ??。其中可以使结论//a b 成立的条件有（ ）

A.①②

B. ②③

C. ①③

D. ①

7．过已知直线外一点与已知直线平行的直线有 条；过平面外一点与已知平面平行的直线有 条，与已知平面平行的平面有 个。

8．当//,//αβγβ，则α与γ的关系是 。

9．①若平面α内有一条直线平行于另一个平面β，则//αβ；②若平面α内有两条直线平行于另一个平面β，则//αβ；③若平面α内有无数条直线平行于另一个平面β，则//αβ；④若平面α内任意一条直线平行于另一个平面β，则//αβ；⑤若平面α内两条相交直线平行于另一个平面β，则//αβ。

以上命题正确的是________．

10．AB 、BC 、CD 是不在同一平面内的三条线段，经过它们中点的平面和AC 的位置关系是________，和BD 的位置关系是________。

三、解答题

11．如右图，P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，Q 是PA 的中点．求证：PC ∥平面BDQ ．

12．如右图，P 为梯形ABCD 所在平面外一点，CD //2AB ，E 为PC 的中点。求

证：BE ∥平面PAD 。

13． 在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A C 上任意一点。

（1）求证：//DP 平面1AB C ；（2）求证：平面11AB D //平面1C BD .

14．两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB ，且AM=FN ，过M 作MH ⊥AB 于H. 求证：MN ∥平面BCE ．

性质【巩固练习】

1．如果直线a ∥平面α，则（ ）

A ．平面α内有且只有一条直线与a 平行

B ．平面α内有无数条直线与a 平行

C ．平面α内不存在与a 平行的直线

D ．平面α内的任意直线与a 都平行

2．由下列条件不一定得到平面α∥平面β的是（ ）

A ．α内有两条相交直线分别平行于β

B ．α内任何一条直线都平行于β

C ．α内有无数条直线平行于β

D ．α内的两条相交直线分别平行于β内的两条相交直线

3．若AB 、BC 、CD 是不在同一平面内的三条线段，则过它们中点的平面和直线AC 的位置关系是（ ）

A ．平行

B ．相交

C ．AC 在此平面内

D ．平行或相交

4．以下命题（其中,a b 表示直线，α表示平面）

①若//,a b b α?，则//a α；②若//,//a b αα，则//a b ；③若//a b ，//b α，则//a α；④若//a α，b α?，则//a b 。其中正确命题的个数是（ ）

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

5．如果点M 是两条异面直线外的一点，则过点M 且与a 、b 都平行的平面( )

A ．只有一个

B ．恰有两个

C ．或没有，或只有一个

D ．有无数个

6．已知m 、n 表示两条直线，α、β、γ表示平面，对此有下列命题：

①若m αβ=I ，且m ∥n ，则//γβ；②若m 、n 相交且都在α、β外，//m α，//m β，//n α，//n β，则//αβ；③若l αβ=I ，//m α，//m β，//n α，//n β，则m ∥n ；④若//m α，//n α，则m ∥n 。 其中真命题有（ ）

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

7．以下命题中正确的是（ ）

A ．在一个平面内有两个点，到另一个平面的距离都是(0)d d >，则这两个平面平行。

B ．在一个平面内有不共线的三个点，到另一个平面的距离都是(0)d d >，则这两个平面平行。

C ．在一个平面内有无数个点，到另一个平面的距离都是(0)d d >，则这两个平面平行。

D ．在一个平面内的任意一点，到另一个平面的距离都是(0)d d >，则这两个平面平行。

8．如图，若Ω是长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1后得到

的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH ∥

A 1D 1，则下列结论中不正确的是（ ）

A ．EH ∥FG

B ．四边形EFGH 是矩形

C ．Ω是棱柱

D ．Ω是棱台

9．已知直线m 、n 及平面α、β有下列关系：①m 、n β?；②n α?；③//m α；④

m ∥n ，现把其中一些关系看作条件，另一些看作结论，组成一个真命题________。

10．P 是Y ABCD 所在平面外一点，Q 是PA 的中点，则直线PC 和平面BDQ 的位置关系为________。

11．如下图，a ∥α，A 是α的另一侧的点，B 、C 、D ∈a ，线段AB 、AC 、AD 分别交α于E 、F 、G 。若BD=4，CF=4，AF=5，则EG=________。

12．如上图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是对角线A 1D 、B 1D 1的中点，

则正方体6个面中与直线EF 平行的平面是________。

13．如图，直线PQ 分别和平行平面,αβ交于,A B 两点，,PD QF 分别和平面,αβ

交于,,,C D E F ,若9,12,16,72,AFC PA AB QB S ?====求BDE S ?.

14．如右图，直线AB 和CD 是异面直线，AB ∥α，CD ∥α，AC I α=M ，

BD I α=N ，求证：AM BN MC ND

=．

15．已知点P 是?ABC 所在平面外一点，A '、B '、C '分别是PBC ?、PCA ?、PAB ?的重心.求证：

(1)平面A B C '''∥平面ABC ；

(2)求'':A B AB ．