高二期末考试数学试题及答案(文科)

第一学期期末考试高二数学试题

一选择题

1．椭圆136

1002

2=+y x 的焦距等于（ ）． A ．20

B ．16

C ．12

D ．8

2．某企业为了监控产品质量，从产品流转均匀的生产线上每间隔10分钟抽取一个样本进行检测，这种抽样方法是（ ）．

A ．抽签法

B ．随机数表法

C ．系统抽样法

D ．分层抽样法

3．已知函数()2x

f x =，则'()f x =（ ）．

A ．2x

B ．2ln 2x

? C ．2ln 2x

+ D ．2ln 2

x

4.已知点F 是抛物线24y x =的焦点，点P 在该抛物线上，且点P 的横坐标是2， 则||PF =（ ）．

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5 5.已知事件A 与事件B 发生的概率分别为()P A 、()P B ，有下列命题：

①若A 为必然事件，则()1P A =． ②若A 与B 互斥，则()()1P A P B +=． ③若A 与B 互斥，则()()()P A B P A P B ?=+．

其中真命题有（ ）个．A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

6．“0a >”是“方程2y ax =表示的曲线为抛物线”的（ ）条件．

A ．充分不必要

B ．必要不充分

C ．充要

D ．既不充分也不必要 7．命题“2

,210x R x ?∈+>”的否定是( )．

A ．2

,210x R x ?∈+≤ B ．200,210x R x ?∈+>

C ．200,210x R x ?∈+≤

D ．200,210x R x ?∈+< 8．函数32y x x x =--的单调递增区间为( ) ．

A ．[)1,1+3??-∞-∞ ??

?和， B ．113??-??

??

C ．[)1,1+3??-∞-?∞ ??

?， D ．113

??-???

?

，

9．执行右边的程序框图，如果输入5a =， 那么输出=n (

)．

A ．2

B ．

3 C ．4

D ．5

10．已知椭圆

22

2

19

x y b +=(03)b <<，左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，若22||||AF BF +的最大值为8，则b 的值是（ ）． A ． B C D

二、填空题：(本大题共4题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答卷相应位置上．)

11的渐近线方程为 ．

12．样本2-，1-，0，1，2的方差为 ．

13．某城市近10年居民的年收入x 与支出y 之间的关系大致符合0.90.2y x =+（单位：亿元），预计今年该城市居民年收入为20亿元，则年支出估计是 亿元． 14．函数32()31f x x x =+-在1x =-处的切线方程是 ． 三、解答题：(本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15．（本小题满分12分）

某社团组织20名志愿者利用周末和节假日参加社会公益活动，志愿者中，年龄在20至40岁的有12人，年龄大于40岁的有8人．

（1）在志愿者中用分层抽样方法随机抽取5名，年龄大于40岁的应该抽取几名? （2）上述抽取的5名志愿者中任取2名，求取出的2人中恰有1人年龄大于40岁的

概率．

16．（本小题满分12分）已知22x -≤≤，22y -≤≤，点P 的坐标为(,)x y ．

（1）求当,x y R ∈时，点P 满足22(2)(2)4x y -+-≤的概率； （2）求当,x y Z ∈时，点P 满足22(2)(2)4x y -+-≤的概率． 17．（本小题满分14分）

设命题p ：实数x 满足22

430x ax a -+<，其中0a >；

命题q ：实数x 满足2

560x x -+≤；

（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．

18．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1

x y C a b +=(0)a b >>

的离心率为，直线:2l y x =+与圆222x y b +=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 的交

点为,A B ，求弦长||AB ．

19．（本小题满分14分）已知3

()f x ax bx c =++图象过点

1

(0,)

3-，且在1x =处的切线方程是31y x =--．

（1）求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =在区间[]3,3-上的最大值和最小值． 20．（本小题满分14分）

已知动直线l 与椭圆C ：22

132

x y +

=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两个不同的点，且△OPQ 的面积OPQ S ?

O 为坐标原点．

（1）证明2212x x +和2212y y +均为定值；

（2）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ?的最大值；

（3）椭圆C 上是否存在点,,D E G ，使得2

ODE ODG OEG S S S ???===

？ 若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由．

高二数学试题答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

三、解答题：(本大题共6题，满分80．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15．（本小题满分12分）

解：(1)若在志愿者中随机抽取5名，则抽取比例为

51

204

=………………………2分 ∴年龄大于40岁的应该抽取1

824

?

=人. ……………………………4分 (2)上述抽取的5名志愿者中，年龄在20至40岁的有3人，记为1,2,3

年龄大于40岁的有2人，记为4,5，……………………………………………6分 从中任取2名，所有可能的基本事件为：

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)(3,4),(3,5),(4,5)，共10种，…8分

其中恰有1人年龄大于40岁的事件有

(1,4),(1,5),(2,4),(2,5)(3,4),(3,5)，共6种，………………………………10分

∴恰有1人年龄大于40岁的概率63

105

P =

=.…………………………………12分 16．（本小题满分12分）

解：（1）点P 所在的区域为正方形ABCD 的内部（含边界），……………（1分）

满足2

2(2)

(2)4x y -+-≤的点的区域为以(2,2)为圆心，

2为半径的圆面（含边界）． ……………………（3分）∴所求的概率

211

244416

P ππ?=

=?． …………………………（5分） （2）满足,x y ∈Z ，且22x -≤

≤，22y -≤≤的整点有25个 …………（8分）

满足,x y ∈Z ，且2

2(2)(2)4x y -+-≤的整点有6个，……………（11分）

∴所求的概率26

25

P =

． ………………………………（12分） 17．（本小题满分

14

分）解

(1)由

22430x ax a -+<得

(3)()0x a x a -?-<..................................1分又0a >，所以3a x a <<， (2)

分

当1a =时，13x <<，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是13x <<……4分

由2

560x

x -+≤得23x ≤≤.

所以q 为真时实数x 的取值范围是23x ≤≤.…………………………………6分

若

p q ∧为真，则23x ≤<，所以实数x 的取值范围是[)2,3．……………8分

(2) 设{}|3A x a x a =

<<，{}|23B x x =≤≤q 是p 的充分不必要条件，则B A ?

所以02

1233a a a <

>?

，所以实数a 的取值范围是()1,2．………14分

18．（本小题满分12分）解：（1）又由直线:2l y x =+与圆222

x y b +=

相切得

b =

=， (2)

分由3e =

3a == （2）22

22123(2)6032

2x y x x y x ?+

=??++-=??=+?

251260x x ?++=…………8分 21245624?=-??=，设交点,A B 坐标分别为()()1122,,,x y x y ………9分

则1212126,,55x x x x +=-?=

从而||5AB ==

所以弦长|

|AB =

14分 19．（本小题满分14分）解：（1）

11

(0)33f c =-?=-

， (2)

'()3f x ax b =+，∴

()2

'(1)31f a b

=+，∴33a b +=-…………3分

又∵切点为(1,4)-，∴1

(1)43

f a b =+-=-………………………5分

联立可得1

,43a

b ==- （2）

311

()433

f x x x =--2'()4f x x ?=-，

令

2'()0402

f x x x =?-=?=±，令

2'()

0402f x x x >?-

>?<

-或2x >，

令

2'()04022f x x x

………12分

由上表知，在区间

[]

3,3-上，当

2

x =-时，

m a x (2)5y f =-=

当2

x =时，

m i n 17

(2)3

y f ==-

………………14分

20．（本小题满分14解：（1）当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称，所以2121,.x x y y ==-

因为11(,)P x y 在椭圆上，因此22

11132

x y += ①

又因为OPQ

S ?=

所以11||||x y ?= ②

由①、②得11|

|| 1.x y =

=此时2222

12123,2,x x y y +=+=…………… 2分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为

,y kx m =+

由题意知0m ≠，将其代入22

132

x y +=，得222(23)63(2)0k x kmx m +++-=， 其中2

2223612(23)(2)0,k

m k m ?=-+->即2232k m +>…（*）

又2121222

63(2),,2323km m x x x x k k -+=-

=++

所以||PQ ==

因为点O 到直线l 的距离为

d =

所以1||

2OPQ

S PQ d ?=?=

=

又OPQ

S ?=

整理得22322,k m +=且符合（*）式， 此时22

22

21

2

121222

63(2)

()2()23,2323km m x x x x x x k k

-+=+-=--?=++ 22

2222

121212222(3)(3)4() 2.333

y y x x x x +=

-+-=-+= 综上所述，2

222

1

2123;2,x x y y +=+=结论成立。……………………… 5分

（2）解法一：

（1）当直线l 的斜率存在时，由（I

）知11|||||2||2,OM

x PQ y ==

==

因此||||2OM PQ ?=

=……………………………………… 6分 （2）当直线l 的斜率存在时，由（I ）知

123,22x x k

m

+= 2221212222

2212122222

22

2222222

332(),2222916211||()()(3),2244224(32)2(21)1||(1)2(2),(23)y y x x k k m k m m m m m

x x y y k m OM m m m m k m m PQ k k m m

++-+1

=+=-+==++-=+=+==-+-+=+==++

所以2222111

||||(3)2(2)2OM

PQ m m

?=

?-??+ 22

22211321125(3)(2)().24m m m m -++=-+≤= 所以5||||2OM PQ ?≤

，当且仅当2211

32,m m m

-=+=即.

综合（1）（2）得||||OM PQ ?的最大值为5

.2

………………………………… 9分

解法二：因为222222*********||||()()()()OM

PQ x x y y x x y y +=++++-+-

2222

12122[()()]

10.

x x y y =+++=

所以224||||10

2|||| 5.25

OM PQ OM PQ +?≤

== 即5

||||,2

OM

PQ ?≤

当且仅当2||||OM PQ == 因此||||OM PQ ?的最大值为5

.2

………………………………………………… 9分

（3）椭圆C 上不存在三点D ，E ，G

，使得ODE ODG OEG S S S ???===

… 10分