高等数学(专科)-试题库
《高等数学》课程复习资料
一、填空题： 1.函数1
1
42-+
-=
x x y 的定义域是______。 2.若函数52)1(2
-+=+x x x f ，则=)(x f ______。 3.sin lim
x x x
x
→∞-=______。
4.已知22lim 2
22=--++→x x b
ax x x ，则=a ______，=b ______。 5.已知∞=---→)
1)((lim
0x a x b
e x x ，则=a ______，=b ______。 6.函数?????≥+<=0
1
01sin
)(x x x x
x x f 的间断点是x =______。
7.设()()()n x x x x y -??--= 21, 则()
=+1n y
______。
8.2
)(x x f =，则(()1)______f f x '+=。
9.函数)
1ln(4222
y x y x z ---=的定义域为______。
10.已知2
2
),(xy y x y x y x f +=-+,则=),(y x f ______。 11.设2
2),(y x x
xy y x f ++
=，则=')1,0(x f ______，=')1,0(y f ______。
12.设2
3
sin ,cos ,z x y x t y t =+==,则
t
z
d d ＝______。 13.
=??
dx x f d d dx d
)(______。 14.设)(x f 是连续函数，且x dt t f x =?
-1
3)(，则=)7(f ______。
15.若
2
1
d e 0
=
?
∞
+-x kx ，则______k =。 16.设函数f(x,y)连续，且满足??
+=D
y d y x f x
y x f 2),(),(σ，
其中,:2
22a y x D ≤+则f(x,y)=______。
17.求曲线2
,42
2ay
x ax y =
=所围成图形的面积为______。（a>0） 18.设?-+=2
2 42cos 1sin π
πxdx x x M ，?-+=2 2 43)cos (sin π
πdx x x N ，?-
-=2 2
432)cos sin (π
πdx x x x P ，则有______。
A.M P N <<
B.N P M <<
C.P M N <<
D.N M P << 19.()02
='-''y y 的满足初始条件()()4
1
1,1211='=
y y 的特解为______。 20.微分方程03='-''y y 的通解为______。 21.微分方程0136=+'+''y y y 的通解为______。 22.设n 阶方阵A 满足|A|=3，则=|1-*7-2A A |=______。
23.1
11
1
11
1
1
x ---是关于x 的一次多项式，则该多项式的一次项系数是______。
24.f (x )=312514
x
x x
是______次多项式，其一次项的系数是______。
25.A 、B 、C 代表三事件，事件“A 、B 、C 至少有二个发生”可表示为______。 26.事件A 、B 相互独立，且知()()0.2,0.5P A P B ==则()P A
B =______。
27.A ，B 二个事件互不相容，()()0.8,0.1,P A P B ==则()P A B -=______。
28.对同一目标进行三次独立地射击，第一、二、三次射击的命中率分别为0.4,0.5,0.7,则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为______。
29.已知事件 A 、B 的概率分别为P （A ）＝0.7，P （B ）＝0.6，且P （AB ）＝0.4， 则P （A B ）＝______；P （A B －）＝______。
30.若随机事件A 和B 都不发生的概率为p ，则A 和B 至少有一个发生的概率为______。
二、单项选择题：
1.函数)1,0(1
1
)(≠>+-=a a a a x x f x
x [ ] A.是奇函数 B.是偶函数 C.既奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数 2.若函数2
2
1
)1(x x x
x f +
=+，则=)(x f [ ] A.2
x B. 22
-x C.2
)1(-x D. 12
-x
3.设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f = [ ] A ． x B ．x + 1 C ．x + 2 D ．x + 3
4.已知0)1
(
lim 2
=--+∞→b ax x x x ，其中a ，b 是常数，则 [ ] A.1,1==b a B.1,1=-=b a C.1,1-==b a D.1,1-=-=b a 5.下列函数在指定的变化过程中，（ ）是无穷小量。 [ ] A. e 1
x
x ,
()→∞ B.
sin ,()x
x x →∞
C. ln(),()11+→x x
D. x x x +-→11
0,()
6.下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是 [ ] A.)(1
sin
∞→=x x x y B.())(1∞→=-n n y n C.)0(ln +→=x x y D.)0(1cos 1→=x x
x y 7.设?????
≤>=0
,0
,1sin )(x x x x
x x f ，则)(x f 在0=x 处 [ ] A.连续且可导 B.连续但不可导 C.不连续但可导 D.既不连续又不可导 8.曲线x x y -=3
在点（1，0）处的切线是 [ ] A. 22-=x y B. 22+-=x y C. 22+=x y D. 22--=x y 9.已知4
4
1x y =
，则y ''= [ ] A. 3
x B. 2
3x C. x 6 D. 6
10.若x x
f =)1(，则=')(x f [ ]
A.x 1
B.21x
C.x 1
- D.2
1x -
11.2
2ln y x z -=的定义域为 [ ]
A. 122≥-y x
B. 022≥-y x
C. 122>-y x
D.
02
2>-y x 12.下列极限存在的是 [ ]
A. y x x y x +→→00lim
B. y x y x +→→1lim 00
C. y x x y x +→→20
0lim D. y x x y x +→→1sin lim 00 13.若))(()(+∞<<-∞=-x x f x f ，在),0(,0)(,0)()0,(+∞<''>'-∞则在内x f x f 内 [ ]
A. 0)(,0)(<''>'x f x f
B.0)(,0)(>''>'x f x f
C.0)(,0)(<''<'x f x f
D.0)(,0)(>''<'x f x f
14.设)(x f 为奇函数，且0>x 时0)(>'x f ，则)(x f 在]1,10[--上的最大值为 [ ] A. )10(-f B. )1(-f C. )10(f D. )1(f
15.函数2
2
)(4),,(y x y x z y x f ---= [ ] A.有极大值8 B.有极小值8 C.无极值 D.有无极值不确定 16.设的值则为周期的连续函数是以?
+=
T
a a
dx x f I T x f )(,)( [ ]
A.依赖于T a ,
B.依赖于x T a 和,
C.依赖于x T ,，不依赖于a
D.依赖于T ，不依赖于a
17.曲线)0( sin 2
3
π≤≤=x x y 与x 轴围成的图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为 [ ] A.
34 B.π34 C.23
2π D.π32 18.设?-+=2
2 42cos 1sin ππxdx x x M ，?-+=2 2 43)cos (sin ππdx x x N ，?-
-=2 2
432)cos sin (π
πdx x x x P ，[ ] A.M P N << B.N P M << C.P M N << D.N M P <<
19.下列不定积分中，常用分部积分法的是 [ ]
A ．x x x d sin 2
? B ．x x x d )12sin(?+ C ．x x
x
d ln ? D ．x x
x
d 1?
+ 20.设dxdy y x
I y x 3
124
2
)1(22--=
??≤+，则必有 [ ]
A. I>0
B. I<0
C. I=0
D. I ≠0的符号位不能确定 21.设f(t)是可微函数，且f(0)=1，则极限（dxdy y x f t t y x t )(
1lim 2
22223
??≤+→++
π） [ ]
A.等于0
B.等于)
0('32
f C.等于+∞ D.不存在且非∞
22.设函数项级数
∑∞
=1
)(n n
x u
，下列结论中正确的是 [ ]
A.若函数列
{})(x u n 定义在区间I 上，则区间I 为此级数的收敛区间
B.若)(x S 为此级数的和函数，则余项)()()(x S x S x r n n -=，0)(lim =∞→x r n n
C.若I
x ∈0使∑∞
=1
0)
(n n
x u
收敛，则
|
|||0x x <所有x 都使∑∞
=1
)
(n n
x u
收敛
D.若)(x S 为此级数的和函数，则
∑∞
=1
0)(n n
x u
必收敛于)(0x S
23.设0>a 为常数，则级数
)cos 1()1(1
n a n n
--∑∞
= [ ] A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.敛散性与a 有关
24.若级数∑∞
=--1
)()1(n n
n
n a x 在0>x 时发散，在0=x 处收敛，则常数=a [ ]
A.1
B.-1
C.2
D.2 25.x e
y y y x
2cos 52-=+'+''的特解可设为 [ ]
A. *
cos 2x
y e A x -= B.
;2cos *x A xe y x
-= C. ()*cos2sin 2x
y xe
A x
B x -=+ D. ().2sin 2cos *x B x A e y x +=-
26.微分方程的阶数是指 [ ]
A.方程中未知函数的最高阶数
B.方程中未知函数导数或微分的最高阶数
C.方程中未知函数的最高次数
D.方程中函数的次数
27.下面函数( )可以看作某个二阶微分方程的通解。 [ ]
A. ;22c y x =+
B. 2123
y c x c x c =++ C. ;cos sin 2
22
1x c x c y += D. ()().cos ln ln 21x c x c y +=
28.A 、B 均为n 阶可逆矩阵，则A 、B 的伴随矩阵*)(AB = [ ] A. **B A B. 1-1-B A AB || C. 1-1-A B D. **A B
29.设A 、B 均为n 阶方阵，则必有 [ ]
A. |A+B|=|A|+|B|
B. AB=BA
C. |AB |=|BA |
D. (A +B )–1=A –1+B –1
30.A,B 都是n 阶矩阵,则下列各式成立的是 [ ]
A.
()T T T
B A AB = B. ()T T T
B A B A +=+
C. ()
111
---=B A AB D. ()111
---+=+B A B A
31.在随机事件A ，B ，C 中，A 和B 两事件至少有一个发生而C 事件不发生的随机事件可表示为 [ ] A. AC
BC B. ABC C. ABC ABC ABC D.A B C
32.袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为 [ ]
A. 38
B. 53188?? ???
C. 3
4831C 88
?? ??? D.485C 33.已知()0P 1,B ＜＜()10P 1,A ＜＜()20P A 1＜＜，
且()()12P A |A B ()1A |P B =()2|
P A B +,则下
列选项成立的是 [ ] A. ()(
)()(
)1
212P A |A ||A B P B P A B
=+
B. ()()()()
1212P A |A A B P P A =+
C.
()()()()()
121122P A A |A |B A B P P B P A P B A =+
D. ()()()()()1122P A |A |B P P B P A P B A =+
三、解答题： 1.设函数
???
?
???>=<+=0sin 001sin )(x x x x a x b x x x f
问：（1）b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处有极限存在？（2）b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处连续？
2.已知82
lim
232=-++→x b
ax x x ，试确定a 和b 的值。 3.设?????≤<-+>=-0
1),1ln(0 ,)(11
x x x e x f x ，求)(x f 的间断点，并说明间断点的所属类型 4.求方程中y 是x 的隐函数的导数。 （1）1e e =+-y
x
xy ，求y '。
（2）设)sin(y x y +=，求dx dy ，2
2dx
y
d 。 5.设),(y x z z =由方程y
z x z -=+e
所确定，求x
y z
???2。
6.设函数)(x f 在[0,1]上可导，且1)(0< 7.求函数1 2 )1(-+=x x y 的单调区间和极值。 8.在过点)6,3,1(P 的所有平面中，求一平面,使之与三个坐标平面所围四面体的体积最小。 9.求下列积分 （1） x x d 11 3 1 ? +∞ （2） ?? ≤+--2 22222a y x d y x a σ （3） ??D yd σ，D 由110x y x y x +=-==，，的围成。 10.判别级数 ∑∞ =--1 )cos 1()1(n n n a （常数0>a ）的敛散性。如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛? 11.判别级数 n n n ln 1 )1(2∑∞ =-的敛散性。如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛? 12.求幂级数∑∞ =+1 )1(n n n n x 在收敛区间上的和函数)(x S 。 13.求解微分方程。 （1）0122 =+-ydy dx y x 的所有解。 （2 ）xy y '-=（3）1 cos sin 22 y y x x '+= 四、求解题： 1.计算下列行列式： （1） （2） 9 87654321 15 03 10000430021- 2.设矩阵A ，B 满足矩阵方程AX ＝B ，其中???? ??-=0121A ，? ? ? ???=2003B ，求X 。 3.设矩阵 ?? ?? ? ?????-=???? ? ?????--=451001413101B A 试计算A -1B ． 4.设()()11 32P A P B ==，，（1）若AB =Φ，求()P B A ； （2）若B A ?，求()P B A ；（3）若()1 8 P AB =，求() P BA 。 5.假设有3箱同种型号零件，里面分别装有50件，30件和40件，而一等品分别有20件，12件及24件。现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件（第一次取到的零件不放回），试求先取出的零件是一等品的概率；并计算两次都取出一等品的概率。 参考答案 一、填空题： 1.解：),2[]2,(∞+--∞ 2.解：62 -x 3.解：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim =-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x 4.解：由所给极限存在知，024=++b a ，得42--=a b , 又由：234 12lim 2lim 22 22=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x 知8,2-==b a 5.解：∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x ，即01)1)((lim 0=-=---→b a b e x a x x x ，1,0≠=∴b a 6.解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。 因为 1)0(1)1(lim 01 sin lim 00 ==+=+-→→f x x x x x 所以函数)(x f 在0=x 处是间断的 又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。 7.解：(1)!n + 8.解：2 )12(+x 或1442 ++x x 9.解：函数z 的定义域为满足下列不等式的点集。 ??? ????<+<≤????????≠+<+≤????????≠-->--≥-1040141101042 222222222222y x x y y x y x x y y x y x y x z ? 的定义域为：{ 10|),(22<+ 10.解：令x y u +=，x y v -=，则,22 u v u v x y +-= = ()()()f x y x y xy x y +-=+ )(4 222),(22v u u u v u v u v u f -=-+= 22(,)()4x f x y x y =- 11.解：∵ (0,1)000f =+= 20 00(,1)(0,1) 1(0,1)lim lim 2x x x x x f x f x f x x ?→?→??+ -?-?+'===?? 0 0(0,1)(0,1)00(0,1)lim lim 0y y y f y f f y y ?→?→?+--'===?? 12.解： 22sin 3cos dz x t t y dt =-+ 13.解：由导数与积分互为逆运算得： )()(x f dx x f d d dx d =?? 14.解：两边对x 求导得1)1(332=-x f x ，令713 =-x ，得2=x ，所以12 131)7(2 2 = = =x x f 15.解：∵)d(e 1lim d e 2100kx k x b kx b kx --==??-+∞→∞+-k k k k kb b b kx b 1e 1lim 1e 1lim 0=-=-=-+∞→-+∞→ ∴2=k 16.解：.4 44 2 x a y π+ 记?? = D d y x f A σ),(，则2),(y Ax y x f +=，两端在D 上积分有：????+=D D d y Axd A σσ2， 其中??=D xd A 0σ（由对称性） ，????= =a D a d d d y 0 4 2 320 2 .4 sin πρ?ρ?σπ 即 4 4 a A π= ，所以，.4 ),(4 2 x a y y x f π+ = 17.解：22 3 a 18.解：令2 x y =，则原幂级数成为不缺项的幂级数 ∑ ∞ =--1 1 212n n n y n ，记其各项系数为n b ，因为2121 2lim 2122212lim lim 11 =+-=+?-==∞→+∞→+∞→n n n n b b R n n n n n n n ，则20222<≤?<<-x y ，故22<<-x . 当2±=x 时，幂级数成为数项级数∑∞ =-1)12(21n n ，此级数发散，故原幂级数的收敛区间为 )2,2(-. 19.解：3 21121?? ? ??-=x y 20.解：x e c c y 321+= 21.解：()x c x c e y x 2sin 2cos 213+=- 22.解：() 3 1 1n - 23.解：2 24.解：由对角线法则知，f (x )为二次多项式，一次项系数为4。 25.解：AB+BC+AC 26.解：∵A 、B 相互独立， ∴P (AB )=P (A )P (B ) ∴P (A ∪B )=P (A )+P (B )–P (AB )=0.2+0.5–0.1=0.6 27.解： A 、B 互不相容，则P (AB )=0，P (A –B )=P (A )–P (AB )=0.8 28.解：设A 、B 、C 分别表示事件“第一、二、三次射击时击中目标”，则三次射击中恰有一次击中目标可 表示为C B A C B A C B A ++，即有 P (C B A C B A C B A ++)=P (A ))()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P ++=0.36 29.解：P (A ∪B )=P (A )+P (B )–P (AB )=0.9 P (A –B )=P (A )–P (AB )=0.7–0.4=0.3 30.解：P (A +B )=1–P p B A P B A -=-=+1)(1)( 二、单项选择题： 1.解：利用奇偶函数的定义进行验证。 )(1 1 )1()1(11)()(x f a a x a a a a x a a x x f x x x x x x x x =+-=+--=+--=----- 所以B 正确。 2.解：因为2)1(212122 2 22 -+=-++=+ x x x x x x ，所以2)1()1(2-+=+x x x x f 则2)(2 -=x x f ，故选项B 正确。 3.解：由于1)(+=x x f ，得)1)((+x f f 1)1)((++=x f ＝2)(+x f 将1)(+=x x f 代入，得)1)((+x f f =32)1(+=++x x 正确答案：D 4.解：()()01 1lim )1( lim 22=+-+--=--+∞→∞→x b x b a x a b ax x x x x 1,1,0,01-==∴=+=-∴b a b a a 答案：C 5.解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以 0sin lim =∞→x x x 而A 、C 、D 三个选项中的极限都不为0，故选项B 正确。 6.解：111 sin lim 1sin lim ==∞→∞ →x x x x x x ，故不选A ；取12+=k m ，则()01 21 lim lim 1=+=∞→-∞→k n k n n ，故 不选B ；取2 1π π+ = n x n ，则01 cos 1lim =∞ →n n n x x ，故不选D 。 答案：C 7.解：0lim )(lim 0 ==--→→x x f x x ，01 sin lim )(lim 0 ==++→→x x x f x x ，0)0(=f ，因此)(x f 在0=x 处连续。 x x x x x f x f f x x x 1sin lim 00 1 sin lim 0 ) 0()(lim )0(000 ++ + →→→+=--=--='，此极限不存在，从而)0(+'f 不存在， 故)0(f '不存在 答案：B 8.解：由导数的定义和它的几何意义可知：1 3 )()1(=' -='x x x y 2) 13(1 2=-==x x ， 是曲线x x y -=3 在点（1，0）处的切线斜率，故切线方程是)1(20-=-x y ，即22-=x y 答案：A 9.解：直接利用导数的公式计算：34 )4 1( x x y ='=', 233)(x x y ='='' 答案：B 10.解：先求出)(x f ，再求其导数。 答案：D 11.解：z 的定义域为{ 0),(22>-y x y x }个。 答案：D 12.解：A.当P 沿0=x 时，0),0(lim 0 =→y f y ，当P 沿直线0=y 时，1)0,(lim 0 =→x f x ，故0 0lim →→y x y x x +不存在； B.∞=+→→y x y x 1 lim 0 0，不存在； C.如判断题中1 题可知y x x y x +→→2 0 lim 不存在； D.因为0lim 1 sin lim 0 =≤+→→→→x y x x y x y x ，所以01sin lim 0 0=+→→y x x y x 。 答案：D 13.解：()()()f x f x f x C '''因为偶函数，则为奇函数，为偶函数，故应选。 14.解：因为)(x f 是奇函数，故)()(x f x f -=-，两边求导)()(x f x f '-=-'-，从而)()(x f x f -'='， 设0 15.解：42x f x =-，42y f y =--，0 202x y f x f y =?=????→? ?==-??? 2002H -?? = ?-?? 0 20H >-<，(2,2)8f -=为极大值 答案：A 16.解：根据周期函数定积分的性质有 0 ()()l T T l f x dx f x dx D +=? ? 故应选。 17.解：所求旋转体的体积为 32 3 2 00 cos 4 sin (1cos )cos [cos ]33 x V y dx xdx x d x x π π π ππππππ===--=--=??? 答案：B 18.解：利用定积分的奇偶性质知0=M ，0cos 2 2 4 >=? π xdx N ，0cos 22 4<-=?π xdx P ，所以 N M P << 答案：D 19.解：答案：B 20.解：D ：0202r θπ≤≤??≤≤? 2 14 222233 000 3d (1)d (1) 04I r r r r πθπ=-=-?->?? 21.解：由极坐标，原极限2033 000002()12()lim ()lim lim 3t t t t t rf r dr f t d rf r dr t t t ππ?ππ+ + + →→→====+∞??? 22.解：答案：B 23.解：因为22222sin 2)cos 1()1(n a n a n a n ≤=--，而∑∞=1 222n n a 收敛，因此原级数绝对收敛。故答案：A 24.解：由于∑∞ =--1)()1(n n n n a 收敛，由此知1≤a 。当11≤<-a 时，由于∑∞ =--1 )()1(n n n n a x 的收敛半径为 1，因此该幂级数在区间)1,1(+-a a 内收敛，特别地，在)1,0(+a 内收敛，此与幂级数在0>x 时 发散矛盾，因此1-=a 。 答案：B 25.解：答案：C 26.解：答案：B 27.解：答案：C 28.解：答案：D 29.解：答案：C 30.解：答案：B 31.解：答案：A 32.解：基本事件总数为4 8C ，设A 表示“恰有3个白球”的事件，A 所包含的基本事件数为1 5C =5， 故P (A )= 48 5 C 。 答案： D 33.解：由题可知A 1、A 2互斥，又0 所以 P (A 1B ∪A 2B )=P (A 1B )+P (A 2B )–P (A 1A 2B )=P (A 1)P (B |A 1)+P (A 2)P (B |A 2) 答案：C 三、解答题： 1.解：（1）要)(x f 在0=x 处有极限存在，即要)(lim )(lim 0 x f x f x x +-→→=成立，0 sin lim ()lim 1x x x f x x ++ →→==。 因为b b x x x f x x =+=--→→)1 sin (lim )(lim 0 ，所以当1=b 时，有)(lim )(lim 00x f x f x x +-→→=成立，即 1=b 时，函数在0=x 处有极限存在，又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无 关，所以此时a 可以取任意值。 （2）依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是)()(lim )(lim 00 x f x f x f x x x x ==+-→→ 于是有a f b ===)0(1，即1==b a 时函数在0=x 处连续。 2.解：82 lim 232=-++→x b ax x x () 048lim 232=++=++∴→b a b ax x x ，即a b 48--= ()[] 8124422lim 2 84lim 2lim 22232232=+=++++=---+=-++∴→→→a a x a x x a ax x x b ax x x x x 1a ∴=- 故4-=b 3.解：)(x f 在()()()1,00,11,-+∞，，内连续，∞=-→+1 11 lim x x e ，0lim 1 11 =-→-x x e ，()00=f ，因此1=x 是) (x f 的第二类无穷间断点；()1 11 lim lim x x x f x e e ++ --→→==，()()01ln lim lim 0 =+=--→→x x f x x ，因此0=x 是 )(x f 的第一类跳跃间断点。 4.解：（1）方程两边对自变量x 求导，视y 为中间变量，即 1)e ()e ()('='+'-'y x xy 0e e ='+-'+y y x y y x y y x x y -='+e )e ( 整理得 y x x y y e e +-=' （2）cos() cos()(1)1cos() x y y x y y x y +''=+?+= -+ y y x y y x y ''?++'+?+-='')cos()1()sin(2 y ''33 sin()[1cos()][1cos()]x y y x y x y +-=- =-+-+ 5.解:设 x z z y x F y z --=-e ),,( 1-=x F y z y F --=e 1e -=-y z z F 1 e 1 -=??-y z x z z y y z y z y z ----=-=??e 111e e 3 ) (222)e 1(e )e 1(e )e 11(z y z y z y z y z y x z x x y z ------= ???--=-??=???∴ 6.解： 12121212 ()(), [0 ,1] () () [0 1] ()()0[,] [0 ,1] (,) ()0 ()10()1 (0 ,F x f x x F x F x c c F c F c c c Rolle c c F f f ζζζζ=-==?'''∈=-=?=设在上用零点定理，得至少有一个零点。反设在，上存在两个零点，，即，，由定理可得至少有，使即，与题设矛盾，故在1) ()x f x x =内有且只有一个，使。 7.解：函数1 2)1(-+=x x y 的定义域是(1)(1)-∞--+∞， ， 2 2 1 ) 1)(1()1(2--+-++='x x x x y 22)1()1(2x x x x +-+=2 )1() 2(x x x ++= 令 0)1() 2(2 =++= 'x x x y ，得驻点21-=x 02=x 故函数的单调增加区间是(2)-∞-，和(0)+∞，，单调减少区间是(21)--，及(10)-，，当=x -2时，极大值4)2(-=-f ；当=x 0时，极小值0)0(=f 。 8.解:设平面方程为1=++Cz By Ax ，其中A B C 、、均为正，则它与三坐标平面围成四面体的体积为 ABC V 1 61= ，且163=++C B A ，令()(361)F A B C ABC A B C λλ=+++-，，，，则由 ????? ??????=++=+=??=+=??=+=??16306030C B A AB A F AC A F BC A F λλλ， 求得?? ? ?? ????===181913 1C B A ，由于问题存在最小值，因此所求平面方程为 11893=++z y x ，且8118936 1 min =???=V 。 9.解（1）： )1(2 3 lim 13 11 lim d 1 lim d 132 1 32 1 311 3 1 -=+-==+∞→+∞→+∞→∞ +? ? b x x x x x b b b b b 极限不存在，则积分发散。 （2）：(,)f x y =D 上的半球面，由D I σ=的几何意义知 I =V 半球=32 3a π。 （3）：关于x 轴对称，且(,)f x y y =是关于y 的奇函数，由I 几何意义知， d 0D y σ?=??。 10.解：由n a n a n cos 1)cos 1()1(-=--，而02 1)2(2lim 12sin 2lim 1cos 1lim 2 2 2222≠===-∞→∞→∞→a n n a n n a n n a n n n ， 由正项级数的比较判别法知，∑∞ =-1)cos 1(n n a 与∑∞=121n n 同时敛散。而∑∞=121n n 收敛，故∑∞=-1)cos 1(n n a 收敛，从而原级数绝对收敛。 11.解：记)1ln(1) 1(1 +-=-n u n n ，则n n v n u ? =+≥1 1。 显见 ∑ ∞ =1 1 n n 去掉首项后所得级数∑∞=1n n v 仍是发散的，由比较法知∑∞=1n n u 发散，从而∑∞ =2n n u 发散。又显见 )1ln(1) 1(1 1 +-∑∞ =-n n n 是Leibniz 型级数，它收敛。即n n n ln 1)1(2 ∑∞ =-收敛，从而原级数条件收敛。 12.解：1)2)(1()1(lim lim 1=+++==∞→+∞→n n n n a a n n n n ρ，所以1=R 。 又当1±=x 时，级数成为∑∞ =+±1)1()1(n n n n ，都收敛，故级数的收敛域为]1,1[-。 设级数的和函数为)(x S ，即∑∞ =+=1 )1()(n n n n x x S 。 再令∑∞ =++==1 1 )1()()(n n n n x x xS x f ， 逐项微分得 ∑∞ =='1)(n n n x x f ，x x x f n n -==''∑∞=-11)(1 1 )1ln(11 )( 0 0 x dx x dx x f x x --=-=''? ? ()(0)()ln(1) (0)0f x f f x x f ''''-==--= ? ?? ----=--='x x x x dx x x x x dx x dx x f 0 0 0 1)1ln()1ln()( x x x x x x x +--=-++--=)1ln()1()1ln()1ln( 故 )1ln()1()(x x x x f --+=，又显然有1)1(=S ， 故 11ln(1) 01()0 01 1x x x x S x x x -?+-≠?? ==??=?? ， 13.解：（1）原方程可化为 xdx y ydy 212 -=-， （当12 ≠y ），两边积分得c x y +-=--221，即c y x =--221为通解。当12=y 时，即1±=y ，显然满足原方程，所以原方程的全部解 为c y x =--221及1±=y 。 （2）当0>x 时，原方程可化为2 1?? ? ??-=-'x y x y y ，令u x y =，得xu y =，原方程化为 21u u x -='，解之得c x u +=ln arcsin ； 当0 1?? ? ??--=-'x y x y y ，类似地可解得c x u +-=ln arcsin 。 综合上述，有 ln 0 arcsin ln 0 x c x y x c x x +>?=? -+ 1--+-=? ? ????+??=? 四、求解题： 1.解：（1） 12 6063 03219 87654321=----= （2） 160)16(10153 1.43214-=-?=-= D 2.解： 解法一：先求矩阵A 的逆矩阵。 因为 []??????-=10010121I A ??? ???→11200121??? ?????-→21211010 01 所以 ????????-=-212 1 101 A 且 B A X 1 -=???????????????-=20032121 10??? ? ????-=1 2320 解法二：因为 []??????-=20010321B A ??? ???→23200321??? ?????-→123102001 所以 ??? ? ????-=12320X 3.解：因为 ??????????--=100010001001413101][I A ?? ????? ???--→101100013110001 1 01→--??? ??? ? ? ??100 00 1010411001 101 所以 ??????????--=-1011141001A 且 ???? ? ?????--=??????????-???????????--=-51344511011141001 B A 4.解：（1）P (B A )=P (B )–P (AB ) 因为A ，B 互斥，故P (AB )=0，而由已知P (B )= 21，∴ P (B A )=P (B )=2 1 （2）∵ P (A )= 31，由A ?B 知：P (AB )=P (A )=31，∴ P (B A )=P (B )–P (AB )=21–31=61 （3） P (AB )= 81 ∴P (B A )=P (B )–P (AB )=21–81=8 3 5.解：设B 1、B 2、B 3分别表示选出的其中装有一等品为20，12，24件的箱子，A 1、A 2分别表示第一、二 次选出的为一等品，依题意，有 P (A 1)=P (B 1)P (1A |B 1)+P (B 2)P (A 1|B 2)+P (B 3)P (A 1|B 3)=15 7 402431301231502031=?+?+? =0.467 P (21A A )=39 2340243129113012314919502031)|()(3 1 21??+??+??= ∑=i i i B A A P B P =0.220 遵章守纪考试诚信承诺书 在我填写考生信息后及签字之后，表示我已阅读和理解《XX 学院学生考试违规处理办法》有关规定，承诺在考试中自觉遵守该考场纪律，如有违规行为愿意接受处分；我保证在本次考试中，本人所提供的个人信息是真实、准确的。 承诺人签字： 数理部《高等数学》(专科)课程期末考试卷 2016——2017学年第二学期 闭卷 考试时间： 100分钟 任课教师: （统一命题的课程可不填写） 年级、专业、班级 学号 姓名 一、填空题（每小题3分，共15分） 1.设 2 1 ,1()1 ,1x x f x x a x ?-≠? =-??=?，)(x f 在1=x 处连续，则=a 。 2.已知()3 f x '=，则0 ( 2)() lim x f x x f x x ?→-?-= ? 。 3. 2 11x +是 () f x 的一个原函数，则()f x d x = ? 。 4.已知曲线ln y x =，求曲线点(,1)e 的切线方程 。 5.函数 ()ln f x x x =+在[1,]e 上满足拉格朗日中值定理的点ξ = 。 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1.函数2 11y x = -的定义域是（ ）。 A.(2,2)- B.[2,2]- C.[2,1)(1,2]--- D.[2,1) (1,1) (1,2] --- 2.设函数(,) z f x y =有一阶、二阶偏导数，则当（ ）时， 2 2 z z x y y x ??= ????。 A.函数(,) z f x y =连续 B.函数(,) z f x y =可微 C. ,z z x y ????连续 D.,x y y x z z ''''连续 3.若函数 () f x 在点0x 处满足 00()0,()0 f x f x '''=≠，则点0x 是曲线() y f x =的（ ）。 A.拐点 B.极大值点 C.极小值点 D.单调性不能确定 4.由曲线2 y x =，直线2,2,0 x x y =-==围成的屏幕图形的面积为（ ）。 A.22 x d x ? B.22 2 x d x -? C.40 y ? D.4 2y ? 5.以下方程中（ ）是一阶线性微分方程。 A.x y y e +'= B.x y y '= C.0 y x y y '''+ += D.ln y y x '- = 三、计算题（每小题6分，共54分） 1.1 1lim ( ) ln 1 x x x x →- - 2.22lim ( ) x x x x -→∞ - 高数 高等数学A(下册)期末考试试题【A卷】 院（系）别班级学号姓名成绩 大题一二三四五六七 小题12345 得分 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量、满足，，，则． 2、设，则． 3、曲面在点处的切平面方程为． 4、设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，则的傅里叶级数 在处收敛于，在处收敛于． 5、设为连接与两点的直线段，则． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线在点处的切线及法平面方程． 2、求由曲面及所围成的立体体积． 3、判定级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设，其中具有二阶连续偏导数，求． 5、计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面被平面截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值． 高数 四、（本题满分10分） 计算曲线积分， 其中为常数，为由点至原点的上半圆周． 五、（本题满分10分） 求幂级数的收敛域及和函数． 六、（本题满分10分） 计算曲面积分， 其中为曲面的上侧． 七、（本题满分6分） 设为连续函数，，，其中是由曲面 与所围成的闭区域，求． ------------------------------------- 备注：①考试时间为2小时； ②考试结束时，请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交； 不得带走试卷。 高等数学A(下册)期末考试试题【A卷】 参考解答与评分标准 一、填空题【每小题4分，共20分】1、；2、；3、；4、3，0；5、. 二、试解下列各题【每小题7分，共35分】 x 1 ②1 - - ④x 大一高数试题及答案 、填空题（每小题1分，共10分） ----- 2 1 1?函数 v =arcsi nJ 1 — x + _______ 的定义域为 Jl —x 2 2 2 ?函数 y = x ? e 上点（0,1 ）处的切线方程是 ________________ 4 ?设曲线过（0,1）,且其上任意点（ x , y ）的切线斜率为2x ，则该曲线的方程是 3 .设f （X ）在X 。可导, 且f （x ） = A ，则怛。 f(X o 2h)- f(X o - 3h) h 5. x ”dx 6. lim x sin 1 X )二 x 设 f(x,y)=sin(xy) ,则 fx(x,y)= 9.微分方程 3 dx 3 Jh 2的阶数为 dx OO 10 .设级数 n=1 OO 刀 a n 发散，则级数刀 n=1000 二、单项选择题。 （1?10每小题1分，1 1?2 0每小题2分，共3 0分） 1.设函数 1 f (x) , g(x)二 1 -x 则f [g(x)]= () ① tf ( x, y ) ② t 2 f (x, y ) 2. x sin 丄 1 是() x ① 无穷大量 ② 无穷小量 ③ 有界变量 ④ 无界变量 3 .下列说法正确的是 ① F (X) +G (X)为常数 ② F (X) -G (X)为常数 ③ F (X) -G (X) =0 ④ d ! F (x)dx d I G ( x ) dx 1 dx dx 6. 1 -1 x |dx =( ) i ① 0 ②i ③2 ④3 7 .方程2x + 3y =1在空间表示的图形是 () ① 平行于xoy 面的平面 ② 平行于oz 轴的平面 ③ 过oz 轴的平面 ④ 直线 ① 若f ( X )在X = Xo 连续, 则f( X )在X = Xo 可导 ② 若f ( X )在X = Xo 不可导，则f( ③ 若f ( X )在X = Xo 不可微，则f( ④ 若f ( X )在X = Xo 不连续，则f( X )在X = Xo 不连续 X )在X = Xo 极限不存在 X )在X = Xo 不可导 4 .若在区间(a,b )内恒有 f ' ( X ) b)内曲线弧『=f(x )为 () 0 , f " ( X ) 0，则在(a. ① 上升的凸弧 ② 下降的凸弧 ③ 上升的凹弧 ④ 下降的凹弧 '.设 F '(x) G '( x)，则() 8.设 f(x,y)= x 3 y 3 x 2 y t a n ，则 f(tx,ty)= 大一第二学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无 穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x 高等数学（上）模拟试卷一 一、 填空题（每空3分，共42分） 1 、函数lg(1)y x = -的定义域是 ； 2、设函数20() 0x x f x a x x ?<=?+≥?在点0x =连续，则a = ； 3、曲线45y x =-在（-1，-4）处的切线方程是 ； 4、已知3()f x dx x C =+? ，则()f x = ；5、21lim(1)x x x →∞-= ； 6、函数32()1f x x x =-+的极大点是 ； 7、设()(1)(2)2006)f x x x x x =---……(，则(1)f '= ； 8、曲线x y xe =的拐点是 ；9、201x dx -?= ； 10、设32,a i j k b i j k λ=+-=-+r r r r r r r r ，且a b ⊥r r ，则λ= ； 11、2 lim()01x x ax b x →∞--=+，则a = ，b = ； 12、311lim x x x -→= ；13、设 ()f x 可微，则()()f x d e = 。 二、 计算下列各题（每题5分，共20分） 1、011lim()ln(1)x x x →-+2 、y =y '； 3、设函数()y y x =由方程xy e x y =+所确定，求0x dy =； 4、已知cos sin cos x t y t t t =??=-?，求dy dx 。 三、 求解下列各题（每题5分，共20分） 1、421x dx x +? 2、2sec x xdx ?3 、40?4 、2201dx a x + 四、 求解下列各题（共18分）： 1、求证：当0x >时，2 ln(1)2x x x +>- （本题8分） 2、求由,,0x y e y e x ===所围成的图形的面积，并求该图形绕x 轴旋 大一高数试题及答案 一、填空题（每小题１分，共１０分） １．函数 2 2 111arcsin x x y -+ -=的定义域为______________________。 ２．函数 2e x y += 上点（ ０，１ ）处的切线方程是______________。 ３．设ｆ（X ）在0x 可导,且A (x)f'=，则h h x f h x f h ) 3()2(l i m 000--+→ ＝ _____________。 ４．设曲线过（０，１），且其上任意点（x ，y ）的切线斜率为2x ，则该曲线的方程是 ____________。 ５．=-?dx x x 4 1_____________。 ６．=∞→x x x 1 sin lim __________。 ７．设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)=____________。 ９．微分方程 22 233)(3dx y d x dx y d +的阶数为____________。 ∞ ∞ １０．设级数 ∑ ａn 发散，则级数 ∑ ａn _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题。(１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分） １．设函数 x x g x x f -== 1)(,1 )(则ｆ［ｇ（ｘ）］＝ （ ） ①x 1 1- ②x 1 1- ③ x -11 ④x ２．11 sin +x x 是 （ ） ①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量 ３．下列说法正确的是 （ ） ①若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 连续， 则ｆ（ X ）在X ＝Xo 可导 ②若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可导，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不连续 ③若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可微，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 极限不存在 ④若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不连续，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不可导 ４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有 0)(",0)('> 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()() x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 0=+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++= 2 2 2 21n n n n n n ππ π π . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 第一章 函数、极限、连续 教学要求 1.了解分段函数、复合函数、初等函数等概念。 2.理解数列极限、函数极限的定义。 3.掌握极限的四则运算法则。 4.了解无穷大、无穷小及其比较的概念，了解函数及其极限与无穷小的关系。理解无穷小的性质。 5.了解夹逼准则和单调有界数列极限存在准则。熟练掌握两个重要极限求极限。 6.理解函数连续与间断概念，会判断间断点类型，了解初等函数连续性及闭区间上连续函数性质。 教学重点 函数的概念、复合函数的概念，基本初等函数的图形和性质；极限概念，极限四则运算法则；函数的连续性。 教学难点 函数与复合函数的概念；极限定义，两个重要极限；连续与间断的判断。 教学内容 第一节 函数 一、函数的定义与性质 1.集合； 2.邻域； 3.常量与变量； 4.函数的定义； 5.函数的特性。 二、初等函数 1.反函数； 2.复合函数； 3.初等函数。 三、分段函数 一、 函数的定义与性质 1集合定义 具有某种特定性质的事物的总体；组成这个集合的事物称为该集合的元素，元素a 属于集 合A ，记作a A ∈, 元素a 不属于集合A, ,a A ? 2集合的表示法： 列举法 12{,,,}n A a a a = 描述法 {}M x x =所具有的特征 3集合间的关系: 若,x A ∈则必,x B ∈就说A 是B 的子集,记做A B ?；若A B ?且A B,≠ A B 则称是的真子集；若A B ?且B A ?，则A B =。 4常见的数集 N----自然数集；Z----整数集；Q----有理数集；R----实数集 它们间关系: ,,.N Z Z Q Q R ??? 5例 {1,2}A =，2{320}C x x x =-+=，则A C = 不含任何元素的集合称为空集, 记作? 例如, 2 {,10}x x R x ∈+==? 规定 空集为任何集合的子集. 6运算 设A 、B 是两集合, 则 1) 并 A ?B ? {x ∣x ∈A 或x ∈B}; 2) 交 A ?B ?{x ∣x ∈A 且x ∈B} 3) 差“A \B” ?{x ∣x ∈A 且x ?B} 4) 补（余）?S/A ,其中S 为全集 5) 其运算律 (1) A ?B= B ?A , A ?B =B ?A (2)（A ?B )?C =A ?(B ?C) , (A ?B)= A ?(B ?C) (3)（A ?B ) ? C =(A ? C )?(B ? C) （A ? B ) ? C =(A ? C ) ? (B ? C) (4) (),()c C C c c c A B A B A B A B ?=??=? 注意A 与B 的直积A ?B ?{(x,y)∣x ∈A 且y ∈B} 例如：R ?R={(x,y)∣x ∈R 且y ∈R} 表示xoy 面上全体点的集合, R R ?常记为2 R 7邻域: 设a 与δ是两个实数且0δ>，称集合{}x a x a δδ-<<+为点a 的δ邻域。点a 叫做这邻域的中心，δ叫做这邻域的半径。记作(){}U a x a x a δδδ=-<<+ 点a 的去心δ邻域记做0()U a δ ，0(){0}U a x x a δδ=<-<。 注意：邻域总是开集。 8常量与变量: 在某个过程中变化着的量称为变量，保持不变状态的量称为常量, 注意：常量与变量是相对于“自变量变化过程”而言的. x δ δ 大一上学期高数期末考试卷 一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 1 (X)= cos x(x + |sinx|),贝= O处有( ) (A) n°)= 2(B)广(°)= 1 (C)广(°)= °(D) /(X)不可导. 设a(x) = |—0(兀)=3-3坂，则当^ —1时( ) 2. 1 + 兀? 9 9 (A) &⑴与0(力是同阶无穷小，但不是等价无穷小；(B) a(“)与仪兀)是 等价无穷小； (C) °(x)是比0(力高阶的无穷小；(D) 0(")是比°(x)高阶的 无穷小. 3. 若F(x)= Jo(力-兀)")力,其中/(兀)在区间上(71)二阶可导且广(小＞0,则(). (A) 函数尸⑴ 必在x = 0处取得极大值； (B) 函数尸⑴必在“ °处取得极小值； (C) 函数F(x)在x = 0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线＞'=F(x)的拐点； (D) 函数F(x)在* = °处没有极值，点(°，F(0))也不是曲线〉'=F(x)的拐点。 4 设f(x)是连续函数，-W(x) = x + 2j o* f(t)dt，贝!j f(x)=( ) 十竺+ 2 (A) 2 (B) 2 +(C) —I (D) x + 2. 二、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 5.腳(f ____________________________________ 己知竿是/(X)的一个原函数贝IJ“(x)?竽dx = (? 7C #2兀 2 2龙2刃—1 \ lim —(cos —+ cos ——H ------ cos -------- 兀)= 7. nfg n n n n i x2arcsinx + l , ------ / ——dx = 8. 飞__________________________ . 三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分) 9. 设函数尸曲由方程严+sing)"确定，求0(兀)以及以。). 高等数学期末试卷 一、填空题（每题2分，共30分） 1．函数1 1 42-+ -= x x y 的定义域是 . 解. ),2[]2,(∞+--∞Y 。 2．若函数52)1(2 -+=+x x x f ，则=)(x f ． 解. 62 -x 3．________________sin lim =-∞→x x x x 答案：1 正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim =-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ，则=a _____, =b _____。 由所给极限存在知, 024=++b a , 得42--=a b , 又由23 4 12lim 2lim 22 22=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→) 1)((lim 0x a x b e x x ，则=a _____, =b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x Θ, 即01)1)((lim 0=-=---→b a b e x a x x x , 1,0≠=∴b a 6．函数????? ≥+<=0 1 01sin )(x x x x x x f 的间断点是x = 。 解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。 因为 1)0(1)1(lim 01 sin lim 00 ==+=+-→→f x x x x x 所以函数)(x f 在0=x 处是间断的， 又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。 7. 设()()()n x x x x y -??--=Λ21, 则() =+1n y (1)!n + 8．2 )(x x f =，则__________)1)((=+'x f f 。 大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0,(),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 ππ-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 201lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 0ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设2,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. （6分）求3 0(1),f x dx -?其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤?=+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞??+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x ππ??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--?? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 3 1;y x =+ 2 2;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式2 05lim 3x x x x →?= 5分 53 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分 2212[]121 x y x x '∴=-++ 4分 ( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 关于高职高专高等数学教学的思考 引言 高等数学课程是高职高专院校理工科各专业的一门重要的基础理论课,其目的在于培养工程技术人才所必备的基本数学素质,在当代大学生的知识能力结构中是必不可少的一部分,进入二十一世纪,社会对高技术应用型人才有极大需求与更高要求,从而也对高等数学的教学提出了更高的要求。 一、教学模式的设计与创新 高等数学在高职院校中作为一门基础课、工具课,要体现突出与专业的融合,为专业服务的思想,因此在教学过程中,要求:不盲目追求理论体系的严密性和完整性,在概念与理论、方法与技巧、实践与应用等方面做出合理的安排;适度淡化理论推导,减少繁难的定理证明和复杂的运算技巧,突出基本概念、基本方法、基本技能和几何直观;涉及性质与定理的内容,以图形或文字描述说明加以适当解释,尽量淡化逻辑证明。体现理论与现实问题的密切联系,以提高学生学习的兴趣,增强学生应用数学知识解决实际问题的意识。 目前高等数学主要采取的是课堂教学,教学要体现以学生为主体,通过一系列的问题情境,以问题为引导,启发学生思考,在解决问题过程中学习新知识。融“教、学、用”于一体。作为一个完整的教学过程设计可以分为7步:问题情境解决问题范例讲析反馈练习回顾小结课后练习课后辅导。如果采用一贯的传统的课堂教学模式,那么课堂将会变得越来越沉闷。对于不同的学习任务和学习目标,我们可以尝试采取不同的教学方法 和模式。比如概念、公式、定理等理论性较强的内容,可仍采用讲授式;对于比较容易理解和掌握的知识,特别是一些性质定理的推广,可采用自学加辅导的形式;对于容易产生争议和混淆的内容,可采用小组讨论的形式;对于理论知识在实际中的应用问题,可以采用任务驱动教学法:教师提出明确的任务,让学生从解决问题的角度去尝试,参阅实验指导书、在线帮助和相互交流、探讨,从而解决问题,具体教学过程如下:(1)结合学生特点,精心设计任务。(2)引导学生分析任务并提出问题。(3)根据提出的问题,及时讲授新知识。 二、提高学习高等数学的兴趣 高等数学是一门基础课,它对培养学生的逻辑思维能力及对专业课的学习起着重要作用,但学生对高等数学学习的积极性不高。因此,如何调动学生的积极性、提高高等数学的吸引力,也成为教师必须要关注的问题。关于如何激发学生学习高等数学的兴趣,作者认为教师一定要从以下几个方面着重提高。 (一)教师要提高自身专业素质 教师是整个高等数学教学活动中最活跃的因素,教师一定要充分担当好组织者、引导者的角色,在日常教学工作中要结合实际,潜心研究教学方法、改进教学手段,不断总结,逐步积累教学经验,这样才能够不断提高高等数学的魅力,激发学生的学习热情。 (二)教师要善于与学生交流,把握好课堂气氛 首先教师要把握好自己的言谈举止。孔子云:“其身正,不令而行;其身不正,虽令不从。”要做好一名优秀的人民教师,必须具备高尚的人格和 期末总复习题 一、填空题 1、已知向量2a i j k =+- ，2b i j k =-+ ，则a b ? = -1 。 2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为 z=x 2 + y 2 。 3、级数1113n n n ∞ =?? + ???∑的敛散性为 发散 。 4、设L 是上半圆周2 2 2 a y x =+（0≥y ），则曲线积分22 1 L ds x y +?= a π 5．交换二重积分的积分次序：?? --01 2 1),(y dx y x f dy ＝ dy y x dx ),(f 0 x -12 1 ? ? 6．级数∑ ∞ =+1 )1(1 n n n 的和为 1 。 二、选择题 1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系 （ B ） A 、重合 B 、平行但不重合 C 、一般斜交 D 、垂直 2. 下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是 （ C ） A 、2221x z += B 、2221y z += C 、2221x y += D 、22221x y z ++= 3. 设)0(4:2 2 >≤+y y x D ,则32222 ln(1) 1 D x x y dxdy x y ++=++?? （ A ） A 、2π B 、0 C 、1 D 、4π 4、设)0(4:22>≤+y y x D ，则??=D dxdy （ A ） A 、π16 B 、π4 C 、π8 D 、π2 5、函数22504z x y =--在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是 （ A ） A 、216i j -+ B 、216i j -- C 、216i j + D 、216i j - 6 、 微 分 方 程 2 2 ()()0y y y ' ''+ - =的阶数为 （ B ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、6 7．下列表达式中，微分方程430y y y ''-+=的通解为 大一下学期高等数学考 试题 文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256） 一、单项选择题（6×3分） 1、设直线，平面，那么与之间的夹角为() B. C. D. 2、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（） A.充分条件 B.充分必要条件 C.必要条件 D.既非充分又非必要条件 3、设函数，则等于（） A. B. C． D. 4、二次积分交换次序后为（） A. B. C. D. 5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（） A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散C.不能确定其敛散性 6、设是方程的一个解，若，则在处（） A.某邻域内单调减少 B.取极小值 C.某邻域内单调增加 D.取极大值 二、填空题（7×3分） 1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影 ＝ 2、设，，那么 3、D为，时， 4、设是球面，则＝ 5、函数展开为的幂级数为 6、＝ 7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为 三、计算题(4×7分) 1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为1，求。 2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。 3、计算二重积分，其中 4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。 5、求级数的和。 四、综合题(10分) 曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。 五、证明题(6分) 设收敛，证明级数绝对收敛。 一、单项选择题（6×3分） 1、A 2、C 3、C 4、B 5、A 6、D 二、填空题（7×3分） 1、2 2、 3、 4、 5、6、07、 三、计算题(5×9分) 1、解：令则，故 2、解：令 则 所以切平面的法向量为： 切平面方程为： 3、解：＝＝＝ 4、解：令，则 高等数学上（1） 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(l i m . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++=2 2 221 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--?????≤<-≤=1 32 )(1020 )(dx x f x x x x xe x f x 大一下学期高等数学考试 题 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020. 一、单项选择题（6×3分） 1、设直线，平面，那么与之间的夹角为() 、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（） A.充分条件 B.充分必要条件 C.必要条件 D.既非充分又非必要条件 3、设函数，则等于（） . C． D. 4、二次积分交换次序后为（） . . 5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（） A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散C.不能确定其敛散性 6、设是方程的一个解，若，则在 处（） A.某邻域内单调减少 B.取极小值 C.某邻域内单调增加 D.取极大值 二、填空题（7×3分） 1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影 ＝ 2、设，，那么 3、D为，时， 4、设是球面，则＝ 5、函数展开为的幂级数为 6、＝ 7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为 三、计算题(4×7分) 1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为1，求。 2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。 3、计算二重积分，其中 4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。 5、求级数的和。 四、综合题(10分) 曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。 五、证明题(6分) 设收敛，证明级数绝对收敛。 一、单项选择题（6×3分） 1、A 2、C 3、C 4、B 5、A 6、D 二、填空题（7×3分） 1、2 2、 3、 4、 5、6、07、 三、计算题(5×9分) 1、解：令则，故 2、解：令 则 所以切平面的法向量为： 切平面方程为： 3、解：＝＝＝ 4、解：令，则 当，即在x轴上方时，线积分与路径无关，选择由（0，1）到（2，1）则 大一高等数学期末考试试卷 （一） 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 π π -?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 2 4 1(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 2 1lim sin x x x →= . 4. （3分） 3 2 23y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设1 y x = +求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ? ≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt + =?? 所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞? ?+ ?? ? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x π π?? =- ≤≤ ?? ? 与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋 转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().2 2 b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''= ++ --? ? （二） 一、 填空题（每小题3分，共18分） 1．设函数()2 312 2 +--= x x x x f ，则1=x 是()x f 的第 类间断点. 2．函数()2 1ln x y +=，则= 'y . 3． =? ? ? ??+∞→x x x x 21lim . 4．曲线x y 1 = 在点?? ? ??2,21处的切线方程为 .《高等数学》专科期末考试卷
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