第十六讲图形的平移和旋转讲义
第十六讲图形的平移和旋转
一、课标下复习指南
(一)平移变换
1.平移的概念
平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这种图形变换称为平移.
注:平移变换的两个要素:移动的方向和距离.
2.平移的性质
(1)平移前后的图形全等;
(2)对应线段平行(或共线)且相等;
(3)对应点所连的线段平行(或共线)且相等.
3.平移变换的作图
如图16-1所示,将△ABC平移至△A′B′C′,则有AA′∥BB′,且AA′=BB′;BB′与CC′共线,且BB′=CC′.
图16-1
说明我们可以根据平移的方向和距离作出平移后的图形;反之,可以根据平移前后的图形,得知平移的方向和距离.
4.用坐标表示平移
(1)点(x,y)点(x+a,y)或(x-a,y);
(2)点(x,y)(x,y+b)或(x,y-b).
(二)轴对称变换
1.轴对称的概念
把一个图形沿一条直线翻折过去,如果它能与另一个图形重合,那么这两个图形关于这条直线对称或轴对称.这条直线就是对称轴.两个图形中的对应点(即两图形重合时互相重合的点)叫做对称点.
2.轴对称的性质
(1)关于某条直线对称的两个图形全等;
(2)对称点所连的线段被对称轴垂直平分;
(3)对应线段所在直线若相交,则交点在对称轴上.
3.轴对称变换的作图
如图16-2,若△ABC与△A′B′C′关于直线l对称,则有△ABC≌△A′B′C′;AA′,BB′,CC′都被直线l垂直平分.
图16-2
说明我们可以根据对称轴作出一个图形的轴对称图形;反之,可以根据两个成轴对称关系的图形,得出对称轴.
4.轴对称图形
如果把一个图形沿一条直线对折,对折的两部分能够完全重合,那么就称这个图形为轴对称图形,这条直线就是这个轴对称图形的对称轴.
注:一个图形的对称轴可以有1条,也可以有多条.
5.轴对称与轴对称图形的区别与联系
区别联系
轴对称
轴对称是
指两个图形的
对称关系
若把轴对称的两
个图形看成一个(整
体)图形,则成为轴对
称图形;若把轴对称图
形的互相对称的两个
部分看成两个图形,则
轴对称图形
轴对称图形是指具有某种对称特性的
6.用坐标表示轴对称
点(x,y)关于x轴对称的点为(x,-y);
点(x,y)关于y轴对称的点为(-x,y);
点(x,y)关于直线y=x对称的点为(y,x);
点(x,y)关于直线y=-x对称的点为(-y,-x);
*点(x,y)关于直线x=m对称的点为(2m-x,y);
*点(x,y)关于直线y=n对称的点为(x,2n-y).
(三)旋转变换
1.旋转的概念
在平面内,将一个图形绕一个定点O沿某个方向(逆时针或顺时针)转动一定的角度,这样的图形变换叫做旋转.这个定点O叫做旋转中心,转动的角称为旋转角.注:旋转变换的三要素:旋转中心、旋转方向和旋转角.
2.旋转的性质
(1)旋转前后的图形全等;
(2)对应点到旋转中心的距离相等(意味着:即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上);
(3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;
*(4)对应线段所在直线的夹角等于旋转角.
3.旋转变换的作图
(1)明确旋转中心、旋转方向和旋转角,找出能确定原图形的关键点;
(2)将能确定原图形的关键点(多边形一般为每个顶点)与旋转中心连接,并将线段按要求进行旋转,得到这些关键点的对应点;
(3)按原图形顶点的顺序顺次连接这些对应点,得到旋转后的图形.
说明根据旋转前后的图形可以确定旋转中心、旋转方向和旋转角.
*4.旋转对称图形
如果某图形绕着某一定点转动一定角度(小于360°)后能与自身重合,那么这种图形就
叫做旋转对称图形.
5.中心对称
把一个图形绕着某个定点旋转180°,如果它能和另一个图形重合,那么这两个图形关于这个定点对称或中心对称.这个定点叫做对称中心,两个图形中对应点叫做关于对称中心的对称点.
6.中心对称的性质
中心对称是一种特殊的旋转,因此它具有旋转的一切性质.另外,它还有自己特殊的性质:
(1)对称点的连线都经过对称中心,并且被对称中心平分,即对称中心是两个对称点所连线段的中点;
(2)对应线段平行或共线.
7.中心对称的作图
如图16-3,若△ABC与△A′B′C′关于点O中心对称,则对称中心O是线段AA′、BB′、CC′共同的中点,且AB∥A′B′,AB=A′B′,BC∥B′C′,BC=B′C′,CA∥C′A′,CA=C′A′.
图16-3
说明我们可以根据对称中心作出一个图形的中心对称图形;反之,可以根据两个成中心对称关系的图形,得出对称中心.
8.中心对称图形
一个图形绕着一个定点旋转180°后能与自身重合,这种图形称为中心对称图形.这个定点叫做该图形的对称中心.
*中心对称图形是一个特殊的旋转对称图形(旋转角等于180°).
9.中心对称与中心对称图形的区别与联系
区别联系
中心
对称
中心对称
是指两个图形
的对称关系
把中心对称的两个
图形看成一个(整体)图
形,则称为中心对称图
形;把中心对称图形的
互相对称的两个部分看
成两个图形,则它们成
中心对称
中心对
称图形
中心对称
图形是指具有
某种对称特性
的一个图形
10.关于原点对称的点的坐标
点(x,y)关于原点对称的点的坐标为(-x,-y).
二、例题分析
例1 在平面直角坐标系中,Rt△AOB的两条直角边OA,OB分别在x轴的负半轴,y轴的负半轴上,且OA=2,OB=1.将△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°,再把所得的图形沿x轴正方向平移1个单位长度,得到△CDO.
(1)在坐标系中,分别画出△AOB和△COD,并写出点A,C的坐标;
(2)求点A和点C之间的距离;
(3)求点A到点C所经过的路线的长度.
解(1)所画出的△AOB和△COD如图16-4所示,点A的坐标是(-2,0),点C的坐标是(1,2).
图16-4
(2)连接AC.
在Rt△ACD中,AD=OA+OD=3,CD=2,
.
13
2
2=
+
=
∴AD
CD
AC
(3)点A 到点C 所经过的路线的长度是
.1π1π180
90
+=+?OA 说明 (1)正确画出图形经过几何变换后所得到的图形,是考查我们对概念的理解和空间想象力的具体体现.想一想,△AOB 能否先进行平移、再经过旋转,得到△CDO 如果可以,请用准确的术语写出这个变换的过程______.
(2)请注意第(2)、(3)小题的区别.
例2 如图16-5,把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠,使点B 落在AD 边上的点B ′处,点A 落在点A ′处,折痕分别交AD ,BC 于E ,F .
图16-5
(1)求证:B ′E =BF ;
(2)设AE =a ,AB =b ,BF =c ,试猜想以a ,b ,c 为边的三角形的形状,并给予证明. 分析 折叠过程体现了轴对称,由轴对称性质可知,B ′F =BF ,∠BFE =∠B ′FE ,而∠
BFE =∠B ′EF ,故有B ′E =B ′F =BF .
解 (1)证明:由题意,可得B ′F =BF ,∠BFE =∠B ′FE . 在矩形ABCD 中,AD ∥BC , ∴∠B ′EF =∠BFE =∠B ′FE . ∴B ′E =B ′F =BF
(2)解:以a ,b ,c 为边可以构成直角三角形. 证明:如图16-6,连接BE ,则BE =B ′E .
图16-6
由(1)知,B ′E =BF =c ,
∴a2+b2=AE2+AB2=BE2=c2.
∴以a,b,c为边构成的三角形是直角三角形.
例3 如图16-7,某人有一块平行四边形的土地,地里有一个圆形池塘,此人立下遗嘱:要把这块土地平分给他的两个儿子,中间的池塘也要同时平分,但不知如何去做.你能想个办法吗
图16-7
分析这个图形实际上是由两个中心对称图形组合而成,要想将其面积平分,只要找一条直线,使其既能平分平行四边形的面积,又能平分圆的面积即可.
解连接平行四边形的两条对角线,其交点A就是平行四边形的中心,而圆的圆心B 就是圆的中心,因此直线AB就能将土地与池塘的面积同时平分了.
说明此题可以推广.
(1)由于经过中心对称图形的对称中心的直线都可以平分该图形的面积,所以只要地和池塘都是中心对称图形,过两个对称中心的直线即可同时平分它们的面积.
(2)一些非中心对称的图形内部也存在这样的点,使得过该点有无数条直线平分该图形的面积.比如梯形,过梯形中位线的中点,且与梯形上、下两底均相交的直线均平分该梯形的面积.请思考:如图16-8,五边形ABCDE中,AB∥CD,AE∥BC,你能找到多少条平分该五边形的面积的直线呢
图16-8
例4已知△ABC中,AB>AC,AD为△ABC的角平分线,P为线段AD上一点,分别连接BP和CP,试判断AB-AC和BP-CP的大小关系,并说明理由.
分析AB和AC不共线,BP和CP也不共线,即不是同一个三角形的两条边,要想构造
它们的差,可以尝试通过图形变换把它们集中到一条直线上(或集中到一个三角形的三边上),从而得到线段差(或便于利用三角形的三边关系).另外,已知中有“AD为△ABC的角平分线”,因此可以利用角平分线的特点作轴对称变换.这样几个关键的线段就都集中了.解如图16-9,在AB上截取AC′=AC,连接PC′,
图16-9
则有AB-AC=AB-AC′=BC′.
∵AD平分∠BAC,
∴∠C 'AP=∠CAP.
又AC′=AC,AP=AP,
∴△APC′≌△APC(SAS).
∴C′P=CP.
①若点P与A重合,则BP=AB,C′P=CP=AC.
∴BP-CP=AB-AC.
②若点P与A不重合,则在△BC′P中,BP-C′P<BC′.即BP-CP<AB-AC′=AB -AC.
综上所述,AB-AC≥BP-CP.
例5如图16-10,P是矩形内一点,已知PA=3,PB=4,PC=5,求PD的长.
图16-10
分析如图16-10,考虑通过平移将四条线段PA,PB,PC,PD集中到一起,构成一个封闭图形(四边形).再考虑到题目中有垂直的条件,在平移后保持不变,于是可能运用勾股定理求出PD的长.
解 如 图16-11,分别过P ,D 作AD ,AP 的平行线,交于点P ′,则四边形APP ′D 为平行四边形.
图16-11
∴PP ′∥AD ∥BC ,PP ′=AD =BC . ∴四边形PBCP ′为平行四边形. ∴P ′D =PA =3,P ′C =PB =4. 又∵AD ⊥CD ,PP ′∥AD ,∴PP ′⊥CD . 设PP ′与CD 相交于点O ,
则P ′C 2
+PD 2
=(P ′O 2
+OC 2
)+(OD 2
+OP 2
)=P ′D 2
+PC 2
. 解得.23 PD
例6 已知O 是等边三角形ABC 内一点,∠AOB =110°,∠BOC =135°,试问: (1)以OA ,OB ,OC 为边能否构成一个三角形若能,求出该三角形各角的度数;若不能,请说明理由;
(2)如果∠AOB 的大小保持不变,那么当∠BOC 等于多少度时,以OA ,OB ,OC 为边的三角形是一个直角三角形
分析 由于OA ,OB ,OC 的长度直接不易求,但角的信息比较多(除了直接给的∠AOB 与∠BOC 外,还有正△ABC 的三个内角均为60°),故可以考虑将这三条线段通过旋转变换集中到一起,便可直接得知它们能否拼接成一个三角形了.比如,这里可以将△AOB 绕点B 顺时针旋转60°,这样OA ,OB ,OC 就集中为一个四边形的边了.
解 (1)如图16-12,过点B 作BP ,使得∠OBP =60°,在BP 上截取BP =BO ,连接OP ,
CP .
图16-12
∵正△ABC中,∠ABC=60°,又∠OBP=60°,
∴∠ABC-∠OBC=∠OBP-∠OBC.
∴∠ABO=∠CBP.
又∵AB=CB,BO=BP,
∴△ABO≌△CBP(SAS).
∴PC=OA,∠BPC=∠BOA=110°.
∵△OBP中,BO=BP,∠OBP=60°,
∴△OBP为正三角形.
∴OP=OB,∠BOP=∠BPO=60°,
亦即在△OPC中,PC=OA,OP=OB,OC=OC,
∴以OA,OB,OC为边能构成一个三角形,且这样的三角形与△OPC全等.
在△OPC中,
∠POC=∠BOC-∠BOP=135°-60°=75°.
∠OPC=∠BPC-∠BPO=110°-60°=50°.
∠OCP=180°-∠POC-∠OPC=180°-75°-50°=55°.
(2)∵∠AOB大小不变,
∴∠BPC大小也不变,即总有∠OPC=50°.
①若△OPC中,∠POC=90°,则∠BOC=∠POC+∠BOP=90°+60°=150°.
②若△OPC中,∠OCP=90°,
则∠POC=180°-∠OPC-∠OCP=180°-50°-90°=40°.
∴此时∠BOC=∠POC+∠BOP=40°+60°=100°.
综上所述,当∠BOC =150°或100°时,由OA ,OB ,OC 为边的三角形为直角三角形. 说明 一个图形经过平移、轴对称、旋转变换后都与原图形全等,因此可以用这三种变换来构造全等图形,从而“转移”边、角、面积的条件,使图形中一些分散的边与角相对集中,便于发现关系.
例7 已知抛物线2)1(2
1
:2--=x y C ,请分别写出满足下列条件的抛物线的解析式:
(1)抛物线C 关于y 轴对称的抛物线: __________________;
(2)抛物线C 关于x 轴对称的抛物线: __________________;
(3)抛物线C 关于原点对称的抛物线: __________________;
(4)抛物线C 关于其顶点对称的抛物线: __________________;
(5)抛物线C 沿y 轴向上平移3个单位长度所得的抛物线: __________________;
(6)抛物线C 沿x 轴向左平移3个单位长度所得的抛物线: __________________.
分析 解决这类问题的关键是根据变换的规律确定所得抛物线的顶点坐标和开口方向,而抛物线的形状不变(即|a |不变).
解 抛物线C 的顶点为(1,-2),开口向上,且?=
2
1a (1)抛物线C 关于y 轴对称的抛物线的顶点为(-1,-2),开口方向不变,,2
1=a 故所得抛物线为.2)1(2
1
2-+=
x y 本题也可理解为抛物线对称后,只有对称轴变为直线x =-1. (2).2)1(2
1
2+--
=x y
(3).2)1(2
1
2++-
=x y (4)抛物线C 关于其顶点对称后,顶点不变,开口向下2
1-=a , 故所得抛物线为.2)1(2
1
2---
=x y (5)平移后抛物线的顶点为(1,1),方向、形状不变所得抛物线为.1)1(2
1
2+-=x y (6)平移后抛物线的顶点为(-2,-2),所得抛物线为.2)2(2
1
2-+=
x y 例8 如图16-13,在平面直角坐标系中有四个点A (-6,3),B (-2,5),C (0,m ),
D (n ,0),当四边形ABCD 的周长最短时,求m ,n 的值.
图16-13
分析 本题等价于:在平面直角坐标系中,已知A ,B 两点的坐标,在x 轴,y 轴上各求一点D ,C ,使得四边形ABCD 的周长最小.由于A ,B 两点的位置确定,分别可作A ,B 两点关于x 轴,y 轴的对称点A ′,B ′,则线段A ′B ′与x 轴,y 轴的交点为所求作的点D ,
C .
解 如图16-14,作点A 关于x 轴的对称点A ′(-6,-3),点B 关于y 轴的对称点B ′(2,5),则有CD +BC +AD =CD +B ′C +DA ′.
图16-14
当点C ,D 在直线A ′B ′上时,BC +CD +AD 最小. 设直线A ′B ′的解析式为y =kx +b ,依题意得
??
?+=+-=-.
25,
63b k b k
解得??
?==.
3,
1b k
∴直线A ′B ′的解析式为y =x +3. 令x =0,得y =3;令y =0,得x =-3. ∴m =3,n =-3.
说明 (1)本题利用轴对称把四边形周长最短问题转化为两定点间折线段最短问题,从而可利用“两点之间,线段最短”来解决;(2)求几何中的最值问题是一类常见的题目,而对称点法是解决这类问题的一个非常有效的方法. 三、课标下新题展示
例9 (2009河北)在图16-15至图16-17中,点B 是线段AC 的中点,点D 是线段CE 的中点,四边形BCGF 和CDHN 都是正方形,AE 的中点是M .
(1)如图16-15,点E 在AC 的延长线上,点N 与点G 重合时,点M 与点C 重合,
图16-15
求证:FM =MH ,FM ⊥MH ;
(2)将图16-15中的CE 绕点C 顺时针旋转一个锐角,得到图16-16,求证:△FMH 是等腰直角三角形.
图16-16
解 (1)证明:∵四边形BCGF 和CDHN 都是正方形, 又∵点N 与点G 重合,点M 与点C 重合, ∴FB =BM =MG =MD =DH , ∠FBM =∠MDH =90°.
∴△FBM ≌△MDH . ∴FM =MH .
∵∠FMB =∠DMH =45°, ∴∠FMH =90°.∴FM ⊥HM .
(2)证明:连接MB ,MD ,如图16-17,设FM 与AC 交于点P .
图16-17
∵B ,D ,M 分别是AC ,CE 、AE 的中点, ∴MD ∥BC ,且MD =BC =BF ,MB ∥CD , 且MB =CD =DH .
∵四边形BCDM 是平行四边形且∠APM =∠FMD . ∴∠CBM =∠CDM .
又∵∠FBP =∠HDC ,∴∠FBM =∠MDH . ∵△FBM ≌△MDH .
∴FM =MH ,且∠MFB =∠HMD .
∴∠FMH =∠FMD -∠HMD =∠APM -∠MFB =∠FBP =90°. ∴△FMH 是等腰直角三角形.
例10 (2009太原)【问题解决】如图16-18,将正方形纸片ABCD 折叠,使点B 落在
CD 边上一点E (不与点C ,D 重合),压平后得到折痕MN .当时
2
1=CD CE ,求BN AM
的值.
方法指导: 为了求得
BN
AM
的值,可先求BN 、AM 的长, 不妨设AB =2.
【类比归纳】 在图16-18中,若
3
1=CD CE ,则BN AM 的值等于______;若41
=CD CE ,则BN AM 的值等
于______;若
n
CD CE 1
=(n 为整数),则BN AM 的值等于(用含n 的式子表示).
图16-18
【联系拓广】
如图16-19,将矩形纸片ABCD 折叠,使点B 落在CD 边上一点E (不与点C ,D 重合),压平后得到折痕MN .设n
CD CE m m BC AB 1),1(1=>=,则BN AM
的值等于______(用含m ,n
的式子表示).
图16-19
解 【问题解决】
方法一:如图16-20,连接BM ,EM ,BE .
图16-20
由题设,得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称. ∴MN 垂直平分BE . ∴BM =EM ,BN =EN . ∵四边形ABCD 是正方形,
∴∠A =∠D =∠C =90°,
AB =BC =CD =DA =2.
.1,2
1
==∴=DE CE CD CE
设BN =x ,则NE =x ,NC =2-x . 在Rt △CNE 中,NE 2
=CN 2
+CE 2
, ∴x 2
=(2-x )2
+12.解得,4
5=
x 即?=
4
5BN 在Rt △ABM 和在Rt △DEM 中,
AM 2+AB 2=BM 2,DM 2+DE 2=ME 2.
∴AM 2
+AB 2
=DM 2
+DE 2
. 同理,可得?=
4
1AM ?=∴
5
1
BN AM 方法二:同方法一,?=
4
5BN 如图16-21,过点N 做NG ∥CD 交AD 于点G ,连接BE .
图16-21
∵AD ∥BC ,
∴四边形GDCN 是平行四边形. ∴NG =CD =BC .
同理,四边形ABNG 也是平行四边形. 与方法一同理得?=
=4
5BN AG
∵MN ⊥BE ,∴∠EBC +∠BNM =90°. ∵NG ⊥BC ,∠MNG +∠BNM =90°. ∴∠EBC =∠MNG . 又∵∠C =∠NGM =90°, ∴△BCE ≌△NGM ,EC =MG .
,4
1145=-=-=MG AG AM ?=∴
5
1
BN AM 【类比归纳】?+-1)1(,179,522
2
n n 【联系拓广】
?+?+-1
1
22222m n n m n 四、课标考试达标题 (-)选择题
1.下列标志中,既是轴对称图形又是中心对称图形的为( ).
2.在平面直角坐标系中,点(2,4)绕点(1,1)顺时针旋转90°后,所得的点的坐标为( ). A .(-2,2) B .(4,1) C .(3,1)
D .(4,0)
3.已知两条互不平行的线段AB ,A ′B ′关于直线l 对称,AB ,A ′B ′所在的直线交于点P ,下面四个结论:①AB =A ′B ′;②点P 在直线l 上;③若A ,A ′是对称点,则直线l 垂直平分线段AA ′;④若B ,B ′是对称点,则PB =PB ′.其中正确的是( ). A .①③④
B .①②
C.③④D.①②③④
4.已知∠AOB=30°,点P在∠AOB内部,P1与P关于OB对称,P2与P关于OA对称,则∠P1OP2等于( ).
A.45°B.50°
C.60°D.70°
5.如图16-22,将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠,使点D落在BC边中点E处,点A 落在点F处,折痕为MN,则线段CN的长是( ).
图16-22
A.3cm B.4cm
C.5cm D.6cm
6.如图16-23,两个全等的正六边形ABCDEF,PQRSTU,其中点P位于正六边形ABCDEF的中心.如果它们的面积均为3,那么阴影部分的面积是( ).
图16-23
A.B.1 C.2 D.3
(二)填空题
7.若点M关于x轴对称的点的坐标为(3,-9),则点M关于y轴对称的点的坐标为_____.8.如图16-24,P是正△ABC内的一点,若将△PAB绕点A逆时针旋转到△P′AC,则∠PAP′的度数为______.
图16-24
9.如图16-25,半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于点O ,其直径CD ,EF 均和x 轴垂直,以O 为顶点的两条抛物线分别经过点C ,E 和点D ,F ,则图中阴影部分的面积是______.
图16-25
10.如图16-26,已知正方形纸片ABCD ,M ,N 分别是AD ,BC 的中点,把BC 边向上翻折,
使点C 恰好落在MN 上的P 点处,折痕交CD 于Q ,则∠PBQ =______°.
图16-26
11.如图16-27,已知五边形ABCDE 中,∠ABC =∠AED =90°,若AB =CD =AE =BC +DE =
20,则五边形ABCDE 的面积为______.
图16-27
12.如图16-28,将正方形ABCD 以点B 为旋转中心顺时针旋转120°得到正方形
A ′BC ′D ′,DO ⊥C ′A ′于O ,若13-='O A ,则正方形ABCD 的边长为______.
图16-28
(三)解答题
13.如图16-29,在平面直角坐标系中,每个小正方形的边长均为1个单位长度.先作出△ABC关于点P的对称图形△A′B′C′,再把△A′B′C′绕着点C′逆时针旋转90°,得到△A″B″B″.
图16-29
(1)请你画出△A′B′C′和△A″B″C″;
(2)写出A′,B′,C′和A″,B″,C″的坐标.
14.如图16-30,在直角梯形纸片ABCD中,AD⊥AB,AB=8,AD=CD=4,E为AB边上一点,AE=5.若将纸片沿过点E的直线折叠,使点A落在CD边上,落点记为P,折痕交AD 于F,求DF的长.
图16-30
15.如图16-31,已知CD为△ABC的中线,∠CDA和∠CDB的平分线分别交AB,BC于点E,
八年级下册图形的平移与旋转教案
个性化教学辅导教案 学科:数学任课教师:黄老师授课时间:2014 年04 月13 日(星期日) 姓名梁治安年级八年级性别男总课时____第___课 教学 目标 知识点:平移的概念、性质、平移作图;旋转的概念、性质,简单的旋转作图。 难点重点重点:1、平移的概念、性质、平移作图;旋转的概念、性质,简单的旋转作图2、简单的图案设计。 难点:图案设计的方法;轴对称、平移、旋转三种变换的组合。 课堂教学过程课前 检查作业完成情况:优□良□中□差□建议__________________________________________ 过 程 平移的概念和性质 在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移。 平移不改变图形的形状和大小。 一个图形和它经过的平移所得到的图形中,对应点所连的线段平行,且相等,对应线段平行且相等,对应角相等。 旋转的概念和性质: 在平面内,将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转,这个定点称为旋转中心,转动的角称为旋转角。旋转不改变形状和大小。 一个图形和它经过旋转得到的图形中,对应点到旋转中心的距离相等,任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角,对应线段相等,对应角相等。 知识点一、平移的概念: 1.在平面内将一个图形沿______移动一定的距离,这样的图形运动称为平移,平移不改变图形的_______和__________. 知识点二、平移的性质 2、经过平移,_________,__________分别相等, 对应点所连的线段_____________. 【基础训练】
A ′ 1.以下现象:①电梯的升降运动;②飞机在地面沿直线滑行; ③风车的转动,④汽车轮胎的转动.其中属于平移的是( ) A .②③ B 、②④ C .①② D .①④ 2、如下左图,△ABC 经过平移到△DEF 的位置,则下列说法: ①AB ∥DE ,AD=CF=BE ; ②∠ACB=∠DEF ; ③平移的方向是点C 到点E 的方向; ④平移距离为线段BE 的长. 其中说法正确的有( ) A.个 B.2个 C.3个 D.4个 3、如下右图,在等边△ABC 中,D 、E 、F 分别是边BC 、AC 、AB 的中点,则△AFE 经过平移可以得到( ) A.△DEF B.△FBD C.△EDC D. △FBD 和△EDC 4.下列图形属于平移位置变换的是( ) . 5.下列图形中,是由(1)仅通过平移得到的是( ) 6.如图,△ABC 平移后得到△A ′B ′C ′,线段AB 与线段A ′B ′的位置关系是 . 7.在1题中,与线段AA ′平行且相等的线段有 . A . B . C . D .
初二图形的平移与旋转提高同步讲义
学科教师辅导讲义 体系搭建 一、平移 1、平移的概念:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移。 平移不改变图形的形状和大小,只改变图形的位置。 2、平移的性质:①一个图形和它经过平移所得的图形中,对应点所连的线段平行且相等; ②对应线段平行且相等,对应角相等。 3、平移作图的步骤与方法: 一般步骤:(1)分析题目要求,找出平移的方向和平移的距离; (2)分析所作的图形,找出构成图形的关键点; (3)沿一定的方向,按一定的距离平移各个关键点; (4)连接所作的各个关键点,并标上相应的字母; (5)写出结论。 平移作图的方法:“对应点连接法”和“全等图形法” 4、图形的坐标变化与平移: (1)纵坐标保持不变,横坐标分别加k ①当k为正数时,原图形形状、大小不变,向右平移k个单位长度; ②当k为负数时,原图形形状、大小不变,向左平移k个单位长度;
三、中心对称 1、两个图形形成中心对称的概念及性质 (1)概念:如果把一个图形绕着某一点旋转180?,他能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做它们的对称中心。 (2)两个图形形成中心对称的性质 ①成中心对称的两个图形中,对称点所连线段经过对称中心,且被对称中心平分。 ②关于中心对称的两个图形之间的对应线段平行且相等或在同一条直线上且相等,对应角相等。 2、作成中心对称图形的一般步骤 (1)作出已知图形各顶点(或决定图形形状的关键点)关于中心的对称点——连接关键点和中心,并延长一倍确定关键点的对称点。 (2)把各对称点按已知图形的连接方式依次连接起来,则所得到的图形就是已知图形关于对称中心对称的图形。 3、中心对称图形 把一个图形绕某个点旋转180?,如果旋转后的图形能与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫做它的对称中心。 4、中心对称图形的性质 中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。 考点一:图形平移类的问题 例1、如图,将周长为10cm的△ABC沿射线BC方向平移lcm后得到△DEF,则四边形ABFD的周长为()A.11cm B.12cm C.13cm D.14cm
新北师大版八年级下册第三章图形的平移与旋转讲义及中考题
第三章图形的平移与旋转 知识点一、平移的概念: 移动一定的距离,这样1. ____________________________________ 在平面内将一个图形沿 的图形运动称为平移。 移不改变图形的 __________ 和 _______________ . 注意:1、前提在同一平面内,物体在曲面上运动不称之为平移 2、必须是沿同一个不变的方向移动 3、图形平移是有平移的方向和距离决定的 知识点二、平移的性质 2、经过平移,_____________ , _______________ 分别相等, 对应点所连的线段____________________ . 【基础训练】新课标第-网 1?以下现彖:①电梯的升降运动;②飞机在地面沿直线滑行; ③风车的转动,④汽车轮胎的转动.其中属于平移的是( A .②③B、②④ C .①② D .①④ 2、如下左图,△ ABC经过平移到△ DEF的位置,则下列说法: ① AB // DE , AD=CF=BE ; ②/ ACB= / DEF ; ③平移的方向是点C到点E的方向; ④平移距离为线段BE的长.
其中说法正确的有()A?个B 2个C. 3个D. 4个
5?下列图形中,是由(1)仅通过平移得到的是( A B , C,线段AB 与线段力B'的位置关系是 7. 3、如下右图,在等边厶ABC 中,D 、E 、 AFE 经过平移可以得到( ) A. △ DEF B. △ FBD C. △ EDC F 分别是边BC 、AC 、AB 的中点,则厶 6.如图,△ ABC 平 移后得到厶 在1题 5 D
(完整版)北师大版数学八年级下册图形的平移与旋转单元测试题
《图形的平移与旋转》 【巩固练习】 一、选择题 1. 以下图形:平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、圆、菱形,其中既是轴对称图形又是中心对称 图形的有(). A.4个 B.5个 C.6个 D.3个 2.有以下现象:①温度计中,液柱的上升或下降;②打气筒打气时,活塞的运动;③钟摆的摆动; ④传送带上瓶装饮料的移动,其中属于平移的是(). A.①③ B.①② C.②③ D.②④ 3.(2015?番禺区一模)下列图形可以由一个图形经过平移变换得到的是() A. B. C. D. 4.如图,O是正六边形ABCDEF的中心,下列图形可由△OBC平移得到的是(). A.△OCD B.△OAB C.△OAF D.△OEF 5.如图,∠DOE为直角,如果△ABC关于OD的对称图形是△A′B′C′,△A′B′C′关于OE的对称图 形是△A″B″C″,则△ABC与△A″B″C″的关系是(). A.以∠DOE的平分线成轴对称; B.关于点O成中心对称 C.平移关系; D.不具备任何关系 第4题第5题第6题 6.如图所示,△ABC中,AC=5,中线AD=7,△EDC是由△ADB旋转180°所得,则AB边的取值范围是(). A.l<AB<29 B.4<AB<24 C.5<AB<19 D.9<AB<19 7. 下列变换中,哪一个是平移().
8.如图所示,将一个含30°的直角三角板ABC绕点A选择,使得点B,A,C在同一条直线上,则三角板 ABC旋转的角度是 ( ). A.60° B.90° C.120° D.150° 二、填空题 9.某景点拟在如图的矩形荷塘上架设小桥,若荷塘中小桥的总长为100米,则荷塘周长为. 10. 如图,AB⊥BC,AB=BC=2cm,弧OA与弧OC关于点O中心对称,则AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积是__________cm2. 11. 如图,一张矩形纸片,要折叠出一个最大的正方形纸,小明把矩形的一个角沿折痕翻折上去,使AB 边和AD边上的AF重合,则四边形ABEF就是一个最大的正方形,他的判定方法是________. 第10题第11题第12题 12. 如图,在矩形纸片ABCD中,AB=2cm,点E在BC上,且AE=CE.若将纸片沿AE折叠,点B恰好与 AC上的点B1重合,则AC= cm. 13.如图,把Rt△ABC绕点A逆时针旋转44°,得到Rt△AB’C’,点C’恰好落在边AB上,连接BB’, 则∠BB’C’= . 第13题第14题
图形的平移与旋转--知识讲解
图形的平移与旋转--知识讲解 【学习目标】 1、理解平移的概念,掌握图形的平移所具有的对应点的连线的特征,理解平移前后对应边角的关系,能按要求作出简单的平面图形平移后的图形; 2、掌握旋转的概念,探索它的基本性质,能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形; 3、掌握旋转对称图形、中心对称图形和中心对称的概念,理解他们的区别和联系,并会判别给出的图形是旋转对称图形还是中心对称图形; 4、会画出给定条件的旋转对称图形或中心对称图形以及会画已知图形关于已知点成中心对称的图形. 【要点梳理】 要点一、平移的概念与性质 平移的概念 将图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的位置移动,叫做图形的平移运动,简称为平移. 如图:平移三角形ABC 就可以得到三角形A′B′C′,点A和点A′,点B 和B′,点C 和点C′是对应点,线段AB和AB′,BC 和B′C′,AC 和A′C′是对应线段,∠A与∠A′,∠B与∠B′∠C与∠C′是对应角. 平移的性质 图形平移后,对应点之间的距离、对应线段的长度、对应角的大小相等. 图形平移后,图形的大小、形状都不变. 要点诠释: 1、平移后各对应点之间的距离叫做图形平移的距离. 2、平移的两个要素:平移的方向和平移的距离. 要点二、旋转的概念与性质 旋转的概念 在平面内,将一个图形上的所有点绕一个定点按照某个方向转动一个角度,这样的运动叫做图形的旋转.这个定点叫做旋转中心(如点O ),转动的角度叫做旋转角(如∠AO A′). 如图:三角形A′B′C′是三角形ABC 绕点O 旋转所得,则点A和点A′,点B 和B′,点C 和点C′是对应点,线段AB和AB′,BC 和B′C′,AC 和A′C′是对应线段,∠A OA ′,∠BOB′,∠COC′是旋转角. 要点诠释:旋转的三个要素:旋转中心、旋转方向和旋转角度. 旋转的性质 (1)对应点到旋转中心的距离相等(OA= OA′); (2)对应线段的长度相等(AB=AB′); (3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角(∠AOA′); 要点诠释: 1、图形绕某一点旋转,既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 2、旋转前后图形的大小和形状没有改变. 要点三、旋转的作图 在画旋转图形时,首先确定旋转中心,其次确定图形的关键点,再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度,然后连接对应的部分,形成相应的图形. 要点诠释: 作图的步骤: (1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心; (2)把连线按要求(顺时针或逆时针)绕旋转中心旋转一定的角度(旋转角); (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离,得到各点的对应点; O
图形的平移与旋转教案
第三章图形的平移与旋转教案 3.1生活中的平移 教学目标: 知识目标:认识平移、理解平移的基本内涵;理解平移前后两个图形对应点连线平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等的性质。 能力目标:①通过探究式的学习,培养学生的归纳总结与猜想的数学能力,培养学生的逆向思维能力。通过知识的拓展,培养学生的分析问题与解决问题的能力;②让学生经历观察、分析、操作、欣赏以及抽象概括等过程;经历探索图形平移性质的过程,以及与他人合作交流的过程,进一步发展空间观念,增强审美意识。 情感目标:①在探究式的教学活动中,培养学生主动探索,勇于发现的科学精神;通过多种途径,培养学生细致、严谨、求实的学习习惯;渗透由特殊到一般,化未知为已知的辩证唯物主义思想;②引导学生观察生活中的图形运动变化现象,自己加以数学上的分析,进而形成正确的数学观,进一步丰富学生的数学活动经验和体验。有意识的培养学生积极的情感、态度,促进观察、分析、归纳、概括等一般能力及审美意识的发展;③通过自己动手设计图案,把所学知识加以实践应用,体会数学的实用价值。通过同学间的合作交流,培养学生的协作能力与学习的自主性。 教学重点:探究平移变换的基本要素,画简单图形的平移图。 教学难点:决定平移的两个主要因素。 教学过程设计: 一、引入并确定目标 展示与平移有关的图片,借助实物演示平移,用几何画板演示两个图形的平移。 学生分组讨论,如何将所看到的现象用简洁的语言叙述。 二、探究新知 分析平移定义,探讨“沿某一方向”的意义,其实质是沿直线运动。 学生讨论“沿某一方向”的意义。 展示图片,让学生讨论图中的运动各在那种情况下是平移,图中还有哪些图形可以通过平移得到。 学生分组讨论: (1)能否通过平移得到。 (2)能平移得到的其基本图形是什么?有哪些方法? 让学生列举生活中的平移实例,对理解有偏差的加以纠正。 展示静态图片,让学生观察图中具有特殊位置关系的线段,归纳猜想所能得到的结论;利用几何画板实验验证猜想。 小组同学讨论自己所能得到的结论。
八年级数学图形的平移与旋转同步讲义
图形的平移与旋转考点1:图形的平移 【知识要点】 1、什么叫平移? 2、平移有哪些性质? 3、决定平移的两大要素是什么? 4、(1)生活中的图形是由什么构成的? (2)怎样确定一个图形平移后的位置?
【典型例题】 【考题1-1】(深圳南山)平移方格纸中的图形,如图1-3-1,使A点平移到A′点处,画出平移后的图形,并写上一句贴切、诙谐的解说词. 【考题1-2】(宁安)图1-3-2,在10 ×5的正方形网格 中,每个小正方形的边长均为单位1,将△ABC向右平移4 个单位,得到△A’B’C’,再把△A′B′C′绕点A′逆 时针旋转 90○得到△A″B″C″请你画出△A′B′C′,和 △A″B″C″(不要求写画法)
【考题1-3】(成都郸县)在图1-3-5的网格中按要求画出 图象,并回答问题. (1)先画出面ABC向下平移5格后的△A;B1C1,再画出△ ABC以O点为旋转中心,沿顺时针方向旋转90○后的△A2B2C2 (2)在与同学交流时,你打算如何描述(1)中所画的 △A2B2C2的位置? 【考题1-4】(海口)观察图1-3-8图案,在 A、B、C、D四幅图案中,能通过图案图1-3-7的平移得到的是()
【大展身手】 1.将长度为3cm的线段向上平移20cm,所得线段的长度是() A.3cm B.23cm C.20cm D.17cm 2.以下现象:①电梯的升降运动;②飞机在地面沿直线滑行;③风车的转动,④汽车轮胎的转动.其中属于平移的是() A.②③B、②④C.①②D.①④ 3.如图1―3―12图案中可以看作由图案自身的一部分经过平移后而得到的是() 4.下列说法正确的是() A.由平移得到的两个图形的对应点连线长度不一定相等 B.我们可以把“火车在一段笔直的铁轨上行驶了一段距离”看作“火车沿着铁轨方向的平移” C.小明第一次乘观光电梯,随着电梯向上升,他高兴地对同伴说:“太棒了,我现在比大楼还高呢,我长高了!” D.在图形平移过程中,图形上可能会有不动点 5.如果同一平面的两个图形通过平移,不论其起始位置如何,总能完全重合,则这两个图形是() A.两个点B.两个半径相等的圆 C.两个点或两个半径相等的圆D.两个等边三角形 6.关于平移的说法,下列正确的是() A.经过平移对应线段相等B.经过平移对应角可能会改变 C.经过平移对应点所连的线段不相等D.经过平移图形会改变 7.如图1―3―13,∠B是由∠A平移得到的,且∠A=3 0○,∠B的度数是() A.60○B.30○ ○○