数形结合论文

数形结合思想在中学数学解题中应用

摘要：数形结合在数学中应用广泛，新教材也在结合数形结合思想来编写。数形结合思想在数学中得到了充分的重视。本文就数形结合思想在数学问题解析中的应用加以整理、总结，并给出部分例题，以便得到更好的推广。

关键词：数形结合代数问题几何问题相互转化

For combining the application in mathematics

（YANG zhongxiang）

Abstract :Several combining in mathematics teaching is widely used in combination, a new mathematical thought to write with. Several combining ideas in mathematics got full attention. Based on several combining analytical mathematical thoughts in the application are summarized, and gives some examples, in order to get better.

Key words：Combining the number Algebra problem Geometry problems Mutual transformation

前言

数形结合思想在实际的应用中显得十分重要和广泛，数形结合思想几乎贯穿了整个解析几何，可以说数形结合思想是解析几何的精髓所在。恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。”关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。

美国著名数学教育家波利亚说过:“掌握数学就意味着要善于解题。”只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。中、高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。而数形结合思想又显得格外重要和实用。但在应用中也应该注意其应用的适用性、科学性、合理性等特

性。

一、数形结合思想理论

（一）、数形结合思想的定义：数形结合是数学中重要的思想方法之一，是通过数和形两者之间的关系来解决数学问题的方法思想。

（二）数形结合思想的研究对象：数形结合思想的主要研究对象是数与几何图形或几何图形与数的关系，即对于所要研究的代数问题可以通过研究其所表示的曲线、图象等几何图形来得以解决，反之对于几何图形问题也可以转化为其所对应的代数问题加以解决。

（三）数形结合思想的本质：数形结合思想的本质是几何图形的性质反映了数量关系；数量关系决定了几何图形的性质。“数”不仅具有精确性，它还具有联系性（即在某一特定范围内它是联系不间断的），唯一性，逻辑性等，他们之间可以经过多种变换。而几何图形往往具有直观性，我们可以较直观的从图象信息中分析得到信息。

（四）数形结合思想的研究方法：数形结合思想的方法应用主要可以分为两种情况：

（1）、借助于“数”的精确性来阐明“形”的属性；

（2）、借助于“形”的直观性来阐明“数”的关系。

（五）数形结合思想的研究思路：数形结合思想的基本思路是：根据“数”的结构特征，构造出与之相适应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决“数”的问题；或将图形信息部分或全部转换成代数信息，进而削弱或清除“形”的推理部分，使要解决的“形”的问题转换为数量关系的讨论。通过以上转换使问题得以解决或简单化。

二、数形结合思想的实际应用

（一）在一般方程中的应用：

方程f(x) –g(x) = 0的解情况，可化为f(x)＝g(x) 的解情况，也可看作函数y = f(x) 与y = g(x) 图像的交点的横坐标的情况，所以只要我们准确地在数轴或坐标轴中画出这两个函数的图像，再根据图像就能很容易地看出它们有几个交点，及交点大致的位置或坐标，还有一些其它的重要信息，这样我们就可以根据这些信息来解题，我们也可以用数形结合这种方法为自己提供一种思考问题的思路，也作可以作为一种验证方法用来检查自己到底有没有做错。

例题1 方程lnx=cosx解的个数为。

分析：画出函数y=lnx与y=cosx的图像（如图1）。注意观察两个图像的相对位置关系可以得出结论，

（答案：1个。）

利用代数方法求解：lnx=cosx

已知lnx的定义域为0

而lnx在（-1,1）内的定义域为（1/e，e），cosx在此定义域内取到最大值cos（1/e）和最小值cose。由此，根据函数的值域可知，在定义域中存在有且只有一个实数根。这一结论与图形求解结论一致。显然，通过上可以题看出，函数的解析式和图像的实质是相同的，在

解题时经常要相互转化，尤其是解决较为繁琐的（如方程解的个数、

分类讨论、求参数的范围等）问题时，更要充分发挥图像的直观作

用，可以代数问题转化为几何问题，实现数形转换。但转换时，要

注意方式、方法，如方程f（x）=g（x）的解的个数可以转换为函

数y= f（x）和y=g（x）的图像的交点个数问题。

（二）三角函数与三角函数图象：

（1）三角函数图象：三角函数是解析几何中常用的几种函数之一，

在中学的各个学习阶段都显得尤为重要，特别是在近几年的中、高

考中都占有一定的比重，其图象特点为正弦函数关于原点对称；余

弦函数关于x轴对称；正、余切函数关于原点对称，下面来看各种

函数的图象特征：如图2-2,2-3所示：