有限元方法讲义
第1讲抛物问题有限元方法
1、椭圆问题有限元方法
考虑椭圆问题边值问题：
（1）
问题（1）的变分形式：求使满足
（2）
的性质，广义解的正则性结果。
区域的剖分，矩形剖分，三角剖分，剖分规则，正则剖分条件，拟一致剖分条件。
剖分区域上分片次多项式构成的有限元空间。
的逼近性质，逆性质：
这里，为的插值逼近。
问题（2）的有限元近似：求使满足
（3）
（3）的解唯一存在，且满足。
（3）的解所满足的矩阵方程（离散方程组）形式：
（4）
刚度矩阵的由单元刚度矩阵组装而成。
模误差分析：由（2）－（3）可得
（5）
由（5）可首先得到
则得到
（6）
－模误差分析
设满足
用与此方程做内积，由（5）式和插值逼近性质得到
再利用模误差估计结果，得到
（7）
最优阶误差估计和超收敛估计概念。
当与时间相关时（为抛物问题准备），由（5）式得
（8）
利用（7），类似分析可得
（9）
2、抛物问题半离散有限元方法
考虑抛物型方程初边值问题：
（10）
（10）的变分形式：求使满足
（11）
（11）的半离散有限元近似：求使满足
（12）
令，代入（12），依次取可导出常微分方程组：
（13）
其中为质量矩阵，K为刚度矩阵。。
求解常微分方程组（13），得到代回的表达式，即得半离散有限元解。
定理1.问题（12）的解唯一存在且满足稳定性估计：
（14）
证明：在（12）中取得到
整理为（注意是正定的）
对此式积分，证毕。
误差分析。引进解的椭圆投影逼近：满足
（15）
根据椭圆问题的有限元结果可知
（16）
分解误差：
的估计由（16）式给出，只须估计。
由（11），（12）和（15）知，满足
取，类似稳定性论证可得
（17）
可取为的投影，插值逼近等。
由（17）式，三角不等式和（16），得到
（18）
3、抛物问题全离散有限元近似
剖分时间区间：。
引进差分算子：
规定，当为连续函数时，，则有
由此得到
（19）
（20）
定义问题（11）的全离散向后Euler有限元近似：求，使满足
（21）
将代入（21）可导出全离散方程组
（22）
其中。系数矩阵是对称正定的。可逐层求解。
误差分析。令。为的有限元椭圆投影，只须估计。由方程（11）知满足
（23）
。则利用，从（23）和（21）得到满足
取得到
或写为
写
对上式求和且利用（19）式得
利用椭圆投影的逼近性质得到
再利用三角不等式即得全离散误差估计
（24）
全离散向后Euler格式关于时间方向只有一阶精度。
二阶精度的Crank-Nicolson格式：求使满足
（25）
其中。
方程（25）的矩阵方程形式为
处，从方程（11）知，精确解满足
。则椭圆投影满足
分解误差：。从（25）式得到
（26）
在（26）中取，注意
（27）
则在（26）中取得到
求和，且利用（20），（27）和椭圆投影的逼近性质，得到
再利用三角不等式，得Crank-Nicolson格式的误差估计：
（28）
第2讲有限体积元方法
1、椭圆问题
考虑椭圆边值问题：
设为凸多边形区域。当时，唯一存在，且满足。
1 剖分与对偶剖分
设是的一个正则三角剖分，是所有剖分节点集合，是内节
点集合，对每一个做包含的有限体积（见图1）
其中是单元的重心，是单元边的中点，所有有限体积单元构成区域的一个剖分，称为的对偶剖分，记为，则
图1
2 有限体积元空间
设是上分片线性多项式构成的有限元空间，在对偶剖分上，定
义分片常数的有限体积元空间：
设是分片线性基函数，是的特征函数，则
3 插值算子
定义插值算子：
显然
因此，对任意存在唯一使，即
4 双线性形式
由，则定义与相应双线性形式：
5 问题的有限体积元近似
求使
（1）
由于，则（1）等价于
则有误差方程
(2)
6 插值算子的性质
i)
ii) (3)
iii) (4)
守恒性质: 在(1)中取,得到
7 解的存在唯一性
引理1 设，则
证明：利用Green公式和（3）式，注意为常数，得到
定理1 有限体积元解唯一存在，且满足
证明：由引理1，方程（1）和（4）式知满足
8 －模误差分析
定理2 和满足误差估计
证明：利用引理1得到
利用柯西不等式，定理2得证。
9 －模误差分析
定理3 和满足误差估计：
证明：设满足
则利用引理1和（3）式得
其中，是的分片常数逼近。则利用逼近性质得到
证毕。
2、抛物问题
（5）
其中为凸多边形区域。设区域剖分和对偶剖分，有限体积元空间和如椭圆问题情形。
抛物问题（5）的有限体积元近似为：求使满足
（6）
其中双线性形式如椭圆问题。
引理2 下述结论成立
i)
ii) 是上与等价的范数。
由引理2可知，导出的质量矩阵是对称正定的，则常微分方程组（6）
唯一可解。由引理1也知道由导出的刚度矩阵也是对称正定的，这可保证全离散格式的唯一可解。
误差分析设为问题（6）的解，引进的有限体积元投影：满足
（7）
对（7）关于求导得到
（8）
则利用椭圆问题有限体积元的结论可得（注意）
（9）
（10）
分解误差：
的估计已知，只须估计。由方程（5）－（7）可知，满足
取，利用引理1－2得到
由（4）式和引理2知，则从上式得到
或
则利用三角不等式和（10）式得到
第3讲、一阶线性双曲方程的差分方法1、 一阶双曲问题
（1）
一阶双曲方程的一个重要概念是特征。方程（1）的特征方向是，代表流体流动的方向。特征方程是： 对应的特征曲线为：，也即在时刻，任一初值点都对应一条特征线。
函数沿特征线的微分为：
也可理解为沿特征方向的导数：
由方程（1）得知，沿特征线
或
利用初值条件可知，沿从出发的特征线，（1）的解恒为常数，从而得到（1）的解。
2、 间断性质（激波）
当有间断时，随着的发展，保持间断，若函数值间断，称为强间断，若连续，但导数间断，称为弱间断。
例1强间断，给定初值
解见图1。
图1 强间断解
例2 弱间断，给定初值
解见图2。
图2 弱间断解
3、 差分格式
在方向和时间方向进行剖分，剖分节点：
为剖分步长。
可对方程（1）构造如下三种差分格式
（2）
（3）
（4）
稳定性分析 采用Fourier方法，令，为参数。记网比。将表示代入（2）－（4），可分别导出增长因子：
则
则在条件下，当时，采用格式（2），当时，采用格式（3）。格式（4）是不稳定的。（2）和（3）称为迎风差分格式，可统一写为：
其中。迎风差分格式（2）-(3)是依据特征线走向取值的，网比条件或（特征线的斜率）是为了保证差分解的依赖域包含精确解的依赖域，见下图。
格式（4）是不稳定的，可以改造为：
（5）
称为Lax-Friedrichs格式，稳定性条件为。
上述格式都是一阶的，一个二阶格式是Lax-Wendroff格式： （6）
可以看作是对原方程的粘性近似方程：
的逼近，称为粘性差分格式，右端项称为人工粘性项。稳定性条件是。
事实上，迎风格式和LF格式都可以看作为粘性差分格式，它们可分别写为
， 迎风格式
， LF格式
人工粘性项分别为：
和
对变系数情形，差分格式同样改造，稳定性分析时，先冻结系数，可导出同样的稳定性条件：
对有界区域的边值问题，要依特征走向给定边界条件。例如，当时，只能在区域左边界给定边值。
第4讲 非线性守恒律方程的差分方法
1、 非线性守恒律方程
（1）
其中是的非线性函数，称为通量函数，问题（1）的光滑解可能不存在，但可以存在弱解：
（2）
满足（2）式的弱解存在也不一定唯一。如果在间断线上，弱解还满足熵条件：
（3）
则称其为可容许解或物理解，物理解是唯一的。（1）的解通常存在间断（激波），可以是强间断或弱间断。
2、 差分离散
在网格节点处，方程（1）可离散为
，是截断误差
或
舍去截断误差项，且对采用某种形式的网格节点近似，可得到守恒型差分格式：
（4）
其中称为数值通量，要求满足
（5）
称（5）为相容性条件。
3、 相容性与守恒性
当差分方程（4）满足相容性条件（5）时，它与微分方程是相容。事实上，对任何光滑函数和，利用泰勒展开得到（记）
则（4）式为
或者写为
令，即知差分方程逼近于微分方程。
称差分方程为守恒型，如果
（6）
对相容的差分格式（4），如果，当时，则它为守恒型的。事实上，利用相容性条件知
对（4）式求和，即知（6）式成立。
4、 几个典型的差分格式
例1 Lax－Friedrichs格式
可改写为守恒型：
例2 迎风格式（注意）
可改写为守恒型格式
例3 Engquist-Osher格式
5、 稳定性
方程（1）可写为：
那么线性方程稳定性准则：，可转化为
CFL条件 （7）
但对非线性方程，CFL条件只是稳定性的必要条件，并不充分。一般还得对差分格式附加其它要求才能保证非线性稳定性。
CFL条件的一个离散形式为
定义，变差
若差分解满足
（8）
则称差分解是TVD的（总变差衰减）。
TVD格式通常保持差分解的单调性，且为高分辨格式。
上述例中的三个格式在CFL条件下都是守恒型TVD格式。但都为一阶精度，如何构造高精度的TVD 是一个难点。高精度是指在解的光滑区域上。
将守恒型差分格式写为
（9）
如果对三个参数都是单调递增的，则称差分格式（9）是单调差分格式。
单调差分格式是L1－TVD的，且满足极值原理：
将一般的差分格式改写为
（10）
定理1如果差分格式（10）的系数满足
（11）
则差分格式为单调的；如果满足
（12）
则差分格式是TVD的。
证明：第一个结论是显然的，将（10）写为
则可有（注意）
利用（12）式得到
求和得到
上述三种差分格式在CFL条件下都是单调的TVD格式。
第5讲 一阶双曲方程间断有限元方法
1、 一维线性问题
（1）
特征方向：，特征方程，特征曲线。对问题（1）可以考虑纯初值问题，也可以考虑初边值问题，但边值条件要根据特征走向给定。
这里考虑初边值问题：。假设，在左边界给定边值条件：。
空间剖分：取定剖分步长，剖分节点，半节点
，单元。
定义分段次多项式构成的间断有限元空间：
（2）
中函数可以是不连续的。用与（1）做上的内积，得到：
（3）
对于间断点上的取值，恒取为在单元内侧的极限值，即（左极限）（右极限）。对于方程解，由连续性知，则一般根据特征走向取值。因，则取迎风值。离散方程（3）现在变为
这是精确解满足的变分方程，在其中用代替，则得到方程（1）的间断有限元近似：求使满足
（4）
引进单元上的基函数空间：
（5）
则为的直交和。可在（4）中令。在单元上，令，将代入（4）并依次取，可得到
可将离散方程（6）整理为矩阵方程形式：
（7）
其中为阶矩阵，元素分别为
例 设为分片常数空间，每个单元只有一个基函数，则方程（7）为
（8）
对t离散后，这是迎风差分格式，由边值确定。
对方程（7）可进一步进行时间离散，例如，采用一阶向后差商，得到
（9）
这是全离散间断有限元格式，可从左至右逐单元求解（对固定），时间方向逐层求解。
2、 非线性守恒律问题
（10）
对方程（10）积分得到
（11）
类似线性情形，在间断点处，需特殊定义的值，记作，称为数值通量函数，要求是相容的，即
（12）
在（11）式中用代替，代替，则得到间断有限元格式：求使满足 （13）
由相容性条件知，问题的连续解也满足（13）。
为了使格式保持相容、稳定，TVD和高分辨性质，通常借助差分方法的思想构造数值通量函数。
例1 Lax－Friedrichs型
例2 Engquist－Qsher型
对分段常数间断有限元，即，格式（13）转化为
再对时间离散，得到守恒型差分格式：
为了保持格式的稳定性，还需附加CFL条件：
（14）
现考虑半离散方程（13）的求解。利用基函数可将（13）写成常微分方程组形式：
（15）
初值由确定，一般由的投影确定。对常微分方程组（15）可采用k阶显式Roung-Kutta方法离散，由时间方向逐层求解。
例如，可采用如下R-K算法：
1．
2．对计算
3．
为了保持非线性稳定性，避免非物理振荡，通常还要采用坡度限制器（slope limiting）算子进行处理，即在上述步2中，令
，为坡度限制器算子
对多维问题或方程组情形，间断有限元方法更复杂，最优收敛阶，超收敛，后处理等研究都还不完善。
第六讲对流占优问题的特征差分和有限元
方法
1. 对流占优问题
（1）
为扩散系数， ，当时，称（1）为对流占优问题，此时方程（1）具有双曲性质，一阶项占主要地位。这样方程的解在边界附近急速变化，称为边界层现象。用通常的数值方法求解，数值解在边界层区域将出现剧烈振荡，从而失真。
2. 方程的特征形式
方程（1）双曲部分的特征方程和特征曲线是（假设为常数）
特征方向是
（2）
则沿的方向导数为
那么方程（1）沿特征方向可写为
（3）
3. 沿特征方向的离散
剖分。由特征方程可知，在
时刻经过点的特征线为：
则这两条特征线与平面的交点为 。那么在点沿特征方向的导数可近似为
这里利用 。则方程（3）在特征方向的离散为
（4）
需进一步在空间区域离散方程（4）。
一维示意图
4. 特征差分方法
设为矩形区域，对做矩形网格剖分，剖分节点记为，在每个节点处，对方程（4）进行空间离散，得到
（5）
其中是的某种近似，分别为x和y方向剖分步长。由于一般不是节点值，需特殊计算。取使，这样可使点处于与节点相邻的网格区域内，见图
则可用所在的网格单元四个顶点函数值的算术平均或双线性插值来近似。这相当一种迎风格式，例如，当时，是用点左下侧节点值近似该点值。在一维情形，当时，落在或区间内，可用相邻的两个节点值近似计算。
5. 特征有限元方法
对区域剖分，定义有限元空间，则方程（4）的特征有限元离散为：求使满足
（6）
在计算积分时，要注意。由于是分段或分片定义的（基函数也是如此），需要知道随x变化时所在的单元，才能知道基函数的表达式。因
此需要特殊方法计算或积分，参见差分方法的处理。
关于误差估计，需用到如下引理：
引理设在上有界。则当充分小时，成立。
利用此引理，按通常的抛物方程有限元误差分析方法即可得到
在特征差分或特征有限元方法中，的处理很关键，将影响计算的复杂程度和整个格式的精度。特征方向的好处是：可增强格式的稳定性；另外，在特征方向上解的二阶导数变化不大，则时间方向的离散精度较高，计算实际效果也验证这点。但特征方向通常需要对网比进行限制。
第7讲 谱方法与拟谱方法
谱方法与拟谱方法是以三角函数系等正交函数系为基函数系的Galerkin方法，这种方法比较适用于周期边值问题，其优点是：当问题解充分光滑时，理论上可达到任意阶精度；其不足是：对非周期边值，特别是不规则区域，方法难以实现。
1. 三角函数空间及其性质
设2N维三角函数系空间
（1）
用表示以2为周期函数构成的复空间，它的内积和范数为
（2）
引进投影算子定义为
（3）
熟知基函数系具有正交性质：
（4）
将展成Fourier级数：
则由定义和正交性知：
即为的Fourier展开的截断函数。
记是上以2为周期的m阶Sobolev空间，其范数为
逼近性质和逆性质：对，
（5）
2. 谱方法（Fourier-Galerkin方法）
考虑抛物型周期初边值问题：
（6）
问题（6）的谱方法近似为：求使满足
（7）
令，代入（7）式，依次取，利用正交性且注意，得到
（8）
其中分别为f和的Fourier展开系数。
方程（8）为2N个互相独立的常微分方程，可解出，代入的表达式，即得谱方法解。
注意不是节点值，为求出精确解在节点处的近似值
可利用快速Fourier变换求解，这也是谱方法的优点。另外，我们是对常系数问题导出了简洁的近似方程（8），对变系数则比较复杂。
3. 误差分析
精确解满足
由投影的定义，且注意，则知满足
（9）
记，由（7）和（8）式得到
（10）
在（10）式中取，分布积分得到
积分且注意，得到，即。则利用的逼近性质得到误差估计
（11）
4. 拟谱方法（Fourier配置法）
剖分，，则问题（6）的拟谱方法为：求使满足
（12）
定义离散内积和范数
（13）
由于离散内积是利用节点值定义的，则（12）式可写为
（14）
方程（14）较（12）更便于理论分析。
在离散内积下，仍可有正交性质：
（15）
将表示为
将的表达式代入方程（14），依次取，利用正交性质且注意，得到 （16）
其中，此为2N个相互独立的常微分方程，可求解，代回表达式得到近似解。
若要求节点值，可利用
和快速Fourier变换求出。
下面进行误差分析，引进插值算子：，定义为
显然，，即可视为u按离散内积在中的投影。具有逼近性质：
（17）
引理 连续内积和离散内积在上是一致的，即
（18）
证明：可利用正交性直接计算验证。
利用此引理且注意
则从满足的方程（14）得到
（19）
记，则从方程（9）和（19）得到
取得
由此得
有限元理论方法
关于有限元分析法及其应用举例 摘要：本文主要介绍有限元分析法，作为现代设计理论与方法的一种，已经在 众多领域普遍使用。介绍了它的起源和国内外发展现状。阐述了有限元法的基 本思想和设计方法。并从实际出发，例举了有限元法的一个简单应用———啤 酒瓶的应力分析和优化,表明了利用有限元分析法的众多优点。随着计算机的 发展，基于有限元分析方法的软件开发越来越多。本文也在其软件开发方面进 行阐述，并简单介绍了一下主流软件的发展情况和使用范围。并就这一领域的 未来发展趋势进行阐述。 关键词：有限元分析法软件啤酒瓶 Abstract：This thesis mainly introduces the finite element analysis, as a modern design theory and methods used widely in in most respects. And this paper introduces its origins and development in world. It also expounds the basic thinking and approach of FEM..Proceed from the actual situation,this text holds the a simple application of finite-element method———the analysis and optimized of an beer bottle and indicate the the numerous benefits of finite element analysis .As computers mature and based on the finite element analysis of the software development is growing. This article introduces its application in the software development aspects as well, and briefly states the development and scope of the mainstream software. And it’s also prospect future development tendency in this area . Key: Finite Element Analysis Software Beer bottle 0 绪论 有限元法(Finite Element Method，FEM)，是计算力学中的一种重要的方法，它是20世纪50年代末60年代初兴起的应用数学、现代力学及计算机科学相互渗透、综合利用的边缘科学。有限元法最初应用在工程科学技术中，用于模拟并且解决工程力学、热学、电磁学等物理问题。对于过去用解析方法无法求解的问题和边界条件及结构形状都不规则的复杂问题，有限元法则是一种有效的分析方法。有限元法的基本思想是先将研究对象的连续求解区域离散为一组有限个且按一定方式相互联结在一起的单元组合体。由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模拟成不同几何形状的求解小区域；
有限元法的基本思想及计算 步骤
有限元法的基本思想及计算步骤 有限元法是把要分析的连续体假想地分割成有限个单元所组成的组合体，简称离散化。这些单元仅在顶角处相互联接，称这些联接点为结点。离散化的组合体与真实弹性体的区别在于：组合体中单元与单元之间的联接除了结点之外再无任何关联。但是这种联接要满足变形协调条件，即不能出现裂缝，也不允许发生重叠。显然，单元之间只能通过结点来传递内力。通过结点来传递的内力称为结点力，作用在结点上的荷载称为结点荷载。当连续体受到外力作用发生变形时，组成它的各个单元也将发生变形，因而各个结点要产生不同程度的位移，这种位移称为结点位移。在有限元中，常以结点位移作为基本未知量。并对每个单元根据分块近似的思想，假设一个简单的函数近似地表示单元内位移的分布规律，再利用力学理论中的变分原理或其他方法，建立结点力与位移之间的力学特性关系，得到一组以结点位移为未知量的代数方程，从而求解结点的位移分量。然后利用插值函数确定单元集合体上的场函数。显然，如果单元满足问题的收敛性要求，那么随着缩小单元的尺寸，增加求解区域内单元的数目，解的近似程度将不断改进，近似解最终将收敛于精确解。 用有限元法求解问题的计算步骤比较繁多，其中最主要的计算步骤为： 1）连续体离散化。首先，应根据连续体的形状选择最能完满地描述连续体形状的单元。常见的单元有：杆单元，梁单元，三角形单元，矩形单元，四边形单元，曲边四边形单元，四面体单元，六面体单元以及曲面六面体单元等等。其次，进行单元划分，单元划分完毕后，要将全部单元和结点按一定顺序编号，每个单元所受的荷载均按静力等效原理移植到结点上，并在位移受约束的结点上根据实际情况设置约束条件。 2）单元分析。所谓单元分析，就是建立各个单元的结点位移和结点力之间的关系式。现以三角形单元为例说明单元分析的过程。如图1所示，三角形有三个结点i，j，m。在平面问题中每个结点有两个位移分量u，v和两个结点力分量F x，F y。三个结点共六个结点位移分量可用列
有限单元法与有限元分析
有限单元法与有限元分析 1.有限单元法 在数学中，有限元法（FEM，Finite Element Method）是一种为求解偏微分方程边值问题近似解的数值技术。求解时对整个问题区域进行分解，每个子区域都成为简单的部分，这种简单部分就称作有限元。它通过变分方法，使得误差函数达到最小值并产生稳定解。类比于连接多段微小直线逼近圆的思想，有限元法包含了一切可能的方法，这些方法将许多被称为有限元的小区域上的简单方程联系起来，并用其去估计更大区域上的复杂方程。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。 随着电子计算机的发展，有限单元法是迅速发展成一种现代计算方法。它是50年代首先在连续体力学领域--飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。 1.1.有限元法分析本质 有限元法分析计算的本质是将物体离散化。即将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，这一步称作单元剖分。离散后单元与单元之间利用单元的节点相互连接起来；单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质，描述变形形态的需要和计算精度而定（一般情况单元划分越细则描述变形情况越精确，即越接近实际变形，但计算量越大）。所以有限元中分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是同新材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。这样，用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划分单元数目非常多而又合理，则所获得的结果就与实际情况相符合。 1.2.特性分析 1）选择位移模式： 在有限单元法中，选择节点位移作为基本未知量时称为位移法；选择节点力作为基本未知量时称为力法；取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法中位移法应用范围最广。 当采用位移法时，物体或结构物离散化之后，就可把单元总的一些物理量如
有限元分析中英文对照资料
The finite element analysis Finite element method, the solving area is regarded as made up of many small in the node connected unit (a domain), the model gives the fundamental equation of sharding (sub-domain) approximation solution, due to the unit (a domain) can be divided into various shapes and sizes of different size, so it can well adapt to the complex geometry, complex material properties and complicated boundary conditions Finite element model: is it real system idealized mathematical abstractions. Is composed of some simple shapes of unit, unit connection through the node, and under a certain load. Finite element analysis: is the use of mathematical approximation method for real physical systems (geometry and loading conditions were simulated. And by using simple and interacting elements, namely unit, can use a limited number of unknown variables to approaching infinite unknown quantity of the real system. Linear elastic finite element method is a ideal elastic body as the research object, considering the deformation based on small deformation assumption of. In this kind of problem, the stress and strain of the material is linear relationship, meet the generalized hooke's law; Stress and strain is linear, linear elastic problem boils down to solving linear equations, so only need less computation time. If the efficient method of solving algebraic equations can also help reduce the duration of finite element analysis. Linear elastic finite element generally includes linear elastic statics analysis and linear elastic dynamics analysis from two aspects. The difference between the nonlinear problem and linear elastic problems: 1) nonlinear equation is nonlinear, and iteratively solving of general; 2) the nonlinear problem can't use superposition principle; 3) nonlinear problem is not there is always solution, sometimes even no solution. Finite element to solve the nonlinear problem can be divided into the following three categories: 1) material nonlinear problems of stress and strain is nonlinear, but the stress and strain is very small, a linear relationship between strain and displacement at this time, this kind of problem belongs to the material nonlinear problems. Due to theoretically also cannot provide the constitutive relation can be accepted, so, general nonlinear relations between stress and strain of the material based on the test data, sometimes, to simulate the nonlinear material properties available mathematical model though these models always have their limitations. More important material nonlinear problems in engineering practice are: nonlinear elastic (including piecewise linear elastic, elastic-plastic and viscoplastic, creep, etc. 2) geometric nonlinear geometric nonlinear problems are caused due to the nonlinear relationship between displacement. When the object the displacement is larger, the strain and displacement relationship is nonlinear relationship. Research on this kind of problem Is assumes that the material of stress and strain is linear relationship. It consists
有限元分析复习资料打印版
有限元复习资料 1．简述有限单元法的应用范围 答：①工程地质现象机制的研究；②工程区岩体应力边界条件或区域构造力的反馈；③工程岩土体位移场和应力场的模拟；④岩土体稳定性模拟 2．简述有限元单元法的基本原理 答：有限元单元法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法。它是50年代首先在连续体力学领域----飞机结构静，动态特性分析中应用的一种由此奥的数分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导。电磁场、流体力学等连续性问题。有限元分析计算的思路和做法可归纳如下： ①物体离散化 将整个工程结构离散为由各个单元组成的计算模型，这一步称作单元剖分。离散散后单元与单元之间利用单元的节点相互连接起来；单元节点的设置、性质、树木等应是问题的性质，描述变形形态的需要和计算进度而定（一般情况但愿划分月息则描述变形情况月精确，及月接近实际变形，但计算两越大）。所以有限元中分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是同新材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。这样，用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划分单元数目非常多而又合理，则所获得的结果就与实际情况相符合。 ②单元特性分析 A．选择位移模式 在有限单元法中，选择节点位移为基本未知量称为位移法；选择节点力作为基本未知量时称为力法；取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。位移法易于实现计算机自动化，所以，在有限单元法中位移法应用范围最广。当采用位移法时，物体或结构离散化之后，就可把单元总的一些物理量如位移，应变和应力等由节点位移来表示。这时可以对单元中位移的分布采用一些能逼近原原函数的近似函数予以描述。通常，有限元法我们就将位移作为坐标变量的简单函数。这种函数称为位移模式或位移函数，如y=a其中a 是待定系数，y是与坐标有关的某种函数。 B．分析但愿的力学性质 根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等，找出单元节点力和节点位移的关系式，折中单元分析中的关键一部。此时需要应用弹性力学中的几何方程和物理方程来来建立力和位移的方程式，从而导出单元刚度矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。C．计算等效节点力 物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元。但是，对于实际的连续题，力是从单元的公共边传递到另一个单元中去的。因而，这种作用在单元辩解上的表面力、体积力和集中力都需要等效的移动节点上去，也就是用等效的节点力来代替所有作用在单元上的力。 ③单元组集 利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新连接起来，形成整体的有限元方程 ④求解未知节点位移 解有限元方程式得出位移。这里，可以根据方程的具体特点来选择合适的计算方法。通过上述分析，可以看出，有限单元法的基本思想是“一分一合”，分是为了进行单元分
有限元法基础试题
有限元法基础试题（A ） 一、填空题（5×2分） 1.1单元刚度矩阵e T k B DBd Ω = Ω? 中，矩阵B 为__________，矩阵D 为___________。 1.2边界条件通常有两类。通常发生在位置完全固定不能转动的情况为_______边界，具体指定有限的非零值位移的情况，如支撑的下沉，称为_______边界。 1.3内部微元体上外力总虚功： ()(),,,,e x x xy y bx xy x y y by d W F u F v dxdy δστδτσδ??=+++++??+(),,,,x x y y xy y x u v u u dxdy σδσδτδδ??+++??的表达式中，第一项为____________________的虚功，第二项为____________________的虚功。 1.4弹簧单元的位移函数1N +2N =_________。 1.5 ij k 数学表达式：令j d =_____，k d =_____，k j ≠，则力i ij F k =。 二、判断题（5×2分） 2.1位移函数的假设合理与否将直接影响到有限元分析的计算精度、效率和可靠性。（ ） 2.2变形体虚功原理适用于一切结构（一维杆系、二维板、三位块体）、适用于任何力学行为的材料（线性和非线性），是变形体力学的普遍原理。 （ ） 2.3变形体虚功原理要求力系平衡，要求虚位移协调，是在“平衡、协调”前提下功的恒等关系。 （ ） 2.4常应变三角单元中变形矩阵是x 或y 的函数。 （ ） 2.5 对称单元中变形矩阵是x 或y 的函数。 （ ） 三、简答题（26分） 3.1列举有限元法的优点。（8分） 3.2写出有限单元法的分析过程。（8分） 3.3列出3种普通的有限元单元类型。（6分） 3.4简要阐述变形体虚位移原理。（4分） 四、计算题（54分） 4.1对于下图所示的弹簧组合，单元①的弹簧常数为10000N/m ，单元②的弹簧常数为20000N/m ，单元③的弹簧常数为10000N/m ，确定各节点位移、反力以及单元②的单元力。（10分） 4.2对于如图所示的杆组装，弹性模量E 为10GPa ，杆单元长L 均为2m ，横截面面积A 均为2×10-4m 2，弹簧常数为2000kN/m ，所受荷载如图。采用直接刚度法确定节点位移、作用力和单元②的应力。（10分）
有限元讲义
《刚塑性有限元法及其在轧制中的应用》 1998年12月
刚塑性有限元法及其在轧制中的应用 1 本课程学习目的和要求 1．了解现代轧钢生产和轧制技术的发展概况 2．掌握现代轧制理论研究的基本任务； 3．掌握刚塑性有限元的基本概念、基本理论和基本方法； 2 本课程学习的主要内容 1．刚塑性有限元的基本理论； 2．刚塑性有限元有关技术问题的处理方法； 3．求解轧制过程的刚塑性有限元程序。 3 本课程的基础和相关知识 1.现代塑性加工力学：基本方程、变分原理、有限元基础知识； 2.工程数学：矩阵分析、优化方法、数值分析； 3.计算机基础知识：操作系统、FORTRAN语言和FORTRAN 4.0编程软件。 4 讲课和学习方法 1.课堂讲授：基本概念、基本理论、基本方法及程序剖析； 2.课外自学：消化理解、阅读程序； 3.上机实践：调试程序。
1 绪论 1.1 现代轧制理论研究的发展概况 轧制过程的理论研究与轧钢生产发展的实际需要密切相关。20世纪60年代以前，为了适应手工操作和单体设备为主的轧钢生产过程，轧制理论主要解决轧制力、力矩、功率、宽展和前滑等参数的近似计算问题。轧制理论的主要进展是提出了卡尔曼和奥罗万方程，采用一些假设条件推导出轧制力和宽展等公式，逐步形成了以工程法为核心的传统轧制理论体系。20世纪60年代以后，随着轧钢生产和轧制技术的飞跃发展和用户对产品质量要求的日益提高，以计算机为工具，以现代数值分析方法的为特征的现代轧制理论得到了迅速发展。 1.1.1 现代轧钢生产和轧制技术的发展 现代轧钢生产大体可分为两个阶段： 20世纪50~70年代—发展趋势是大型化、高速化和连续化；1960年以前建立了较多热带钢轧机，特点辊身范围1120~2490mm，年生产能力100~200万吨，带钢卷重6~14吨，最大精轧速度为10~12m/s，技术进步是将AGC应用于精轧机；20世纪60~70年代，轧机向现代化技术方面发展，同时连铸技术发展成熟。大型连铸坯、步进式加热炉、大型化的粗轧机、7机架精轧机组、AGC、升速轧制、层流冷却技术以及轧制过程计算机控制的全面应用。60年代美国建设了11套热带钢轧机，其中10套不同程度地采用计算机控制，日本到1971年共建19套热带轧机，14套采用计算机控制。 20世纪80年代以后—轧钢生产主要向提高产品质量、降低消耗、优化轧制过程、开发新钢材和新品种方向发展。(板形、厚度及超级钢) 我国1957年鞍钢建设了第一套2800/1700mm半连续式板带钢轧机，此外，我国还有辊身长度在1422mm以上的热轧宽带钢轧机8套、薄板坯连铸连轧带钢轧机3套。武钢、本钢1700mm3/4连续式热带钢轧机各一套，宝钢2050mm3/4连续式热带钢轧机，攀钢1450mm半连续式热带钢轧机，太钢1549 mm半连续式热带钢轧机，梅钢1422mm全连续式热带钢轧机，宝钢1580、鞍钢1780mm半连续式热带钢轧机各一套，珠钢1500、邯钢1900和包钢1750薄板坯连铸连轧带钢轧机各一套。
有限元法中的几个基本概念
诚信·公平·开放·共赢 Loyalty Fair Opening Win-win 有限元法中的几个基本概念 有限元法是把要分析的连续体假想地分割成有限个单元所组成的组合体，简称离散化。 这些单元仅在顶角处相互联接，称这些联接点为结点。 离散化的组合体与真实弹性体的区别在于：组合体中单元与单元之间的联接除了结点之外再无任何关联。但是这种联接要满足变形协调条件，即不能出现裂缝，也不允许发生重叠。显然，单元之间只能通过结点来传递内力。 通过结点来传递的内力称为结点力，作用在结点上的荷载称为结点荷载。当连续体受到外力作用发生变形时，组成它的各个单元也将发生变形，因而各个结点要产生不同程度的位移，这种位移称为结点位移。 在有限元中，常以结点位移作为基本未知量。并对每个单元根据分块近似的思想，假设一个简单的函数近似地表示单元内位移的分布规律，再利用力学理论中的变分原理或其他方法，建立结点力与位移之间的力学特性关系，得到一组以结点位移为未知量的代数方程，从而求解结点的位移分量。然后利用插值函数确定单元集合体上的场函数。显然，如果单元满足问题的收敛性要求，那么随着缩小单元的尺寸，增加求解区域内单元的数目，解的近似程度将不断改进，近似解最终将收敛于精确解。 附：FELAC 2.0软件简介 FELAC 2.0采用自定义的有限元语言作为脚本代码语言，它可以使用户以一种类似于数学公式书写和推导的方式，非常自然和简单的表达待解问题的微分方程表达式和算法表达式，并由生成器解释产生完整的并行有限元计算C程序。 FELAC 2.0的目标是通过输入微分方程表达式和算法之后，就可以得到所有有限元计算的程序代码，包含串行程序和并行程序。该系统采用一种语言(有限元语言)和四种技术(对象技术、组件技术、公式库技术生成器技术)开发而成。并且基于FELAC 1.0的用户界面，新版本扩充了工作目录中右键编译功能、命令终端输入功能，并且丰富了文本编辑功能，改善了用户的视觉体验，方便用户快速便捷的对脚本或程序进行编辑、编译与调试。其中并行版在前后处理上进行了相应的改进。
有限元方法讲义
第1讲抛物问题有限元方法 1、椭圆问题有限元方法 考虑椭圆问题边值问题： （1） 问题（1）的变分形式：求使满足 （2） 的性质，广义解的正则性结果。 区域的剖分，矩形剖分，三角剖分，剖分规则，正则剖分条件，拟一致剖分条件。 剖分区域上分片次多项式构成的有限元空间。 的逼近性质，逆性质： 这里，为的插值逼近。 问题（2）的有限元近似：求使满足 （3） （3）的解唯一存在，且满足。 （3）的解所满足的矩阵方程（离散方程组）形式： （4） 刚度矩阵的由单元刚度矩阵组装而成。 模误差分析：由（2）－（3）可得 （5） 由（5）可首先得到 则得到 （6） －模误差分析 设满足 用与此方程做内积，由（5）式和插值逼近性质得到 再利用模误差估计结果，得到 （7） 最优阶误差估计和超收敛估计概念。 当与时间相关时（为抛物问题准备），由（5）式得 （8） 利用（7），类似分析可得 （9） 2、抛物问题半离散有限元方法 考虑抛物型方程初边值问题：
（10） （10）的变分形式：求使满足 （11） （11）的半离散有限元近似：求使满足 （12） 令，代入（12），依次取可导出常微分方程组： （13） 其中为质量矩阵，K为刚度矩阵。。 求解常微分方程组（13），得到代回的表达式，即得半离散有限元解。 定理1.问题（12）的解唯一存在且满足稳定性估计： （14） 证明：在（12）中取得到 整理为（注意是正定的） 对此式积分，证毕。 误差分析。引进解的椭圆投影逼近：满足 （15） 根据椭圆问题的有限元结果可知 （16） 分解误差： 的估计由（16）式给出，只须估计。 由（11），（12）和（15）知，满足 取，类似稳定性论证可得 （17） 可取为的投影，插值逼近等。 由（17）式，三角不等式和（16），得到 （18） 3、抛物问题全离散有限元近似 剖分时间区间：。 引进差分算子： 规定，当为连续函数时，，则有 由此得到 （19） （20） 定义问题（11）的全离散向后Euler有限元近似：求，使满足 （21） 将代入（21）可导出全离散方程组 （22）
现代设计方法(关于有限元)作业
《现代设计方法》作业关于有限元法的研究 学院：机械工程学院 专业：机械制造及其自动化
0.有限元法 有限元法分析起源于50年代初杆系结构矩阵的分析。随后，Clough于1960年第一次提出了“有限元法”的概念。其基本思想是利用结构离散化的概念，将连续介质体或复杂结构体划分成许多有限大小的子区域的集合体，每一个子区域称为单元（或元素），单元的集合称为网格，实际的连续介质体（或结构体）可以看成是这些单元在它们的节点上相互连接而组成的等效集合体；通过对每个单元力学特性的分析，再将各个单元的特性矩阵组集成可以建立整体结构的力学方程式，即力学计算模型；按照所选用计算程序的要求，输入所需的数据和信息，运用计算机进行求解。 当前，有限元方法/理论已经发展的相当成熟和完善，而计算机技术的不断革新，又在很大程度上推进了有限元法分析在工程技术领域的应用。然而，如此快速地推广和应用使得人们很容易忽视一个前提，即有限元分析软件提供的计算结果是否可靠、满足使用精度的前提，是合理地使用软件和专业的工程分析。有限元法分析一般包括四个步骤：物理模型的简化、数学模型的程序化、计算模型的数值化和计算结果的分析。每一个步骤在操作过程中都或多或少地引入了误差，这些误差的累积最终可能会对计算结果造成灾难性的影响，进而蒙蔽我们的认识和判断。 1.受内压空心圆筒的轴对称有限元分析 例图1.1所示为一无限长的受内压的轴对称圆筒，该圆筒置于内径为120mm的刚性圆孔中，试求圆筒内径处的位移。结构的材料参数
为：200 =，0.3 E GPa μ=。 图1 结构图 对该问题进行有限元分析的过程如下。 （1）结构的离散化与编号 由于该圆筒为无限长，取出中间一段（20mm高），采用两个三角形轴对称单元，如图1.2所示。对该系统进行离散，单元编号及结点编号如图1.3所示，有关结点和单元的信息见表1.1。 图1.2 有限元模型
有限元法基础重点归纳(精)
1、有限元这种数值计算方法起源于20世纪50年代中期航空工程中飞机结构的矩阵分析。 2、有限单元法的基本思想:在力学模型上将一个原来连续的物体离散成为有限个具有一定 大小的单元,这些单元仅在有限个节点上相连接,并在节点上引进等效力以代替实际作用于单元上的外力。 3、节点:网格间相互连接的点。 4、边界:网格与网格的交界线。 5、有限元的优点:①理论基础简明,物理概念清晰,且可在不同的水平上建立起对该法的 理解②具有灵活性和适用性,应用范围极为广泛③该法在具体推导运算中,广泛采用了矩阵方法。 6、有限单元法分类(从选择基本未知量的角度:位移法(以节点位移为基本未知量,通用 性广、力法(以节点力、混合法(一部分以节点位移,另一部分以节点力 7、有限元法分析计算的基本步骤:①结构的离散化②单元分析(选择位移模式,建立单元 刚度方程,计算等效节点力③整体分析④求解方程,得出节点位移⑤由节点位移计算单元的应变与应力。 8、单元划分:将某个机械结构划分为由各种单元组成的计算模型。 9、有限元法基本近似性------几何近似。
10、弹性力学的任务:分析弹性体在受外力作用并处于平衡状态下产生的应力、应变和位移状态及其相互关系等。 11、弹性力学假设所研究的物体是连续的、完全弹性的、均匀的、各向同性的、微小变形的和无初应力的 12、外力:体力(分布在物体体积内的力---重力、惯性力、电磁力面力(分布在物体表面上的力---流体压力、接触力、风力 13、应力:物体受外力作用,或由于温度有所改变,其内部发生的内力。σ={ σx σy σz τx τy τz } = [σx σy σz τx τy τz ]T 14、应变:物体受到外力作用时,其形状发生改变时的形变。---长度和角度。 ε={ εx εy εz γx γy γz } = [εx εy εz γx γy γz ]T 15、位移:弹性体在载荷作用下,不仅会发生形变,还将产生位移,即弹性体位置 的移动。 δ={u v w }=[u v w ]T 16:、变形协调条件:设想在变形前,把弹性体分为许多微小立方单元体。变形后,每个单元体都产生任意变形而变成一些六面体。可能发生这样的情况,这些六面体
现代设计方法基础 有限元法
现代设计方法基础 题目：有限元法的简介 系部：机电系 专业：机械设计制造及其自动化 班级： 姓名： 学号： 2010年5月20日 1.有限元法的概述 1.1 什么是有限元
有限元分析，定义为：将一个连续系统（物体）分隔成有限个单元，对每一个单元给出一个近似解，再将所有单元按照一定的方式进行组合，来模拟或者逼近原来的系统或物体，从而将一个连续的无限自由度问题简化成一个离散的有限自由度问题分析求解的一种数值分析方法。 1.2有限元法的基本思想 许多工程分析问题，如固体力学中位移场和应力场分析、振动特性分析、传热学中的温度场分析、流动力学中的流场分析等都可归结为在给定边界条件下求解其控制方程的问题。 有限元分析的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。 有限元是那些集合在一起能够表示实际连续域的离散单元。有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用，例如用多边形逼近圆来求得圆的周长，但作为一种方法而被提出，则是最近的事。有限元法最初被称为矩阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算，并由于其方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。经过短短数十年的努力，随着计算机技术的快速发展和普及，有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域，成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法。有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中。 目前工程中使用的偏微分方程的数值解法主要有三种：有限差分法、有限元法和边界元法。 有限差分法的出发点是用结点量的差商代表控制方程中的导数。以矩形域二维无源稳定传热问题为例，起控制方程为拉普拉斯方程，即无源场中各点的散度为零： (5-1) 边界条件为 (5-2) 式中，()y ,x u 为区域Ω内任意点()y ,x 的温度；n 为区域Ω边界Γ上任意点的外向法线； u 代表在1Γ上给定的温度（例如左边界C 200。，右边界为C 20。）；n u ??代表边界2Γ上 给定的热流密度。 则式中的二阶偏导数可用结点温度的二阶差商近似表达为 ()()()Ω∈=??+??y ,x 0y y ,x u x y ,x u 2222()()?????=??=q n y ,x u u y ,x u ()()21y ,x y x,ΓΓ∈∈
有限元单元法复习资料
1.1有限单元法中“离散”的含义是什么？有限单元法是如何将具 有无限自由度的连续介质的问题转变为有限自由度问题的？位移有限单元法的标准化程式是怎样的？（1）离散的含义即将结构离散化，即用假想的线或面将连续体分割成数目有限的单元，并在其上设定有限个节点；用这些单元组成的单元集合体代替原来的连续体，而场函数的节点值将成为问题的基本未知量。（2）给每个单元选择合适的位移函数或称位移模式来近似地表示单元内位移分布规律，即通过插值以单元节点位移表示单元内任意点的位移。因节点位移个数是有限的，故无限自由度问题被转变成了有限自由度问题。（3）有限元法的标准化程式：结构或区域离散，单元分析，整体分析，数值求解。 1.2单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有哪些性质？各自的物理意义是什么?两者有何区别? 单元刚度矩阵的性质：对称性、奇异性（单元刚度矩阵的行列式为零）。整体刚度矩阵的性质：对称性、奇异性、稀疏性。 单元刚度矩阵Kij物理意义Kij即单元节点位移向量中第j个自由度发生单位位移而其他位移分量为零时，在第i个自由度方向引起的节点力。 整体刚度矩阵K中每一列元素的物理意义是：要迫使结构的某节点位移自由度发生单位位移，而其他节点位移都保持为零的变形状态，在所有个节点上需要施加的节点荷载。 2.1 为了使计算结果能够收敛于精确解，位移函数需要满足什么条件？为什么？ 满足完备性和协调性。 原因：完备性包括两个条件：即刚体位移条件与常应变条件。首先，位移函数必须包含单元的刚体位移。结构中的单元不仅产生与该单元本身变形相应的位移，还可能因其他单元变形而通过节点位移产生单元刚体位移。为了正确反映单元的实际位移形态，位移函数必须具有反映刚体位移的能力。 其次，由于单元位移函数采用多项式，故在单元内部协调条件总能满足，要求反映在相邻单元之间。实质上来说，要求相邻单元间协调是为了保证单元交界面上应变有限。 3.1构造单元形函数有那些基本原则？试采用构造单元几何方法，构造T10单元的形函数，并对其收敛性进行讨论。 答：形函数是定义于单元内坐标的连续函数。通常单元位移函数采用多项式，其中的待定常数由节点位移参数确定，因此其个数应与单元节点自由度数相等。根据实体结构的几何方程，单元的应变是位移的一次导数。为了反映单元刚体位移和常应变即满足完备性要求，位移函数中必须包含常数项和一次项，即完全一次多项式。 3.3 何谓面积坐标？其特点是什么？ 答：三角形单元中，任一点P(x,y)与其3个角点相连形成3个子三角形,其位置可以用下述称为面积坐标的三个比值来确定： L1=A1/A L2=A2/A L3=A3/A 其中A1,A2,A3分别为P23,P31,P12的面积。 各三角形面积为：Ai=1/2* =(ai+bi+ci)/2 由于A1+A2+A3=A,所以有L1+L2+L3=1，Li=(ai+bi+ci)/(2A) 特点：①T3单元的形函数Ni就是面积坐标Li ②面积坐标与三角形在整体坐标系中的位置无关，故称为局部坐标。 ③三个节点的面积坐标分别为节点1（1,0,0），节点2（0,1,0），节点3（0,0,1），形心的面积坐标（1/3，1/3 ，1/3）。④单元边界方程为Li=0 (i=1,2,3)； ⑤在平行于2,3边的一条直线上，所有点都要相同的面积坐标。⑥面积坐标与直角坐标互为线性关系。 体积坐标：P点与四面体四个面围成的四个子四面体的体积与原来四面体体积的比值。即 剪切闭锁现象：当梁的高度与梁的长度之比t/l趋于零时，这种单元将出现这种现象，算得的挠度趋于零。 为克服剪切闭锁，使C0型单元适用于各种高度的梁。采用减缩积分方案与假设减应变法。 零能模式：对应于某种非刚体位移模式，减缩积分时高斯点上的应变正好等于零，此时的应变能当然也为零，这种非刚体位移模式称为零能模式。采用减缩积分时会发生零能模式。 5.1、等参单元：将整体坐标系中xy中形状中较复杂的真实单元变换成局部坐标系xy中规则的标准单元，然后在标准单元中构造形函数。由于坐标变换式与单元位移函数中用了相同的形函数N i（ξ，η），故称这种变换为等参变换，相应的单元称为等参单元。 2、等参单元的优越性：①有些工程较复杂，用直边单元离散这些结构需要大量的单元才能得到较好的近似，而曲边的等参单元可方便地离散复杂结构。②如在单元内多取些节点，单元便具有较多的位移自由度，从而就能够插值表示较复杂的单元内部位移场，这样就提高了单元本身的精度。③等参单元刚度矩阵、荷载矩阵的计算是在规则单元域内进行的因此不管被积函数多么复杂，都可以方便地采用标准化数值积分。 3、数值积分的阶次：对于N点积分，当被积函数为m次多项式且m<=2N-1时，可得精确积分值。反之，对于m次多项式的被积函数，精确积分要求的积分点数N>=（m+1）/2。 6.1、工程梁和剪切梁的基本假设？有两种梁弯曲理论①工程梁理论基本假设：平截面假设与横向纤维无挤压假设。前者认为梁横截面变形后仍为平面，且垂直于变形后的中性轴。该假设意味着横向剪切应变γxy =0，后者认为梁的横向纤维无挤压，即εy=0。②剪切梁理论基本假设：横向纤维元无挤压与另一假设认为法平面变形后仍为平面，但不再垂直于变形后的中性轴。 6.2. 剪切梁怎么考虑剪切影响：在结构单元分析中，可在工程梁单元的基础上考虑剪切变形的影响，也可通过挠度与转角各自独立插值直接构造剪切梁单元。 6.3对于杆系结构单元，为什么要在局部坐标系内建立单元刚度矩阵？为什么还要坐标变换？（1）在局部坐标系内可以更方便的建立单 元刚度矩阵。（2）在整体分析中，对所有单元都应采用同一个坐标系即整体坐标系X Y，否则围绕同一节点的不同单元对节点施加的节点力不能直接相加。因此，在进行整体分析之前，还需要进行坐标转换工作，把局部坐标系中得出的单元刚度方程转换成整体坐标系中的单元刚度方程，从而得出整体坐标系中的单元刚度矩阵。 7.1. 薄板弯曲理论基本假定：第一条：板厚方向的挤压变形可忽略不计，即εz=0,。这项假设类似于梁的横向纤维间无挤压假设。第二条：在板弯曲变形中，中面法线保持为直线且仍为弹性曲面（挠度曲面）的法线。第三条：薄板中面只发生弯曲变形，没有面内的伸缩变形，即中面水平位移（u）z=0=(v) z=0=0. 7.2. 厚板理论基本假设：板的中面法线变形后基本保持为直线，但因横向变形的缘故，该直线不在垂直于变形后的中面。因此，法线绕坐标轴的转角θx、θy不再是挠度的导数，而是独立变量；中面内的线位移和板厚方向的挤压变形也可忽略。 7.3. 薄板、厚板基本假定的不同：薄板：板弯曲变形中，中面法线保持为直线且仍为弹性曲面法线。厚板：板中面法线变形后仍基本保持为直线，但该直线不再垂直于变形后的中面。 7.4. DKT单元：离散Kirchhoff理论的基本思想是在若干离散点上满足Kirchhoff直法线假设。基于这种理论构造薄板单元时，w,θx,,θy 也各自独立插值；然后在若干离散点上引入直法线假设。这样构造的单元叫做DKT单元 8.1. 薄壳单元基本假设：薄壳理论假设：薄壳发生微笑变形时，忽略沿壳体厚度方向的挤压变形；且认为直法线假设成立，即变形后中面法线保持为直线且仍为中面的法线；壳体变形时中面不但发生弯曲，而且面内也将产生面内伸缩变形；折板假设；非耦合假设。 薄壳与薄板理论的假设的异同点：相同点：直法线假设和法向（板厚度方向）的纤维无挤压假设均成立。不同点：薄板中面只发生弯曲变形，没有面内的伸缩变形，即中面水平位移为零，而壳体变形时中面不但发生弯曲，而且也将产生面内伸缩变形。 厚壳分析的假设：变形前后的中曲面法线变形后仍基本保持为直线，但因横向剪切变形的缘故，该直线不再垂直于变形后的中曲面，此外，壳体厚度方向的挤压变形可以忽略。 与厚板理论的假设的 相同点：中面法线变形后仍基本保持为直线，但因横向剪切变形的缘故，该直线不在垂直于变形后的中面。厚度方向的挤压变形忽略不计。不同点：厚板理论的假设中，中面内的线位移可以忽略，而厚壳理论的假设中，中面内的位移不可忽略，并且厚壳的位移场可用中面位移表示。 8.2. 平板型单元：组成的折板系统去代替原来的壳体，由平面应力状态与平板弯曲应力状态加以组合而得壳体的应力单元。 分析这种单元时所提出的假设：理论假设：薄壳发生微笑变形时，忽略沿壳体厚度方向的挤压变形，且认为直法线假设成立，即变形后中面法线保持为直线且仍为中面的法线。，折板假设，非耦合假设。 应用平板型壳单元可能会出现的问题，如何解决：1.单元共面问题，解法：引入唯一边界条件可解方程Ka=P 。2.虚拟旋转刚度，解法：在特殊节点上给以任意的虚拟刚度系数。Kθzθzθzi=0，经坐标变换，整体坐标系中该节点平衡方程将满足唯一解条件。赋予Kθzθz任何值。3.新型平面膜元：在平面膜元角点上增加旋转自由度θz，使其有对应的刚度。 8.3. 面内变形与弯曲变形之间非耦合的假设是针对什么提出来的？试说明单元组装时，面内效应与弯曲效应的耦合将会出现。 答：面内变形与弯曲变形之间非耦合的假设是针对局部坐标系下的单元提出的。 9.1. 减少自由度的措施有哪些？各自基本概念如何？ 答：1.恰当利用结构对称性。基本思想：利用结构的对称性，取结构一部分建立有限元模型。根据荷载对称性，分析对称面上的位移状态，以确定对称面上节点的位移边界条件。2.采用子结构技术。基本思想：在大型复杂结构的有限元分析中，可将原结构分成若干区域，每个区域作为一个子结构，这些子结构在其公共边界上互相连接起来。 2. 为什么说位移法中应力解的精度低于位移解？ 答：在位移有限单元法中，沿单元边界是连续的，而位移的导数通常不连续，因此，在单元边界上应力是不连续的；基本未知量是位移，而单元应变和应力是由位移求导得到的，因此应力精度低于位移精度。 3. 在无法获得精确解的条件下，如何进行误差估计？ 答：有限元解法的误差估计有：残值法，后处理法。后处理法：由于无法获得精确解，一般以修匀后的改进值σ*作为“精确解”进行误差估计，通过与精确值误差范数对比，这样做非常有效。