.
0→k
a 1lim
1<=+∞
→a a
a
k
k k
序列{}k
a
以收敛比a 线性收敛于零．
例3 序列{}10 ,2
<<
a a
k
02
→k
a
[]
1lim
2
2
2
1
=+∞
→k
k a a
k
序列{}k
a 2
是2 级收敛的．
注1：收敛级取决于当∞→k 时该序列所具有的性质，它反映了序列收敛的快慢． 收敛级p 越大，序列收敛得越快．
当收敛级p 相同时，收敛比β越小，序列收敛得越快。
§5.2 一维搜索基本概念
5.2.1 基本概念
在许多迭代下降算法中，得到点)
(k x 后，需要按某种规则确定一个方向)
(k d
，再从)
(k x
出发，沿方向)
(k d
在直线（或射线）L 上求目标函数的极小点，从而得后继点)
1(+k x ．
求目标函数在直线上的极小点，称为一维搜索，或称为线搜索．一维搜索可归结为单变量函数的极小化问题．
求目标函数)(x f 在直线L 上极小点转化为求一元函数
)()()
()
(k k d
x
f λλφ+=
的极小点．
一维搜索大体可分成两类：
试探法： 按某种方式找试探点．通过一系列试探点来确定极小点．
函数逼近法，或插值法：用某种较简单的曲线逼近本来的函数曲线，通过求逼近函数的极小点来估计目标函数的极小点．
这两类方法一般只能求得极小点的近似值，称为非精确一维搜索．
5.2.2 搜索区间及其确定方法
一维搜索需要事先给定一个包含极小点的区间，此区间称为搜索区间。 搜索区间确定方法：进退法．
进退法是一种试探法：从一点出发，按一定的步长，试图确定出函数值呈现“高-低-高”的三点。一个方向不成功，就退回来．再沿相反方向寻找．
进退法的计算步骤： (l)给定初点1)
0(R x
∈，初始步长00>h ．置0h h =，)
0()
1(x
x
=，计算)()
1(x
f ，并置
0=k .
(2)令h x
x
+=)
1()
4(，计算)()
4(x
f ，置1:+=k k .
(3)若)()()
1()
4(x
f x f <，则转步骤（4）；否则，转步骤（5）． (4)令)
1()
2(x x
=, )
4()
1(x
x
=, )()()
1()
2(x
f x
f =, )()()
4()
1(x
f x
f =，置02:h h =，转
步骤（2）.
(5) 若1=k ，则转步骤（6）；否则，转步骤（7）. (6) 置h h -=:, )
4()
2(x
x =，)()()
4()
2(x
f x f =，转步骤（2）.
(7) 令)
2()
3(x
x
=,)1()
2(x
x
=，)
4()
1(x x
=，停止计算．
得到含有极小点的区间],[)
3()
1(x
x 或者],[)
1()
3(x
x ．
注2：实际应用中，为了获得合适的0h ，有时需要做多次试探才能成功．
5.2.3 单峰函数及其性质
定义3: 设f 是定义在闭区间],[b a 上的一元实函数, x 是f 在],[b a 上的极小点，并且对任意的],[,)
2()
1(b a x x ∈，)
2()
1(x
x
<，有当x x
≤)
2(时，)()()
2()
1(x
f x
f >，当)
1(x
x ≤时，)()()
1()
2(x
f x
f >，则称f 是在闭区间],[b a 上的单峰函数．
单峰函数的性质：通过计算区间],[b a 内两个不同点处的函数值，就能确定一个包含极小点的子区间．
定理1: 设f 是区间],[b a 上的单峰函数，],[,)
2()
1(b a x
x ∈,且)
2()
1(x
x <.如果
)()()
2()
1(x
f x
f >，则对每一个],[)
1(x
a x ∈，有)()()2(x
f x f >；如果)()()
2()
1(x f x
f ≤，
则对每一个],[)
2(b x x ∈，有)()()
1(x
f x f >.
根据定理1，只需选择两个试探点，就可将包含极小点的区间缩短．
§5.3 0.618法和Fibonacci 法
5.3.1 0.618法
0.618 法（黄金分割法）适用于单峰函数．
基本思想：通过取试探点使包含极小点的区间（不确定区间）不断缩短，当区间长度小到一定程度时，区间上各点的函数值均接近极小值，因此任意一点都可作为极小点的近似．
试探点计算公式：
设)(x f 在],[11b a 上单峰，极小点],[11b a x ∈.设进行第k 次迭代时，有],[k k b a x ∈．为缩短包含极小点的区间，取两个试探点],[,k k k k b a ∈μλ,并规定k k μλ<．
)(382.0k k k k a b a -+=λ （1）
)(618.0k k k k a b a -+=μ （2）
计算步骤：
（1）置初始区间],[11b a 及精度要求0>L ，计算试探点1λ和1μ，计算函数值)(1λf 和
)(1μf ．计算公式：
)(382.01111a b a -+=λ )(618.01111a b a -+=μ
令1=k .
（2）若L a b k k <-，则停止计算．否则，当)()(k k f f μλ>时，转步骤（3）；当
)()(k k f f μλ≤时，转步骤（4）.
（3）置k k a λ=+1，k k b b =+1，k k μλ=+1, )(618.01111++++-+=k k k k a b a μ 计算函数值)(1+k f μ，转步骤（5）.
（4）置k k a a =+1，k k b μ=+1，k k λμ=+1, )(382.01111++++-+=k k k k a b a λ 计算函数值)(1+k f λ，转步骤（5）.
（5）置1:+=k k ，返回步骤（2）.
例4：解下列问题：12)(min 2
--=x x x f 。 初始区间]1 ,1[],[11-=b a ，精度16.0=L .
k
k a k b k λ k μ )(k f λ )(k f μ
1 -1 1 -0.236 0.236 -0.653 -1.125
2 -0.236 1 0.236 0.528 -1.125 0.970
3 -0.236 0.528 0.056 0.236 -1.050 -1.125
4 0.056 0.528 0.236 0.348 -1.12
5 -1.10
6 5 0.056 0.348 0.168 0.236 -1.112 -1.125 6 0.168 0.348 0.236 0.279 -1.125 -1.123 7
0.168
0.279
经6次迭代达到L a b <=-111.077,极小点]279.0,168.0[∈x .
该问题的最优解25.0*
=x ．可取23.02/)279.0168.0(=+=x 作为近似解．
5.3.2 Fibonacci 法
Fibonacci 法与0.618法类似，也是用于单峰函数. Fibonacci 法与0.618法的主要区别：
（1）区间长度缩短比率不是常数，而是由Fibonacci 数确定． （2）需要事先知道计算函数值的次数. 定义4：设有数列}{k F ，满足条件：
（1）110==F F ；（2）),2,1( 11 =+=-+k F F F k k k 则称}{k F 为Fibonacci 数列．
k
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ? k F
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
?
Fibonacci 法在迭代中计算试探点的公式：
1,,1 ),(1
1-=-+
=+---n k a b F F a k k k n k n k k λ (3)
1,,1 ),(1
-=-+
=+--n k a b F F a k k k n k n k k μ (4)
n 是计算函数值的次数.
利用（3）式和（4）式计算试探点时，第k 次迭代区间长度的缩短比率恰为1/+--k n k n F F . 给定初始区间长度11a b -及精度要求L ，可求出计算函数值的次数n （不包括初始区间端点函数值的计算）．
由下式
L
a b F n 1
1-≥
求出Fibonacci 数n F ，根据n F 确定计算函数值的次数n .
Fibonacci 法与0.618 法的关系: (1)0.618法可作为Fibonacci 法极限形式:
618.0lim
1≈-∞
→n
n n F F
(2)Fibonacci 法精度高于0.618 法．在计算函数值次数相同条件下，0.618法的最终区间大约比使用Fibonacci 法长17%．
(3)Fibonacci 法缺点是要事先知道计算函数值次数．0.618 法不需要事先知道计算次数，且收敛速率与Fibonacci 法比较接近.在解决实际问题时，一般采用0.618法．
§5.4 插值法(二次)
5.4.1 牛顿法(一点二次插值法)
基本思想：在极小点附近用二阶Taylor 多项式近似目标函数)(x f ，进而求出极小点的估计值．
考虑问题
1
),(min R x x f ∈ (5)
令 2
)
()
()
()
('
)
())(("2
1))(()()(k k k k k x
x x
f x x x f x
f x -+
-+=?
又令 0))((")()()
()
()
(''
=-+=k k k x
x x
f x
f x ?
得到)(x φ的驻点，记作)
1(+k x
，则
)
(")(')
()()
()
1(k k k k x
f x f x
x
-
=+ （6）
在点)
(k x 附近，)()(x x f ?≈，因此可用函数)(x ?的极小点作为目标函数)(x f 极小点
的估计．
如果)
(k x 是)(x f 极小点的一个估计，那么利用（6）式可以得到极小点的一个进一步的
估计.
利用迭代公式（6）可以得到一个序列}{)
(k x
．
可以证明，在一定条件下，这个序列收敛于问题（5）的最优解，而且是2级收敛． 牛顿法的计算步骤： (1)给定初点)
0(x ，允许误差0>ε，置0=k .
(2)若ε<|)('|)
(k x f ，则停止迭代，得到点)
(k x
.
(3)计算点)
1(+k x
,)
(")(')
()()
()
1(k k k k x
f x f x
x
-
=+,置1:+=k k ，转步骤(2).
注3：运用牛顿法时，如果初始点靠近极小点，则可能很快收敛；如果远离极小点，迭代产生的点列可能不收敛于极小点．
5.4.2 割线法(二点二次插值法)
基本思想：用割线逼近目标函数的导函数的曲线)('x f y =，把割线的零点作为目标函数的驻点的估计.
迭代公式：
)(')
(')(')
()
1()
()
1()
()
()
1(k k k k k k k x
f x f x
f x
x x
x
--+---
=
得到序列}{)
(k x
．可以证明，在一定的条件下，这个序列收敛于解（收敛级为1.618）．
注4：与牛顿法相比，收敛速率较慢，但不需要计算二阶导数．
注5：缺点与牛顿法类似，都不具有全局收敛性，如果初点选择得不好，可能不收敛．
5.4.3 抛物线法(三点二次插值法)
基本思想：在极小点附近，用二次三项式)(x ?逼近目标函数)(x f ，令)(x ?与)(x f 在三点)
3()
2()
1(x
x
x
<<处有相同的函数值，并假设
)()()
2()
1(x f x
f >，)()()
3()
2(x
f x
f <.
令 2
)(cx bx a x ++=? 又令
)()()
1(2
)1()
1()
1(x f cx bx
a x
=++=? （7） )()()
2(2
)2()
2()
2(x f cx bx a x =++=? （8） )()()
3(2
)3()
3()3(x
f cx
bx
a x
=++=? （9）
解方程组（7）-(9)，求二次逼近函数)(x ?的系数b 和c ．
为书写方便，记
)()()
1(2
)3(2
)2(1x f x x B -= )()()
1()
3()
2(1x f x
x
C -= )()()
2(2
)1(2)3(2x f x x B -= )()()
2()1()
3(2x
f x
x C -=
)()()3(2
)2(2)1(3x
f x
x
B -= )()()
3()
2()
1(3x
f x
x
C -=
))()(()
1()
3()
3()
2()
2()
1(x
x
x
x x
x
D ---=
由方程（7）-(9)得到
D B B B b /)(321++= (10) D C C C c /)(321++-= (11)
)(x ?的极小点对应的驻点为c
b x 2-
=.
把驻点x 记作)
(k x ，则
)
(2321321)
(C C C B B B x
k ++++=
（12）
把)
(k x
作为)(x f 的极小点的一个估计．
再从)
1(x ，)
2(x
，)
3(x
，)
(k x
中选择目标函数值最小的点及其左、右两点，给予相应的
上标，代入（12）式，求出极小点的新的估计值)
1( k x
.
以此类推，产生点列}{)
(k x
.
注6：在一定条件下，这个点列收敛于问题的解，其收敛级为1. 3．
斐波那契法 一维搜索方法
短后的区间不大于区间[0,10]的5% 。 解：由题意=δ5%，由斐波那契数列δ1 ≥n F ，则n=7， 00=a ，100=b 1t =0b )(0076a b F F --=2180 , 21 130)(00760'1=-+=a b F F a t , 将1t 和'1t 代入函数，比较大小有)()('11t f t f < 则有001==a a ，21801'2==t t ，21130'11==t b ，21 50)(116512=--=a b F F b t ， 将2t 和'2t 代入函数，比较大小有)()('22t f t f < , 则有012==a a ，21502'3==t t ，2180'22==t b ，21 30)(225423=--=a b F F b t ， 将3t 和'3t 代入函数，比较大小有)()('33t f t f >， 则有213033==t a ，2150'34==t t ，218023==b b ，21 60)(33433'4=-+=a b F F a t ， 将4t 和'4t 代入函数，比较大小有)()('44t f t f >， 则有215044==t a ,2160'45==t t ,218034==b b ,21 70)(44324'5=-+=a b F F a t ， 将5t 和'5t 代入函数，比较大小有)()('55t f t f >， 则有216055= =t a ，2170'56==t t ，218045==b b ， 则令105 351)21602180()01.05.0(2160))((55215'6=-?++=-++=a b F F a t ε， 将6t 和'6t 代入函数，比较大小有)()('66t f t f <， 则216056==a a ，105351'66==t b ，区间为：?? ????105351,2160 所以选择6t 为极小点，=)(6t f 89.6)2170( -=f 。
机械优化设计一维搜索实验报告
《机械优化设计》 实验报告 班级: 机械设计（2）班 姓名：邓传淮 学号：0901102008
1 实验名称：一维搜索黄金分割法求最佳步长 2 实验目的：通过上机编程，理解一维搜索黄金分割法的原理，了解计算机在优化设计中的应用。 3 黄金分割法的基本原理 黄金分割法是用于一元函数f(x)在给定初始区间[a,b]内搜索极小点α*的一种方法。它是优化计算中的经典算法，以算法简单、收敛速度均匀、效果较好而著称，是许多优化算法的基础，但它只适用于一维区间上的凸函数[6]，即只在单峰区间内才能进行一维寻优，其收敛效率较低。其基本原理是：依照“去劣存优”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索区间[7]。具体步骤是：在区间[a,b]内取点：a1 ，a2 把[a,b]分为三段。如果f(a1)>f(a2)，令a=a1,a1=a2,a2=a+r*(b-a)；如果f(a1)4实验所编程序框图(1)进退发确定单峰区间的计算框图
（2）黄金分割法计算框图
5 程序源代码 （1）进退发确定单峰区间的程序源代码 #include #include #define f(x) pow(x,4)-3*pow(x,3)-5*pow(x,2)-14*x+46 main() { int k; double x,h,x1,x2,x3; double f1,f2,f3,f; double a,b; x1=0; h=1; x2=x1+h; f1=f(x1); f2=f(x2); if (f1>f2) { h=2*h; x3=x2+h; f3=f(x3);
一维优化方法
一维优化方法 最优化设计数学模型中的基本概念： 1、设计变量 在机械设计中，区别不同的设计方案，通常是以一组取值不同的参数来表示。这些参 数可以是表示构件形状、大小、位置等的几何量，也可以是表示构件质量、速度、加速度、力、力矩等的物理量。在构成一项设计方案的全部参数中，可能有一部分参数根据实际情 况预先确定了数值，它们在优化设计过程中始终保持不变，这样的参数称为给定参数(或 叫预定参数)或设计常数。另一部分参数则是需要优选的参数，它们的数值在优化设计过 程中则是需要优选的参数，它们的数值在优化计算过程中是变化的，这类参数称为设计变量，它相当于数学上的独立自变量。一个优化问题如果有n个设计变量，而每个设计变量 用xi(i=1,2, ,n)表示，则可以把n个设计变量按一定的次序排列起来组成一个列阵或行 阵的转置，即写成 ??x1? x=?x? 2?=[x1,x2, ,xT ?? ?n] ?x? n? 我们把x定义为n维欧式空间的一个列向量，设计变量x1,x2, ,xn为向量x的n个 分量。以设计变量x1,x2, ,xn为坐标轴展成的空间称为n维欧式空间，用Rn表示。该空 间包含了该项设计所有可能的设计方案，且每一个设计方案就对应着设计空间上的一个设 计向量或者说一个设计点x。 2、目标函数 优化设计是在多种因素下欲寻求使设计者员满意、且适宜的一组参数。“最满意”、“最适宜”是针对某具体的设计问题，人们所追求的某一特定目标而言。在机械设计中， 人们总希望所设计的产品具有最好的使用性能、体积小、结构紧凑、重量最轻和最少的制 造成本以及最多的经济效益，即有关性能指标和经济指标方面最好。 在优化设计中，一般将所追求的目标(最优指标)用设计变量的函数形式表达，称该函 数为优化设计的目标函数。目标函数的值是评价设计方案优劣程度的标准，也可称为准则 函数。建立这个函数的过程称为建立目标函数。一般的表达式为
常用一维搜索算法
无约束优化：不对定义域或值域做任何限制的情况下，求解目标函数的最小值。 这是因为实际应用中，许多情形被抽象为函数形式后均为凸函数，对于凸函数来说局部最小值点即为全局最小值点，因此只要能求得这类函数的一个最小值点，该点一定为全局最小值。 （直接法：又称数值方法，它只需计算目标函数驻点的函数数值，而不是求其倒数，如坐标轮换法，单纯型法等。 间接法：又称解析法，是应用数学极值理论的解析方法。首先计算出目标函数的一阶或一阶、二阶导数，然后根据梯度及海赛矩阵提供的信息，构造何种算法，从而间接地求出目标函数的最优解，如牛顿法、最速下降法共轭梯度法及变尺度法。） 在优化算法中保证整体收敛的重要方法就是线搜索法与信赖域法,这两种算法既相似又有所不同。根据不同的线搜索准则就延伸出不同的线搜索算法,譬如比较常见和经典的最速下降法,牛顿法,拟牛顿法以及共辄梯度法等。 一维搜索又称线性搜索(Line Search),就是指单变量函数的最优化,它是多变量函数最优化的基础,是求解无约束非线性规划问题的基本方法之一。 一维搜索技术既可独立的用于求解单变量最优化问题,同时又是求解多变量最优化问题常用的手段,虽然求解单变量最优化问题相对比较简单,但其中也贯穿了求解最优化问题的基本思想。由于一维搜索的使用频率较高,因此努力提高求解单变量问题算法的计算效率具有重要的实际意义。 在多变量函数的最优化中,迭代格式X k+1=X k+a k d k其关键就是构造搜索方向d k和步长因子a k 设Φ(a)=f(x k+ad k) 这样从凡出发,沿搜索方向d k,确定步长因子a k,使Φ(a)<Φ(0)的问题就是关于步长因子a的一维搜索问题。其主要结构可作如下概括:首先确定包含问题最优解的搜索区间，然后采用某种分割技术或插值方法缩小这个区间，进行搜索求解。 一维搜索通常分为精确的和不精确的两类。如果求得a k使目标函数沿方向d k达到 极小,即使得f (x k+a k d k)=min f (x k+ ad k) ( a>0) 则称这样的一维搜索为最优一维搜索,或精确一维搜索,a k叫最优步长因子; 如果选取a k使目标函数f得到可接受的下降量,即使得下降量f (x k)一f (x k+a k d k)>0是用 户可接受的,则称这样的一维搜索为近似一维搜索,或不精确一维搜索,或可接受一维 搜索。 由于在实际计算中,一般做不到精确的一维搜索,实际上也没有必要做到这一点,因为精确的
基于matlab的一维搜索
最优化理论与算法 基于matlab 的一维搜索——0.618试探法 2 m in ()21def f x x x =-- ， 初始区间11[,][1,1]a b =-,精度0.16L ≤ clc clear %设定初始值 L=0.16; k=1; b=1; a=-1; r=a+0.382*(b-a); u=a+0.618*(b-a); fr=fun(r); fu=fun(u); c=[]; while b-a>L if fr>fu a=r; b=b; r=u; u=a+0.618*(b-a); fr=fun(r); fu=fun(u); else a=a; b=u; u=r; r=a+0.382*(b-a); fr=fun(r); fu=fun(u); end k=k+1; c=[c,[a,b,r,u,fr,fu]]; end k jieguo=reshape(c,6,k)’ s=[a,b] l=b-a jieguo = -1.0000 1.0000 -0.2360 0.2360 -0.6526 -1.1246 -0.2360 1.0000 0.2360 0.5278 -1.1246 -0.9706 -0.2360 0.5278 0.0558 0.2360 -1.0496 -1.1246 0.0558 0.5278 0.2360 0.3475 -1.1246 -1.1060 0.0558 0.3475 0.1672 0.2360 -1.1113 -1.1246 0.1672 0.3475 0.2360 0.2787 -1.1246 -1.1234 0.1672 0.2787 0.2098 0.2360 -1.1218 -1.1246
第5章 一维搜索
第5章 一维搜索 §5.1 最优化算法的简单介绍 1．算法概念 在解非线性规划时，所用的计算方法，最常见的是迭代下降算法． 迭代：从一点) (k x 出发，按照某种规则A 求出后继点) 1(+k x ．用1+k 代替k ，重复以上 过程，产生点列}{) (k x 。 规则A 是在某个空间X 中点到点的映射，即对每一个X x k ∈) (，有点 X x A x k k ∈=+)() () 1(． 更一般地，把A 定义为点到集的映射，即对每个点X x k ∈) (，经A 作用，产生一个点 集X x A k ?)() (.任意选取一个点)() () 1(k k x A x ∈+，作为) (k x 的后继点． 定义1: 算法A 是定义在空间X 上的点到集映射，即对每一个点X x ∈，给定－个子集 X x A ?)(. 例1 考虑线性规划： 1 s.t. min 2 ≥x x 最优解1=x ．设计一个算法A 求出这个最优解． ???????
无约束最优化问题可以定义解集合为 }0)(|{=?=Ωx f x 约束最优化问题可以定义解集合为 }T -K 为|{点x x =Ω 2. 算法收敛问题 设Ω为解集合，X X A →:是一个算法，集合X Y ?.若以任一初点Y x ∈) 1(开始， 算法产生的序列其任一收敛子序列的极限属于Ω，则称算法映射A 在Y 上收敛． 收敛速率: 定义2: 设序列}{) (k γ 收敛于* γ，定义满足 ∞<=--≤+∞ →βγ γ γ γp k k k * ) (*) 1(lim 的非负数p 的上确界为序列}{) (k γ 的收敛级． 若序列的收敛级为p ，就称序列是p 级收敛的． 若1=p 且1<β，则称序列是以收敛比β 线性收敛的． 若1>p 或者1=p 且0=β，则称序列是超线性收敛的． 例2 序列{}10 ,<一维搜索问题
优化设计方法第一次大作业（一维搜索问题） 学院：航空制造工程学院 专业名称：机械工程 班级学号： 1200852010 XX 学生姓名：吴XX 指导教师：孙XX （教授） 二O一三年四月二十八号
???? ??????? ??? ????某车间有两台机床甲和乙，可用于加工3种工件。假定这两台机床的可用台时数分别为700和800，3种工件的数量分别为300，500，和400，且已知用两台不同机床加工单位数量的不同工件所需的台时数和加工费用（如下表所示）。问怎样分配机床的加工任务，才能既满足加工工件的要求，又使总加工费用最低。 机床加工情况表 解：设在甲机床上加工工件1、2、3的数量分别为x1、x2、x3，在乙机床上加工工件1、2、3的数量分别为x4、x5、x6,根据3种工件的数量限制: 对工件1有：x1+x4=300 对工件2有：x2+x5=500 对工件3有：x3+x6=400 再根据机床甲和乙的可用总台时限制，可以得到其他约束条件。以总加工费用最少为目标函数，组合约束条件，可以得到下面的数学模型： Min z=13x1+9x2+10x3+11x4+12x5+8x6 x1+x4=300 x2+x5=500 x3+x6=400 0.4x1+1.1x2+x3≤700 0.5x4+1.2x5+1.3x6≤800 xi ≥0 利用MATLAB 软件中最优化工具箱可完成此模型解法。在MATLAB 软件中，新建M 文件，输入下列系数： f=[13 9 10 11 12 8]; A=[0.4 1.1 1 0 0 0;0 0 0 0.5 1.2 1.3]; b=[700;800]; Aeq=[1 0 0 1 0 0; 0 1 0 0 1 0;0 0 1 0 0 1]; beq=[300;500;400]; lb=zeros(6,1); 然后调用linprog 函数 [x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb) 运行过程与结果如下： M 文件： 机床类型 单位工作所需加工台时数 单位工件的加工费用 可用 台时数 工件1 工件2 工件3 工件1 工件2 工件3 甲 0.4 1.1 1.0 13 9 10 700 乙 0.5 1.2 1.3 11 12 8 800
三点一维搜索法报告
三点一维搜索法报告 姓名：张攀班级：2009211102 学号：09210048 算法的基本思想： 三点一维算法是从0.618法衍生而来的，0.618算法使用从两点a,b间选择两个点c,d将原来区域分为三个，抛弃不符合所求数值趋势的两个区域，不断逼近所求值，当|b-a|实例分析： 选择函数：f[x] := Sin[x^4] + Cos[x] 该函数在[0,1]范围内有极小值，令a=0,b=1，p=0.1,e选取1*10^(-9)，运算后结果在x=0.4904089750976563时有最小值0.939949。运算次数为22次， P值选取效率的影响： 在该函数中，[0,1]内函数波动较为平缓，从中间缓慢向两边扩展显然速度较快，因为所求点接近终点，当p增大的时能很快覆盖到所求点效率将变高，如果区域远超过所求点则效率将变低。 P取值以及逼近次数i的关系: P=0.1,i=22 P=0.2,i=26 P=0.25,i=19 P=0.3,i=19 P=0.35,i=21 P=0.4,i=23 P=0.5,i=26 P=0.6,i=30 P=0.7,i=36 P=0.8,i=57 可见最好的取值应为0.25到0.3之间。 总结： 三点一维算法实际通过多次比较，减少了0.618法对点的移动，和对区域的选择，比0.618法稳定。在比较区域大时三点一维算法比起0.618法更加优秀。
黄金分割法 二次插值 牛顿 matlab 程序一维搜索方法比较
一维搜索方法应用比较 一、黄金分割法 （1）黄金分割法的起源 黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为"金法"，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为"各种算法中最可宝贵的算法"。这种算法在印度称之为"三率法"或"三数法则"，也就是我们现在常说的比例方法。 其实有关"黄金分割"，我国也有记载。虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的，后来传入了印度。经考证。欧洲的比例算法是源于我国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的，而不是直接从古希腊传入的。 因为它在造型艺术中具有美学价值，在工艺美术和日用品的长宽设计中，采用这一比值能够引起人们的美感，在实际生活中的应用也非常广泛，建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割，舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一侧，以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播的最好。就连植物界也有采用黄金分割的地方，如果从一棵嫩枝的顶端向下看，就会看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的。在很多科学实验中，选取方案常用一种0.618法，即优选法，它可以使我们合理地安排较少的试验次数找到合理的西方和合适的工艺条件。正因为它在建筑、文艺、工农业生产和科学实验中有着广泛而重要的应用，所以人们才珍贵地称它为"黄金分割"。我国数学家华罗庚曾致力于推广优选法中的"0.618法"，把黄金分割应用于生活实际及科学应用中。 黄金分割〔Golden Section〕是一种数学上的比例关系。黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。应用时一般取0.618 ，就像圆周率在应用时取3.14一样。 由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。 公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。 公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。 中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数家帕乔利称中末比为神圣比例，并专门为此著书立说。德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。 到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行。黄金分割数有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛。最著名的例子是优选学中的黄金分割法或0.618法，是由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代在中国推广。
第三章 一维搜索
第三章 常用一维搜索方法 第节维搜索概述 第一节 一维搜索概述一、下降迭代算法的基本思想、下降迭代算法的基本思想 不失一般性，考虑如下的优化问题 min ()x S f x ∈ （3.1） 其中:n f S R R ?→. 下降迭代算法的的基本思想：给定一个初始点1n x R ∈，按 }k 使得当}k 是有限点列时照某种迭代规则产生一个点列{x ，使得当{x 其最后一个点是最优化问题的最优解；当{}k x 是无穷点列时，它有极限点，且其极限点是优化问题的最优解.
设已迭代到点k x 处，则下一次迭代会出现以下两种情况之一： （1） 从k x 出发沿任何方向移动，目标函数不再下降； 出发至少存在个方向使标数有所 （2）从k x 出发至少存在一个方向使目标函数()f x 有所下降.这时，从中选取一个下降方向k d ，即k d 满足 ()0k T k f x d ?<，然后在直线 k k x x d λ=+上适当的确定一个新点 1k k k k x x d λ+=+，使得1()()()k k k k k f x f x d f x λ+=+<，此时就说完成了第1k +次迭代. 基本迭代格式 1k k k k x x d λ+=+ 本代格式 k d ------搜索方向 k λ-----步长因子或搜索步长
最优化问题的求解步骤 最优化问题的求解步骤：（1）选取初始点1x ，令1k =； （2）构造搜索方向k d .依照一定的规则，构造()f x 在点 k x 处的下降方向或可行下降方向作为搜索方向k d ； （3）确定搜索步长k λ.以k x 为起点沿搜索方向k d 选取的 λ适当步长k ，使得目标函数值有某种意义的下降，通常使 ()()k k k k f x d f x λ+<. 1k +令1k k k + （4）求出新的迭代点x .令k x x d λ=+（5）检验终止条件.判定1 k x +是否满足终止条件，若满足 停止迭代输出近似最优解否则令转 停止迭代，输出近似最优解1k x +；否则，令:1k k =+，转（2）.
一维搜索算法(二)
项目二 一维搜索算法（二） [实验目的] 编写抛物线插值法的程序。 [实验学时] 2学时 [实验准备] 1、掌握二分法的思想及迭代步骤 2、掌握抛物线插值法的思想及迭代步骤。 [实验内容及步骤] 编程解决以下问题： 1、用二分法求解 )2()(min +=t t t ?， 已知初始单谷区间]5,3[],[-=b a ，要求按精度3.0=ε，001.0=ε分别计算． 2、用抛物线插值法求解 3728)(m in 23+--=x x x x f ， 已知初始单谷区间001.0]20[][==ε，，， b a ．取初始插值点为x=1
[实验教案] 例1 用二分法求f(x)=8x^3-2*x^2-7*x+3 的局部最优解．允许误差ε=0.0001 ，初始点设区间为[0，1]． #include using namespace std; float f(float x) { return (8*x*x*x-2*x*x-7*x+3); } float f1(float x) { return (24*x*x-4*x-7); } void main() { float a=0,b=1,c,delta=0.0001; do { c=(a+b)/2; if(f1(c)>=0) { b=c; } else { a=c; } }while((b-a)/2>delta); cout<<"该问题的最优解为"<<(a+b)/2<<",最优值为"<[例题2] 用抛物线插值法求解 30min ()32t t t t ?≥=-+， 已知初始单谷区间[0,3]．0.05ε=，取初始插值点为t=1 #include #include using namespace std; double Alpha(double x1,double x2,double x3); double faiPhi(double t); double faiPhi(double t) //求3()32x t t ?=-+ { return (t*t*t-3*t+2); } double Alpha(double x1,double x2,double x3) //求α { double x,y; x=(x2*x2-x3*x3)*faiPhi(x1)+(x3*x3-x1*x1)*faiPhi(x2)+(x1*x1-x2*x2)*faiPhi(x3); y=(x2-x3)*faiPhi(x1)+(x3-x1)*faiPhi(x2)+(x1-x2)*faiPhi(x3); return (0.5*x/y); } void main() { double a=0,b=3,t=2,Epsilon=0.05,t1; do { t1=Alpha(a,t,b); if(fabs(t-t1)t) { if(faiPhi(t1)<=faiPhi(t)) { a=t;t=t1; } else { b=t1; } } else { if(faiPhi(t1)<=faiPhi(t)) { b=t;t=t1; } else { a=t1; } } } }while(1); }
实验1 一维搜索算法的程序设计
实验一 一维搜索算法的程序设计 一、实验目的 1、熟悉一维无约束优化问题的二分法、0.618算法和牛顿法。 2、培养matlab 编程与上机调试能力。 二、实验课时：2个课时 三、实验准备 1、预习一维无约束优化问题的二分法、0.618算法和牛顿法的计算步骤。 2、熟悉matlab 软件的基本操作。 四、实验内容 课堂实验演示 1、根据二分法算法编写程序，求函数 2 ()22f x x x =++ 在区间[2,1]-上的极小值。 二分法如下： （1）给定区间[,]a b (要求满足0)(',0)('>δ； （2）若δ≤-a b ，则停，输出*()/2x a b =+； （3）计算()/2c a b =+； （4）若0)('c f ，令b c =；否则若0)('=c f ，则停输出*()/2x a b =+； function [val,x,iter] = bisection_method(a,b,delta) iter = 0; while abs(b-a)>delta iter = iter+1; [y,dy] = fun((a+b)/2); if abs(dy)<= delta x = (a+b)/2; val = y; return; elseif dy<0 a = (a+b)/2; else b = (a+b)/2;
end end x = (a+b)/2; [val,dval] = fun(x); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% obj function %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [y,dy] = fun(x) y = x^2+2*x+2; dy = 2*x+2; >> delta = 1.0e-6; [val,x,iter] = bisection_method(-2,1,delta) val = 1 x = -1 iter = 21 2、根据0.618算法编写程序，求函数 ()()()630sin tan 1x f x x x e =- 在区间[0,1]上的极大值。 令()()()()630sin tan 1x g x f x x x e =-=--，则原问题转化为求[] ()0,1m in x g x ∈ 0.618算法如下： （1）给定区间[,]a b ，及精度0eps >； （2）计算试探点0.382(),0.618()r a b a u a b a =+-=+-. 令1=k ； （3）若eps a b <-，则停止计算，输出)(,2/)(* **x f f a b x =+=；否则， 若()()f r f u >，转（4）；若)()(u f r f <，转（5）; （4）令a r =，r u =，计算0.618()u a b a =+-，转（6）; （5）令b u =，u r =，计算0.382()r a b a =+-，转（6）; （6）令1+=k k ，回 (3). 运行结果，如下： >> a=0,b=1,eps=10^(-5); [optx,opty,iter]=gold_section_method(a,b,eps) iter = 26 optx = 0.9707
一维搜索算法(一)
项目一 一维搜索算法（一） [实验目的] 编写进退法、对分法、Newton 法的程序。 [实验学时] 2学时 [实验环境] Matlab 或VC++6.0 [实验目的] 1．掌握一维收搜索中搜索区间的进退法的思想及迭代步骤； 2．掌握0.618法的思想及迭代步骤； 3．掌握Fibonaci 法的思想及迭代步骤。 [实验内容及步骤] 编程解决以下问题： 1．用进退法确定一维最优化问题 12)(min 30+-=≥t t t t ? 的搜索区间，要求选取2,1,000===αh t ． 2．用0.618法求解 12)(min 3+-=t t t ?， 已知初始单谷区间]1,0[],[=b a ，要求精度01.0=ε． 3．用Fibonaci 法求解 12)(min 3+-=t t t ?， 已知初始单谷区间]1,0[],[=b a ，要求精度01.0=ε．
[实验教案] 例1 设f(x)=x^2-2*x+4 ，试用进退法确定初始搜索区间。#include using namespace std; float f(float x) { return (x*x-2*x+4); } void main() { int k=0; float a0,h,t,aerfa,a1,a,b; cout<<"初始数据为: "; cout<<"初始点a0="; cin>>a0; cout<<"\t\t始步长h="; cin>>h; cout<<"\t\t加倍系数t="; cin>>t; do { a1=a0+h; if(f(a1)一维搜索 黄金分割法 二次插值法
一维搜索黄金分割法二次插值法 #include #include #include double f(double); double golden_split(double(*)(),double,double);/*黄金分割法*/ double rcczf(double(*)(),double[],double[],double); /*二次插值法*/ void jtf(double(*)(),double,double *,double *,double *);/*进退法*/ void jtf(double(*objf)(),double a0,double *h0,double *a,double *y) { double h; a[0]=a0; h=*h0; a[1]=a[0]+h,y[1]=objf(a[1]); if(y[1]>y[0]) { h=-h; a[2]=a[0],y[2]=y[0]; a[0]=a[1],y[0]=y[1]; a[1]=a[2],y[1]=y[2]; } a[2]=a[1]+h; y[2]=objf(a[2]); while(y[2]一维搜索外推法程序设计实验报告
课程设计（实验）材料（1） 安徽工程大学 机械优化设计 课程设计（实验）报告 专业班级：车辆工程 110 设计题目：一维搜索外推法程序设计 学生姓名：王阔 学生学号：3110104206 任课教师：梁利东 年月日
一、设计要求： 基于一维搜索算法思想，运用外推法编写C语言程序，确定搜索初始单谷区间。 已知条件： 1、目标函数：f(x)=x*x-5*x+9 2、初始点及步长：x=0,h=0.1（可采用输出方式赋值）…… 外推法数值迭代求解：初始单谷区间并输出 二、方法原理 从X=0开始，以初始步长h向前试探。如果函数值上升，则步长变号，即改变试探方向。如果函数值下降，则维持原来的试探方向，并将步长加倍。区间的始点，中间点依次沿试探方向移动一步。此过程一直进行到函数值再次上升时为止，即可找到搜索区间的终点。最后得到的三点即为搜索区间的始点，中间点和终点，形成函数值的“高—低—高”趋势。 三、程序清单： #include"stdio.h" #include"math.h" double f(double x) {return (x*x-5*x+9); } void main() {double x0,x1,y1,x2,y2,x3,y3,h0; x0=0;h0=0.1;
x1=x0;y1=f(x1); x2=x1+h0;y2=f(x2); if (y2>y1) { h0=-h0;x3=x1;x1=x2;x2=x3; y3=y1;y1=y2;y2=y3; } x3=x2+h0;y3=f(x3); while (y3一维搜索牛顿法
2013-2014（1）专业课程实践论文题目：一维搜索牛顿法
牛顿法是一种函数逼近法，基本思想是：在极小点附近用 函数的二阶泰勒多项式近似代替目标函数，从而求得目标函数 的极小点的近似值。 对 ()f x 在 xk 点二阶泰勒展开： 221()()'()()''()()(())2 k k k k k k f x f x f x x x f x x x o x x =+-+-+- 略去高阶项得 2 1()()'()()''()()2k k k k k f x f x f x x x f x x x ≈+-+ - 两边对x 求导，'()'()''()()k k k f x f x f x x x ≈+- 令 '()=0f x ，得到 '() ''()k k k f x x x f x ≈- 取 1'() =''()k k k k f x x x f x +- 作为新的迭代点，继续迭代，直到达到精度，这样就得到了 函数 f 的一个驻点 。以上过程即Newton 法。
三、算法程序 #include #include using namespace std; double fun(double t) { return (t*t*t-2*t+1); } double dfun(double t) { return (3*t*t-2); } void NewtonIterative(double(*pfun)(double t),double (*pdfun)(double t)) { int maxflag=1000,k=1; double t0=1,err=0.01,t; do { t0=t; t=t0-pfun(t0)/pdfun(t0); k++; }while(fabs(t-t0)>err&&k=maxflag) cout<
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