线性代数(修订版) (刘金旺 夏学文 著) 复旦大学出版社 课后答案-线代习题答案(1)

线性代数习题及答案

习题一



1. 求下列各排列的逆序数.

(1) 341782659； (2) 987654321；

(3) n(n.1)…321； (4) 13…(2n.1)(2n)(2n.2)…2.

【解】

(1) τ(341782659)=11;

(2) τ(987654321)=36;

(3) τ(n(n.1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n.1)=
(1)
2nn.
;

(4) τ(13…(2n.1)(2n)(2n.2)…2)=0+1+…+(n.1)+(n.1)+(n.2)+…+1+0=n(n.1).

2. 略.见教材习题参考答案.

3. 略.见教材习题参考答案.

4. 本行列式4512312123122xxxDxxx
.的展开式中包含和的项.

解： 设 123412341234()
41234(1)iiiiiiiiiiiiDaa....
4D3x
，其中分别为不同列中对应元素
的行下标，则展开式中含
1234,,,iiii
项有

(2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5xxxxxxxxx...................

4D展开式中含4x项有

(1234)4(1)2210xxxxx........

5. 用定义计算下列各行列式.

(1)
0200001030000004； (2)
1230002030450001.

【解】(1) D=(.1)τ(2314)4!=24; (2) D=12.

6. 计算下列各行列式.


(1)
2141312112325062
.
..
.
.
； (2)
abacaebdcddebfcfef
..
..
...
；

(3)
10011011001abcd
.
.
.
； (4)
1234234134124123.

【解】(1) 1250623121012325062rrD.
.
..
.
.
.
;

(2)
1114111111Dabcdefabcdef
..
....
...
;

210110111(3)(1)111011001011;
bcDaabcdccddddabcdabadcd
..
....
..........
..
.....


321221133142144121023410234102341034101130113(4)160.10412022200441012301110004rrccrrccrrrrccrrD
...
...
..
..
...
...
....


7. 证明下列各式.

(1)
22222(
111aabbaabbab...；

(2)
2222222222222222(1)(2)(3)
(1)(2)(3)
0(1)(2)(3)
(1)(2)(3)
aaaabbbbccccdddd
...
....
...
...
；

(3)
23232232111()111aaaabbabbccabbcccc
...


(4) 20000()
0000nnababDacdcd
..
..
..
；

(5)
121111*********nniiiinaaaaa
..
.
...
....
..
.
..
.
.
...
.

【证明】(1)

1323223()()()
2()2001()()()
()()
2()21ccccababbabbababbababbababbabababab
.
.
...
...
....
.....
..
左端
右端.


(2)
32213142412222-2-
2232221446921262144692126021446921262144692126ccccccccccaaaaaabbbbbbccccccdddddd
..
.
....
....
..
....
....
左端右端.

(3) 首先考虑4阶范德蒙行列式:

2323232311()()()()()()()(*)
11xxxaaafxxaxbxcabacbcbbbccc
........

从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f(x)的x的系数为

2221()()()()()11aaabbcacabacbcabbcacbbcc
........

但对（*）式右端行列式按第一行展开知x的系数为两者应相等，故

231123231(1),11aabbcc
..

(4) 对D2n按第一行展开，得


22(1)2(1)2(1)
0000000(),
nnnnabaababDabcdcdcdcdcadDbcDadbcD...
..
......
....
....


据此递推下去，可得

222(1)2(2)
112()()
()()()
()
nnnnnnDadbcDadbcDadbcDadbcadbcadbc
..
..
....
......
..
.

2()nnDadbc...

(5) 对行列式的阶数n用数学归纳法.

当n=2时，可直接验算结论成立，假定对这样的n.1阶行列式结论成立，进而证明阶
数为

n时结论也成立.

按Dn的最后一列，把Dn拆成两个n阶行列式相加：

1122112111111111111011111111111111.
nnnnnnaaaaDaaaaaaD
.
..
.
.
.
.
..
.
..
.
.
.
.
.....
.....
.
.
.
.


但由归纳假设

11121111,
nnniiDaaaa
.
..
.
......
..
..

从而有

11211211121111111111.
nnnnniinnnnniiiiiiDaaaaaaaaaaaaaaa
.
..
.
.
...
.......
..
............
....
.
...
..
.


8. 计算下列n阶行列式.


(1)
111111nxxDx
.
.
.
...
.
(2)
122222222232222nDn
.
.
.
.
.....
.
；

(3)
0000000000nxyxyDxyyx
.
.
.
......
.
.
. (4)其中 ；

(5)
2100012100012000002100012nD.
.
.
.
.....
.
.
.

【解】(1) 各行都加到第一行，再从第一行提出x+(n.1),得

11111[(1)]
11nxDxnx
...
.
.
...
.


将第一行乘（.1）后分别加到其余各行，得

1111110[(1)](1)(1).
001nnxDxnxnxx
..
.......
.
.
.
...
.


(2)
21311
1222210000101001002010002nrrnrrrrDn
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
.
按第二行展开
222201002(2)!.00200002nn
..
.
.
.
.
....
.


(3) 行列式按第一列展开后，得


1(1)(1)(1)
10000000000(1)00000000000(1)
(1).
nnnnnnnnxyyxyxyDxyxyxyyxxxxyyxy
.
...
.
...
......
...
..
..
.......
......
..


(4)由题意，知


1112121222120121012101230nnnnnnnnaaanaaaDnaaannn
.
.
...
...
.
.
.
.
.
...
....
.
.


0122111111111111111111111nn..
....
...
..
.
.
.
.
.....
.
.
后一行减去前一行自第三行起后一行减去前一行


01221122111111200002000020000000002000020nnnn
..
..
....
..
.
.
.
.
.
.
.....
....
.
.
.
按第一列展开


112000201(1)(1)(1)(1)2002nnnnn........-
.
.
...
.
按第列展开.

(5)
210002000001000121001210012100012000120001200000210002100021000120001200012nD...
..
..
..
...............
..
..



122nnDD.....

即有 112211nnnnDDDDDD...........

由 ......112211nnnnDDDDDDn............ 得

11,121nnDDn Dnn.........

9. 计算n阶行列式.

121212111nnnnaaaaaaDaaa
.
.
.
.
.
.
...
.


【解】各列都加到第一列，再从第一列提出
11niia
.
..，得

23232312311111111nnnniinaaaaaaDaaaaaaa
.
.
.......
..
.
.
.
.
.
....
.


将第一行乘（.1）后加到其余各行，得

2311101001100100001nnnniiiaaaDa
..
........
..
..
.
.
.
....
.


10. 计算阶行列式（其中）. n0,1,2,,iai...

1111232222112233222112233111123nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaababababDababababbbbb
....
....
...
....
.
.
.
....
.
.
.

【解】行列式的各列提取因子,然后应用范德蒙行列式. 1(1,2,,njajn...


3121232222312112123111131212311211111()
().
nnnnnnnnnnnnnjinnjinijbbbbaaaabbbbDaaaaaaabbbbaaaabbaaaaa
.
....
.
...
........
.........
........
........
........
........
..
....
..
.
.
.
.
.....
.
.


11. 已知4阶行列式

41234334415671122D

.;

试求与，其中4142AA.4344AA.4jA为行列式的第4行第j个元素的代数余子式. 4D

【解】

41424142234134(1)(1)3912.344344567167AA..........

同理 43441569.AA......

12. 用克莱姆法则解方程组.

(1)
12312341234234
5,2 1
2 2,
233.
xxxxxxxxxxxxxx
.....
......
......
....
(2)
121232343454556 1,
56 0,
56 0,
560,
51.
xxxxxxxxxxxxx
....
.....
.....
....
....


【解】方程组的系数行列式为

1110111013113121110131180;1210521211012112301401230123D
....
...
.......
..
.



1234511015101111211118;36;
2211121131230323115011152111211136;18.1221121201330123DDDD
..
....
..
.
....


故原方程组有惟一解，为

312412341,2,2,1.DDDDxxxxDDDD
........

12345123452)665,1507,1145,703,395,212.15072293779212,,,,.
66513335133665DDDDDDxxxxx
........
........


13. λ和μ为何值时，齐次方程组

1231231230,0,20xxxxxxxxx
.
.
.
.....
.....
....


有非零解?

【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式

110,11121
.
.
.
.

即

(1)0.....

故0..或1..时，方程组有非零解.

14. 问：齐次线性方程组

12341234123412340,20300xxxaxxxxxxxxxxxaxbx
......
......
......
.....


有非零解时，a,b必须满足什么条件？

【解】该齐次线性方程组有非零解，a,b需满足


11112110,113111aab
.
.


即(a+1)2=4b.

15. 求三次多项式20123()fxaaxaxax....，使得

(1)0,(1)4,(2)3,(3)16.ffff.....

【解】根据题意，得

0123012301230123(1)0;
(1)4;
(2)2483;
(3)392716.
faaaafaaaafaaaafaaaa
......
.....
.....
.....


这是关于四个未知数的一个线性方程组，由于 0123,,,aaaa

012348,336,0,240,96.DDDDD......

故得 01237,0,5,2aaaa.....

于是所求的多项式为

23()752fxx...

16. 求出使一平面上三个点112233(,),(,),(,)xyxyxy位于同一直线上的充分必要条件.

【解】设平面上的直线方程为

ax+by+c=0 (a,b不同时为0)

按题设有

1122330,0,0,
axbycaxbycaxbyc
.....
.........


则以a,b,c为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为

1122331101xyxyxy
.

上式即为三点112233(,),(,),(,)xyxyxy位于同一直线上的充分必要条件.