中考数学教学指导：例谈求初中数学中线段最值的方法
例谈求初中数学中线段最值的方法
几何最值问题属于中考题中的热点问题，也是难点问题，其中，求线段的最值问题是近年常见的题型.下面结合一些实例谈谈解决此类问题的方法.
一、轨迹法
对于线段最小值问题，若线段的一个端点是定点，另一个端点是动点，可以考虑轨迹法，即考虑动点的轨迹.若动点的轨迹是一条直线，可以用“垂线段最短”原理解决;若动点的轨迹是圆(或一段圆弧)，可以用“圆最值模型”解决.
圆最值模型如图1, P 是⊙O 外的一点，直线PO 分别交⊙O 于点,A B ，则PA 是点P 到⊙O 上的点的最短距离, PB 是点P 到⊙O 上的点的最长距离.
证明 如图1，在⊙O 是任取一点C (不为,A B )，连结,PC OC .
,P O P C O C P O P A O A P A O C
<+=+=+Q , P A P C ∴<,
即PA 是点P 到⊙?O 上的点的最短距离.
如图2，在⊙O 是任取一点D (不为,A B ) ,连接,PD OD .
,PO OD PD PB PO OB PO OD +>=+=+Q ,
PB PD ∴>,
即PB 是点P 到⊙O 上的点的最长距离.
例1 .如图3，已知平行四边形OABC 的顶点,A C 分别在直线1x =和4x =上，O 是坐标原点，则对角线OB 长的最小值为 .
解析 如图3，设直线1x =和x 轴交于点E .作BF ⊥直线4x =点F ，因为平行四边形OABC ，所以OA 和BC 平行且相等，可得AOE ?和CBF ?全等，所以OE BF =，可得点B 的轨迹是直线5x =.当点B 在x 轴上时，OB ⊥直线5x =，此时OB 最小，最小值为5.
例2 .如图4,Rt ABC ?中，,6,4,AB BC AB BC P ⊥==是ABC ?内部的一个动点，且满足PAB PBC ∠=∠，则线段CP 长的最小值为( )
(A) 32 (B) 2 (c)
解析 根据PAB PBC ∠=∠，可得90APB ∠=?，故点P 在以AB 为直径的圆上(如图
4).取AB 的中点,O OC 交⊙O 于点P ,根据圆最值模型知此时CP 最小.
13,52
OP AB OC =
==Q ， 所以CP 的最小值为532OC OP -=-=, 选B.
二、构造法
对于线段最大值问题，若线段的一个端点是定点，另一个端点是动点，但动点轨迹难确定，可以考虑构造法，即找一个定点，当这三点共线时，线段最大.
例3 如图5，平面直角坐标系中，已知矩形,2,1ABCD AB BC ==，点A 和B 分别在x 轴正半轴和第一象限角平分线上滑动，点C 在第一象限，求OC 的最大值.
解析 如图5，取AOB ?外接圆的圆心I ,因为2AB =是确定的，且45AOB ∠=?也
是确定的，所以AOB ?外接圆是确定的.那么线段OI
BIC ?是确定的，135,1IBC BI BC ∠=?=，可解三角形得CI =所以当,,O I C
三点共线时，线段OC 取得最大值，即为OI CI + 三、转化法
对于线段最值问题，若线段的两个端点都是动点，可以考虑运用转化法，将它转化为求与之有关的另一条线段的最值.
例4 .如图6，在等边ABC ?中，4AB =，点P 是BC 边上的动点，点P 关于直线,AB AC 的对称点分别为,M N ，则线段MN 长的取值范围是 .
解析 如图6，连结,,AP AM AN ，由对称可得,AP AM AN BAP MAB ==∠=∠，CAP NAC ∠=∠,所以2120MAN BAC ∠=∠=?，所以AMN ?是顶角为120°的等腰三
角形，可得MN ==.于是求线段MN 长的取值范围，就转化为求线段AP 长的取值范围.AP 最小为AP 垂直BC 时，最大为AB ，所以AP 的取值范围是
4
AP ≤≤，所以MN 的取值范围是6AP ≤≤ 四、函数法
当线段最值问题从几何角度很难求解的时候，可以考虑引入参数，建立函数模型，用函数法来解决.
例5 如图7，在ABC ?中，2AB AC BC ===,点P 是AB 边上的动点(不与点,A B 重合).过点P 作//PE BC 交AC 于点E ，作P F B C ⊥于点F ，连结,EF M 是EF 上
的点，且2EM FM =，则PM 的最小值是 .
解析 由条件“2AB AC BC ===”可知ABC ?是确定的，tan 2B =;又根据作图可知PBF ?形状也是确定的，PF 二2BF,并且有2PF BF =.所以，分析可得PM 的大小取决于BF 的大小，所以引入参数.
设BF x =，则2PF x =,22PE x =-.
加图7，作MN PF ⊥于点N .
2EM FM =Q ,
122333MN PE x ∴==-,2433
PN PF x ==, 在Rt PMN ?中，
222224()()333
PM x x =-+， 化简得2220116()9545
PM x =-+.
所以当15BF =时，PM
初中数学几何最值问题典型例题精修订
初中数学几何最值问题 典型例题 GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-
初中数学《最值问题》典型例题一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短； 直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值） 是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段． 几何最值问题中的基本模型举例
二、典型题型
1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若 ∠AOB=45°，OP=PMN的周长的最小值为． 【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解． 【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长． ∵PC关于OA对称， ∴∠COP=2∠AOP，OC=OP 同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD ∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD． ∴△COD是等腰直角三角形． 则CD OC=6． 【题后思考】本题考查了对称的性质，正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键． 2．如图，当四边形PABN的周长最小时，a= ．
初三中考数学 线段和的最小值问题
专题四线段和的最小值问题 纵观贵阳5年中考，2014年和年两年连续考查了利用对称求线段和最小值的几何问题．设置在第24题、25题，以解答题的形式出现，分值为12分，难度较大． 预计2017贵阳中考还会设计利用图形变换考查此类问题的几何综合题，复习时要加大训练力度． ,中考重难点突破) 线段的最小值 【经典导例】 【例】(六盘水中考)(1)观察发现 如图①，若点A，B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP＋BP的值最小，做法如下：作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求作的点P，线段AB′的长度即为AP＋BP的最小值．
如图②，在等边三角形ABC 中，AB ＝2，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使BP ＋PE 的值最小，做法如下： 作点B 关于AD 的对称点，恰好与点C 重合，连接CE 交AD 于一点，则这点就是所求作的点P ，故BP ＋PE 的最小值为________． (2)实践运用 如图③，已知⊙O 的直径CD 为2，︵AC 的度数为60°，点B 是︵AC 的中点，在直径CD 上作出点P ，使BP ＋AP 的值最小，则BP ＋AP 的最小值为________． (3)拓展延伸 如图④，点P 是四边形ABCD 内一点，分别在边AB ，BC 上作出点M ，点N ，使PM ＋PN 的值最小，保留作图痕迹，不写作法． 【解析】(1)利用作法得到CE 的长为BP ＋PE 的最小值；由AB ＝2，点E 是AB 的中点，根据等边三角形的 性质得到CE ⊥AB ，∠BCE ＝21 ∠BCA ＝30°，BE ＝1，再根据含30°的直角三角形三边的关系得到CE 的长度．C E 的长为BP ＋PE 的最小值．∵在等边三角形ABC 中，AB ＝2，点E 是AB 的中点，∴CE ⊥AB ，∠BCE ＝21 ∠BCA ＝30°，BE ＝1，∴CE ＝BE ＝.故答案为；(2)过B 点作弦BE ⊥CD ，连接AE 交CD 于P 点，连接OB ，O E ，OA ，PB ，根据垂径定得到CD 平分BE ，即点E 与点B 关于CD 对称，则AE 的长就是BP ＋AP 的最小值．
最新初中数学常见8种最值问题
最值问题，也就是最大值和最小值问题。它是初中数学竞赛中的常见问题。这类问题出现的试题，内容丰富，知识点多，涉及面广，解法灵活多样，而且具有一定的难度。本文以例介绍一些常见的求解方法，供读者参考。 一. 配方法 例1. （2005年全国初中数学联赛武汉CASIO杯选拔赛） 可取得的最小值为_________。 解：原式 由此可知，当时，有最小值。 二. 设参数法 例2. （《中等数学》奥林匹克训练题）已知实数满足。则 的最大值为________。 解：设，易知 由，得 从而， 由此可知，是关于t的方程的两个实根。 于是，有 解得。故的最大值为2。 例3. （2004年全国初中联赛武汉选拔赛）若，则 可取得的最小值为（） A. 3 B. C. D. 6 解：设，则
从而可知，当时，取得最小值。故选（B）。 三. 选主元法 例4. （2004年全国初中数学竞赛）实数满足 。则z的最大值是________。 解：由得。 代入消去y并整理成以为主元的二次方程 ，由x为实数，则判别式。 即， 整理得 解得。 所以，z的最大值是。 四. 夹逼法 例5. （2003年北京市初二数学竞赛复赛）是非负实数，并且满足 。设，记为m的最小值，y为m的 最大值。则__________。 解：由得 解得
由是非负实数，得 从而，解得。 又， 故 于是， 因此， 五. 构造方程法 例6. （2000年山东省初中数学竞赛）已知矩形A的边长为a和b，如果总有另一矩形B使得矩形B与矩形A的周长之比与面积之比都等于k，试求k的最小值。解：设矩形B的边长为x和y，由题设可得。 从而x和y可以看作是关于t的一元二次方程的两个实数根，则 因为， 所以， 解得 所以k的最小值是 四. 由某字母所取的最值确定代数式的最值 例7. （2006年全国初中数学竞赛）已知为整数，且 。若，则的最大值为_________。
(完整)初中数学“最值问题”_集锦
“最值问题”集锦 ●平面几何中的最值问题 (01) ●几何的定值与最值 (07) ●最短路线问题 (14) ●对称问题 (18) ●巧作“对称点”妙解最值题 (22) ●数学最值题的常用解法 (26) ●求最值问题 (29) ●有理数的一题多解 (34) ●4道经典题 (37) ●平面几何中的最值问题 在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题．如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节约和最高效率．下面介绍几个简例． 在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。 最值问题的解决方法通常有两种： （1）应用几何性质： ①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ②两点间线段最短； ③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； ④定圆中的所有弦中，直径最长。 ⑵运用代数证法： ①运用配方法求二次三项式的最值； ②运用一元二次方程根的判别式。 例1、A、B两点在直线l的同侧，在直线L上取一点P，使PA+PB最小。 分析：在直线L上任取一点P’，连结A P’，BP’，
在△ABP’中AP’+BP’＞AB，如果AP’+BP’＝AB,则P’必在线段AB上，而线段AB 与直线L无交点，所以这种思路错误。 取点A关于直线L的对称点A’，则AP’＝ AP， 在△A’BP中A’P’+B’P’＞A’B,当P’移到A’B与直线L的交点处P点时 A’P’+B’P’＝A’B，所以这时PA+PB最小。 1 已知AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长最大(图3－91)？ 分析本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R．由于AB∥CD，必有AC=BD．若设CD=2y，AC=x，那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值即可．解作DE⊥AB于E，则x2=BD2=AB·BE＝2R·(R-y)＝2R2-2Ry， 所以 所以求u的最大值，只须求-x2+2Rx+2R2最大值即可． -x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)2≤3R2， 上式只有当x=R时取等号，这时有 所以2y=R=x． 所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点C，D， 这时，梯形的底角恰为60°和120°． 2 .如图3－92是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米(m)，怎样才能得出 最大面积，使得窗户透光最好？ 分析与解设x表示半圆半径，y表示矩形边长AD，则必有2x+2y+πx=8，
初中数学最值问题典型例题
初中数学《最值问题》典型例题 一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短； 直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值） 是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段． 轴 对 称 最 值 图形 l P B A N M l B A A P B l 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系 特征 A，B为定点，l为定直 线，P为直线l上的一 个动点，求AP+BP的 最小值 A，B为定点，l为定直线， MN为直线l上的一条动线 段，求AM+BN的最小值 A，B为定点，l为定直线， P为直线l上的一个动 点，求|AP-BP|的最大值转化 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 先平移AM或BN使M，N 重合，然后作其中一个定 点关于定直线l的对称点 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 折 叠 最 值 图形 B' N M C A B 原理两点之间线段最短 特征 在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折， B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值． 转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值 1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN 的周长的最小值为． 【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长． ∵PC关于OA对称， ∴∠COP=2∠AOP，OC=OP 同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD ∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD．
初中数学最值问题典型例题(含解答分析)
中考数学最值问题总结 考查知识点：1、“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。 （2、代数计算最值问题3、二次函数中最值问题） 问题原型：饮马问题造桥选址问题（完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点）出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型： 条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使PA PB +的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点A'，连结A B'交l于 点P，则PA PB A B' +=的值最小 例1、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三 角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM． （1）求证：△AMB≌△ENB； （2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小； ②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由； （3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长。 A B A'′P l
例2、如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0） （1）求抛物线的解析式 （2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由. （3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线M N∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.
最新初中几何中线段和与差最值问题
初中几何中线段和（差）的最值问题 一、两条线段和的最小值。 基本图形解析： 一）、已知两个定点： 1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧： （2）点A 、B 在直线同侧： 2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。 （1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧： m m B m A B m n m n n m n n n m
（ 4）、台球两次碰壁模型 变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短. 变式二：已知点A位于直线 m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA 周长最短. 二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动： 点B在直线n上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）1、两点在直线两侧： 2、两点在直线同侧： （二）动点在圆上运动 点B在⊙O上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B） 1、点与圆在直线两侧： m n m n m n m m
2、点与圆在直线同侧： 三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧： 作法：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。 （2）点A 、B 在直线m 同侧： 练习题 1．如图1，∠AOB =45°，P 是∠AOB 内一点，PO =10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值为 ． 2、如图2，在锐角三角形ABC 中，AB=4 ,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M,N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值为 ． 3、如图3，在锐角三角形ABC 中 ， AB=BAC=45，BAC 的平分线交BC 于D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是 。 m m Q Q
初中数学最值问题集锦 几何地定值与最值
几何的定值与最值 几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或 几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本 方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法， 先探求出定值，再给出证明． 几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量 (如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基 本方法有： 1．特殊位置与极端位置法； 2．几何定理(公理)法； 3．数形结合法等． 注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点．这 是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数 形结合、特殊与一般相结合、 逻辑推理与合情想象相结合等思想方法． 【例题就解】 【例1】 如图，已知AB=10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以 AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD ，则CD 长度的最小值为 ． 思路点拨 如图，作CC ′⊥AB 于C ，DD ′⊥AB 于D ′， DQ ⊥CC ′，CD 2=DQ 2+CQ 2，DQ=2 1AB 一常数，当CQ 越小，CD 越小， 本例也可设AP=x ，则PB=x 10，从代数角度探求CD 的最小值． 注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特 殊位置与极端位置是指： (1)中点处、垂直位置关系等； (2)端点处、临界位置等． 【例2】 如图，圆的半径等于正三角形ABC 的高，此圆在沿底边AB 滚动，切点为T ，圆交AC 、BC 于M 、N ，则对于所有可能的圆的位置而言， MTN 为的度 数（ ） ⌒
2013中考总结复习冲刺练：初中数学“最值问题” 集锦
2013中考总结复习冲刺练：“最值问题”集锦 ●平面几何中的最值问题 (01) ●几何的定值与最值 (07) ●最短路线问题 (14) ●对称问题 (18) ●巧作“对称点”妙解最值题 (22) ●数学最值题的常用解法 (26) ●求最值问题 (29) ●有理数的一题多解 (34) ●4道经典题 (37) ●平面几何中的最值问题 在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题．如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节约和最高效率．下面介绍几个简例． 在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。 最值问题的解决方法通常有两种： （1）应用几何性质： ①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ②两点间线段最短； ③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； ④定圆中的所有弦中，直径最长。 ⑵运用代数证法： ①运用配方法求二次三项式的最值； ②运用一元二次方程根的判别式。 例1、A、B两点在直线l的同侧，在直线L上取一点P，使PA+PB最小。
分析：在直线L上任取一点P’，连结A P’，BP’， 在△ABP’中AP’+BP’＞AB，如果AP’+BP’＝AB,则P’必在线段AB上，而线段AB与直线L无交点，所以这种思路错误。 取点A关于直线L的对称点A’，则AP’＝ AP， 在△A’BP中A’P’+B’P’＞A’B,当P’移到A’B与直线L的交点处P 点时A’P’+B’P’＝A’B，所以这时PA+P B最小。 1 已知AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长最大(图3－91)？ 分析本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R．由于AB ∥CD，必有AC=BD．若设CD=2y，AC=x，那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R 的最大值即可． 解作DE⊥AB于E，则x2=BD2=AB·BE＝2R·(R-y)＝2R2-2Ry， 所以 所以求u的最大值，只须求-x2+2Rx+2R2最大值即可． -x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)2≤3R2， 上式只有当x=R时取等号，这时有
初中数学线段最值问题专题训练PPT
线段最值问题 1、“对称+点点最值”如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，N是OC的中点，点M在BC边上，且BM=6，P为对角线BD上一点，则PM+PN的最小值为 2、“对称+点点最值”如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E、 F、 G、H分别在矩形ABCD 的边AD、AB、BC、CD上。若AF=2，DH=5，E、G分别为AD、BC上的动点， 求四边形EFGH周长的最小值 3、“双对称 +点点最值”如图，在边长为6的菱形 ABCD中， AC是其对角线，∠B=60°，点P在 CD上，CP=2，点M在AD上，点N在AC上，则△PMN周长的最小值为 4、“双对称+点点最值”如图，∠AOB=30°，点P为∠AOB内一点，且OP=10，点M，N分别为OA，OB上的动点求△PMN周长的最小值 5、“平移+点点最值”如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD=60°，点E、F是对角线AC上的两点，且EF=1，点E在点F的左侧，求DE+BF的最小值。
6、“平移+对称+点点最值”(1)如图，菱形ABCD 的边长为3，∠BAD=60°，点E 、F 是对角线AC 上的两点，且EF=1，点E 在点F 的左侧，求DE+DF 的最小值。 （2）如图，矩形ABCD 中，AD =2，AB =4，AC 为对角线，E 、F 分别为边AB 、CD 上的动点，且EF ⊥AC 于点M ，连接AF 、CE ，求AF +CE 的最小值． （3）如图，sinC=3/5，长度为2的线段ED 在射线CF 上滑动，点B 在射线CA 上，BC=5，则△BDE 的周长的最小值为_____. （4）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点B 在原点，点A 、C 在坐标轴上，点D 的坐标为（6，4），E 为CD 的中点，点P 、Q 为BC 边上两个动点，且PQ =2，要使四边形APQE 的周长最小，则点P 的坐示应为______________． 7、“三对称+点点最值”如图，矩形ABCD 的边AB=3，BC=4，点E 为CD 边上一点，且CE=1，点F 、G 、H 分别是AD 、AB 、BC 边上的动点，则四边形EFGH 周长的最小值是多少？ A B C D E F M x
精选初中数学常见8种最值问题
初中数学最值问题常见的8种解题方法一. 配方法 例1. （2005年全国初中数学联赛武汉CASIO杯选拔赛） 可取得的最小值为_________。 解：原式 由此可知，当时，有最小值。 二. 设参数法 例2. （《中等数学》奥林匹克训练题）已知实数满足。则的最大值为________。 解：设，易知 由，得
从而， 由此可知，是关于t的方程的两个实根。 于是，有 解得。故的最大值为2。 例3. （2004年全国初中联赛武汉选拔赛）若，则可取得的最小值为（） A. 3 B. C. D. 6 解：设，则 从而可知，当时，取得最小值。故选（B）。
三. 选主元法 例4. （2004年全国初中数学竞赛）实数满足 。则z的最大值是________。 解：由得。 代入消去y并整理成以为主元的二次方程 ，由x为实数，则判别式。即， 整理得 解得。 所以，z的最大值是。 四. 夹逼法
例5. （2003年北京市初二数学竞赛复赛）是非负实数，并且满足。设，记为m的最小值，y为m的最大值。则__________。 解：由得 解得 由是非负实数，得 从而，解得。 又， 故
于是， 因此， 五. 构造方程法 例6. （2000年山东省初中数学竞赛）已知矩形A的边长为a和b，如果总有另一矩形B使得矩形B与矩形A的周长之比与面积之比都等于k，试求k的最小值。 解：设矩形B的边长为x和y，由题设可得。从而x和y可以看作是关于t的一元二次方程 的两个实数根，则 因为， 所以， 解得
所以k的最小值是 四. 由某字母所取的最值确定代数式的最值 例7. （2006年全国初中数学竞赛）已知为整数，且 。若，则的最大值为 _________。 解：由得，代入得。 而由和可知的整数。 所以，当时，取得最大值，为。 七. 借助几何图形法 例8. （2004年四川省初中数学联赛）函数 的最小值是________。 解：显然，若，则。因而，当取最小值时，必然有。
8-线段和差最值的存在性问题解题策略(1)
中考数学压轴题解题策略（8） 线段和差最值的存在性问题解题策略 《挑战压轴题·中考数学》的作者上海马学斌 专题攻略 两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）． 三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）． 两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，P A与PB的差的最大值就是AB，此时点P在AB的延长线上，即P′． 解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题． 图1 图2 图3 例题解析 例?如图1-1，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P 是抛物线对称轴上的一个动点，如果△P AC的周长最小，求点P的坐标． 图1-1 【解析】如图1-2，把抛物线的对称轴当作河流，点A与点B对称，连结BC，那么在△PBC中，PB＋PC总是大于BC的．如图1-3，当点P落在BC上时，PB＋PC最小，因此P A＋PC最小，△P AC的周长也最小． 由y＝x2－2x－3，可知OB＝OC＝3，OD＝1．所以DB＝DP＝2，因此P(1,－2)． 图1-2 图1-3
例?如图，抛物线21442 y x x =-+与y 轴交于点A ，B 是OA 的中点．一个动点G 从点B 出发，先经过x 轴上的点M ，再经过抛物线对称轴上的点N ，然后返回到点A ．如果动点G 走过的路程最短，请找出点M 、N 的位置，并求最短路程． 图2-1 【解析】如图2-2，按照“台球两次碰壁”的模型，作点A 关于抛物线的对称轴对称的点A ′，作点B 关于x 轴对称的点B ′，连结A ′B ′与x 轴交于点M ，与抛物线的对称轴交于点N ． 在Rt △AA ′B ′中，AA ′＝8，AB ′＝6，所以A ′B ′＝10，即点G 走过的最短路程为10．根据 相似比可以计算得到OM ＝83，MH ＝43，NH ＝1．所以M (83 , 0)，N (4, 1)． 图2-2 例? 如图3-1，抛物线248293 y x x =-++与y 轴交于点A ，顶点为B ．点P 是x 轴上的一个动点，求线段P A 与PB 中较长的线段减去较短的线段的差的最小值与最大值，并求出相应的点P 的坐标． 图3-1 【解析】题目读起来像绕口令，其实就是求|P A －PB |的最小值与最大值． 由抛物线的解析式可以得到A (0, 2)，B (3, 6)．设P (x , 0)． 绝对值|P A －PB |的最小值当然是0了，此时P A ＝PB ，点P 在AB 的垂直平分线上（如图3-2）．解方程x 2＋22＝(x －3)2＋62，得416x =．此时P 41(,0)6 ． 在△P AB 中，根据两边之差小于第三边，那么|P A －PB |总是小于AB 了．如图3-3，当点
经典几何中线段和差最值(含答案) (2)
几何中线段和，差最值问题 一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短； 直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值） 是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．
一般处理方法： 常用定理： 两点之间，线段最短（已知两个定点时） 垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时） 三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定时） 二、典型题型 1．如图：点P 是∠AOB 内一定点，点M 、N 分别在边OA 、OB 上运动，若∠AOB =45°，OP =△PMN 的周长的最小值为 6 ． 2．如图，当四边形P ABN 的周长最小时，a = 4 7 ． P A +P B 最小， 需转化， 使点在线异侧 B l
3．如图，A、B两点在直线的两侧，点A到直线的距离AM=4，点B到直线的距离BN=1，且MN=4，P为直线上的动点，|P A﹣PB|的最大值为5． 4．动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点 P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC 边 上可移动的最大距离为 2 ． 5．如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．当P落在直角梯形ABCD内部时，PD 6．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B 在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O
二次函数线段、周长、面积最值问题
1. 如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）与x 轴相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（-3，0）． （1）求点B 的坐标；（2）若a=1，C 为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上，且S △POC =4S △BOC ．求点P 的坐标；②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于 点D ，求线段QD 长度的最大值． 2．如图，二次函数y=ax 2-32 x+c （a ≠0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，已知点A （-1，0），点C （0，-2）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点M 是线段BC 下方的抛 物线上的一个动点，求△MBC 面积的最大值以及此时点M 的坐标． 3．如图，二次函数y=ax 2 +bx 的图象与一次函数y=x+2的图象交于A 、B 两点，点A 的横坐标是-1，点B 的横坐标是2．（1）求二次函数的表达式；（2）设点C 在二次函数图象的OB 段上，求四边形OABC 面积的最大值．
4．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； （3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标． 5.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴与x轴交于点H． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点P是该抛物线对称轴上的一个动点，求△PBC周长的最小值； （3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．求S与m的函数关系式。S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．
初中数学最值问题专题分类讲解全书
初中数学最值问题专题分类讲解全书 ●平面几何中的最值问题 ●几何的定值与最值 ●最短路线问题 ●对称问题 ●巧作―对称点‖妙解最值题 ●数学最值题的常用解法 ●求最值问题 ●有理数的一题多解
●平面几何中的最值问题 在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题．如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节约和最高效率．下面介绍几个简例． 在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。 最值问题的解决方法通常有两种： （1）应用几何性质： ①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ②两点间线段最短； ③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； ④定圆中的所有弦中，直径最长。 ⑵运用代数证法： ①运用配方法求二次三项式的最值； ②运用一元二次方程根的判别式。 例1、A、B两点在直线l的同侧，在直线L上取一点P，使PA+PB最小。 分析：在直线L上任取一点P’，连结A P’，BP’， 在△ABP’中AP’+BP’＞AB，如果AP’+BP’＝AB,则P’必在线段AB上，而线段AB与直线L无交点，所以这种思路错误。 取点A关于直线L的对称点A’，则AP’＝AP，
在△A’BP中A’P’+B’P’＞A’B,当P’移到A’B与直线L的交点处P点时A’P’+B’P’＝A’B，所以这时PA+PB最小。 1 已知AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长最大(图3－91)？ 分析本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R．由于AB∥CD，必有AC=BD．若设CD=2y，AC=x，那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值即可． 解作DE⊥AB于E，则x2=BD2=AB·BE＝2R·(R-y)＝2R2-2Ry， 所以 所以求u的最大值，只须求-x2+2Rx+2R2最大值即可． -x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)2≤3R2， 上式只有当x=R时取等号，这时有 所以2y=R=x． 所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点C，D， 这时，梯形的底角恰为60°和120°． 2 .如图3－92是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米(m)，怎样才能得出 最大面积，使得窗户透光最好？
线段差的最大值与线段和的最小值问题
For personal use only in study and research; not for commercial use 线段差的最大值与线段和的最小值问题 有关线段差的最大值与线段和的最小值问题的主要应用原理是：1、两点这间线段最短。2、三角形的任意两边之和大于第三边（找和的最小值）。3、三角形的任意两边之差小于第三边（找差的最大值）。 作图找点的关键：充分利用轴对称，找出对称点，然后，使三点在一条直线上。即利用线段的垂直平分线定理可以把两条线段、三条线段、四条线段搬在同一条直线上。证明此类问题，可任意另找一点，利用以上原理来证明。 一两条线段差的最大值： （1）两点同侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P，使︱PA－PB︱取最大值。作法：连结AB并延长AB交直线L于点P。点P即为所求。︱PA－PB︱=AB 证明：在直线L上任意取一点P。，连结PA、PB，︱PA－PB︱＜AB （2两点异侧：如图，如图，点P在直线L上运动，画出一点P，使︱PA－PB︱取最大值。作法：1、作B关于直线L的对称点B。 B
2、连结AB并延长AB交直线L于点P。点P即为所求。︱PA－PB︱=AB 证明：在直线L上任意取一点P。，连结PA、PB、PB。︱PA－PB︱=︱PA－PB︱＜AB （三角形任意两边之差小于第三边） 二、两条线段和的最小值问题： （1））两点同侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P使P A＋PB取最小值。 （三角形的任意两边之和大于第三边（找和的最小值），P A＋PB=AB （2）两点异侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P使P A＋PB取最小值。 （两点之间线段最短） 三、中考考点： 08年林金钟老师的最后一题：如图，在矩形ABCO中，B（3，2），E（3，1），F（1，2）在X轴与Y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形EFNM的周长最小？若存在，请求出周长的最小值，若不存在，请说明理由。 提示：EF长不变。即求F N＋NM＋MF的最小值。利用E关于X轴的对称点E，F的对称点F，把这三条线段搬到同一条直线上。
中考数学中的最值问题解法
中考数学几何最值问题解法 在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。 解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。 应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值 典型例题： 例1. 如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为【】 A1B C． 55 D． 5 2 例2.在锐角三角形ABC中，BC=2 4，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN 的最小值是▲ 。 例3.如图，圆柱底面半径为2cm，高为9cm π，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为▲ cm。
练习题： 1. 如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm .若一只蚂蚁从P 点开 始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为【 】 A.13cm B.12cm C.10cm D.8cm 2.如图，圆柱的底面周长为6cm ，AC 是底面圆的直径，高BC=6cm ，点P 是母线BC 上一点，且PC= 23 BC ．一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是【 】 A 、6 (4)π+㎝ B 、5cm C 、㎝ D 、7cm 3.如图所示，在边长为2的正三角形ABC 中，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，点P 为线段EF 上一个动点，连接BP 、GP ，则△BPG 的周长的最小值是 _ ▲ ． 二、应用垂线段最短的性质求最值：典型例题： 例1. （2012山东莱芜4分）在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6．若点P 在边AC 上移动，则BP 的最小值是 ▲ ．
线段和差最值问题-经典模型
线段和（差）的最值问题 此类问题特点：1.两个定点，一个定点； 2. 线段 和最小值，线段差最大值 一、线段和最小值问题 若在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）两侧/异侧型：定点A 、B 在直线m （动点P 所在直线）两侧：直接连接A 、B 两点交直线m 于一点P ，该点P 即为所求点。（PA+PB=AB ） （2）同侧型：定点A 、B 在动点P 所在直线m 同侧：（方法：一找二作三连）： 一找：找定点A 、B ，动点P 及动点所在的直线m ；二作：任选一个定点做对称；三连：连接对称点与另一个定点，其连线交动点所在直线于一点P ，该点P 即为所求。（ PA+PB=PA’+PB=A’B ） Image Image 二、线段差最大值问题 若在一条直线m 上，求一点P ，使得最大 （1）同侧型：定点A 、B 在直线m （动点P 所在直线）两侧：直接连接 A 、 B 两点交直线 m 于一点P ，该点P 即为所求点。() （2）两侧/异侧型：定点A 、B 在直线m （动点P 所在直线）两侧：任选
一个定点做对称；三连：连接对称点与另一个定点，其连线交动点所在直线m于一点P，该点P即为所求点。() 线段和最小值练习题 1．如图1，在锐角三角形ABC中，AB=,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC 于点D，M,N分别是AD和AB上的动点， 则BM+MN的最小值为． 2. 如图2所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为 . 3.如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为 __________． 图1 图2 图3 图4 4. 如图4，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为． 5. 如图5，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm． 6.已知正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB +PE的最小值是 7. 如图6，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC
初中数学最值问题 专题
中考数学最值问题 【例题1】(经典题)二次函数y=2(x ﹣3)2﹣4的最小值为 . 【例题2】(2018江西)如图,AB 就是⊙O 的弦,AB=5,点C 就是⊙O 上的一个动点,且∠ACB=45° ,若点M 、N 分别就是AB 、AC 的中点,则MN 长的最大值就是 . 【例题3】(2019湖南张家界)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)过点A (1,0),B (3,0)两点,与y 轴交于点C ,OC ＝3. (1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标; (2)过点A 作AM ⊥BC ,垂足为M ,求证:四边形ADBM 为正方形; (3)点P 为抛物线在直线BC 下方图形上的一动点,当△PBC 面积最大时,求P 点坐标及最大面积的值; (4)若点Q 为线段OC 上的一动点,问AQ ＋ 2 1QC 就是否存在最小值?若存在,求岀这个最小值;若不存在,请说明理由. 练 习 1、(2018河南)要使代数式x 32-有意义,则x 的( ) A 、最大值为32 B 、最小值为3 2 C 、最大值为2 3 D 、最大值为23 2、(2018四川绵阳)不等边三角形?ABC 的两边上的高分别为4与12且第三边上的高为整数,那么此高的最大值可能为________。 3、(2018齐齐哈尔)设a 、b 为实数,那么a ab b a b 22 2++--的最小值为_______。 -2-1 -13 2 1 321y x O M D C B A
4、(2018云南)如图,MN 就是⊙O 的直径,MN=4,∠AMN=40°,点B 为弧AN 的中点,点P 就是直径MN 上的一个动点,则PA+PB 的最小值为 . 5、(2018海南)某水果店在两周内,将标价为10元/斤的某种水果,经过两次降价后的价格为8、1元/斤,并且两次降价的百分率相同. (1)求该种水果每次降价的百分率; (2)从第一次降价的第1天算起,第x 天(x 为正数)的售价、销量及储存与损耗费用的相关信息如表所示、已知该种水果的进价为4、1元/斤,设销售该水果第x (天)的利润为y (元),求y 与x (1≤x ＜15)之间的函数关系式,并求出第几天时销售利润最大？ 时间(天) 1≤x ＜9 9≤x ＜15 x ≥15 售价(元/斤) 第1次降价后的价格 第2次降价后的价格 销量(斤) 80－3x 120－x 储存与损耗费用(元) 40＋3x 3x 2－64x ＋400 (3)在(2)的条件下,若要使第15天的利润比(2)中最大利润最多少127、5元,则第 15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？ 6、(2018湖北荆州)某玩具厂计划生产一种玩具熊猫,每日最高产量为40只,且每日产出的产品全部售出,已知生产x 只玩具熊猫的成本为R(元),售价每只为P(元),且R 、P 与x 的关系式分别为 R x =+50030,P x =-1702。 (1)当日产量为多少时,每日获得的利润为1750元; (2)当日产量为多少时,可获得最大利润？最大利润就是多少？ 7、(2018吉林)某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人,甲、乙两种工种的工人的月工资分别就是600元与1000元,现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍,问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少？ 8、(经典题)求x x x x 2211 -+++的最大值与最小值。 9、(经典题)求代数式x x 12 -的最大值与最小值。 10、(经典题)求函数y x x =--+-||||145的最大值。