有固定转动轴物体的平衡
标准教案
第二章物体平衡
§2.3有固定转动轴物体的平衡
高考对应考点：
1．力矩（学习水平B级）
2. 有固定转动轴的物体的平衡（学习水平B级）
课时目标：
1．了解转动平衡的概念，理解力臂和力矩的概念。
2．理解有固定转动轴物体平衡的条件
3．会用力矩平衡条件分析问题和解决问题
重点难点：
1．力矩平衡计算
2．动态平衡问题的分析方法
知识精要：
一．转动平衡：
有转动轴的物体在力的作用下，处于静止或，叫平衡状态。
二．力矩：
1．力臂：转动轴到力的作用线的。
2．力矩：的乘积。
（1）计算公式：；
（2）单位：；
（3）矢量：在中学里，只研究固定转动轴物体的平衡，所以只有顺时针和逆时针转动两种方向
三．力矩平衡条件：
力矩的代数和为零或所有使物体向方向转动的力矩之和等于所有使物体向方向转动的力矩之和。
或 ＝
∑=∑∑
M0M M
顺逆
热身练习：
1．如图所示，要使圆柱体绕A点滚上台阶，试通过作图来判
断在圆柱体上的最高点所施加的最小力的方向
_____________。
2．匀质杆AO可绕O轴转动，今用水平力使它缓缓抬起的过程中，如图所示，重力对
O轴的力臂变化是_____________，重力对O轴的力矩变化情况是_____________，已
知抬起过程中水平拉力力矩的大小应等于重力的力矩，则水平拉力F的变化情况是
_____________。
3． 如图，把物体A 放在水平板OB 的正中央，用始终垂直于杆的力F 将板的B 端缓慢抬高（O 端不动），设A 相对平板静止，则力
F 的将 ，F 的力矩F M 将 ；若F 始终
竖直向上，则力F 的大小将 ，
F
的力矩
F
M 将 。
4．如图所示，ON 杆可以在竖直平面内绕O 点自由转动，若
在N 端分别沿图示方向施力123F F F
、、，杆均能静止在图示
位置上．则三力的大小关系是（ ）
A ．
123F F F == B ．
123F F F >>
C ．2
13F F F
>> D ．132F F F
>>
5．如图所示，直杆OA 可绕O 点转动，图中虚线与杆平行，杆
端A 点受四个力1234F F F F 、、、的作用，力的作用线与OA 杆
在同一竖直平面内，它们对转轴O 的力矩分别为
1234M M M M 、、、，则它们力矩间的大小关系是（ ） A ．1234
M M M M ===； B ．2134M M M M ＞＝＞； C ．4231
M M M M ＞＞＞； D ．
2134
M M M M ＞＞＞；
6．如图所示，一杆均匀，每米长的重为P=30N ，支于杆的左端，在离杆的左端a 0.2m =处挂一质量为W 300N =的物体，在杆的右端加一竖直向上的力F 杆多长时使杆平衡时所加竖直向上的拉力F 最小，此最小值为多大？
精解名题：
例1．一块均匀木板MN 长L 15m ＝，重
1G 400N
＝，搁在相距D 8m ＝
的两个支架A B 、上， O ’
F 2 F 3 F 4 O
F
1 A ’
A
MA NA ＝，重2G 600N ＝的人从A 点向B 点走去，如图
所示。
求：①人走过B 点多远木板会翘起来？
②为使人走到N 点时木板不翘起来，支架B 应放在 离N 多远处？
分析：先对木板受力分析，木板受到自身重力1G 、人对木板的压力以及支架对木板的支持力，当人走过B 点时，为保证不翘起，应选定B 点为支点。
解：当木板刚翘起来时，板的重力对B 点产生的力矩和人的重力对B 点产生的力矩使板平衡，设人走过B 端L 时木板会翘起来，则有B L ?=?6004400 可解得B L 2.67m ＝，同理，可设当人走到N 端木板刚要翘起来时，B 支架和N 端的距离为BN L 则有
BN
BN L L ?=-?600)5.7(400，可得BN L 3m ＝。
答案：①B L 2.67m ＝；②BN L 3m ＝
例2．（2012年长宁-2）如图所示，T 形金属支架与固定转轴O 相连，AB 水平，CO 与AB 垂直，B 端由竖直细线悬吊，AC CO 0.2m ==，CB 0.3m =，支架各部分质量均匀分布，支架总质量为7kg ．小滑块质量m 0.5kg =，静止于A 端时细线 恰不受力．现给小滑块初速使其水平向右滑动，滑块与AB 间的动摩擦因数0.5μ=，取重力加速度
2g 10m /s =，求：
①支架的重力相对转轴O 的力矩； ②小滑块滑至C 点时细线对B 的拉力．
分析：对T 形金属支架受力分析，由于质量不对称，因此分成AC BC 、两段，分别求其产生的力矩；由于小滑块滑动，使得支架受到向右的滑动摩擦力力，因此支架受到两个顺时针方向的力矩和绳子拉力产生的逆时针方向的力矩。 解：①由力矩平衡得：
BC AC BC AC -22
G M m g m g =?
? 3100.15Nm-2100.1N.m 2.5N.m =????=
②滑动摩擦力： 0.50.510N 2.5N f mg μ==??=
f M mgCO 2.50.2N.m 0.5N.m μ==?=
力矩平衡得：G f T M M M +=
拉力：()/CB (2.5+0.5)./0.3N 10N G f T
M M N m =+==
答案：①2.5N.m ②10N
例3．一均匀的直角三直形木板ABC ，可绕过C 点的水平轴转动，如右图所示。现用一始终沿直角边AB 且作用在A 点的力F ，使BC 边慢慢地由水平位置转至竖直位置。在此过程中，力F 的大小与α角变化的图线是（ ）
分析：三角板的重心在其三条中线的交点上，木板受到重力和拉力F 作用，在木板转动过程中，重心相对于地面的位置会发生变化，拉力F 的力臂总保持不变，在转动过程中，重力的力矩先变小后变大，因此拉力F 也先变小后边大。
解：设bc 边为L ，重心到c 点的距离为a ，重心与c 点的连线与bc 的夹角为θ由力矩平衡条件得：FL=Gacos(+)θα，可见F 与α的关系不是线性的，因此应选C 。 答案：C
例4．如图所示，一自行车上连接脚踏板的连杆长R 1，由脚踏板带动半径为r 1的大齿盘，通过链条与半径为r 2的后轮齿盘连接，带动半径为R 2的后轮转动。
①设自行车在水平路面上匀速行进时，受到的平均阻力为f ，人蹬脚踏板的平均作用力为F ， 链条中的张力为T ，地面对后轮的静摩擦力为s f 。通过观察，写出传动系统中有几个转动轴，分别写出对应的力矩平衡表达式；
②设R 1=20 cm ，R 2=33 cm ，脚踏大齿盘与后轮齿盘的齿数分别为48和24，计算人蹬脚踏板的平均作用力与平均阻力之比；
③自行车传动系统可简化为一个等效杠杆。以R 1为一力臂，在框中画出这一杠杆示意图， 标出支点，力臂尺寸和作用力方向； 分析：对于自行车，脚踏板的力产生顺时针转动的力矩，通过链条带动自行车后轮顺时针动， 因此脚踏板和后轮轴各有一处力矩平衡。
解：①自行车传动系统中的转动轴个数为2，设脚踏齿轮、后轮齿轮半径分别为r 1、r 2，链条中拉力为T 对脚踏齿盘中心的转动轴可列出：11FR Tr = 对后轮的转动轴可列出：22s Tr f R =
②由11FR Tr =，22s Tr f R =，及s f f =（平均阻力）
可得2448
=
=2121r r R f FR s 所以1221483333
3.3242010
r R F f r R ?==
==? ③如图所示
答案：①11FR Tr =，22s Tr f R = ②
=3.3F
f
③如上图
F
α
O 90° F α O 90° F α
O
90° 90° F α O A B C D
F A
B
α C
方法小结：
1．明确转轴：
大多数情况下物体的转轴是容易明确的，但在有的情况下则需要自己来确定转轴的位置。在解决问题之前，首先要通过分析来确定转轴的问题很多，只有明确转轴，才能计算力矩，进而利用 ，进行求解。
2．解决转动问题的步骤；
① ； ② ； ③ ：
或
④ ； ⑤ 。
3．力矩的计算： 方法一：先求出力的力臂，再由定义求力矩M FL ＝
如图中，力F 的力臂：
力矩：
方法二：先把力沿 和 的两个方向分
解，平行于杆的分力对杆无转动效果，力矩为零；平行于杆的分力的力矩为该分力的大小与杆长的乘积。
4．摩擦力的力矩：
当研究问题有摩擦力产生力矩时，一定不要忽略了摩擦力的力矩，先对运动物体受力分析，确定 ，然后运动物体反过来给转动杆一摩擦力的 ，使的杠杆有转动效果，最后根据 列方程求解。
巩固练习：
1．如右图所示，T 形架子可绕底端转动，现在分别在左右端施加拉力12F F 、，则关于12F F 、的力矩12M M 、可知（ ） A ．都是顺时针的 B ．都是逆时针的
C ．1M 是顺时针所的，2M 是逆时针的
D ．1M 是逆时针的，2M 是顺时针所的
2．如图所示是一种钳子，O 是它的转动轴，在其两手柄上分别加大小恒为F 、方向相反的两个作用力，使它钳住长方体工件M ，工件的重力可忽略不计，钳子对工件的压力大小为F N ，当另外用沿虚线方向的力把工件向左拉动时，钳子对工件的压力大小为F N1，而另外用沿虚线方向的力把工件向右拉动时，钳子对工件的压力大小为F N2，则（ ） A ．12N N N F F F ＞＞ B ．12N N N F F F ＜＜ C ．12N N N F F F ＝＝，
D ．12N N N N F F F F ＞，＞
F
θ L F 2 F 1 F
M O
F
A B O 3．如图所示，重为G 的物体A 靠在光滑竖直墙上，一端用铰链铰在另一墙上的匀质棒支持物体A ，棒重为G’，棒与竖直方向的夹角为α，则（ ）
A ．物体A 对棒端的弹力、摩擦力的合力方向必沿棒的方向。
B ．增大棒重G’，物体A 对棒的摩擦力将增大。
C ．增大物重G ，且棒仍能支持A ，则A 对棒的摩擦力将增大，而弹力不 变。
D ．水平向右移动铰链，使α角增大，但棒仍能支持A ，则A 对棒的弹
力将增大。
4．如图所示是单臂斜拉桥的示意图，均匀桥板aO 重为G ，三根平行钢索与桥面成30°角，间距ab=bc=cd=dO.若每根钢索受力相同，左侧桥墩对桥板无作用力，则每根钢索的拉力大小是( ). A ．G B ．6G 3 C ．3G D ．32G
5．如图所示，一根轻质木棒AO ，A 端用光滑铰链固定于墙上，在O 端下面吊一个重物，上面用细绳BO 系于顶板上，现将B 点逐渐向右移动，并使棒AO 始终保持水平，则下列判断中正确的是（ ）
A ．BO 绳上的拉力大小不变。
B ．BO 绳上的拉力先变大后变小。
C ．BO 绳上的拉力对轻杆的力矩先变大后变小。
D ．BO 绳上的拉力对轻杆的力矩不变。
6．均匀板重300 N ，装置如图，AO 长4 m ，OB 长8 m ，人重500 N ，绳子能承受的最大拉力为200 N ，求：人能在板上安全行走的范围。
7．如图所示，质量为m 粗细均匀的均质细杆AB 在B 点用铰链与墙连接，杆与竖直墙面的夹角为θ＝37?，A 端固定一轻质光滑小滑轮，墙上C 点固定轻绳的一端，轻绳水平跨过滑轮另一端悬挂有质量为M 的物体G 。目前杆AB 与物体G 都处于静止状态，求： ①杆的质量与物体的质量的比值；
②若略微增加物体G 的质量，仍要使整个系统处于平衡状态，需如何调 整θ角度。
A
α
C
A O 30? B
θ A
B C G
8．如右图所示是用电动砂轮打磨工件的装置，砂轮的转轴通过图中O 点垂直于纸面，AB 是一长度0.60m l =、质量1m 0.50kg =的均匀刚性细杆，可绕过A 端的固定轴在竖直面(图中纸面)内无摩擦地转动，工件C 固定在AB 杆上，其质量2m 1.5kg =，工件的重心、工件与砂轮的接触点P 以及O 点都在过AB 中点的竖直线上，P 到AB 杆的垂直距离d 0.1m =，AB 杆始终处于水平位置，砂轮与工件之间的动摩擦因数0.6.μ=
(1)当砂轮静止时，要使工件对砂轮的压力0F 100N =，则施于B 端竖直向下的力FB 应是多大?
(2)当砂轮逆时针转动时，要使工件对砂轮的压力仍为F0=100N ，则施于B 端竖直向下的力FB′应是多大?
当堂总结：
自我测试：
1．如图，竖直轻质悬线上端固定，下端与均质硬棒AB 中点连接，棒长为线长的二倍。棒的A 端用铰链墙上，棒处于水平状态。改变悬线的长度，使线与棒的连接点逐渐右移，并保持棒仍处于水平状态。则悬线拉力 （ ） A.逐渐减小 B.逐渐增大 C.先减小后增大 D.先增大后减小
2．如图所示是一个单边斜拉桥模型，均匀桥板重为G ，可绕通过O 点的水平固定轴转动。7根与桥面均成30°角的平行钢索拉住桥面，其中正中间的一根钢索系于桥的重心位置，其余成等距离分布在它的两侧。若每根钢索所受拉力大小相等，则该拉力大小为（ ）
A ． 17G
B ．27G
C ．37G
D ．47G
3．如图所示，一根木棒AB在O点被悬挂起来，已知AO
＝OC，在A、C两点分别挂有2个和3个质量相等的砝码，
木棒处于平衡状态．现在木棒的A、C点各增加3个同样的
砝码，关于木棒的运动状态下列说法正确的是（）
A．绕O点顺时针方向转动
B．绕O点逆时针方向转动
C．平衡可能被破坏，转动方向不定
D．仍能保持平衡状态
4．棒AB的一端A固定于地面，可绕A点无摩擦地转动，B端靠在物C上，物C靠在光滑的竖直墙上，如图所示.若在C物上再放上一个小物体，整个装置仍保持平衡，则B端与C物之间的弹力大小将( ). A．变大B．变小
C．不变D．无法确定
5．如图所示，均匀细杆AB的质量为m AB=5kg，A端装有固定
转轴，B端连接细线通过滑轮和重物C相连，若杆AB呈水平，
细线与水平方向的夹角为q=30°时恰能保持平衡，则重物C的
质量m C＝__________；若将滑轮水平向右缓缓移动，则杆AB
将_____________（选填“顺时针”、“逆时针”或“不”）转
动，并在新的位置平衡。（不计一切摩擦）
6．如图所示，质量为m的运动员站在质量为m的均匀长板AB
的中点，板位于水平地面上，可绕通过A点的水平轴无摩擦转动.
板的B端系有轻绳，轻绳的另一端绕过两个定滑轮后，握在运动
员的手中.当运动员用力拉绳子时，滑轮两侧的绳子都保持在竖直
方向，则要使板的B端离开地面，运动员作用于绳的最小拉力是
______。
7．重为80N的均匀直杆AB一端用铰链与墙相连，另一端
用一条通过光滑的小定滑轮M的绳子系住，如图所示，绳
子一端与直杆AB的夹角为30°，绳子另一端在C点与AB
垂直，
1
6
AC AB
。滑轮与绳重力不计。则B点处绳子的
拉力的大小是___________N，轴对定滑轮M的作用力大小
是___________N。
8．某同学用实验方法测力矩盘的重心，如图，是一个半径为8cm
的力矩盘，重4N，但重心不在圆心O处，圆心套在转轴上后处于
如图静止状态（OA呈水平）。在A点悬挂一个1N的砝码后，半
径OA将顺时针转过30°角后保持静止，则该盘重心离O点
cm。若在A处改挂一个3N的砝码后，则OA将转过度才能
平衡。
. O A
§2.3力矩平衡 知识精要、方法小结及练习、自测参考答案
知识精要
一． 匀速转动；
二．1．垂直距离； 2．力与力臂；（1） M F L =?；（2） .N m 三．顺时针；逆时针。
热身练习
1. 如右图 ；
2. 变大；变大；变大
3. 变小；变小；不变；变小；
4. D ；
5. B ；
6.
2m ；min 60F N =
方法小结
1．力矩平衡条件。
2．①确定研究对象；②分析状态和受力；③列出力矩平衡方程；④代入数据，解出结果；⑤作出必要的讨论，写出明确答案。
3．F L Lsin θ= ；M F.Lsin θ＝ ；垂直于杆；平行于杆；1
M F.L F.Lsin θ＝= 4． 摩擦力方向；反作用力；转动平衡条件；
巩固训练
1．B ；2．A ；3．D ；4．D ；5．D ；6．O 左1.2 m 到O 右0.4 m 之间；7．2:3，减小； 8．40N ，30N ；
自我测试
1．A ；2．B ；3．D ；4．A ；5．5kg ，顺时针；6．23mg
；7．60，603；8． 32，60；
9．
q mg
E 2=
；减小；
10．解：（1）sin cos mg mg ma θμθ＋＝，
22sin cos 100.60.5100.8m /s 10m /s a g g θμθ???＝＋＝（＋）＝，
（2）设第二个滑块滑上的距离为s ，对支架由力矩平衡条件得：
12sin 2cos cos /2cos /2Mgl mgd mg s L mg s L θθθθ＝＋（－）＋（－），
222010
/2/2s v t at s v t t a t t ??＝-，＝（＋）-（＋）， 解得：120.2s 1s t t ＝，＝
（舍） 且1m 011m /0.6s t v a t t ＝＝，＜，解答合理；
2014竞赛第二讲 一般物体的平衡答案
2014第二讲 一般物体的平衡 一、相关概念 （一）力臂：从转动轴到力的作用线的垂直距离叫力臂。 （二）力矩：力和力臂的乘积叫力对转动轴的力矩。记为M=FL ，单位“牛·米”。一般规定逆时针方向转动为正方向，顺时针方向转动为负方向。 （三）有固定转轴物体的平衡条件 作用在物体上各力对转轴的力矩的代数和为零，即ΣM=0，或ΣM 逆=ΣM 顺。 （四）重心：计算重心位置的方法： 1、同向平行力的合成法：各分力对合力作用点合力矩为零，则合力作用点为重心。 2、割补法：把几何形状不规则的质量分布均匀的物体分割或填补成形状规则的物体，再由同向（或反向）平行力合成法求重心位置。 3、公式法： ++++= g m g m gx m gx m x 212211，当坐标原点移到重心上，则两边的重力矩平衡。 二、常用方法 ①巧选转轴简化方程：选择未知量多，又不需求解结果的力线交点为轴，这些力的力矩为零，式子简化得多； ②复杂的物体系平衡问题有时巧选对象：选整体分析，常常转化为力矩平衡问题求解； ③无规则形状的物体重心位置计算常用方法是通过割补思想，结合平行力合成与分解的原则处理，或者助物体重心公式计算。 三、巩固练习 1.如右图所示，匀质球质量为M 、半径为R ；匀质棒B 质量为m 、长度为l 。求它的重心。 【解】第一种方法是：将它分隔成球和棒两部分，然后用同向平行力合成的方 法找出重心C 。C 在AB 连线上，且AC ·M=BC ·m ； 第二种方法是：将棒锤看成一个对称的“哑铃”和一个质量为-M 的球A '的合成，用反向平行力合成的方法找出重心C ，C 在AB 连线上，且BC ·（2M+m ）=C A '·M 。不难看出两种方法的结果都是 m M l R M BC +? ? ? ?? +=2。 2.将重为30N 的均匀球放在斜面上,球用绳子拉住,如图所示.绳AC 与水平面平行，C 点为球的最高点斜面 倾角为370 .求： (1)绳子的张力. (2)斜面对球的摩擦力和弹力. [答案：（1）10N ；（2）10N ，30N] 解：（1）取球与斜面的接触点为转轴：0)37cos (37sin 20=+-R R T mgR ，得T =10N; （2）取球心为转轴得，f =T =10N; 取C 点为转轴：037sin )37cos (00=-+NR R R f ，得N =30N. （M+m ）g （2M+m ）g
第五讲 有固定转动轴的物体的平衡
第五讲 有固定转动轴的物体的平衡 一、知识要点： 1．力臂：从转动轴到力的作用线的垂直距离。用L 来表示。 2．力矩：力和力臂的乘积。用M 表示。公式；M=F×L 。单位；牛顿·米。计算力矩，关键是正确找到力臂。 3．有固定轴的物体的平衡状态：静止或匀速转动。 有固定轴的物体平衡的条件：顺时针力矩的总和等于逆时针力矩的总和。 公式；ΣM 顺=ΣM 逆 二、典型例题： （一）力臂、力矩的运算： 1．均匀杆OA 可绕过O 点的水平轴自由转动，在其A 端用竖直向上的力F 拉，使杆缓慢的转动，杆与天花板的夹角θ逐渐减小，如图所示。在此过程中，拉力F 大小的变化情况是 ，F 力的力矩大小的变化情况是 。 2．如图，直杆OA 可绕O 点转动，图中虚线与杆平行，杆端A 点受四个力F 1、F 2、F 3、F 4的作用，力的作用线跟OA 杆在同一竖直平面内，四个力对轴O 的力矩分别是M 1、M 2、M 3、M 4。则力矩的大小关系是：( ) A ．M 3=M 4 《物理学》多媒体学习辅导系统 第三章 刚体的定轴转动 教学要求 一．理解定轴转动刚体运动的角速度和角加速度的概念，理解角量与线量的关系。 二．理解刚体定轴转动定律，能解简单的定轴转动问题。 三．了解力矩的功和转动动能的概念。 四．了解刚体对定轴的角动量定理及角动量守恒定律。 五．理解转动惯量的概念，能用平行轴定理和转动惯量的可加性计算刚体对定轴的转动惯量。 基本内容 本章的重点是刚体定轴转动的力矩、转动惯量、角动量等物理量的概念和转动定律，难点是刚体绕定轴转动的角动量守恒定律及其应用。 一．角量与线量的关系 2 ωαω θ r a r a r v r s ====n t 二．描述刚体定轴转动的物理量和运动规律与描述质点直线运动的物理量和运动规律有类比关系，有关的数学方程完全相同, 为便于比较和记忆，列表如下。只要将我们熟习的质点直线运动的公式中的x 、v 、a 和m 、F 换成θ、ω、α和I 、M , 就成为刚体定轴转动的公式。 表3—1 质点的直线运动 刚体定轴转动 位置 x 角位置 θ 位移 x ? 角位移 θ? 速度 t x v d d = 角速度 t d d θω= 加速度 2 2d d d d t x t v a == 角加速度 2t t d d d d 2θωα== 匀速直线运动 vt x x +=0 匀角速转动 t 0ωθθ+= 20021at t v x x + += 2002 1 t t++ =αωθθ ()02022x x a v v -=- ()02 02 2 θθαωω-=- 质量 m 转动惯量 i i m r I ?=∑2 力 F 力矩 r F M θ= 牛顿第二定律 ma F = 定轴转动定律 αI M = 力的功 ? = x x x F A 0 d 力矩的功 ?=θ θθ0 d M A 动能 221mv E =k 动能 k 22 1 ωI E = 动能定理 2 02210 mv mv x F x x 2 1d -=? 动能定理 2 022 121d ωωθθ θ I I M -= ?20 冲量 ? t t t F 0 d 冲量矩 ? t t t M 0 d 动量 mv 角动量( 动量矩 ) ωI 动量定理 00 mv mv t F t t -=? d 角动量定理 ? -=t t I I t M 0 0d ωω 系统的机械能守恒定律 系统的机械能守恒定律 若0=+非保内外A A ,则 若0=+非保内外A A ,则 =+p k E E 常量 =+p k E E 常量 系统的动量守恒定律 系统的角动量守恒定律 若 0=∑外 F ,则 若0=∑外M ,则 =∑i i v m 常量 =∑i L 常量 关于浮体的平衡与稳定性)1 谢建华 (西南交通大学牵引动力国家重点实验室) 摘要：本文讨论了浮体的平衡与稳定问题，介绍了定倾中心的定义，并结合一个具体的例子，给出了定倾高度的三种不同的计算方法，最后，根据能量方法说明了用定倾高度判定浮体稳定性的理论依据。 关键词：浮体；平衡；稳定性 浮体的平衡与稳定问题研究是一个非常有实际意义的课题，是船舶与海洋平台设计的理论基础，在其它工程中也有广泛的应用。在浮体稳定性研究中，定倾中心是一个重要的概念，但是，笔者认为有一些教科书或文献对此概念的定义是不够明确的，例如，有的认为，当船 体发生微小摇晃时浮力的作用线交对称轴线（浮轴）于一定点，此点即为定倾中心]2[],1[，也有的认为实验表明前述两直线交于一点]3[。另外，在用力系简化方法推导定倾高度的过程中也有含糊不清之处]1[，或在稳定性判定上发生错误]4[。笔者带着这些疑问查阅了若干 参考书，特别是[5]、[6]和[7]。根据这些材料，本文介绍了定倾中心的明确定义，并结合一个具体的例子，给出了定倾高度三种不同的计算方法，最后，根据能量方法说明了用定倾高度判定浮体稳定性的理论依据。 如果物体的比重比水小，物体在水中漂浮平衡时，有一部分将露出水面，这样的物体称为浮体。浮体要满足以下两个条件才能平衡：(i) 受水的浮力等于浮体的重量；(ii)浮心(浮力的作用点)与浮体重心的连线和水平面垂直，如图1(a)所示。浮体平衡位置还要满足稳定性条件才能具体实现。图1(b)表示一个长方形物块平躺和竖立平衡位置发生了微小的扰动，其中，左边的物块上作用的重力和浮力阻碍了物块进一步偏离其平衡位置，因此平衡是稳定，而右边的物块则相反，其上作用的重力和浮力加剧了偏离其平衡位置，平衡是不稳定。以下来分析浮体平衡和稳定的条件。 图1 浮体的平衡 假设浮体有一个对称面，平衡位置发生扰动时，浮体上各点的位移均平行于对称面，浮体作平面运动。容易说明浮体对铅直和水平扰动是稳定的，仅需考虑浮体对转动方向扰动的稳定性问题。平衡时，浮体与水平面的交面称浮面，记为S。先建立一个与浮体固连的坐标 )1国家自然科学基金资助项目(10772151) 郑梁梅高级中学高一物理竞赛辅导讲义 第三讲：力矩、定轴转动物体的平衡条件、重心 【知识要点】 （一）力臂：从转动轴到力的作用线的垂直距离叫力臂。 （二）力矩：力和力臂的乘积叫力对转动轴的力矩。记为M=FL ，单位“牛·米”。一般规定逆时针方向转动为正方向，顺时针方向转动为负方向。 （三）有固定转轴物体的平衡条件 作用在物体上各力对转轴的力矩的代数和为零或逆时针方向力矩总是与顺时针方向力矩相等。即ΣM=0，或ΣM 逆=ΣM 顺。 （四）重心：物体所受重力的作用点叫重心。 计算重心位置的方法： 1、同向平行力的合成法：各分力对合力作用点合力矩为零，则合力作用点为重心。 2、割补法：把几何形状不规则的质量分布均匀的物体分割或填补成形状规则的物体，再由同向（或反向）平行力合成法求重心位置。 3、公式法：如图所示，在平面直角坐标系中，质量为m 1和m 2的A 、B 两质点坐标分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）则由两物体共同组成的整体的重心坐标为： 212211m m x m x m x C ++= 212211m m y m y m y C ++= 一般情况下，较复杂集合体，可看成由多个质点组成的质点系， 其重心C 位置由如下公式求得： i i i C m x m x ∑∑= i i i C m y m y ∑∑= i i i C m z m z ∑∑= 本节内容常用方法有：①巧选转轴简化方程：选择未知量多，又不需求解结果的力线交点为轴，这些力的力矩为零，式子简化得多；②复杂的物体系平衡问题有时巧选对象：选整体分析，常常转化为力矩平衡问题求解；③无规则形状的物体重心位置计算常用方法是通过割补思想，结合平行力合成与分解的原则处理，或者助物体重心公式计算。 【典型例题】 【例题1】如图所示，光滑圆弧形环上套有两个质量不同的小球A 和B 两球之间连有弹簧，平衡时圆心O 与球所在位置的连线与竖直方向的夹角分别为α和β，求两球质量之比。 y y y 2α β A B O 第9单元：有固定转动轴的物体的平衡 教学目标： 一、知识目标 1：知道什么是转动轴和有固定转动轴的物体的平衡状态。 2：掌握力臂的概念，会计算力矩。 3：理解有固定转动轴的物体的平衡条件。 二、能力目标： 通过有固定转动轴的物体的平衡条件的得到过程，培养学生的概括能力和分析推理能力。 三、德育目标： 使学生了解物理学的研究方法 教学重点： 1：什么是转动平衡； 2：有固定转动轴的物体的平衡条件。 教学难点： 力矩的概念及物体的转动方向的确定。 教学方法： 实验法、归纳法、讲授法 教学用具： 力矩盘、钩码、弹簧秤、投影仪、投影片 教学步骤： 一、导入新课： 1：复习：前边我们共同学习了物体在共点力作用下的平衡条件及其应用，请同志们回答以下问题： （1）什么是共点力作用下物体的平衡状态？ （2）在共点力作用下物体的平衡条件是什么？ 2：引入：本节课我们来学习另外一种平衡——转动平衡 二、新课教学 （一）用投影片出示本节课的学习目标： 1：了解转动平衡的概念 2：理解力臂和力矩的概念 3：理解有固定转动轴的物体的平衡条件 （二）学习目标完成过程： 1：转动平衡 （1）举例：生活中，我们常见到有许多物体在力的作用下转动；例如：门、砂轮、电唱机的唱盘，电动机的转子等； （2）引导学生分析上述转动物体的共同特点，即上述物体转动之后，物体上的各点都沿圆周运动，但所有各点做圆周运动的中心在同一直线上，这条直线就叫转动轴。 （3）介绍什么是转动平衡。 一个有固定转动轴的物体，在力的作用下，如果保持静止，我们就说这个物体处于转动平衡状态。 （4）课堂讨论：举几个物体处于转动平衡状态的实例。 2：力矩： （1）引言：通过上面例子的分析，我们知道，力可以使物体转动，那么力对物体的转动作用跟什么有关系呢？ （2）举例： a：推门时，如果在离转轴不远的地方推，用比较大的力才能把门推开；在离转动轴较远的地方推门，用比较小的力就能把门推开。 b：用手直接拧螺帽，不能把它拧紧；用扳手来拧，就容易拧紧了。 （3）总结得到：力越大，力和转动轴之间的距离越大，力的转动作用就越大。 重心位置与物体平衡的关系 一个物体受到重力的作用，从效果上看，我们可以认为各部分受到的重力作用集中于一点，这一点叫物体的重心。重心相当于是物体各个部分所受重力的等效作用点。重心的位置一方面取决于物体的几何形状，另一方面取决于物体的质量分布情况。 物体的平衡问题是物理学中一大类问题，物体在重力和支持力下的平衡又可分为稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡三个类型。物体稍微偏离平衡位置，如果重心升高，就是稳定平衡；如果重心降低，就是不稳定平衡；如果重心的位置不变，就是随遇平衡。 从物理学的角度来看，重心的位置和物体的平衡之间有着密切联系，主要体现在两个方面： （1）物体的重心在竖直方向的投影只有落在物体的支撑面内或支撑点上，物体才可能保持平衡。 （2）物体的重心位置越低，物体的稳定程度越高。 对于重心位置和平衡的关系我们可以举出如下熟知的例子： 类型1：不倒瓮为什么不倒?如图1，有趣的不倒翁，不论你怎么使劲推，它都不会翻倒。甚至你把它横过来放，一松手，不倒翁又会站在你面前。这是怎么回事呢？一方面因为它上轻下重，底部有一个较重的铁块，所以重心很低；另一方面，不倒翁的底面大而圆滑，当它向一边倾斜时，它的重心和桌面的接触点不在同一条铅垂线上，重力作用会使它向另外一边摆动。比如，当不倒翁向左倒时，重心和重力作用线在接触点的右边，在重力作用下，不倒翁就又向右倒。当倒向右边时，重心和重力作用线又跑到接触点左边，迫使不倒翁再向左倒。不倒翁就是这样摆过来，又摆过去，直到因为摩擦和空气阻力，能量逐渐损失，减少到零。重力作用线此时恰好通过接触点，它才不会继续摆动。 类型2：来看一个不可思议的平衡表演. 将一把小折刀打开一半，把刀尖插进一支铅笔的一侧，距笔尖约2厘米。将笔尖放在手指头上，铅笔会稳稳地站立着。稍稍调整一下小刀的开合度，把笔尖放在任何物体上，你会发现，铅笔都不会倾倒。这是因为铅笔和小刀组成的系统，其总重心在笔尖支撑点以下的缘故，其道理和不倒翁有些相似. 类型3：一块水平放置的砖头，不论雨打风吹，总是稳稳地呆在原地。如果把它竖起来，一有风吹草动它就可能翻倒。这是因为砖头平放时，重心很低，接触地面的面积又很大，因此导致它的重心较低，不容易翻倒。其他物体也是这样，如果你到过工厂，会发现许多机器设备的机座都比较大，也很沉，目的就是防止机器翻倒，增加机器的稳定性。往车或船上装货物时，要先把重的东西放在底部。因为这样一来，整个车或船的重心较低，可以保证行驶 - 第五章 刚体的定轴转动 一 选择题 1. 一绕定轴转动的刚体，某时刻的角速度为，角加速度为，则其转动 加快的依据是：（ ） A. > 0 B. > 0，> 0 C. < 0，> 0 D. > 0，< 0 解：答案是B 。 2. 用铅和铁两种金属制成两个均质圆盘，质量相等且具有相同的厚度，则 它们对过盘心且垂直盘面的轴的转动惯量。 （ ） A. 相等； B. 铅盘的大； C. 铁盘的大； D. 无法确定谁大谁小 解：答案是C 。 简要提示：铅的密度大，所以其半径小，圆盘的转动惯量为：2/2Mr J =。 3. 一轻绳绕在半径为r 的重滑轮上，轮对轴的转动惯量为J ，一是以力F 向下拉绳使轮转动；二是以重量等于F 的重物挂在绳上使之转动，若两种情况使轮边缘获得的切向加速度分别为a 1和a 2，则有： （ ） A. a 1 = a 2 B. a 1 > a 2 C. a 1< a 2 D. 无法确定 解：答案是B 。 简要提示：(1) 由定轴转动定律，1αJ Fr =和11αr a =，得：J Fr a /21= (2) 受力分析得：?? ???===-2222ααr a J Tr ma T mg ，其中m 为重物的质量，T 为绳子的力。 得：)/(222mr J Fr a +=，所以a 1 > a 2。 4. 一半径为R ，质量为m 的圆柱体，在切向力F 作用下由静止开始绕轴线 - 作定轴转动，则在2秒F 对柱体所作功为： （ ） A. 4 F 2/ m B. 2 F 2 / m C. F 2 / m D. F 2 / 2 m 解：答案是A 。 简要提示：由定轴转动定律： α221MR FR = ，得：mR F t 4212==?αθ 所以：m F M W /42=?=θ 5. 一电唱机的转盘正以 0的角速度转动，其转动惯量为J 1，现将一转动 惯量为J 2的唱片置于转盘上，则共同转动的角速度应为： （ ） A ．0211ωJ J J + B ．0121ωJ J J + C ．021ωJ J D ．01 2ωJ J 解：答案是A 。 简要提示：角动量守恒 6. 已知银河系中一均匀球形天体，现时半径为R ，绕对称轴自转周期为T ，由于引力凝聚作用，其体积不断收缩，假设一万年后，其半径缩小为r ，则那时该天体的：（ ） A. 自转周期增加，转动动能增加； B. 自转周期减小，转动动能减小； C. 自转周期减小，转动动能增加； D. 自转周期增加，转动动能减小。 解：答案是C 。 简要提示： 由角动量守恒，ωω2025 252Mr MR =，得转动角频率增大，所以转动周期减小。转动动能为22k 2020k 5 221,5221ωωMr E MR E ==可得E k > E k0。 7. 绳子通过高处一固定的、质量不能忽略的滑轮，两端爬着两只质量相等 的猴子，开始时它们离地高度相同，若它们同时攀绳往上爬，且甲猴攀绳速度为乙猴的两倍，则 （ ） A. 两猴同时爬到顶点 B. 甲猴先到达顶点 C. 乙猴先到达顶点 2013高考物理常见难题大盘点：力矩 有固定转动轴物体的平衡 1．如图1-50所示是单臂斜拉桥的示意图,均匀桥板ao 重为G ,三根平行钢索与桥面成30°,间距ab =bc =cd =do ,若每根钢索受力相同，左侧桥墩对桥板无作用力，则每根钢索的拉力大小是（ ）。 (A)G (B)3G ∕6 (C)G ∕3 (D)2G ∕3 解答 设aO 长为4L ，每根钢索受力为T ，以O 点为转轴，由力矩平衡条件得 23sin 302sin 30sin 30G L T L T L T L ????=?+?+?， 解得 23T G = 。 本题的正确选项为（D ）。 2．图1-51为人手臂骨骼与肌肉的生理结构示意图，手上托着重量为G 的物体，（1）在方框中画出前臂受力示意图（手、手腕、尺骨和挠骨看成一个整体，所受重力不计，图中O 点看作固定转动轴，O 点受力可以不画）．（2）根据图中标尺估算出二头肌此时的收缩力约为 ． 解答 前臂的受力如图1-52所示，以O 点为转轴，由力矩平衡条件得 18F N ?=?， 其中N =G ，可得 F =8G 。 本题的正确答案为“8G ”。 3．如图1-53所示，直杆OA 可绕O 轴转动，图中虚线与杆平行．杆的A 端分别受到F 1、F 2、F 3、F 4四个力作用，它们与OA 杆在同一竖直平面内，则它们对O 点的力矩M 1、M 2、M 3、M 4的大小关系是（ ）。 (A)M 1＝M 2＞M 3＝M 4 (B)M 1＞M 2＞M 3＞M 4 图 1-50 图1-51 1 图1-53 图1-52 (C)M 2＞M 1＝M 3＞M 4 (D)M 1＜M 2＜M 3＜M 4 解答 把四个力都分解为垂直于OA 方向和沿OA 方向的两个分力，其中沿OA 方向的力对O 点的力矩都为零，而垂直于OA 方向的力臂都相等，所以四个力的力矩比较等效为垂直方向的力的比较。从图中不难看出力大小关系为F 2⊥>F 1⊥=F 3⊥>F 4⊥，所以力矩大小关系为M 2>M 1=M 3>M 4。 本题的正确选项为（C ）。 4．如图1-54所示的杆秤，O 为提扭，A 为刻度的起点，B 为秤钩，P 为秤砣，关于杆秤的性能，下述说法中正确的是（ ）。 (A)不称物时，秤砣移至A 处，杆秤平衡 (B)不称物时，秤砣移至B 处，杆秤平衡 (C)称物时，OP 的距离与被测物的质量成正比 (D)称物时，AP 的距离与被测物的质量成正比 解答 当不称物体时，秤砣应在零刻度线，即在A 点，此时对O 点的力矩平衡，设杆秤本身的重为G 0，重心离开O 点距离为OC ，根据力矩平衡条件得 0P AO G OC ?=?， ① 当称物体为G 时，设秤砣在D 点时杆秤平衡，如图1- 55所示，根据力矩平衡条件有 0G OB G OC P OD ?=?+?， ② 由①②式得 ()G OB P AO OD P AD ?=?+=?。 本题的正确选项为（A ）（D ）。 5.．如图1-56所示，A 、B 是两个完全相同的长方形木块，长为l ，叠放在一起，放在水平桌面上，端面与桌边平行．A 木块放在B 上，右端有 4 l 伸出，为保证两块不翻倒，木块B 伸出桌边的长度不能超过 （ ）。 (A)l /2 (B)3l /8 (C)l /4 (D)l /8 解答 把A 、B 当作一个整体，其重心位置在两个木块的中点，根据几何关系可知在距 B 右边38 l 处。为了不翻倒，它们的重心不能超过桌边，即B 伸出桌边长度不超过3 8 l 。本题 图1-54 图 1-56 物体的平衡-力矩有固定转轴的物体平衡(word无答案) 一、解答题 (★★) 1 . 两块木板和用铰链连接于点，两板之间放均质圆柱，两板之间夹角为。圆柱的轴线平行铰链的轴线（如图甲所示），两轴线呈水平且位于同一竖直平面内。圆柱 的质量为，半径为，圆柱与木板之间的静摩擦系数均为，且。现在相距的两点各施加一水平力和，且，以维持圆柱在这一位置的平衡。 求力的大小范围。（两板质量及其厚度均不计） (★★) 2 . 如图所示，一个半径为的均质金属球上固定着一根长为的轻质细杆，细杆的左 端用铰链与墙壁相连，球下边垫上一块木板后，细杆恰好水平，而木板下面是光滑的水平面。 由于金属球和木板之间有摩擦（已知摩擦因素为），所以要将木板从球下面向右抽出时，至 少需要大小为的水平拉力。试问：现要将木板继续向左插进一些，至少需要多大的水平推力？ (★★) 3 . 如图甲所示，一根细棒上端处用铰链与天花板相连，下端用铰链与另一细棒相连，两棒的长度相等，两棒限在图示的竖直平面内运动，且不计铰链处的摩擦，当在端加一个适当的外力（在纸面内），可使两棒平衡在图示的位置处，即两棒间的夹角为，且端正处 于端的正下方. （1）.不管两棒质量如何，此外力只可能在哪个方向范围内？试说明道理（不要求推算）. （2）.如果AB棒的质量，BC棒的质量，求此外力的方向和大小. (★) 4 . 有6个完全相同的刚性长条薄片，其两端下方各有一个小突起，薄片及突起的重量均可以不计。现将此6个薄片架在一只水平的碗口上，使每个薄片一端的小突起恰在碗口上，另一端小突起位于其下方薄片的正中，由正上方俯视如图甲所示。若将一质量为的质点放在薄片上一点，这一点与此薄片中点的距离等于它与小突起 的距离，求薄片中点所受的（由另一薄片的小突起所施的）压力. 物体平衡的稳定性 【教学课题】 物体平衡的稳定性 【教学目标】 1.知识与能力 ?掌握物体的受力分析、平衡条件及物体平衡的种类 2.过程与方法 ?能用刚体的平衡条件分析物体的平衡 3.情感态度与价值观 ?培养耐心细致的工作作风和严肃认真的科学态度 【教学安排】 2课时 【教学重难点】 重点： 掌握物体平衡的种类,稳定性的概念 难点： 能正确运用平衡条件求解静力学问题 【教学方法】 讲练结合、总结归纳 【教学用具】 投影仪、投影片 【主要内容】 一、平衡的种类 钢丝上的杂技演员、儿童玩的不倒翁都是在重力和支持力的作用下处于平衡状态，但是钢丝上的演员稍有不慎就会摔下来，不倒翁扳倒后却会自动立起来。可见，平衡也是有区别的。那么平衡有哪些种类呢？ 如果照图1.6-3(a）那样，把木条一端的小孔套在水平轴O上，把木条从平衡位置稍微移开一些，重心C的位置升高，重力对轴O的力矩就会使它回到原来的平衡位置，这种平衡叫做稳定平衡（stable equilibrium）。 图1.6-3（a）图1.6-3(b) 如果照图1.6-3(b)那样，使木条的重心恰好在水平轴的正上方，木条处于平衡状态。把木条从平衡位置稍微移开一点，重心C的位置降低，重力对轴O的力矩就会使它继续远离平衡位置，这种平衡叫做不稳定平衡（unstable equilibrium）。 如果照图1.6-3(b)那样，把木条重心C处的小孔套在轴O上，这时无论你把木条放在什么位置，它都能保持平衡。这是因为无论木条处在什么位置，重心C的位置都没有改变，重力对轴O的力矩始终为零的缘故。这种平衡叫做随遇平衡（indifferent equilibrium）。 第七讲定轴转动物体的平衡（教案） 第七讲定轴转动物体的平衡一.教学目标： 1.进一步理解力矩、力偶与力偶矩的概念。 2.能够准确把握平衡状态与平衡条件，并能够灵活的解决定轴转动物体的平衡和确定重心的位置。二.教学重难点：1.灵活运用力平衡与力矩平衡的知识解决定轴转动物体的平衡问题。 2.正确确定物体重心位置。三.教学工具：多媒体白板、录播教室四.教学过程设计：1力矩力的三要素是大小、方向和作用点。作用点和力的方向所确定的射线称为力的作用线。力作用于物体，经常能使物体发生转动，这时外力的作用效果不仅取决于外力的大小和方向，而且取决于力臂。从转动轴到力作用线的垂直距离叫力臂。力和力臂的乘积叫力对转动轴的力矩。记为M?F?L，单位为“牛·米”。如图1所示， O为垂直于纸面的固定轴，力F在纸面内。力矩是改变物体转动状态的原因。力的作用线与轴平行时，此力对物体绕该轴的转动没有起到作用。若力F 不在与轴垂直的平面内，可先将力分解为垂直于轴的分量F?和平行于轴的分量O F L 图1 F，F对转动不起作用，这时力F的力矩为M?F??L。通常规定，绕逆时方向转动的力矩为正。当物体受到多个力作用时，物体所受的总力矩等于各个力产生力矩的代数和。2力偶和力偶矩一对大小相等、方向相反但不共线的力称为力偶。如图2中F1、F2即为力偶，力偶不能合成为一个力，是一个基本力学量。对于与力偶所在平面垂直的任一轴，这一对力的力矩的代数和称为力偶矩，注意到F1?F2?F，不难得到M?F?L，式中L为两力间的距离；力偶矩与所相对的轴无关。F2 F1 r2 r1 O 图2 3有固定转轴物体的平衡条件有固定转轴的物体，若处于平衡状态， 物体的平衡问题 物体的平衡又分为随遇平衡、稳定平衡和不稳定平衡三种． 一、稳定平衡：如果在物体离开平衡位置时发生的合力或合力矩使物体返回平衡位置，这样的平衡叫做稳定平衡．如图1—1（a）中位于光滑碗底的小球的平衡状态就是稳定的． 二、不稳定平衡：如果在物体离开平衡位置时发生的合力或合力矩能使这种偏离继续增大，这样的平衡叫做不稳定平衡，如图1—1(b)中位于光滑的球形顶端的小球，其平衡状态就是不稳定平衡． 三、随遇平衡：如果在物体离开平衡位置时，它所受的力或力矩不发生变化，它在新的位置上仍处于平衡，这样的平衡叫做随遇平衡，如图1—1（c）中位于光滑水平板上的小球的平衡状态就是随遇的． 从能量方面来分析，物体系统偏离平衡位置，势能增加者，为稳定平衡； 减少者为不稳定平衡；不变者，为随遇平衡． 如果物体所受的力是重力，则稳定平衡状态对应重力势能的极小值，亦即物体的重心有最低的位置．不稳定平衡状态对应重力势能的极大值，亦即物体的重心有最高的位置．随遇平衡状态对应于重力势能为常值，亦即物体的重心高度不变． 二、方法演练 类型一、物体平衡种类的问题一般有两种方法解题，一是根据平衡的条件从 物体受力或力矩的特征来解题，二是根据物体发生偏离平衡位置后的能量变化来解题。 例1．有一玩具跷板，如图1—2所示，试讨论它的稳定性（不考虑杆的质量）． 分析和解：假定物体偏离平衡位置少许，看其势能变化是处理此类问题的主要手段之一，本题要讨论其稳定性，可假设系统发生偏离平衡位置一个θ角，则： 在平衡位置，系统的重力势能为 (0) 2(c o s )E L l m g α=- 当系统偏离平衡位置θ角时，如图1一3所示，此时系统的重力势能为 ()[c o s c o s ()][c o s c o s E m g L l m g L l θθαθθαθ=-++-- 2c o s (c o s m g L l θ θ=- ()(0) 2(c o s 1)(c P E E E m g L l θθ?=-=-- 故只有当cos L l θ<时，才是稳定平衡． 例2．如图1—4所示，均匀杆长为a ，一端靠在光滑竖直墙上，另一端靠在光滑的固定曲面上，且均处于Oxy 平面内．如果要使杆子在该平面内为随遇平衡，试求该曲面在Oxy 平面内的曲线方程． 分析和解：本题也是一道物体平衡种类的问题，解此题显然也是要从能量的 力矩、定轴转动物体的平衡条件、重心 【知识要点】 （一）力臂：从转动轴到力的作用线的垂直距离叫力臂。 （二）力矩：力和力臂的乘积叫力对转动轴的力矩。记为M=FL ，单位“牛·米”。一般规定逆时针方向转动为正方向，顺时针方向转动为负方向。 （三）有固定转轴物体的平衡条件 作用在物体上各力对转轴的力矩的代数和为零或逆时针方向力矩总是与顺时针方向力矩相等。即ΣM=0，或ΣM 逆=ΣM 顺。 （四）重心：物体所受重力的作用点叫重心。 计算重心位置的方法： 1、同向平行力的合成法：各分力对合力作用点合力矩为零，则合力作用点为重心。 2、割补法：把几何形状不规则的质量分布均匀的物体分割或填补成形状规则的物体，再由同向（或反向）平行力合成法求重心位置。（见上一讲） 3、公式法：如图所示，在平面直角坐标系中，质量为m 1和m 2的A 、B 两质点坐标分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）则由两物体共同组成的整体的重心坐标为： 212211m m x m x m x C ++= 212211m m y m y m y C ++= 一般情况下，较复杂集合体，可看成由多个质点组成的质点系， 其重心C 位置由如下公式求得： i i i C m x m x ∑∑= i i i C m y m y ∑∑= i i i C m z m z ∑∑= 本节内容常用方法有：①巧选转轴简化方程：选择未知量多，又不需求解结果的力线交点为轴，这些力的力矩为零，式子简化得多；②复杂的物体系平衡问题有时巧选对象：选整体分析，常常转化为力矩平衡问题求解；③无规则形状的物体重心位置计算常用方法是通过割补思想，结合平行力合成与分解的原则处理，或者助物体重心公式计算。 【例题1】如图所示，c 为杆秤秤杆系统的重心，a 为杆称的定盘星，证明：无论称杆的粗细如何变化，杆秤的刻度沿杆轴线的方向总是均匀分布的。 【例题2】（第十届全国预赛）半径为R ，质量为m 1的均匀圆球与一质量为m 2的重物分别用细绳AD 和ACE 悬挂于同一点 A ，并处于平衡。如图所示，已知悬点A 到球心O 的距离为L ，若不考 虑绳的质量和绳与球的摩擦，试求悬挂圆球的绳AD 和竖直方向的夹角 θ。 y y y 2 物体平衡的稳定性 一、选择题 1．物体受共点力F1、F2、F3作用而做匀速直线运动，这三个力的数值选取可能正确的是（）A．15 N、5 N、6 N B．9 N、2 N、7 N C．3 N、4 N、5 N D．1 N、6 N、3 N 2．如图4-1所示，在倾角为α的斜面上放一质量为m的光滑小球，球 被竖直的木板挡住，则小球对斜面的压力为（） A．mgcosα B．mgtgα C．mg／cosα D．mg 3．如图4-2所示，在粗糙水平面上放一个三角形木块a，若物体b在a的斜面上匀速下滑，则（） A．a保持静止，而且有相对水平面向右运动的趋势 B．a保持静止，而且没有相对水平面运动的趋势 C．a保持静止，而且有相对水平面向左运动的趋势 D．因未给出所需数据，无法对a是否运动或有无运动趋势作出判断 4．如图4-3所示，小球A静止于水平面B上，下列说法正确的是（） A．A对B的正压力大小等于A的重力，这两个力是平衡的 B．A对B的正压力大小等于A的重力，这两个力是作用力和反作用力 C．B对A的支持力大小等于A的重力，这两个力是作用力和反作用力 D．B对A的支持力大小等于A的重力，这两个力是平衡力 5．如图4-4所示，PQ是一根非均匀直棒，全长8m，用两根细绳吊 成水平状态，α=60°，β＝30°，则棒的重心到P点的距离是（） A．1 m B．2 m C．3 m D．6 m 6．质量为m的物体，放在质量为M的斜面体上，斜面体放在粗糙 的水平地面上，m和M均处于静止状态，如图4-5所示．当物体m 上施加一个水平力F，且F由零逐渐加大到F m的过程中，m和M 仍保持相对静止，在此过程中，下列判断哪些是正确的（） A．斜面体对m的支持力逐渐增大 B．物体m受到的摩擦力逐渐增大 标准教案 第二章物体平衡 §2.3有固定转动轴物体的平衡 高考对应考点： 1．力矩（学习水平B级） 2. 有固定转动轴的物体的平衡（学习水平B级） 课时目标： 1．了解转动平衡的概念，理解力臂和力矩的概念。 2．理解有固定转动轴物体平衡的条件 3．会用力矩平衡条件分析问题和解决问题 重点难点： 1．力矩平衡计算 2．动态平衡问题的分析方法 知识精要： 一．转动平衡： 有转动轴的物体在力的作用下，处于静止或，叫平衡状态。 二．力矩： 1．力臂：转动轴到力的作用线的。 2．力矩：的乘积。 （1）计算公式：； （2）单位：； （3）矢量：在中学里，只研究固定转动轴物体的平衡，所以只有顺时针和逆时针转动两种方向 三．力矩平衡条件： 力矩的代数和为零或所有使物体向方向转动的力矩之和等于所有使物体向方向转动的力矩之和。 或 ＝ ∑=∑∑ M0M M 顺逆 热身练习： 1．如图所示，要使圆柱体绕A点滚上台阶，试通过作图来判 断在圆柱体上的最高点所施加的最小力的方向 _____________。 2．匀质杆AO可绕O轴转动，今用水平力使它缓缓抬起的过程中，如图所示，重力对 O轴的力臂变化是_____________，重力对O轴的力矩变化情况是_____________，已 知抬起过程中水平拉力力矩的大小应等于重力的力矩，则水平拉力F的变化情况是 _____________。 3． 如图，把物体A 放在水平板OB 的正中央，用始终垂直于杆的力F 将板的B 端缓慢抬高（O 端不动），设A 相对平板静止，则力 F 的将 ，F 的力矩F M 将 ；若F 始终 竖直向上，则力F 的大小将 ， F 的力矩 F M 将 。 4．如图所示，ON 杆可以在竖直平面内绕O 点自由转动，若 在N 端分别沿图示方向施力123F F F 、、，杆均能静止在图示 位置上．则三力的大小关系是（ ） A ． 123F F F == B ． 123F F F >> C ．2 13F F F >> D ．132F F F >> 5．如图所示，直杆OA 可绕O 点转动，图中虚线与杆平行，杆 端A 点受四个力1234F F F F 、、、的作用，力的作用线与OA 杆 在同一竖直平面内，它们对转轴O 的力矩分别为 1234M M M M 、、、，则它们力矩间的大小关系是（ ） A ．1234 M M M M ===； B ．2134M M M M ＞＝＞； C ．4231 M M M M ＞＞＞； D ． 2134 M M M M ＞＞＞； 6．如图所示，一杆均匀，每米长的重为P=30N ，支于杆的左端，在离杆的左端a 0.2m =处挂一质量为W 300N =的物体，在杆的右端加一竖直向上的力F 杆多长时使杆平衡时所加竖直向上的拉力F 最小，此最小值为多大？ 精解名题： 例1．一块均匀木板MN 长L 15m ＝，重 1G 400N ＝，搁在相距D 8m ＝ 的两个支架A B 、上， O ’ F 2 F 3 F 4 O F 1 A ’ A 第四章物体的平衡 §4.2 平衡的稳定性 【学习目标】 1．知道稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡； 2．了解三类平衡从动力学角度来看有什么区别； 3．知道稳度，体会增加稳度在实际生活中的重要意义。 4．通过让学生举例，培养信息收集和处理能力，分析、解决问题能力和交流、 合作能力。 【问题导学】 在前面的学习中，我们学习了有关共点力的平衡问题，我们知道了共点力平衡的 条件是共点力的合力为零。那么是不是自然界中的所有的平衡现象都如共点力作 用一样呢？为什么比萨斜塔每年都在倾斜却总也不倒呢？为什么双层公交车比 正常的公交车车底看起来要低呢？通过这节课的学习，希望同学们能给我以合理 的解释，好，我们进入这节课的学习研究，平衡的稳定性。 【合作探究】 一、平衡的分类 1、平衡的定义 [讨论交流] 准备一段视频录像（走钢丝杂技表演），让学生结合录像和书上的讨论交流，观 察这几个平衡与以前有什么不同，这三个平衡之间有什么不同？（把问题写在黑 板） 问题1：这三种平衡状态下，物体所受的力是共点力吗？（不是，向下的重力与 向上的绳的作用力不相交，重力作用于重心，绳对人的作用力不止一个点，如人 的两只脚、车的两个轮） 问题2：他们是否可以看做质点？（不可以，人体的姿势、形态对人体受力的有 影响，也使重心位置变化） 学生总结：此时物体不能看做质点又处于平衡状态，与我们以前学过的平衡发生 了变化，概念要发生变化，平衡条件也要发生变化，所以我们要考虑它们的另一 特性：平衡的稳定性。 问题3：我们换一种研究问题的方法，先观察这三个平衡的特点：第一个人受到 微小扰动而偏离平衡位置时，不能回到原先的状态，我们称之为不稳定平衡；第 第二章力矩有固定转动轴物体的平衡 本章学习提要 1．理解力矩概念和定义，会运用力臂和力矩的定义计算力矩。 2．会利用力矩盘进行实验，探究有固定转动轴的物体的平衡条件。 3．理解有固定转动轴的物体的平衡，知道有固定转动轴的物体的“力矩平衡条件”，能运用力矩平衡条件求解有关问题，解释生活和生产中的实际问题。 本章内容从基础型物理课程中的质点问题（质点受力、共点力平衡条件）拓展到刚体问题（力矩、力矩平衡条件）。在日常生活和生产中所见到的物体的运动，以及分子、原子这样的微观粒子和宇宙天体的运动都包括转动，因此关于力矩和力矩平衡条件的讨论具有普遍意义。认识怎样根据实际需要引进力矩，以及力矩的定义方法和它的物理意义。通过力矩和力矩平衡条件的学习和应用，体会物理学与技术、社会的联系，了解运用力矩平衡条件设计出各类工具，以及千姿百态、风格迥异的各种桥梁和大型建筑，领略科学美。 A 力矩 一、学习要求 理解力臂和力矩概念，会用力臂和力矩的定义计算力矩。 从实际例子的分析中，明白引进力矩的必要性；认识力矩的定义方法以及力矩的物理意义。通过从实际需要中引进力矩概念，了解力矩概念与常用工具和生活、生产的联系，体会物理学与实际的密切关系。 二、要点辨析 1．为什么要引进力矩 力对质点运动的作用效果取决于它的大小和方向。而力对物体转动的作用效果不仅与力的大小和方向有关，还与力的作用点的位置有关，为了描写力的大小、方向和作用点对物体转动的作用效果，需要引进力矩这个物理量。 力臂：力的作用线与转动轴之间的距离称为力臂。 力矩：力（F）和力臂（L）的乘积称为力对转动轴的力矩。 2．关于力的作用线与转动轴的距离 力的作用线是力的方向上的一条假想的直线。力的作用线与转动轴的距离实际上涉及到两条线之间的距离。一般情况下确定空间中任意两条直线间的距离比较麻烦。我们所讨论的仅限于力的作用线都在同一个与转动轴相垂直的平面内，若该平面与转动轴的交点称为O，那么我们需考虑的空间中两条直线（力的作用线与转动轴线）间距离的问题便简化为一个点（O点）与一条直线（力的作用线）间距离的问题。 3．求力矩的两种基本方法 （1）先求力臂的方法：先求力臂，再求力矩的方法计算力臂的要点是，从转动轴作力的作用线的垂线，其垂线长即为该力对于转动轴的力臂。力臂的计算通常要用到三角函数。 （2）力的分解方法：先将力正交分解为两个分力，然后分别计算两个分力对转动轴的力矩，该力的力矩就等于这两个分力力矩的代数和（注意力矩正负的判断）。在一般情况下，可使其中一个分力的作用线过转动轴，其力臂为零，因而力矩为零，这时只要计算另一个分力的力矩即可。 第二章力矩有固定转动轴物体的平衡本章学习提要 1．理解力矩概念和定义，会运用力臂和力矩的定义计算力矩。 2．会利用力矩盘进行实验，探究有固定转动轴的物体的平衡条件。 3．理解有固定转动轴的物体的平衡，知道有固定转动轴的物体的“力矩平衡条件”，能运用力矩平衡条件求解有关问题，解释生活和生产中的实际问题。 本章内容从基础型物理课程中的质点问题（质点受力、共点力平衡条件）拓展到刚体问题（力矩、力矩平衡条件）。在日常生活和生产中所见到的物体的运动，以及分子、原子这样的微观粒子和宇宙天体的运动都包括转动，因此关于力矩和力矩平衡条件的讨论具有普遍意义。认识怎样根据实际需要引进力矩，以及力矩的定义方法和它的物理意义。通过力矩和力矩平衡条件的学习和应用，体会物理学与技术、社会的联系，了解运用力矩平衡条件设计出各类工具，以及千姿百态、风格迥异的各种桥梁和大型建筑，领略科学美。 A 力矩 一、学习要求 理解力臂和力矩概念，会用力臂和力矩的定义计算力矩。 从实际例子的分析中，明白引进力矩的必要性；认识力矩的定义方法以及力矩的物理意义。通过从实际需要中引进力矩概念，了解力矩概念与常用工具和生活、生产的联系，体会物理学与实际的密切关系。 二、要点辨析 1．为什么要引进力矩 力对质点运动的作用效果取决于它的大小和方向。而力对物体转动的作用效果不仅与力的大小和方向有关，还与力的作用点的位置有关，为了描写力的大小、方向和作用点对物体转动的作用效果，需要引进力矩这个物理量。 力臂：力的作用线与转动轴之间的距离称为力臂。 力矩：力（F）和力臂（L）的乘积称为力对转动轴的力矩。 2．关于力的作用线与转动轴的距离 力的作用线是力的方向上的一条假想的直线。力的作用线与转动轴的距离实际上涉及到两条线之间的距离。一般情况下确定空间中任意两条直线间的距离比较麻烦。我们所讨论的仅限于力的作用线都在同一个与转动轴相垂直的平面内，若该平面与转动轴的交点称为O，那么我们需考虑的空间中两条直线（力的作用线与转动轴线）间距离的问题便简化为一个点（O点）与一条直线（力的作用线）间距离的问题。 3．求力矩的两种基本方法 （1）先求力臂的方法：先求力臂，再求力矩的方法计算力臂的要点是，从转动轴作力的作用线的垂线，其垂线长即为该力对于转动轴的力臂。力臂的计算通常要用到三角函数。 （2）力的分解方法：先将力正交分解为两个分力，然后分别计算两个分力对转动轴的力矩，该力的力矩就等于这两个分力力矩的代数和（注意力矩正负的判断）。在一般情况下，可使其中一个分力的作用线过转动轴，其力臂为零，因而力矩为零，这时只要计算另一个分力的力矩即可。 三、例题分析 【示例】如图2-1（a）所示，长度为l＝1m的杆OB可绕通过O点垂直于纸面的轴转动，绳AB的拉力为20N，杆OB刚好水平，AB与OB的夹角为30°。求拉力的力矩。 【解答】分别用先求力臂的方法和力的分解方法计算。 （1）先求出拉力F的力臂。如图2-1（b）所示，对于转轴O来说，力F的力臂为L＝lsinθ，其中θ＝30°，因此拉力F对于转轴O的力矩为 M＝FL＝Flsinθ＝20×1×sin30°N·m＝10N·m。 （2）先将拉力F分解为垂直于杆方向的分力F1＝Fsinθ，以及沿杆方向的分力F2＝Fcosθ，如图2-1（c）所示。其中沿杆方向的分力F1指向转轴，相应的力臂为零，所以相应的力矩也为零。而垂直于杆方向的分力F1的力臂就等于OB的长度l，因此相应的力矩为M＝F1l＝Fsinθl＝20×sin30°×1N·m＝10N·m。 两者结果完全相同。刚体的定轴转动
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