物理竞赛讲义(三)力矩、定轴转动物体的平衡条件、重心
郑梁梅高级中学高一物理竞赛辅导讲义
第三讲：力矩、定轴转动物体的平衡条件、重心
【知识要点】
（一）力臂：从转动轴到力的作用线的垂直距离叫力臂。
（二）力矩：力和力臂的乘积叫力对转动轴的力矩。记为M=FL ，单位“牛·米”。一般规定逆时针方向转动为正方向，顺时针方向转动为负方向。
（三）有固定转轴物体的平衡条件
作用在物体上各力对转轴的力矩的代数和为零或逆时针方向力矩总是与顺时针方向力矩相等。即ΣM=0，或ΣM 逆=ΣM 顺。
（四）重心：物体所受重力的作用点叫重心。
计算重心位置的方法：
1、同向平行力的合成法：各分力对合力作用点合力矩为零，则合力作用点为重心。
2、割补法：把几何形状不规则的质量分布均匀的物体分割或填补成形状规则的物体，再由同向（或反向）平行力合成法求重心位置。
3、公式法：如图所示，在平面直角坐标系中，质量为m 1和m 2的A 、B 两质点坐标分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）则由两物体共同组成的整体的重心坐标为： 212211m m x m x m x C ++= 212211m m y m y m y C ++= 一般情况下，较复杂集合体，可看成由多个质点组成的质点系，
其重心C 位置由如下公式求得：
i i i C m x m x ∑∑= i i i C m y m y ∑∑= i
i i C m z m z ∑∑= 本节内容常用方法有：①巧选转轴简化方程：选择未知量多，又不需求解结果的力线交点为轴，这些力的力矩为零，式子简化得多；②复杂的物体系平衡问题有时巧选对象：选整体分析，常常转化为力矩平衡问题求解；③无规则形状的物体重心位置计算常用方法是通过割补思想，结合平行力合成与分解的原则处理，或者助物体重心公式计算。
【典型例题】
【例题1】如图所示，光滑圆弧形环上套有两个质量不同的小球A 和B 两球之间连有弹簧，平衡时圆心O 与球所在位置的连线与竖直方向的夹角分别为α和β，求两球质量之比。
y y y 12C α β A B
O
【例题2】（第十届全国预赛）半径为R ，质量为m 1的均匀圆球与一质量为m 2的重物分别用细绳AD 和ACE 悬挂于同一点A ，并处于平衡。如图所示，已知悬点A 到球心O 的距离为L ，若不考虑绳的质量和绳与球的摩擦，试求悬挂圆球的绳AD 和竖直方向的夹角θ。
【例题3】（第十届全国决赛）用20块质量均匀分布的相同的光滑积木块，在光滑水平面一块叠一块地搭成单孔桥，已知每一积木块的长度为L ，横截面为4
L h =的正方形，求此桥具有的最大跨度（即桥孔底宽），试画出该桥的示意图，并计算跨度与桥孔高度的比值。
A
【例题4】（第六届预赛）有6个完全相同的刚性长条薄片A i B i （i=1，2…），其两端下方各有一个小突起，薄片及突起的质量均不计，现将此6个薄片架在一只水平的碗口上，使每个薄片一端的小突起B i 恰在碗口上，另一端小突起A i 位于其下方薄片的正中，由正上方俯视如图所示，若将质量为m 的质点放在薄片A 6B 6上一点，这一点与此薄片中点的距离等于它与小突起A 6的距离，则薄片A 6B 6中点所受的（由另一薄片的小突起A 1所施的）压力。
【练习】
1、如图所示，木棒的一端用一根足够短的绳子拴住悬挂在天花板上，另一端搁在滑动摩擦因数为μ的水平木板上，木板放在光滑的水平面上，若向右匀速拉出木板时的水平拉力为F 1，向左匀速拉出时的水平拉力为F 2，两种情况下，木棒与木板间的夹角均保持为θ不变，试比较F 1和F 2的大小？
1
2
3 B
2、如图所示，是一种手控制动器，a 是一个转动着的轮子，b 是摩擦制动片，C 是杠杆，O 是其固定转动轴，手在A 点施加一作用力F 时，b 将压紧轮子使轮子制动，若使轮子制动需要的力矩是一定的，则下列说法正确的是： A 、轮a 逆时针转动时，所需力F 小 B 、轮a 顺时针转动时，所需力F 小 C 、无论轮a 逆时针还是顺时针转动所需的力F 相同
D 、无法比较力F 的大小
3、两根等长的细线，一端拴在同一悬点O 上，另一端各系一个小球，两球的质量分别为m 1和m 2，已知两球间存在大小相等、方向相反的斥力而使两线张开一定角度，分别为45和30°，如图所示。则m 1 : m 2为多少？
4、如图所示，一个半径为R 的均质金属球上固定着一根长为L 的轻质细杆，细杆的左端用铰链与墙壁相连，球下边垫上一块木板后，细杆恰好水平，而木板下面是光滑的水平面。由于金属球和木板之间有摩擦（已知摩擦因素为μ），所以要将木板从球下面向右抽出时，至少需要大小为F 的水平拉力。试问：现要将木板继续向左插进一些，至少需要多大的水平推力？
F
第五讲 有固定转动轴的物体的平衡
第五讲 有固定转动轴的物体的平衡 一、知识要点： 1．力臂：从转动轴到力的作用线的垂直距离。用L 来表示。 2．力矩：力和力臂的乘积。用M 表示。公式；M=F×L 。单位；牛顿·米。计算力矩，关键是正确找到力臂。 3．有固定轴的物体的平衡状态：静止或匀速转动。 有固定轴的物体平衡的条件：顺时针力矩的总和等于逆时针力矩的总和。 公式；ΣM 顺=ΣM 逆 二、典型例题： （一）力臂、力矩的运算： 1．均匀杆OA 可绕过O 点的水平轴自由转动，在其A 端用竖直向上的力F 拉，使杆缓慢的转动，杆与天花板的夹角θ逐渐减小，如图所示。在此过程中，拉力F 大小的变化情况是 ，F 力的力矩大小的变化情况是 。 2．如图，直杆OA 可绕O 点转动，图中虚线与杆平行，杆端A 点受四个力F 1、F 2、F 3、F 4的作用，力的作用线跟OA 杆在同一竖直平面内，四个力对轴O 的力矩分别是M 1、M 2、M 3、M 4。则力矩的大小关系是：( ) A ．M 3=M 4 郑梁梅高级中学高一物理竞赛辅导讲义 第三讲：力矩、定轴转动物体的平衡条件、重心 【知识要点】 （一）力臂：从转动轴到力的作用线的垂直距离叫力臂。 （二）力矩：力和力臂的乘积叫力对转动轴的力矩。记为M=FL ，单位“牛·米”。一般规定逆时针方向转动为正方向，顺时针方向转动为负方向。 （三）有固定转轴物体的平衡条件 作用在物体上各力对转轴的力矩的代数和为零或逆时针方向力矩总是与顺时针方向力矩相等。即ΣM=0，或ΣM 逆=ΣM 顺。 （四）重心：物体所受重力的作用点叫重心。 计算重心位置的方法： 1、同向平行力的合成法：各分力对合力作用点合力矩为零，则合力作用点为重心。 2、割补法：把几何形状不规则的质量分布均匀的物体分割或填补成形状规则的物体，再由同向（或反向）平行力合成法求重心位置。 3、公式法：如图所示，在平面直角坐标系中，质量为m 1和m 2的A 、B 两质点坐标分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）则由两物体共同组成的整体的重心坐标为： 212211m m x m x m x C ++= 212211m m y m y m y C ++= 一般情况下，较复杂集合体，可看成由多个质点组成的质点系， 其重心C 位置由如下公式求得： i i i C m x m x ∑∑= i i i C m y m y ∑∑= i i i C m z m z ∑∑= 本节内容常用方法有：①巧选转轴简化方程：选择未知量多，又不需求解结果的力线交点为轴，这些力的力矩为零，式子简化得多；②复杂的物体系平衡问题有时巧选对象：选整体分析，常常转化为力矩平衡问题求解；③无规则形状的物体重心位置计算常用方法是通过割补思想，结合平行力合成与分解的原则处理，或者助物体重心公式计算。 【典型例题】 【例题1】如图所示，光滑圆弧形环上套有两个质量不同的小球A 和B 两球之间连有弹簧，平衡时圆心O 与球所在位置的连线与竖直方向的夹角分别为α和β，求两球质量之比。 y y y 2α β A B O - 第五章 刚体的定轴转动 一 选择题 1. 一绕定轴转动的刚体，某时刻的角速度为，角加速度为，则其转动 加快的依据是：（ ） A. > 0 B. > 0，> 0 C. < 0，> 0 D. > 0，< 0 解：答案是B 。 2. 用铅和铁两种金属制成两个均质圆盘，质量相等且具有相同的厚度，则 它们对过盘心且垂直盘面的轴的转动惯量。 （ ） A. 相等； B. 铅盘的大； C. 铁盘的大； D. 无法确定谁大谁小 解：答案是C 。 简要提示：铅的密度大，所以其半径小，圆盘的转动惯量为：2/2Mr J =。 3. 一轻绳绕在半径为r 的重滑轮上，轮对轴的转动惯量为J ，一是以力F 向下拉绳使轮转动；二是以重量等于F 的重物挂在绳上使之转动，若两种情况使轮边缘获得的切向加速度分别为a 1和a 2，则有： （ ） A. a 1 = a 2 B. a 1 > a 2 C. a 1< a 2 D. 无法确定 解：答案是B 。 简要提示：(1) 由定轴转动定律，1αJ Fr =和11αr a =，得：J Fr a /21= (2) 受力分析得：?? ???===-2222ααr a J Tr ma T mg ，其中m 为重物的质量，T 为绳子的力。 得：)/(222mr J Fr a +=，所以a 1 > a 2。 4. 一半径为R ，质量为m 的圆柱体，在切向力F 作用下由静止开始绕轴线 - 作定轴转动，则在2秒F 对柱体所作功为： （ ） A. 4 F 2/ m B. 2 F 2 / m C. F 2 / m D. F 2 / 2 m 解：答案是A 。 简要提示：由定轴转动定律： α221MR FR = ，得：mR F t 4212==?αθ 所以：m F M W /42=?=θ 5. 一电唱机的转盘正以 0的角速度转动，其转动惯量为J 1，现将一转动 惯量为J 2的唱片置于转盘上，则共同转动的角速度应为： （ ） A ．0211ωJ J J + B ．0121ωJ J J + C ．021ωJ J D ．01 2ωJ J 解：答案是A 。 简要提示：角动量守恒 6. 已知银河系中一均匀球形天体，现时半径为R ，绕对称轴自转周期为T ，由于引力凝聚作用，其体积不断收缩，假设一万年后，其半径缩小为r ，则那时该天体的：（ ） A. 自转周期增加，转动动能增加； B. 自转周期减小，转动动能减小； C. 自转周期减小，转动动能增加； D. 自转周期增加，转动动能减小。 解：答案是C 。 简要提示： 由角动量守恒，ωω2025 252Mr MR =，得转动角频率增大，所以转动周期减小。转动动能为22k 2020k 5 221,5221ωωMr E MR E ==可得E k > E k0。 7. 绳子通过高处一固定的、质量不能忽略的滑轮，两端爬着两只质量相等 的猴子，开始时它们离地高度相同，若它们同时攀绳往上爬，且甲猴攀绳速度为乙猴的两倍，则 （ ） A. 两猴同时爬到顶点 B. 甲猴先到达顶点 C. 乙猴先到达顶点 第七讲定轴转动物体的平衡（教案） 第七讲定轴转动物体的平衡一.教学目标： 1.进一步理解力矩、力偶与力偶矩的概念。 2.能够准确把握平衡状态与平衡条件，并能够灵活的解决定轴转动物体的平衡和确定重心的位置。二.教学重难点：1.灵活运用力平衡与力矩平衡的知识解决定轴转动物体的平衡问题。 2.正确确定物体重心位置。三.教学工具：多媒体白板、录播教室四.教学过程设计：1力矩力的三要素是大小、方向和作用点。作用点和力的方向所确定的射线称为力的作用线。力作用于物体，经常能使物体发生转动，这时外力的作用效果不仅取决于外力的大小和方向，而且取决于力臂。从转动轴到力作用线的垂直距离叫力臂。力和力臂的乘积叫力对转动轴的力矩。记为M?F?L，单位为“牛·米”。如图1所示， O为垂直于纸面的固定轴，力F在纸面内。力矩是改变物体转动状态的原因。力的作用线与轴平行时，此力对物体绕该轴的转动没有起到作用。若力F 不在与轴垂直的平面内，可先将力分解为垂直于轴的分量F?和平行于轴的分量O F L 图1 F，F对转动不起作用，这时力F的力矩为M?F??L。通常规定，绕逆时方向转动的力矩为正。当物体受到多个力作用时，物体所受的总力矩等于各个力产生力矩的代数和。2力偶和力偶矩一对大小相等、方向相反但不共线的力称为力偶。如图2中F1、F2即为力偶，力偶不能合成为一个力，是一个基本力学量。对于与力偶所在平面垂直的任一轴，这一对力的力矩的代数和称为力偶矩，注意到F1?F2?F，不难得到M?F?L，式中L为两力间的距离；力偶矩与所相对的轴无关。F2 F1 r2 r1 O 图2 3有固定转轴物体的平衡条件有固定转轴的物体，若处于平衡状态， 力矩、定轴转动物体的平衡条件、重心 【知识要点】 （一）力臂：从转动轴到力的作用线的垂直距离叫力臂。 （二）力矩：力和力臂的乘积叫力对转动轴的力矩。记为M=FL ，单位“牛·米”。一般规定逆时针方向转动为正方向，顺时针方向转动为负方向。 （三）有固定转轴物体的平衡条件 作用在物体上各力对转轴的力矩的代数和为零或逆时针方向力矩总是与顺时针方向力矩相等。即ΣM=0，或ΣM 逆=ΣM 顺。 （四）重心：物体所受重力的作用点叫重心。 计算重心位置的方法： 1、同向平行力的合成法：各分力对合力作用点合力矩为零，则合力作用点为重心。 2、割补法：把几何形状不规则的质量分布均匀的物体分割或填补成形状规则的物体，再由同向（或反向）平行力合成法求重心位置。（见上一讲） 3、公式法：如图所示，在平面直角坐标系中，质量为m 1和m 2的A 、B 两质点坐标分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）则由两物体共同组成的整体的重心坐标为： 212211m m x m x m x C ++= 212211m m y m y m y C ++= 一般情况下，较复杂集合体，可看成由多个质点组成的质点系， 其重心C 位置由如下公式求得： i i i C m x m x ∑∑= i i i C m y m y ∑∑= i i i C m z m z ∑∑= 本节内容常用方法有：①巧选转轴简化方程：选择未知量多，又不需求解结果的力线交点为轴，这些力的力矩为零，式子简化得多；②复杂的物体系平衡问题有时巧选对象：选整体分析，常常转化为力矩平衡问题求解；③无规则形状的物体重心位置计算常用方法是通过割补思想，结合平行力合成与分解的原则处理，或者助物体重心公式计算。 【例题1】如图所示，c 为杆秤秤杆系统的重心，a 为杆称的定盘星，证明：无论称杆的粗细如何变化，杆秤的刻度沿杆轴线的方向总是均匀分布的。 【例题2】（第十届全国预赛）半径为R ，质量为m 1的均匀圆球与一质量为m 2的重物分别用细绳AD 和ACE 悬挂于同一点 A ，并处于平衡。如图所示，已知悬点A 到球心O 的距离为L ，若不考 虑绳的质量和绳与球的摩擦，试求悬挂圆球的绳AD 和竖直方向的夹角 θ。 y y y 2 第9单元：有固定转动轴的物体的平衡 教学目标： 一、知识目标 1：知道什么是转动轴和有固定转动轴的物体的平衡状态。 2：掌握力臂的概念，会计算力矩。 3：理解有固定转动轴的物体的平衡条件。 二、能力目标： 通过有固定转动轴的物体的平衡条件的得到过程，培养学生的概括能力和分析推理能力。 三、德育目标： 使学生了解物理学的研究方法 教学重点： 1：什么是转动平衡； 2：有固定转动轴的物体的平衡条件。 教学难点： 力矩的概念及物体的转动方向的确定。 教学方法： 实验法、归纳法、讲授法 教学用具： 力矩盘、钩码、弹簧秤、投影仪、投影片 教学步骤： 一、导入新课： 1：复习：前边我们共同学习了物体在共点力作用下的平衡条件及其应用，请同志们回答以下问题： （1）什么是共点力作用下物体的平衡状态？ （2）在共点力作用下物体的平衡条件是什么？ 2：引入：本节课我们来学习另外一种平衡——转动平衡 二、新课教学 （一）用投影片出示本节课的学习目标： 1：了解转动平衡的概念 2：理解力臂和力矩的概念 3：理解有固定转动轴的物体的平衡条件 （二）学习目标完成过程： 1：转动平衡 （1）举例：生活中，我们常见到有许多物体在力的作用下转动；例如：门、砂轮、电唱机的唱盘，电动机的转子等； （2）引导学生分析上述转动物体的共同特点，即上述物体转动之后，物体上的各点都沿圆周运动，但所有各点做圆周运动的中心在同一直线上，这条直线就叫转动轴。 （3）介绍什么是转动平衡。 一个有固定转动轴的物体，在力的作用下，如果保持静止，我们就说这个物体处于转动平衡状态。 （4）课堂讨论：举几个物体处于转动平衡状态的实例。 2：力矩： （1）引言：通过上面例子的分析，我们知道，力可以使物体转动，那么力对物体的转动作用跟什么有关系呢？ （2）举例： a：推门时，如果在离转轴不远的地方推，用比较大的力才能把门推开；在离转动轴较远的地方推门，用比较小的力就能把门推开。 b：用手直接拧螺帽，不能把它拧紧；用扳手来拧，就容易拧紧了。 （3）总结得到：力越大，力和转动轴之间的距离越大，力的转动作用就越大。 标准教案 第二章物体平衡 §2.3有固定转动轴物体的平衡 高考对应考点： 1．力矩（学习水平B级） 2. 有固定转动轴的物体的平衡（学习水平B级） 课时目标： 1．了解转动平衡的概念，理解力臂和力矩的概念。 2．理解有固定转动轴物体平衡的条件 3．会用力矩平衡条件分析问题和解决问题 重点难点： 1．力矩平衡计算 2．动态平衡问题的分析方法 知识精要： 一．转动平衡： 有转动轴的物体在力的作用下，处于静止或，叫平衡状态。 二．力矩： 1．力臂：转动轴到力的作用线的。 2．力矩：的乘积。 （1）计算公式：； （2）单位：； （3）矢量：在中学里，只研究固定转动轴物体的平衡，所以只有顺时针和逆时针转动两种方向 三．力矩平衡条件： 力矩的代数和为零或所有使物体向方向转动的力矩之和等于所有使物体向方向转动的力矩之和。 或 ＝ ∑=∑∑ M0M M 顺逆 热身练习： 1．如图所示，要使圆柱体绕A点滚上台阶，试通过作图来判 断在圆柱体上的最高点所施加的最小力的方向 _____________。 2．匀质杆AO可绕O轴转动，今用水平力使它缓缓抬起的过程中，如图所示，重力对 O轴的力臂变化是_____________，重力对O轴的力矩变化情况是_____________，已 知抬起过程中水平拉力力矩的大小应等于重力的力矩，则水平拉力F的变化情况是 _____________。 3． 如图，把物体A 放在水平板OB 的正中央，用始终垂直于杆的力F 将板的B 端缓慢抬高（O 端不动），设A 相对平板静止，则力 F 的将 ，F 的力矩F M 将 ；若F 始终 竖直向上，则力F 的大小将 ， F 的力矩 F M 将 。 4．如图所示，ON 杆可以在竖直平面内绕O 点自由转动，若 在N 端分别沿图示方向施力123F F F 、、，杆均能静止在图示 位置上．则三力的大小关系是（ ） A ． 123F F F == B ． 123F F F >> C ．2 13F F F >> D ．132F F F >> 5．如图所示，直杆OA 可绕O 点转动，图中虚线与杆平行，杆 端A 点受四个力1234F F F F 、、、的作用，力的作用线与OA 杆 在同一竖直平面内，它们对转轴O 的力矩分别为 1234M M M M 、、、，则它们力矩间的大小关系是（ ） A ．1234 M M M M ===； B ．2134M M M M ＞＝＞； C ．4231 M M M M ＞＞＞； D ． 2134 M M M M ＞＞＞； 6．如图所示，一杆均匀，每米长的重为P=30N ，支于杆的左端，在离杆的左端a 0.2m =处挂一质量为W 300N =的物体，在杆的右端加一竖直向上的力F 杆多长时使杆平衡时所加竖直向上的拉力F 最小，此最小值为多大？ 精解名题： 例1．一块均匀木板MN 长L 15m ＝，重 1G 400N ＝，搁在相距D 8m ＝ 的两个支架A B 、上， O ’ F 2 F 3 F 4 O F 1 A ’ A 第二章力矩有固定转动轴物体的平衡 本章学习提要 1．理解力矩概念和定义，会运用力臂和力矩的定义计算力矩。 2．会利用力矩盘进行实验，探究有固定转动轴的物体的平衡条件。 3．理解有固定转动轴的物体的平衡，知道有固定转动轴的物体的“力矩平衡条件”，能运用力矩平衡条件求解有关问题，解释生活和生产中的实际问题。 本章内容从基础型物理课程中的质点问题（质点受力、共点力平衡条件）拓展到刚体问题（力矩、力矩平衡条件）。在日常生活和生产中所见到的物体的运动，以及分子、原子这样的微观粒子和宇宙天体的运动都包括转动，因此关于力矩和力矩平衡条件的讨论具有普遍意义。认识怎样根据实际需要引进力矩，以及力矩的定义方法和它的物理意义。通过力矩和力矩平衡条件的学习和应用，体会物理学与技术、社会的联系，了解运用力矩平衡条件设计出各类工具，以及千姿百态、风格迥异的各种桥梁和大型建筑，领略科学美。 A 力矩 一、学习要求 理解力臂和力矩概念，会用力臂和力矩的定义计算力矩。 从实际例子的分析中，明白引进力矩的必要性；认识力矩的定义方法以及力矩的物理意义。通过从实际需要中引进力矩概念，了解力矩概念与常用工具和生活、生产的联系，体会物理学与实际的密切关系。 二、要点辨析 1．为什么要引进力矩 力对质点运动的作用效果取决于它的大小和方向。而力对物体转动的作用效果不仅与力的大小和方向有关，还与力的作用点的位置有关，为了描写力的大小、方向和作用点对物体转动的作用效果，需要引进力矩这个物理量。 力臂：力的作用线与转动轴之间的距离称为力臂。 力矩：力（F）和力臂（L）的乘积称为力对转动轴的力矩。 2．关于力的作用线与转动轴的距离 力的作用线是力的方向上的一条假想的直线。力的作用线与转动轴的距离实际上涉及到两条线之间的距离。一般情况下确定空间中任意两条直线间的距离比较麻烦。我们所讨论的仅限于力的作用线都在同一个与转动轴相垂直的平面内，若该平面与转动轴的交点称为O，那么我们需考虑的空间中两条直线（力的作用线与转动轴线）间距离的问题便简化为一个点（O点）与一条直线（力的作用线）间距离的问题。 3．求力矩的两种基本方法 （1）先求力臂的方法：先求力臂，再求力矩的方法计算力臂的要点是，从转动轴作力的作用线的垂线，其垂线长即为该力对于转动轴的力臂。力臂的计算通常要用到三角函数。 （2）力的分解方法：先将力正交分解为两个分力，然后分别计算两个分力对转动轴的力矩，该力的力矩就等于这两个分力力矩的代数和（注意力矩正负的判断）。在一般情况下，可使其中一个分力的作用线过转动轴，其力臂为零，因而力矩为零，这时只要计算另一个分力的力矩即可。 第二章力矩有固定转动轴物体的平衡本章学习提要 1．理解力矩概念和定义，会运用力臂和力矩的定义计算力矩。 2．会利用力矩盘进行实验，探究有固定转动轴的物体的平衡条件。 3．理解有固定转动轴的物体的平衡，知道有固定转动轴的物体的“力矩平衡条件”，能运用力矩平衡条件求解有关问题，解释生活和生产中的实际问题。 本章内容从基础型物理课程中的质点问题（质点受力、共点力平衡条件）拓展到刚体问题（力矩、力矩平衡条件）。在日常生活和生产中所见到的物体的运动，以及分子、原子这样的微观粒子和宇宙天体的运动都包括转动，因此关于力矩和力矩平衡条件的讨论具有普遍意义。认识怎样根据实际需要引进力矩，以及力矩的定义方法和它的物理意义。通过力矩和力矩平衡条件的学习和应用，体会物理学与技术、社会的联系，了解运用力矩平衡条件设计出各类工具，以及千姿百态、风格迥异的各种桥梁和大型建筑，领略科学美。 A 力矩 一、学习要求 理解力臂和力矩概念，会用力臂和力矩的定义计算力矩。 从实际例子的分析中，明白引进力矩的必要性；认识力矩的定义方法以及力矩的物理意义。通过从实际需要中引进力矩概念，了解力矩概念与常用工具和生活、生产的联系，体会物理学与实际的密切关系。 二、要点辨析 1．为什么要引进力矩 力对质点运动的作用效果取决于它的大小和方向。而力对物体转动的作用效果不仅与力的大小和方向有关，还与力的作用点的位置有关，为了描写力的大小、方向和作用点对物体转动的作用效果，需要引进力矩这个物理量。 力臂：力的作用线与转动轴之间的距离称为力臂。 力矩：力（F）和力臂（L）的乘积称为力对转动轴的力矩。 2．关于力的作用线与转动轴的距离 力的作用线是力的方向上的一条假想的直线。力的作用线与转动轴的距离实际上涉及到两条线之间的距离。一般情况下确定空间中任意两条直线间的距离比较麻烦。我们所讨论的仅限于力的作用线都在同一个与转动轴相垂直的平面内，若该平面与转动轴的交点称为O，那么我们需考虑的空间中两条直线（力的作用线与转动轴线）间距离的问题便简化为一个点（O点）与一条直线（力的作用线）间距离的问题。 3．求力矩的两种基本方法 （1）先求力臂的方法：先求力臂，再求力矩的方法计算力臂的要点是，从转动轴作力的作用线的垂线，其垂线长即为该力对于转动轴的力臂。力臂的计算通常要用到三角函数。 （2）力的分解方法：先将力正交分解为两个分力，然后分别计算两个分力对转动轴的力矩，该力的力矩就等于这两个分力力矩的代数和（注意力矩正负的判断）。在一般情况下，可使其中一个分力的作用线过转动轴，其力臂为零，因而力矩为零，这时只要计算另一个分力的力矩即可。 三、例题分析 【示例】如图2-1（a）所示，长度为l＝1m的杆OB可绕通过O点垂直于纸面的轴转动，绳AB的拉力为20N，杆OB刚好水平，AB与OB的夹角为30°。求拉力的力矩。 【解答】分别用先求力臂的方法和力的分解方法计算。 （1）先求出拉力F的力臂。如图2-1（b）所示，对于转轴O来说，力F的力臂为L＝lsinθ，其中θ＝30°，因此拉力F对于转轴O的力矩为 M＝FL＝Flsinθ＝20×1×sin30°N·m＝10N·m。 （2）先将拉力F分解为垂直于杆方向的分力F1＝Fsinθ，以及沿杆方向的分力F2＝Fcosθ，如图2-1（c）所示。其中沿杆方向的分力F1指向转轴，相应的力臂为零，所以相应的力矩也为零。而垂直于杆方向的分力F1的力臂就等于OB的长度l，因此相应的力矩为M＝F1l＝Fsinθl＝20×sin30°×1N·m＝10N·m。 两者结果完全相同。 第二章 刚体的定轴转动 教学要求： 一、理解刚体定轴转动的角速度和角加速度的概念，理解角量与线量的关系。 二、理解刚体定轴转动定律，能解简单的定轴转动问题。 三、了解力矩的功和转动动能的概念。 四、了解刚体对定轴的角动量定理及角动量守恒定律。 五、理解转动惯量的概念，能用平行轴定理和转动惯量的可加性计算刚体对定轴的转动惯量。 教学重点：刚体定轴转动的力矩、转动惯量、角动量等物理量的概念和转动定律。 教学难点：难点是刚体绕定轴转动的角动量守恒定律及其应用。 物理学研究方法、思维方法：理想化模型-----刚体、研究刚体转动的物理量——角量的确定。 类比方法是本章学习和研究的主要方法。 教学方法：启发、类比、讨论 教学内容： 准备知识： 一、刚体：假定无论在多大的外力作用下，物体的形状和大小都保持不变，也就是物体内任何两质点之间的距离保持不变。这样的理想物体称为刚体。 刚体也是常用的力学理想模型。 二、平动与转动：当刚体运动时,如果刚体内任何一条给定的直线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动称为平动； 刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线做圆周运动，这种运动称为转动。 如果刚体围绕的转轴的位置是固定不动的，这种转动称为刚体的定轴转动 §2-1 角速度和角加速度 一、 角位移、角速度和角加速度 1、角坐标：如图2-1所示，O 为转轴与转动平面的交点， A 为刚体上的一个质点， A 在这一转动平面内绕O 点 做圆周运动， A 与转轴的距离为r 。t 时刻质点A 与转 轴O 距离的连线与基准方向ox 的夹角为θ，称θ为角 坐标或角位置。 2、定轴转动的运动学方程：刚体转动时，θ随时间变 化，它是时间t 的函数： )(t θθ= （2-1） 上式称为刚体定轴转动的运动学方程. 图2—1角坐标和角速度 高考物理练习题库4(力矩 有固定转动轴物体的平衡) 1.如图所示，轻杆BC 的C 端铰接于墙，B 点用绳子拉紧，在BC 中点O 挂重物G .当以C 为转轴时，绳子拉力的力臂是( ).【0.5】 (A )OB (B )BC (C )AC (D )CE 答案:D 2.关于力矩，下列说法中正确的是( ).【1】 (A )力对物体的转动作用决定于力矩的大小和方向 (B )力矩等于零时，力对物体不产生转动作用 (C )力矩等于零时，力对物体也可以产生转动作用 (D )力矩的单位是“牛·米”，也可以写成“焦” 答案:AB 3.有固定转动轴物体的平衡条件是______.【0.5】 答案:力矩的代数和为零 4.有大小为F 1=4N 和F 2=3N 的两个力，其作用点距轴O 的距离分别为L 1=30cm 和L 2=40cm ，则这两个力对转轴O 的力矩M 1和M 2的大小关系为( ).【1.5】 (A )因为F 1>F 2，所以M 1>M 2 (B )因为F 1 《物理学》多媒体学习辅导系统 第三章 刚体的定轴转动 教学要求 一．理解定轴转动刚体运动的角速度和角加速度的概念，理解角量与线量的关系。 二．理解刚体定轴转动定律，能解简单的定轴转动问题。 三．了解力矩的功和转动动能的概念。 四．了解刚体对定轴的角动量定理及角动量守恒定律。 五．理解转动惯量的概念，能用平行轴定理和转动惯量的可加性计算刚体对定轴的转动惯量。 基本内容 本章的重点是刚体定轴转动的力矩、转动惯量、角动量等物理量的概念和转动定律，难点是刚体绕定轴转动的角动量守恒定律及其应用。 一．角量与线量的关系 2 ωαω θ r a r a r v r s ====n t 二．描述刚体定轴转动的物理量和运动规律与描述质点直线运动的物理量和运动规律有类比关系，有关的数学方程完全相同, 为便于比较和记忆，列表如下。只要将我们熟习的质点直线运动的公式中的x 、v 、a 和m 、F 换成θ、ω、α和I 、M , 就成为刚体定轴转动的公式。 表3—1 质点的直线运动 刚体定轴转动 位置 x 角位置 θ 位移 x ? 角位移 θ? 速度 t x v d d = 角速度 t d d θω= 加速度 2 2d d d d t x t v a == 角加速度 2t t d d d d 2θωα== 匀速直线运动 vt x x +=0 匀角速转动 t 0ωθθ+= 20021at t v x x + += 2002 1 t t++ =αωθθ ()02022x x a v v -=- ()02 02 2 θθαωω-=- 质量 m 转动惯量 i i m r I ?= ∑2 力 F 力矩 r F M θ= 牛顿第二定律 ma F = 定轴转动定律 αI M = 力的功 ? = x x x F A 0 d 力矩的功 ?=θ θθ0 d M A 动能 221mv E = k 动能 k 22 1 ωI E = 动能定理 2 02210mv mv x F x x 21d -=? 动能定理 2022 121d ωωθθθI I M -=?20 冲量 ? t t t F 0 d 冲量矩 ?t t t M 0 d 动量 mv 角动量( 动量矩 ) ωI 动量定理 00 mv mv t F t t -=? d 角动量定理 ? -=t t I I t M 0 0d ωω 系统的机械能守恒定律 系统的机械能守恒定律 若0=+非保内外A A ,则 若0=+非保内外A A ,则 =+p k E E 常量 =+p k E E 常量 系统的动量守恒定律 系统的角动量守恒定律 标准教案 第二章物体平衡 §有固定转动轴物体的平衡 高考对应考点： 1．力矩（学习水平B级） 2. 有固定转动轴的物体的平衡（学习水平B级） 课时目标： 1．了解转动平衡的概念，理解力臂和力矩的概念。 2．理解有固定转动轴物体平衡的条件 3．会用力矩平衡条件分析问题和解决问题 重点难点： 1．力矩平衡计算 2．动态平衡问题的分析方法 知识精要： 一．转动平衡： 有转动轴的物体在力的作用下，处于静止或，叫平衡状态。 二．力矩： 1．力臂：转动轴到力的作用线的。 2．力矩：的乘积。 （1）计算公式：； （2）单位：； （3）矢量：在中学里，只研究固定转动轴物体的平衡，所以只有顺时针和逆时针转动两种方向 三．力矩平衡条件： 力矩的代数和为零或所有使物体向方向转动的力矩之和等于所有使物体向方向转动的力矩之和。 或 ＝ ∑=∑∑ M0M M 顺逆 热身练习： 1．如图所示，要使圆柱体绕A点滚上台阶，试通过作图来判 断在圆柱体上的最高点所施加的最小力的方向 _____________。 2．匀质杆AO可绕O轴转动，今用水平力使它缓缓抬起的过程中，如图所示，重力对 O轴的力臂变化是_____________，重力对O轴的力矩变化情况是_____________，已 知抬起过程中水平拉力力矩的大小应等于重力的力矩，则水平拉力F的变化情况是 _____________。 3． 如图，把物体A 放在水平板OB 的正中央，用始终垂直于杆的力F 将板的B 端缓慢抬高（O 端不动），设A 相对平板静止，则力 F 的将 ，F 的力矩F M 将 ；若F 始终 竖直向上，则力F 的大小将 ， F 的力矩 F M 将 。 4．如图所示，ON 杆可以在竖直平面内绕O 点自由转动，若 在N 端分别沿图示方向施力123F F F 、、，杆均能静止在图示 位置上．则三力的大小关系是（ ） A ． 123F F F == B ． 123F F F >> C ．2 13F F F >> D ．132F F F >> 5．如图所示，直杆OA 可绕O 点转动，图中虚线与杆平行，杆 端A 点受四个力1234F F F F 、、、的作用，力的作用线与OA 杆 在同一竖直平面内，它们对转轴O 的力矩分别为 1234M M M M 、、、，则它们力矩间的大小关系是（ ） A ．1234 M M M M ===； B ．2134M M M M ＞＝＞； C ．4231 M M M M ＞＞＞； D ． 2134 M M M M ＞＞＞； 6．如图所示，一杆均匀，每米长的重为P=30N ，支于杆的左端，在离杆的左端a 0.2m =处挂一质量为W 300N =的物体，在杆的右端加一竖直向上的力F 杆多长时使杆平衡时所加竖直向上的拉力F 最小，此最小值为多大 精解名题： 例1．一块均匀木板MN 长L 15m ＝，重 1G 400N ＝，搁在相距D 8m ＝ 的两个支架A B 、上， O ’ F 2 F 3 F 4 O F 1 A ’ A 一般刚体的平衡条件及应用 基本知识1：受任意的平面力系作用的物体，平衡条件为∑0=F （即∑0=x F 且∑0=y F ），∑ 0=M （对任意转轴这三个方程组组成平面任意力系的平衡方程式，值得注意的是所有力对于某一点的力矩代数和为零时，则对任一点的力矩代数和都等于零。因此，上述方程组中只能有一个力矩平衡方程。） 例1：画出物体A （质量分布均匀）的受力示意图，都处于静止状态，务必注意力的作用点，并指明理由（物体不可看作质点）。 例2：如图所示，均匀球重为Ｇ，置于倾角为30°的斜面上，在球的最高点用水平 力F 拉住使球静止在斜面上，则F ＝ ，为能使球静止在斜面上，又最省力可将 F 力施于 处，方向 ，此时F ＝ . 基本知识2：摩擦角 如果用f 表示滑动摩擦力，N 表示正压力，那么)N f arctan( φ=叫做滑动摩擦角。同样用f0表示最大静摩擦力，N 表示正压力，那么)N f arctan(φ00=叫做静摩擦角。在两个接触面的性质确定后，摩擦角的大小事不变的，这一点会给解题带来方便。 例3：如图所示，质量为m 的木箱在推力F 作用下处于静止状态，F 与水平 方向的夹角为θ，则木箱受到的支持力为____________，木箱受到的摩擦力为 ____________；若F 的大小和方向可变，且滑动摩擦因数为μ=1，为使木箱 匀速向右运动，则F 的最小值为 。 练习：在例3中，若增大θ后去推物体，当θ大到某值之后，无论如何增大F 都不可能推动物体，试求该θ角（μ=1）. 基本知识3 证明：在平面力系作用下处于平衡状态的刚体，对任意垂直于力系的转轴其力矩相同且为零。 基本知识4 三力交汇原理：一个物体受到三个力作用而处于平衡，如果这三个力不平行，则这三个力的作用线一定交于一点，通常叫三力交汇原理。 例4：两平行直杆竖直放置，间距为d ，质量分布不均匀的绳子的长度大于d ， 两端分别系在两杆上，系结点位于同一水平面上。已知系结处绳子与直杆之间 的夹角分别为θ1和θ2，试求绳子重心到两杆的垂直距离。 【知识要点】 （一）力臂：从转动轴到力的作用线的垂直距离叫力臂。 （二）力矩：力和力臂的乘积叫力对转动轴的力矩。记为M=FL ，单位“牛·米”。一般规定逆时针方向转动为正方向，顺时针方向转动为负方向。 （三）有固定转轴物体的平衡条件 作用在物体上各力对转轴的力矩的代数和为零或逆时针方向力矩总是与顺时针方向力矩相等。即ΣM=0，或ΣM 逆=ΣM 顺。 （四）平行力的合成与分解 同向平行力的合成：两个平行力F A 和F B 相距AB ，则合力ΣF 的大小为F A +F B ，作用点C 满足F A ×AC=F B ×BC 的关系。 反向平行力的合成：两个大小不同的反向平行力F A 和F B （F A ＞F B ）相距AB ，则合力ΣF 的大小为F A －F B 同向，作用点C 满足F A ×AC=F B ×BC 的关系。 （五）重心：物体所受重力的作用点叫重心。 计算重心位置的方法： 1、同向平行力的合成法：各分力对合力作用点合力矩为零，则合力作用点为重心。 2、割补法：把几何形状不规则的质量分布均匀的物体分割或填补成形状规则的物体，再由同向（或反向）平行力合成法求重心位置。（见上一讲） 3、公式法：如图所示，在平面直角坐标系中，质量为m 1和m 2的A 、B 两质点坐标分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）则由两物体共同组成的整体的重心坐标为： 21221 1m m x m x m x C ++= 2 12 211m m y m y m y C ++= 一般情况下，较复杂集合体，可看成由多个质点组成的质点系，其重心C 位置由如下公式求得： i i i C m x m x ∑∑= i i i C m y m y ∑∑= i i i C m z m z ∑∑= 本节内容常用方法有：①巧选转轴简化方程：选择未知量多，又不需求解结果的力线交点为轴，这些力的力矩为零，式子简化得多；②复杂的物体系平衡问题有时巧选对象：选整体分析，常常转化为力矩平衡问题求解；③无规则形状的物体重心位置计算常用方法是通过割补思想，结合平行力合成与分解的原则处理，或者助物体重心公式计算。 y y y 2 A 图 1-1-3 F B 图1-1-4 有固定转动轴物体的平衡 一、教学目标： 1：知道什么是转动轴和有固定转动轴的物体的平衡状态。 2：掌握力臂的概念，会计算力矩。 3：理解有固定转动轴的物体的平衡条件。 二、教学重点： 1：什么是转动平衡； 2：有固定转动轴的物体的平衡条件。 三、教学难点： 力矩的概念及物体的转动方向的确定。 四、教学方法： 实验法、归纳法、讲授法 五、教学用具： 力矩盘、钩码、弹簧秤、投影仪、投影片 六、教学步骤： 导入新课： 1：复习：前边我们共同学习了物体在共点力作用下的平衡条件及其应用，请同志们回答以下问题： （1）什么是共点力作用下物体的平衡状态 （2）在共点力作用下物体的平衡条件是什么 2：引入：本节课我们来学习另外一种平衡——转动平衡新课教学 （一）用投影片出示本节课的学习目标： 1：了解转动平衡的概念 2：理解力臂和力矩的概念 3：理解有固定转动轴的物体的平衡条件 （二）学习目标完成过程： 1：转动平衡 （1）举例：生活中，我们常见到有许多物体在力的作用下转动；例如：门、砂轮、电唱机的唱盘，电动机的转子等； （2）引导学生分析上述转动物体的共同特点，即上述物体转动之后，物体上的各点都沿圆周运动，但所有各点做圆周运动的中心在同一直线上，这条直线就叫转动轴。 （3）介绍什么是转动平衡。 一个有固定转动轴的物体，在力的作用下，如果保持静止，我们就说这个物体处于转动平衡状态。 （4）课堂讨论：举几个物体处于转动平衡状态的实例。 2：力矩： （1）引言：通过上面例子的分析，我们知道，力可以使物体转动，那么力对物体的转动作用跟什么有关系呢 （2）举例： a：推门时，如果在离转轴不远的地方推，用比较大的力才能把门推开；在离转动轴较远的地方推门，用比较小的力就能把门推开。 b：用手直接拧螺帽，不能把它拧紧；用扳手来拧，就容易拧紧了。 （3）总结得到：力越大，力和转动轴之间的距离越大，力的转动作用就越大。 （4）力臂： a：力和转动轴之间的距离，即从转动轴到力的作用线的距离，叫做力臂。 b：力臂的找法： 一轴：即先找到转动轴； 二线：找到力的作用线； 三垂直：即从转轴向力的作用线做垂线，则转轴和垂足之间的举例就是该力的力臂。 c：巩固训练： 画出右图中各个力的力臂： (5）力矩： a：定义：力F与其力臂L的乘积叫做力对转动轴的力矩。用字母M表示。 b：共识：M＝FL。 c：单位：牛·米（N·m） （6）课堂讨论： 如何用力矩把初中学习过的杠杆平衡条件表示出来 3：力矩的平衡： （1）引言：刚才我们用力矩表示出了杠杆的平衡条件，这是力矩平衡的最简单的情形，那么力矩的一般平衡条件是什么呢（2）实验： 把力矩盘放好，使其内绕固定轴转动，按图示方法使盘在F1、F2、F3的作用下处于静止状态（即平衡状态），量出这三个力的力臂L1、L2和L3，分别计算使圆盘向顺时针方向转动的力矩M1＝F1L1，M2＝F2L2，及使圆盘向逆时针方向转动的力矩M3＝F3L3，总结有什么规律。 改变力的作用位置和大小重新做两次。 力矩有固定转动轴物体的平衡导学案 【学习目标】 1．理解力臂、力矩的概念； 2．能正确找出给定力的力臂，并运用公式M＝FL解决实际的力矩问题； 3．知道当力的作用线垂直于“力的作用点与转轴连线”时，其力臂最大； 4．掌握有固定转动轴的物体的平衡条件，会应用力矩平衡条件处理有关问题。 【课堂讲练】 思考：生活中，我们常见到使物体发生转动的例子，比如用手推开门、用扳手拧螺帽、用铁棒撬开路面上的障碍物等等，那么在这些转动中，你认为有哪些因素决定了物体的转动效果呢？ 学生活动：用手推开门时，分别改变力的大小、方向、作用点，比较转动效果。 小结：物体的转动效果 1、力臂（L）： （1）定义：从到力的的垂直距离。 （2）单位：。 （3）大小特点：①当力沿何方向时，其力臂达最大？ 当力于“与的连线”时，其力臂最大。 ②当力沿何方向时，其力臂为零？ 当力的作用线通过时，其力臂为零。 〖例1〗下面各图均以O为转轴，正确画出各力力臂： 2、力矩（M）： （1）定义: 力与力臂的乘积叫做力矩。 （2）定义式：M = F·L （M——力矩，F——作用力；L——力臂。） （3）单位：_______ 。 （4）作用效果：使物体发生。力矩越，物体的转动效果越明显； 当力矩为时，物体不会发生转动。 （5）力矩的方向性：根据使物体转动的方向不同，力矩可分为顺转力矩和逆转力矩两种。 使物体顺转的力矩，称为顺时针力矩；使物体逆转的力矩，称为逆时针力矩。 〖例2〗下图显示了用板手拧螺帽的几种情况。在这些情景中，力的大小相同，均为30N，力的方向分别 与扳手柄垂直(a、b)或成一夹角600(c)。力的作用点与螺帽中心的距离OA分别为12cm(a、c)和20cm(b)。求这些情况下F的力矩各是多少？ 3、有固定转动轴物体的平衡： （1）有固定转轴物体的平衡状态：匀速转动或静止不转。 （2）演示实验研究： ①实验装置：如右图所示，力矩盘是均匀的，其重心在圆盘的中心， 圆盘可以在竖直面内绕过中心的水平轴几乎无摩擦地转动。 ②力矩平衡条件的实验研究： ◆思考： （a）可采取什么办法对力矩盘施加作用力？ （b）为便于研究力矩盘的平衡状态，应使力矩盘匀速转动还是静止不转？ （c）为使力矩盘保持平衡状态，应如何考虑对其施加的几个作用力的力矩方向效果？ ◆实验操作： 如右图所示，将钉子固定在力矩盘的几个任意位置上，其中两边钉子上用细线悬挂不同个数的钩码，最后一个钉子上与测力计的钩子相连，测力计另一端则挂在水平杠杆的套环上。 （3）实验结论： 有固定转动轴物体的平衡条件是：顺时针力矩之和逆时针力矩之和。 即：合力矩为。 表达式：________________。 〖例3〗如图所示，一根质量为M的均匀铁棒，长为L， 它与竖直方向的夹角为θ，它可以绕O轴自由转动，现用水平 力F作用于棒的下端，使棒静止在如图所示的位置。求棒受到的 拉力F大小及其力矩大小？ 学案8：力矩有固定转动轴物体的平衡 【学习目标】 1．理解力臂、力矩的概念； 2．能正确找出给定力的力臂，并运用公式M＝FL解决实际的力矩问题； 3．知道当力的作用线垂直于“力的作用点与转轴连线”时，其力臂最大； 4．掌握有固定转动轴的物体的平衡条件，会应用力矩平衡条件处理有关问题。 【课堂讲练】 ◆思考：生活中，我们常见到使物体发生转动的例子，比如用手推开门、用扳手拧螺帽、用铁棒撬开路面上的障碍物等等，那么在这些转动中，你认为有哪些因素决定了物体的转动效果呢？ ◆学生活动：用手推开门时，分别改变力的大小、方向、作用点，比较转动效果。 ●小结：物体的转动效果 1、力臂（L）： （1）定义：从到力的的垂直距离。 （2）单位：。 （3）大小特点：①当力沿何方向时，其力臂达最大？ ★当力于“与的连线”时，其力臂最大。 ②当力沿何方向时，其力臂为零？ ★当力的作用线通过时，其力臂为零。 〖例1〗如图所示，O点为杆OB的转轴，请分别作出图中力 F1、F2、F3的力臂。 2、力矩（M）： （1）定义: 力与力臂的乘积叫做力矩。 （2）定义式：M = F·L （M——力矩，F——作用力；L——力臂。） （3）单位：_______ 。 （4）作用效果：使物体发生。力矩越，物体的转动效果越明显； 当力矩为时，物体不会发生转动。 （5）力矩的方向性：根据使物体转动的方向不同，力矩可分为顺转力矩和逆转力矩两种。 ★使物体顺转的力矩，称为顺时针力矩；使物体逆转的力矩，称为逆时针力矩。 〖例2〗下图显示了用板手拧螺帽的几种情况。在这些情景中，力的大小相同，均为30N，力的方向分别与扳手柄垂直(a、b)或成一夹角600(c)。力的作用点与螺帽中心的距离OA分别为12cm(a、c)和20cm(b)。求这些情况下F的力矩各是多少？(完整版)物理竞赛讲义(三)力矩、定轴转动物体的平衡条件、重心
刚体的定轴转动习题解答
第七讲 定轴转动物体的平衡(教案)
竞赛之第三节、力矩、定轴转动物体的平衡条件、重心
有固定转轴的物体的平衡
有固定转动轴物体的平衡
高中物理：第二章力矩有固定转动轴物体的平衡
第二章力矩有固定转动轴物体的平衡
第二章刚体的定轴转动
高考物理练习题库4(力矩有固定转动轴物体的平衡)
3刚体的定轴转动
有固定转动轴物体的平衡
有固定转动轴物体平衡测试题 (修复的)
第三讲：力矩、定轴转动物体的平衡条件、重心(奥赛辅导讲义 自用)
04.3.有固定转动轴物体的平衡
力矩__有固定转动轴物体的平衡(含答案)用
力矩 有固定转动轴物体的平衡(含答案)