第17讲 三角形的五心教案

第17讲 三角形的五心

三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍．

三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心． 1、三角形的外心

三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)． 三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． 都等于三角形的外接圆半径． 锐角三角形的外心在三角形内；

直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外． 2、三角形的内心

三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)．

三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径． 内切圆半径r 的计算：

设三角形面积为S ，并记p =12(a +b +c )，则r =S

p ．

特别的，在直角三角形中,有 r =1

2

(a +b －c )．

3、三角形的重心

三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心．

上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2．

4、三角形的垂心

三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心．

斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．

5、三角形的旁心

三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)．

每个三角形都有三个旁切圆．

A 类例题

例1 证明重心定理。

证法1 如图，D 、E 、F 为三边中点，设BE 、CF 交于G ，连接EF ，显

然EF ∥=12

BC ，由三角形相似可得GB ＝2GE ，GC =2GF ． 又设AD 、BE 交于G '，同理可证G 'B =2G 'E ，G 'A =2G 'D ，即G 、G '都是

BE 上从B 到E 的三分之二处的点，故G '、G 重合． 即三条中线AD 、BE 、CF 相交于一点G ．

证法2 设BE 、CF 交于G ，BG 、CG 中点为H 、I ．连EF 、

FH 、HI 、IE ，

因为EF ∥=12BC ，HI ∥=12

BC ， A

B C

O

A

B

C

D

E

F

G A

B C

D

E

F

I a

I

K H

E

F

A

B

C

M A

B

C

D E

F

G

所以 EFHI 为平行四边形．

所以 HG =GE 、IG=GF ，GB =2GE ，GC =2GF ．

同证法1可知AG =2GD ，AD 、BE 、CF 共点． 即定理证毕．

情景再现

1．设G 为△ABC 的重心，M 、N 分别为AB 、CA 的中点，求证：四边形GMAN 和△GBC 的面积相等．

2．三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍．

B 类例题

例3 过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N . 作点P 关于MN 的对称点P '.试证：P '点在△ABC 外接圆上.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)

分析 分析点M 和N 的性质，即能得到解题思路。 证明 由已知可得MP '=MP =MB ，NP '=NP =NC ，

故点M 是△P 'BP 的外心，点N 是△P 'PC 的外心.于是有 ∠BP 'P =12∠BMP =1

2∠BAC ，

∠PP 'C =12∠PNC =1

2

∠BAC .

∴∠BP 'C =∠BP 'P +∠P 'PC =∠BAC .

从而，P '点与A 、B 、C 共圆，即P '在△ABC 外接圆上.

例4 AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点.

证明：在△PAD ，△PBE ，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和.

(第26届莫斯科数学奥林匹克) 证明 设G 为△ABC 重心，直线PG 与AB ，BC 相交.从A ，C ，D ， E ，F 分别作该直线的垂线，垂足为A '，C '，D '，E '，F '. 易证AA '=2DD '，CC '=2FF '，2EE '=AA '+CC '， ∴EE '=DD '+FF '. 有S △PGE =S △PGD +S △PGF .

两边各扩大3倍，有S △PBE =S △PAD +S △PCF .

例5 设A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4依次为△A 2A 3A 4，△A 3A 4A 1，△A 4A 1A 2，△A 1A 2A 3的垂心.求证：H 1，H 2，H 3，H 4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置. (1992，全国高中联赛)

证明 连接A 2H 1，A 1H 2，H 1H 2，记圆半径为R .由△A 2A 3A 4知

1

321

2sin H A A H A ∠=2R ?A 2H 1=2R cos ∠A 3A 2A 4；

由△A 1A 3A 4得 A 1H 2=2R cos ∠A 3A 1A 4. 但∠A 3A 2A 4=∠A 3A 1A 4，故A 2H 1=A 1H 2. 易证A 2H 1∥A 1A 2，于是，A 2H 1 ∥=

A 1H 2， 故得H 1H 2 ∥=

A 2A 1.设H 1A 1与H 2A 2的交点为M ，故H 1H 2与A 1A 2关于M 点成中心对称. 同理，H 2H 3与A 2A 3，H 3H 4与A 3A 4，H 4H 1与A 4A 1都关于M 点成中心对称.故四边形H 1H 2H 3H 4

与四边形A 1A 2A 3A 4关于M 点成中心对称，两者是全等四边形，H 1，H 2，H 3，H 4在同一个

A B

C

P

P M

N

'

A

A 'F F 'G

E E '

D 'C 'P

C B

D .O

A A A A 1

2

3

4

H H 1

2

圆上.后者的圆心设为Q ，Q 与O 也关于M 成中心对称.由O ，M 两点，Q 点就不难确定

情景再现

3．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S .

证明以△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似. (B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)

4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相

似.其逆亦真.

C 类例题

例6 H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心.一个以H 为圆心的⊙H 交直线

EF ，FD ，DE 于A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2.

求证：AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2. (1989，加拿大数学奥林匹克训练题) 分析 只须证明AA 1=BB 1=CC 1即可. 证明 设BC =a ， CA =b ，AB =c ，△ABC 外接圆半径为R ，⊙H 的半径为r . 连HA 1，AH 交EF 于M . A 2

1A

=AM 2+A 1M 2=AM 2+r 2-MH

2

=r 2

+(AM 2

-MH 2

)， ①

又AM 2-HM 2=(12AH 1)2-(AH -12

AH 1)2

=AH ·AH 1-AH 2

=AH 2·AB -AH 2

=cos A ·bc -AH 2

， ② 而

ABH AH ∠sin =2R ?AH 2=4R 2cos 2

A ,

A

a sin =2R ?a 2=4R 2sin 2

A . ∴AH 2

+a 2

=4R 2

，AH 2

=4R 2

-a 2

. ③ 由①、②、③有

A 21

A

=r 2+bc

a c

b 2222-+·b

c -(4R 2-a 2

)

H H H M

A

B B

A A

B

C C

C F

1

2

1

1

1

22

2

D E

=12 (a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2. 同理，21BB =

2

1(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2

， 21CC =12

(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2.

故有AA 1=BB 1=CC 1.

例7 已知⊙O 内接△ABC ，⊙Q 切AB ，AC 于E ，F 且与⊙O 内切.试证：EF 中点P 是△ABC 之

内心.(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》) 证明 如图，显然EF 中点P 、圆心Q ，︵

BC 中点K 都在∠BAC 平分线上.易知AQ =α

sin r . ∵QK ·AQ =MQ ·QN ，

∴QK =AQ

QN

MQ ?

=α

sin /)2(r r

r R ?-=)2(sin r R -?α.

由Rt △EPQ 知PQ =r ?αsin .

∴PK =PQ +QK =r ?αsin +)2(sin r R -?α=R 2sin ?α.

∴PK =BK .

利用内心等量关系之逆定理，即知P 是△ABC 这内心. 说明 在第20届IMO 中，美国提供的一道题实际上是例7的一种特例，但它增加了条件AB =AC .

例8 在直角三角形中，求证：r +r a +r b +r c =2p .式中r ，r a ，r b ，r c 分别表示内切圆半径及与a ，

b ，

c 相切的旁切圆半径，p 表示半周. (杭州大学《中学数学竞赛习题》) 证明 设Rt △ABC 中，c 为斜边，先来证明一个特性：

p (p -c )=(p -a )(p -b ).

∵p (p -c )= 12 (a +b +c )·1

2(a +b -c )

=14[(a +b )2-c 2

]

=1

2

ab ；

(p -a )(p -b )= 12(-a +b +c )·1

2(a -b +c )

=14[c 2-(a -b )2

]= 12

ab .

∴p (p -c )=(p -a )(p -b ). ①

观察图形，可得 r a =AF -AC =p -b ， r b =BG -BC =p -a ， r c =CK =p .

A

ααM

B

C K N

E R O

Q

F

r P K r r r r O O O 2

1

3

A

O E

C

B

a b

c

而r =1

2

(a +b -c )=p -c .

∴r +r a +r b +r c =(p -c )+(p -b )+(p -a )+p =4p -(a +b +c )=2p . 由①及图形易证.

例9 M 是△ABC 边AB 上的任意一点.r 1，r 2，r 分别是△AMC ，△BMC ，△ABC 内切圆的半径，

q 1，q 2，q 分别是上述三角形在∠ACB 内部的旁切圆半径.证明

11q r ·22q r =q

r

.(IMO -12) 证明 对任意△A 'B 'C '，由正弦定理可知

OD =OA '·2

'

sin

A =A '

B '·'

''sin 2'

sin

B O A B ∠·2'sin A =A 'B '·

2''sin

2'sin

2'sin B A B A +?， O 'E = A 'B '·

2

''sin

2'cos

2'cos B A B A +. ∴

2

'

2''B tg A tg E O OD =. 亦即有

11q r ·2

2q r =2222B

tg CNB tg CMA tg

A tg ∠∠ =22

B tg A tg

=q

r . 例10 锐角△ABC 中，O ，G ，H 分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d 外，重心

到三边距离和为d 重，垂心到三边距离和为d 垂.

求证：1·d 垂+2·d 外=3·d 重.

证明 设△ABC 外接圆半径为1，三个内角记为A ，B ， C . 易知d 外=OO 1+OO 2+OO 3

=cos A +co sB +cos C ， ∴2d 外=2(cos A +cos B +cos C ). ①

∵AH 1=sin B ·AB =sin B ·(2sin C )=2sin B ·sin C ， 同样可得BH 2·CH 3.

∴3d 重=△ABC 三条高的和

=2·(sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B ) ②

A ...

'B '

C 'O

O '

E

D B C O I

A

O G H O G H G

O G H 12311

223

3

∴

BCH

BH

sin =2，

∴HH 1=cos C ·BH =2·cos B ·cos C . 同样可得HH 2，HH 3. ∴d 垂=HH 1+HH 2+HH 3

=2(cos B ·cos C +cos C ·cos A +cos A ·cos B ) ③ 欲证结论，观察①、②、③，

须证(cos B ·cos C +cos C ·cos A +cos A ·cos B )+( cos A + cos B + cos C )=

sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B .即可. 说明 本题用了三角法。

情景再现

5.设在圆内接凸六边形ABCDFE 中，AB =BC ，CD =DE ，EF =FA .试证：(1)AD ，BE ，CF 三条对角线交于一点；(2)AB +BC +CD +DE +EF +FA ≥AK +BE +CF . (1991，国家教委数学试验班招生试题)

6．△ABC 的外心为O ，AB =AC ，D 是AB 中点，E 是△ACD 的重心.证明OE 丄CD . (加拿大数学奥林匹克训练题) 7．△ABC 中∠C =30°，O 是外心，I 是内心，边AC 上的D 点与边BC 上的E 点使得AD =BE =AB .

求证：OI 丄DE ，OI =DE . (1988，中国数学奥林匹克集训题)

习题17

1．在△ABC 中，∠A 是钝角，H 是垂心，且AH =BC ，则cos ∠BHC =( )

A ．－12 2

B ．12 2

C ．33

D ．1

2

2．如果一个三角形的面积与周长都被一条直线平分，则此直线一定通过三角形的( )

A ．内心

B ．外心

C ．重心

D ．垂心(1996年全国初中联赛)

3．(1997年安徽省初中数学竞赛)若0°<α<90°，那么，以sin α，cos α，tan αcot α为三边的三角形有内切圆、外接圆的半径之和是( )

A ．sin α+cos α2

B ．tan α+cot α2

C ．2sin αcos α

D ．1

sin αcos α

4．ΔABC 中，∠A =45?，BC =a ，高BE 、CF 交于点H ，则AH =( )

A ．12a

B ．1

2

2a C ．a D ．2a

5．下面三个命题中：

⑴ 设H 为ΔABC 的高AD 上一点，∠BHC +∠BAC =180?，则点H 是ΔABC 的垂心； ⑵ 设G 为ΔABC 的中线AD 上一点，且S ΔAGB =S ΔBGC ，则点G 是ΔABC 的重心；

⑶ 设E 是ΔABC 的外角∠BAK 的角平分线与ΔABC 的外接圆⊙O 的交点，ED 是⊙O 的直径，I 在线段AD 上，且DI =DB ，则I 是ΔABC 的内心．

正确命题的个数是( )

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

r

R

I O C B

A

本节“情景再现”解答

1．证明 如图，连GA ，因为M 、N 分别为AB 、CA 的中点，所以△AMG 的面积=△GBM 的面积，△GAN 的面积=△GNC 的面积, 即四边形GMAN 和△GBC 的面积相等．

2．证明 如图，O 为ΔABC 的外心，H 为垂心，连CO 交ΔABC 外接圆于D ，连DA 、DB ，则DA ⊥AC ，BD ⊥BC ，又AH ⊥BC ，BH ⊥AC ．所以DA ∥BH ，BD ∥AH ，从而四边形DAHB 为平行四边形。又显然DB =2OM ，所以AH =2OM ．

同理可证 BH =2ON ，CH =2OK ．证毕．

3．提示：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心，作出

六边形O 1PO 2QO 3S 后再由外心性质可知∠PO 1S =2∠A ，∠QO 2P =2∠B ，∠SO 3Q =2∠C .

∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°.从而又知∠O 1PO 2+∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360° 将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△O 2PO 1， 同时可得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3.∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=1

2∠O 2O 1K

=12 (∠O 2O 1S +∠SO 1K )= 12 (∠O 2O 1S +∠PO 1O 2)= 1

2

∠PO 1S =∠A ； 同理有∠O 1O 2O 3=∠B .故△O 1O 2O 3∽△ABC .

4．提示：将△ABC 简记为△，由三中线AD ，BE ，CF 围成的三角形简记为△'.G 为重心，连

DE 到H ，使EH =DE ，连HC ，HF ，则△'就是△HCF . (1)a 2，b 2，c 2成等差数列?△∽△'.若△ABC 为正三角形，易证△∽△'.不妨设a ≥b ≥c ，有

CF =

2222221c b a -+，BE =2222221b a c -+，AD =222222

1a c b -+. 将a 2

+c 2

=2b 2

，分别代入以上三式，得CF =

a 23，BE =

b 23，AD =

c 2

3

. ∴CF :BE :AD =

a 23:

b 23:

c 2

3

=a :b :c . 故有△∽△′. (2)△∽△′?a 2

，b 2

，c 2

成等差数列.当△中a ≥b ≥c 时， △′中CF ≥BE ≥AD .∵△∽△′，∴

?

?S S '＝(a CF )2

.

据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的

43

”，有??S S '=4

3. ∴22a

CF =43?3a 2=4CF 2=2a 2+b 2-c 2?a 2+c 2=2b 2

.

C

5.证明 连接AC ，CE ，EA ，由已知可证AD ，CF ，EB 是△ACE 的三条内角平分线，I 为△ACE 的内心.从而有ID =CD =DE ，IF =EF =FA ，IB =AB =BC . 再由△BDF ，易证BP ，DQ ，FS 是它的三条高，I 是它的垂心，利用 不

等式有：

BI +DI +FI ≥2·(IP +IQ +IS ). 不难证明IE =2IP ，IA =2IQ ，IC =2IS .

∴BI +DI +FI ≥IA +IE +IC . ∴AB +BC +CD +DE +EF +FA =2(BI +DI +FI )

≥(IA +IE +IC )+(BI +DI +FI )=AD +BE +CF .

I 就是一点两心.

6．提示：设AM 为高亦为中线，取AC 中点 F ，E 必在DF 上且DE :EF =2:1.设

CD 交AM 于G ，G 必为△ABC 重心.

连GE ，MF ，MF 交DC 于K .易证： DG :GK =31

DC :(

3

1

21-)DC =2:1. ∴DG :GK =DE :EF ?GE ∥MF . ∵OD 丄AB ，MF ∥AB ，

∴OD 丄MF ?OD 丄GE .但OG 丄DE ?G 又是△ODE 之垂心. 易证OE 丄CD .

7．提示：辅助线如图所示，作∠DAO 平分线交BC 于K . 易证△AID ≌△AIB ≌△EIB ，

∠AID =∠AIB =∠EIB .

利用内心张角公式，有 ∠AIB =90°+1

2

∠C =105°，

∴∠DIE =360°-105°×3=45°. ∵∠AKB =30°+12∠DAO =30°+1

2

(∠BAC -∠

BAO )=30°+12 (∠BAC -60°)=12

∠BAC =∠BAI =∠BEI .

∴AK ∥IE . 由等腰△AOD 可知DO 丄AK ，∴DO 丄IE ，即DF 是△DIE 的一条高.

同理EO 是△DIE 之垂心，OI 丄DE .由∠DIE =∠IDO ，易知OI =DE .

习题17解答

1． B ；2．A ；3．A ；4．C ；5．选B ，只有（3）是对的；

Erdos ..

I P A B C

D

E

F

Q

S

A B

C

D E F O

K

G

O A

B

C

D

E

F

I K

30°