《解方程》典型例题
《解方程》典型例题
例1 解方程:89210+-=+-x x
例2 解方程:)2(3)3(2+=-x x
例3 解方程:7722121-=--
x x
例4 解方程:
6233)5(54--+=--+x x x x
例5 解方程:
5303.02.05.05.01.24.0=--+x x
例6 下面解题过程正确吗?如果正确,请指出每一步的依据;如果不正确,请指出错在哪里,并给出正确的解答.
(1)解方程4
13x x += 两边都乘以12,得 134=-x x ∴1=x (2)解方程83243212
x x --+= 去分母,得 x x 326220--+=
移项,得 202623--=-x x
合并同类项,得 16-=x
例7 如果一个正整数的2倍加上18等于这个正整数与3之和的n 倍,试求正整数n 的值.
例8 解方程234=-+-x x
例9 解方程.132=-+-x x
参考答案
例1 分析 这个方程可以先移项,再合并同类项.
解 移项,得.28910-=+-x x
合并同类项,得6=-x
把系数化为1,得6-=x
说明:初学解方程者应该进行检验,就是把求得的方程的解代入原方程中,看方程的左右两边是否相等,如果相等则是方程的解,否则就不是方程的解.则说明我们的解题过程有误.当熟练之后可以不进行检验,以后我们会知道一元二次方程不会产生增根.
例2 分析 这个方程含有括号,我们应先去掉括号,然后再进行合并同类项等.
解 去括号,得.6362+=-x x
移项,得6632+=-x x
合并同类项,得12=-x
把系数化为1,得.12-=x
说明:在去括号时要注意符号的变化,同时还应该注意要用括号前的数去乘括号内的每一项,避免出现漏乘的现象.
例3 分析 该方程中含有分母,一般我们是要先去掉分母,然后再按其他步骤进行.
解 去分母,得217)2(3)2(21?-?=--x x
去括号,得1476221-=+-x x
移项,得2211476---=--x x
合并同类项,得1707-=-x
把系数化为1,得.7
224=x 说明:初学者在去括号时,如果分子是两项的,应该用括号把分子括上以避免出现符号的错误.
例4 分析 在这个方程中既有括号又有分母,先做哪一步这应因题而定.
解 去分母,得)2(5)3(10)5(30)4(6--+=--+x x x x
去括号,得105301015030246+-+=+-+x x x x
移项,得150241*********--+=+--x x x x
合并同类项,得13429-=-x
把系数化为1,得.29
184=x 说明:要灵活应用解方程的步骤,在熟练之后这些解方程的步骤可以省略不写.
例5 分析 在这个方程中既有小数又有分数,一般是先把分子分母中的小数都化成整数再进行计算.
解 原方程可化为:5
3320505214=--+x x 去分母,得9)2050(5)214(3=--+x x
去括号,得91002506312=+-+x x
移项并合并同类项,得196112=x
把系数化为1,得4
31=x 说明:在解方程时解方程的步骤可以灵活使用,如在去括号后发现项比较多时,并有同类项可以合并,也可以先合并一次同类项然后再移项.
例6 分析 第(1)小题方程中有两项有分母,另一项没有分母,在去分母时应注意不要漏
乘没有分母的项.
第(2)小题的各项,尤其是右边两项比较复杂,去分母时必须小心谨慎,防止出错.
解 (1)错,错在去分母时漏乘了方程中间的“1”,正确解答如下: 去分母,得 x x 3124+=
移项 12 1234==-x x x
(2)错,错在将方程的两边乘以8后,8
32x --这一项应化为)32(x --而不
是x 32--,正确解答如下:
去分母,得 )32()3(220x x --+=
去括号,得 x x 326220+-+=
移项,得 5
16 165=-=-x x 说明 对于比较复杂的方程,求出解后要检验一下看是不是原方程的解,这样有利于减少解方程的错误.
在解方程的过程中,认真、细致是解题的关键.
例7 解 设已知的正整数为a ,依题意得
)3(182+=+a n a ,
即n a n 318)2(-=-, ∴.2
)6(3--=n n a 因为a 和n 都是正整数,所以.62< 当3=n 时,9=a , 36)39(31892=+?=+?; 当4=n 时,3=a , 24)33(41832=+?=+?; 当5=n 时,1=a , .20)31(51812=+?=+? 答:3=n ,或4=n ,或.5=n 说明: 本例的解法用到了分类讨论. 例8 分析 对于4-x 来说,当4>x 时,44-=-x x ,当4 注意到以上情况,是因为我们感到只有把题目中的绝对值符号去掉,才能解 出方程.因此,对本题,可以分为434≤≤>x x 、 和3 解 当4>x 时,原方程可化为2)3()4(=-+-x x , 解得.2 9=x 当43≤≤x 时,原方程可化为2)3()4(=-+-x x , 这个方程无解. 当3 5=x 所以,原方程的解是29=x ,或.2 5=x 说明:①从上面解题过程可以看出,带绝对值符号的方程,可以转化为不带绝对值符号的方程来解,而分类思想是实现这样的转化的法宝. ②上面解题过程有读者不易察觉的一步,这就是检验.本题检验的具体做法 是:在以4>x 为前提,求得29= x 之后,要看一看2 9是否与4>x 相符.在以3 例9 分析 对这类方程的常规解法,用分类讨论去绝对值. 从绝对值的几何意义出发,2-x 和3-x 分别表示数轴上表示x 的点到表示2的点与表示3的点之间的距离. 如图所示,设数轴上表示2的点为A ,表示3的点为B ,那么示x 的点不会在点A 的左边或点B 的右边. 解 方程132=-+-x x 的几何意义是数轴上表示x 的点到表示2的点的距离与表示3的点的距离之和为1. 设数轴上表示2的点为A,表示3的点为B,则线段AB上的点都符合要求,线段AB之外的点均不符合要求. 所以,这个方程的解是3 ≤x. 2≤ 说明:从解方程来说,上面解法并不很重要,但从体会数学中的数形结合思想来说,则值得同学们拍案叫绝.这也是解不定方程的实例. 课时八:列方程解应用题1 教学内容:数学书P60例3、及61页的做一做,练习十一的第8题。 教学目标: 1、初步学会如何利用方程来解答问题的基本方法和解题步骤,能够正确地列方程解答比较容易的问题。 2、进一步提高学生分析数量关系的能力。 教学重点:掌握列方程解决问题的一般步骤。 教学难点:找题中的等量关系,并根据等量关系列出方程。教学过程: 一、复习导入 1、先列出方程,再解方程: 比x多5.7的数是10 x减3.4的差是7.6 2、看图列方程,并求出方程的解 X 20 60 100千克 23.5千克 X千克 学习方程的目的是为了利用方程解决生活中的问题,这节课就来学习如何用方程来解决问题。板书:解决问题。 二、新知学习。 1、教学例3. (1)出示题目。(课件) 出示洪泽湖的图片,介绍到:洪泽湖是我国五大淡水湖之一,位于江苏西部淮河下游,风景优美,物产丰富。但每当上游的洪水来临时,湖水猛涨,给湖泊周围的人民的生命财产带来了危险。因此,密切注视水位的变化情况,保证大坝的安全十分重要,如果湖水到了警戒水位的高度,就要引起高度警惕,超出警戒水位越多,大坝的危险就越大。下面,我们来就来看一则有关大坝水位的新闻。谁来 当主持人,为大家播报一下。 “今天上午8时,洪泽湖蒋坝水位达14.14m,超过警戒水位0.64m.” (2)分析,解题。 根据刚才所了解的信息,这个问题中有哪几个关键的数量呢?警戒水位、今日水位、超出部分。它们之间有哪些数量关系呢?(板) 警戒水位+超出部分=今日水位① 今日水位—警戒水位=超出部分② 今日水位—超出部分=警戒水位③ 同学们能解决这个问题吗? 学生独立用算术方法解决问题。 (3)学习(如何用方程来解决本题。) 师:这题我们还可以用方程的方法来解决,由于警戒水位是未知数,可以设它为比X米,再列出方程解答。 学生尝试独立列方程。 学生展示,学生列出的方程可能有:① x+0.64=14.14②14.14﹣x= 0.64 ③14.14﹣0.64= x 每一种方法,都需要学生说出是根据什么列出的方程。比较交流各种方程的利弊。 师生共同解决问题,板书 解:设警戒水位为x米,得: x+0.64=14.14 x=14.14-0.64 x=13.5 答:警戒水位为13.5米. 小结:在解决问题中,我们是怎样来列方程的?将未知数设为x,再根据题中的等量关系列出方程。列方程解应用题的基本步骤, 1、弄清题意,找出未知数,并用x表示; 2、找出题目中数量之间的相等关系,列出方程; 3、解方程; 4、检验,写出答。 高考数学-指数函数图像和性质及经典例题 【基础知识回顾】 一、指数公式部分 有理指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>; (3)s r r a a a b =)( ),0,0(Q r b a ∈>>. 正数的分数指数幂的意义 )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 二、指数函数 1.指数函数的概念:一般地,函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 2.指数函数的图象和性质 1.在同一坐标系中画出下列函数的图象: (1)x )31(y = (2)x )2 1 (y = (3)x 2y = (4)x 3y = (5)x 5y = 【指数函数性质应用经典例题】 例1.设a 是实数, 2 ()()21 x f x a x R =- ∈+,试证明:对于任意,()a f x 在R 上为增函数. 证明:设1212,,x x R x x ∈<,则 12()()f x f x -12 22()()2121 x x a a =- --++ 21222121 x x = - ++ 121 22(22)(21)(21) x x x x -=++, 由于指数函数2x y =在R 上是增函数, 且12x x <, 所以1222x x < 即1 2220x x -<, 又由20x >, 得1 1 20x +>,2120x +>, ∴12()()0f x f x -< 即12()()f x f x <, 所以,对于任意,()a f x 在R 上为增函数. 例2.已知函数2 ()1 x x f x a x -=+ +(1)a >, 求证:(1)函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数;(2)方程()0f x =没有负数根. 六年级解方程练习题1 加数+加数=和 一个加数=和-另一个加数 因数×因数=积 一个因数=积÷另一个因数 被减数-减数=差 被减数=差+减数 减数=被减数-差 被除数÷除数=商 被除数=商×除数 除数=被除数÷商 类型一: 4.1236.20=+x x -52=10 3 练习一: 1、解方程 250100=+x 42.1=+x 9.67.2=+x 3.27.2=-x 5.175.33=-x 153.12=+x 83+x =5 2 6324=-x 4.28.1=-x 类型二: 4.83=x 3.07=÷x 107x =25 14 例2、一个数x 的13倍是364,求这个数? 练习二: 1、解方程 1266=x 3.65.0=x 188.1=÷x x ×53=20×41 x ÷ 356=4526×25 13 7.234=÷x 4.66.1=x 9 5x =10 31.1=÷x 类型三: 3x +5=50 4x -27=29 5x ÷2=10 4x -3 ×9 = 29 例3:一个长方形的周长是10.8厘米,长是4厘米,这个长方形的宽是多少厘米? 练习3: 1、解方程 5147=÷x 4202=-x 42318=+x 4.539=÷x 2x + 25 = 35 25% + 10x = 54 78414=+x 32x ÷4 1=12 4x -3 ×9 = 29 (1)红光小学有女教师57人,比男教师的3倍还多9人。红光小学有男教师多少人? 类型四: 554=+x x 6 x -x =20 70%x + 20%x = 3.6 2x -32x =4 3 练习四: 1、解方程 x - 27 x =43 270615=-x x 169619=-x x 54x +52x =2 1 x +87x =43 25.36.3=-x x 2.164.04.9=-x x 2.94389=-x x x -52x =10 3 2、用方程解应用题 (1)果园里有桃树和梨树一共180棵,梨树的棵树是桃树的3倍。桃树和梨树各有多少棵? (2)小明的爸爸比小明大26岁,当爸爸的年龄是小明年龄的4.25倍时,小明是多少岁? 类型五:416=÷x 416=-x 8)6.2(2=-x 6(46)14x x +-= 453(2)3x x ---= 练习五: 1、解方程 5.72.34=-x 54)3(87=--x 57572=-x 4(55)14x x ++= 7(43)6x x -+= 510=÷x 8568=÷x 126.037.0=+÷x 138(103)34x x -+-= 55%(0.250.6)0.6x x -+= 350%(30)35x x +-= 5121() 6.46256x x --= 42(20)60x x +-= 13(25)172x x -+-= 一.定义型 例1. 已知函数是一次函数,求其解析式。 解:由一次函数定义知 , ,故一次函数的解析式为y=-6x+3。 注意:利用定义求一次函数y=kx+b解析式时,要保证k≠0。如本例中应保证m-3≠0。 二. 点斜型 例2. 已知一次函数y=kx-3的图像过点(2, -1),求这个函数的解析式。 解:一次函数的图像过点(2, -1), ,即k=1。故这个一次函数的解析式为y=x-3。 变式问法:已知一次函数y=kx-3 ,当x=2时,y=-1,求这个函数的解析式。 三. 两点型 例3.已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是(-2, 0)、(0, 4),则这个函数的解析式为_____。 解:设一次函数解析式为y=kx+b,由题意得 ,故这个一次函数的解析式为y=2x+4 四. 图像型 例4. 已知某个一次函数的图像如图所示,则该函数的解析式为__________。 解:设一次函数解析式为y=kx+b由图可知一次函数的图像过点(1, 0)、(0, 2) 有故这个一次函数的解析式为y=-2x+2 五. 斜截型 例5. 已知直线y=kx+b与直线y=-2x平行,且在y轴上的截距为2,则直线的解析式为___________。 解析:两条直线;。当k1=k2,b1≠b2时, 直线y=kx+b与直线y=-2x平行,。 又直线y=kx+b在y轴上的截距为2,故直线的解析式为y=-2x+2 六. 平移型 例6. 把直线y=2x+1向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。 解析:设函数解析式为 y=kx+b, 直线y=2x+1向下平移2个单位得到的直线y=kx+b与直线y=2x+1平行 直线y=kx+b在y轴上的截距为 b=1-2=-1,故图像解析式为 七. 实际应用型 例7. 某油箱中存油20升,油从管道中匀速流出,流速为0.2升/分钟,则油箱中剩油量Q(升)与流出时间t(分钟)的函数关系式为___________。 解:由题意得Q=20-0.2t ,即Q=-0.2t+20 故所求函数的解析式为 Q=-0.2t+20()注意:求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。 八. 面积型 例8. 已知直线y=kx-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4,则直线解析式为__________。 解:易求得直线与x轴交点为,所以,所以|k|=2 ,即 故直线解析式为y=2x-4或y=-2x-4 九. 对称型 若直线与直线y=kx+b关于 (1)x轴对称,则直线的解析式为y=-kx-b (2)y轴对称,则直线的解析式为y=-kx+b (3)直线y=x对称,则直线的解析式为 (4)直线y=-x对称,则直线的解析式为 (5)原点对称,则直线的解析式为y=kx-b 例9. 若直线l与直线y=2x-1关于y轴对称,则直线l的解析式为____________。 解:由(2)得直线l的解析式为y=-2x-1 十. 开放型 例10. 已知函数的图像过点A(1, 4),B(2, 2)两点,请写出满足上述条件的两个不同的函数解析式,并简要说明解答过程。 解:(1)若经过A、B两点的函数图像是直线,由两点式易得y=-2x+6 (2)由于A、B两点的横、纵坐标的积都等于4,所以经过A、B两点的函数图像还可以 是双曲线,解析式为 (3)其它(略) 指数函数及其基本性质 指数函数的定义 一般地,函数()10≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是R . 问题:指数函数定义中,为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况? (1)若a<0会有什么问题?(如2 1 ,2= -=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在) (2)若a=0会有什么问题?(对于0≤x ,x a 无意义) (3)若 a=1又会怎么样?(1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.) 师:为了避免上述各种情况的发生,所以规定0>a 且 1≠a . 指数函数的图像及性质 函数值的分布情况如下: 指数函数平移问题(引导学生作图理解) 用计算机作出的图像,并在同一坐标系下作出下列函数的图象,并指出它们与指数函数y =x 2的图象的关系(作图略), ⑴y =1 2+x 与y =2 2+x . ⑵y =12 -x 与y =2 2 -x . f (x )的图象 向左平移a 个单位得到f (x +a )的图象; 向右平移a 个单位得到f (x -a )的图象; 向上平移a 个单位得到f (x )+a 的图象; 向下平移a 个单位得到f (x )-a 的图象. 指数函数·经典例题解析 (重在解题方法) 【例1】求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 12x ===-+---213321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2.值域y >0且y ≠1. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为y ≥0. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<.0y 3 及时演练求下列函数的定义域与值域 (1)4 12-=x y ; (2)|| 2()3 x y =; (3)1241++=+x x y ; 【例2】指数函数y =a x ,y =b x ,y =c x ,y =d x 的图像如图2.6-2所示,则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A .a <b <1<c <d B .a <b <1<d <c C . b <a <1<d <c D .c <d <1<a <b 解 选(c),在x 轴上任取一点(x ,0),则得b <a <1<d <c . 及时演练 第一类、解简易方程(并检验) X + 32 = 76 X - 20 = 0 7X = 49 3X + 6 = 18 X ÷ 6 = 12 16 + 8X = 40 4X - 4×5 = 0 65X - 5×6 = 100 2(X + 3)= 10 15(X - 5)= 45 12(X - 1)= 24 42X + 28X = 140 19X + X = 40 2X + 8X + X = 11 80 ÷ 5X = 100 25 - 5X = 15 2 6x-3.6=8x 20×0.04+3.6x=1.52 2(X÷4)=0.8 3x+6=18 7.8x-2.4x =1.86 4x -3×9=29 (X-3)÷2=7.5 2x-0.24=1.2 3.6x+ 4.5x =56.7 4.5×6 +4x=41 13(X+5)= 169 (二)先写出数量关系式再列方程解应用题 1、小明去买商店衣服,优惠了38元,现价是75元,原价多少钱?等量关系式: 解:设列式: 2、明明有34张邮票,比亮亮的少3张,亮亮有多少张邮票? 等量关系式: 解:设列式: 3、每平方米阔叶林每天能制造75克氧气,是每平方米草地每天制造氧气的5倍,每平方米草地每天制造氧气多少克? 等量关系式:解:设列式: 《简易方程》练习题 一、1、爸爸比小红大3岁,小红a岁时爸爸的年龄是___________岁。 2、在月球上,人能举起物体的质量是地面上的6倍。一位同学在地球上能举起a千克的物体,在月球上他能举起___________的物体。 3叔叔每天投报a份,阿姨每天投报b份。(1)他们每天共投报几份,30天共投报__份。 (2)当a=60,b=75时,用第(1)天题中的式子,计算他们30天的总数。()4、(1)一天早晨的温度是b摄氏度,中午比早晨高8摄氏度。b+8表示____________________。(2)某班共有50名学生,女生有50-c,这里的c表示____________________。 5、小林的玻璃球是小明的2倍,要是小林给小明3颗,他们俩就一样多了,小林有( )颗玻璃球,小明有()颗玻璃球。 二、解方程并检验 2(5x-9)=1.8 8.4-0.32x=1.6 函数概念及其表示---典例分析 例1.下列各组函数中,表示同一函数的是( C ). 选题理由:函数三要素。 A. 1,x y y x == B. 11,y x y = += C. ,y x y == D. 2||,y x y == 点评:有利于理解函数概念,强化函数的三要素。 变式: 1.函数f (x )= 2(1)x x x ??+? ,0,0x x ≥< ,则(2)f -=( ). A. 1 B .2 C. 3 D. 4 例2.集合{}22M x x =-≤≤,{}02N y y =≤≤,给出下列四个图形,其中能表示以M 为定义域,N 为值域的函数关系的是( B ). 选题理由:更好的帮助学生理解函数概念,同时也体现函数的重要表示法图像法,图形法是数形结合思想应用的前提。 变式: 1.下列四个图象中,不是函数图象的是(B ). 2.设集合A ={x |0≤x ≤6},B ={y |0≤y ≤2},从A 到B 的对应法则f 不是映射的是( ). A. f :x →y = 1 2x B. f :x →y = 1 3x C. f :x →y =1 4x D. f :x →y =1 6 x A. B. C. D. 函数的表达式及定义域—典例分析 【例1】 求下列函数的定义域: (1)1 21 y x = +-;(2 )y = . 选题理由:考查函数三要素,定义域是函数的灵魂。 解:(1)由210x +-≠,解得1x ≠-且3x ≠-, 所以原函数定义域为(,3)(3,1)(1,)-∞----+∞. (2 )由30 20 x -≥??≠,解得3x ≥且9x ≠, 所以原函数定义域为[3,9)(9,)+∞. 选题理由:函数的重要表示法,解析式法。 变式: 1 .函数y =的定义域为( ). A. (,1]-∞ B. (,2]-∞ C. 11(,)(,1]22-∞-- D. 1 1(,) (,1]2 2 -∞-- 2.已知函数()f x 的定义域为[1,2)-,则(1)f x -的定义域为( ). A .[1,2)- B .[0,2)- C .[0,3)- D .[2,1)- 【例2】已知函数1( )1x f x x -=+. 求: (1)(2)f 的值; (2)()f x 的表达式 解:(1)由121x x -=+,解得13x =-,所以1 (2)3f =-. (2)设11x t x -=+,解得11t x t -= +,所以1()1t f t t -=+,即1()1x f x x -=+. 点评:此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出,称为抽象函数的研究,常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等. 变式: 1.已知()f x =2x +x +1,则f =______;f [(2)f ]=______. 2.已知2(21)2f x x x +=-,则(3)f = . 【例 2】 已知f (x )=33x x -+?? (,1) (1,)x x ∈-∞∈+∞,求f [f (0)]的值. 选题理由:分段函数生活重要函数,是考察重点。 解:∵ 0(,1)∈-∞ , ∴ f 又 ∵ >1, ∴ f )3)-3=2+ 12=52,即f [f (0)]=5 2 . 点评:体现了分类讨论思想。 2.某同学从家里到学校,为了不迟到,先跑,跑累了再走余下的路,设在途中花的时间为 t ,离开家里的路程为d ,下面图形中,能反映该同学的行程的是( ). 列方程解应用题 ①弄清题意,找出已知条件和所求问题; ②依题意确定等量关系,设未知数x;③根据等量关系列出方程; ⑤检验,写出答案。 2支铅笔和3本练习本,一共用了3.9元钱,每支铅笔0.6元, 每本练习本多少元? 【例2】两数相除,商4余8,被除数、除数、商、余数之和等于415,则被除数是多少? 【例3】王师傅一天生产的零件比他的徒弟一天生产的零件多128个,且是 徒弟的3倍。师徒二人一天各生产多少个零件? 【例4】小军和他爸爸今年的年龄之和是42岁,年龄之差是26岁。小军与他爸爸今年各多少岁?【例5】某小卖部有啤酒200瓶,汽水132瓶,每天卖出去啤酒和汽水各14瓶,几天后剩下的啤酒是汽水的3倍? 【例6】甲班51人,乙班49人,某次考试两个班全体同学的平均成绩是81分,乙班的平均成绩要比甲班的平均成绩高7分,那么乙班的平均成绩是多少分? 【例7】一批小朋友去买东西,若每人出10元则多8元;若每人出7元则少4元。问:有多少个小朋友?东西的价格是多少? 【例8】松鼠采松籽,晴天每天采20个,雨天每天只能采12个,它一连几天共采了112个松籽,平均每天采14个,那么这几天中共有几天是雨天? 【例9】A、B两村相距2800米,小明从A村出发步行5分钟后,小军骑车从B村出发,又经过10分钟两人相遇。已知小军骑车比小明每分钟多行160米,小明步行速度是每分钟多少米? 筐正好装完。现在每筐装多少千克? 2、甲、乙两数的和是41.36,如果甲数的小数点向右移动一位就等于乙数,则乙数 是多少? 3、小明买了两本书,故事书的页数比科技书的页数多36页,且故事书的页数是科技书的3倍多4页,故事书和科技书各有多少页? 4、三年级一班有学生49人,其中女生比男生少5人。这个班男、女生各多少人? 5、甲仓存粮32吨,乙仓存粮57吨,甲仓每天存入4吨,乙仓每天存入9吨,多少天后乙仓存粮是甲仓的2倍。7、王老师去买儿童小提琴,若买7把,则所带的钱差110元,若买5把,则所带的钱还差30元。问:儿童小提琴多少钱一把?王老师带了多少钱? 8、学校数学竞赛,共10道题,每做对一道得10分,每做错一题倒扣2分,小明得了64分,他做错了几道题? 9、客货两列火车同时从甲、乙两地相对开出,5小时后相遇,两地相距770千米,已知客车速度是货车速度的1.2倍,那么客车速度是多少千米?货车速度是多少千米? 实用标准 指数函数·例题解析 第一课时 【例1】(基础题)求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 1 2x ===-+---213321x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}.值域{y|y >0且y ≠1}. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为{|y|y ≥0}. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<.0y 3 1.指数函数Y=ax (a>0且a ≠1)的定义域是R ,值域是(0,+∞) 2. 求定义域的几个原则:①含根式(被开方数不为负)②含分式,分母不为0③形如a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x ≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围) 【例2】(基础题)指数函数y=a x,y=b x,y=c x,y=d x的图像如图2.6-2所示,则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A.a<b<1<c<d B.a<b<1<d<c C.b<a<1<d<c D.c<d<1<a<b 解选(c),在x轴上任取一点(x,0),则得b<a<1<d<c. 【例3】(基础题)比较大小: (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是:. 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵,,,,,函数=,>,该函数在-∞,+∞上是增函数,又<<<<,∴<<<<.22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 人教版六年级解方程及解比例练习题 解比例: x:10=41:31 0.4:x=1.2:2 4.212=x 3 21:51=41:x 0.8:4=x:8 4 3 :x=3:12 1.25:0.25=x:1.6 92=x 8 x 36=3 54 x: 32=6: 2524 x 5.4=2 .26 45:x=18:26 2.8:4.2=x:9.6 101:x=81:4 1 2.8:4.2=x:9.6 x:24= 43:31 8:x=54:43 85:61=x: 12 1 0.6∶4=2.4∶x 6∶x =15∶13 0.612=1.5x 34∶12=x ∶45 1112∶45=2536∶x x ∶114=0.7∶1 2 10∶50=x ∶40 1.3∶x =5.2∶20 x ∶3.6=6∶18 13∶120=169∶ x 4.60.2=8x 38=x 64 解方程 X - 27 X=4 3 2X + 25 = 35 70%X + 20%X = 3.6 X ×53=20×41 25% + 10X = 54 X - 15%X = 68 X +83X =121 5X -3×215=75 32X ÷4 1 =12 6X +5 =13.4 834143=+X 3X=83 X ÷7 2 = 167 X +87X=43 4X -6×3 2 =2 125 ÷X=310 53 X = 7225 98 X = 61×5116 X ÷ 356=4526×2513 4x -3 ×9 = 29 21x + 6 1 x = 4 103X -21×32=4 204 1 =+x x 8)6.2(2=-x 6X +5 =13.4 25 X-13 X=3 10 4χ-6=38 5X= 1915 218X=154 X ÷54=2815 32X ÷41=12 53X=7225 98X=61×51 16 X ÷356=4526÷2513 X-0.25=41 4 X =30% 4+0.7X=102 32X+21X=42 X+4 1 X=105 X-83X=400 X-0.125X=8 X 36 = 4 3 X+37 X=18 X ×( 16 + 38 )=1312 x -0.375x=65 x ×3 2+2 1=4×8 3 X -7 3X =12 5 X -2.4×5=8 0.36×5- 34 x = 35 23 (x- 4.5) = 7 1 2 x- 25%x = 10 x- 0.8x = 16+6 20 x – 8.5= 1.5 x- 4 5 x -4= 21 X +25%X=90 X -37 X= 89 X - 27 X=43 2X + 25 = 35 70%X + 20%X = 3.6 X ×53 =20 ×41 25% + 10X = 54 X - 15%X = 68 X +83 X =121 5X -3×215=75 32X ÷41 =12 6X +5 =13.4 83 4143=+X 3X=83 X ÷72=167 X +87X=43 4X -6×3 2 =2 125 ÷ 列方程解应用题训练 1.某商店出售甲、乙两种成衣,其中甲种成衣卖价120元盈利20% ,乙种成衣卖价也是 120元但亏损20% ,问该商店在本次销售中实际上是盈还是亏,盈或亏多少钱 2.甲、乙两人分别在相距50km的地方同向出发,乙在甲的前面,甲每小时走16km,乙每小时走18km,如果乙先走1小时,问甲走多少时间后,两个人相距70km 3.某中学组织七年级学生春游,如果租用45座的客车,则有15个人没有座位,如果租用同样数量的60座的客车,则除多出一辆外,其余车恰好坐满。已知租用45座的客车每日租金为每辆车250元,60座的车每日租金每辆300元,问租用哪种客车更合算租几辆车 4.某商店的冰箱先按原价提高40% ,然后在广告中写上大酬宾八折优惠,结果每台冰箱反而多赚了270元,试问冰箱的原标价是多少元现售价是多少元 5.某种商品的进价为100元,若要使利润率达20% ,则该商品的销售价格应为多少元此时每件商品可获利润多少元 6.某商品的进价是1000元,标价为1500元,商店要求以利润率不低于5% 的售价打折出售,售票员最低可以打几折出售此商品 7.某车间有60名工人,生产某种由一个螺栓与两个螺母为一套的配套产品,每人每天平均生产螺栓14个或螺母20个,问应分配多少人生产螺母,多少人生产螺栓,才能使每天生产出的螺栓与螺母恰好配套 8.A、B两地相距60km,甲乙两人分别从A、B两地骑车出发,相向而行,甲比乙迟出发20min,每小时比乙多行3km ,在甲出发后1h40min ,两人相遇,问甲乙两人每小时各行多少km 9.要加工200个零件,甲先单独加工了5小时,然后又与乙一起加工了4小时,完成了任务 已知甲每小时比乙多加工2个零件,求甲、乙两人每小时各加工多少个零件 10.一件工作,甲单独完成需小时, 乙单独完成需5小时,先由甲、乙两人合做1小时,再由乙单独完成剩余任务,共需多少小时完成任务8列方程解应用题1
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