数学专业英语 翻译 2.7.序列及其极限

[序列及其极限]

7-A 序列定义

日常英语中，词“sequence”和“series”是同义词，它们用来表示按某种顺序排列的一连串东西或事件。在数学上，这两个词有特殊专业含义，如通常用法一样，术语“sequence”表示按顺序排列的一串东西，而词“series”用于某种不同的意思。在这节讨论序列概念，而级数将在第十一节定义。

如果对于每个正整数n都存在一个实数或复数a n与之对应，则有序集a1,a2,…a n,…称为无穷序列。这里重要的是，集合中的每一个元素都用正整数来标记，因此我们可以说，第一项a1，第二项a2，一般地，第n项a n。每一项a n都有下一项a n+1，因此没有“最后”一项。

序列最常用的例子是，给定某种规则或公式来描述第n项。因此，例如，公式a n=1/n定义了一个序列，它的前五项是：1，1/2，1/3，1/4,1/5.有时可以使用两个或更多的公式，例如，a2n-1=1，a2n=2n2，在这种情况下，前几项是：1,2,1,8,1,18,1,32,1.

另一种通常定义序列的方法是：通过一串指令说明在给定初始项后如何得到后面的项。因此我们有，对n≥2，a1=a2=1，a n+1=a n+a n-1。

这个特殊规则就是常见的递推公式，它定义了一个著名的称为Fibonacci数的序列，前几项是1，1，2，3，5，8，13，21，34.

对任一序列，本质的问题是存在某个定义在正整数上的函数f 使得对每一个n =1,2,3,…f (n )是序列的第n 项。事实上，这可能是陈述序列专业定义最方便的方法。

定义：定义域是所有正整数1,2,3，…的函数称为无穷序列。函数值f (n )称为序列的第n 项。

函数的值域（即函数值集合）通常是按顺序书写各项来表示，因此：f (1)， f (2)， f (3)，…f (n )，….

为简略起见，记号{f (n )}通常用于表示第n 项是f (n )的序列，序列各项对n 的相关性常常通过利用下标来表示，我们可以写为a n , s n , x n , u n ,或者类似的东西来替代f (n )。除非特别声明，本章所有序列都假设具有实的或复的项。

7B 序列极限

这里，我们最关心的问题是决定当n 无限增加时，项f (n )是否会趋于一个有限的极限。要处理这个问题，我们必须将极限概念推广到序列。做法如下：

定义：说序列{f (n )}有极限L ，如果对每一的正数ε都存在另一个正数N （可能依赖于ε）使得对所有的n ≥N 有| f (n )-L |<ε.在这种情况下，我们说序列{f (n )}收敛到L ，记为

lim (),,()n f n L n f n L →∞

=→∞→或者当时. 不收敛的序列称为发散。

在这个定义中，函数值f (n )和极限L 可以是实数或者复数。如果f (n )和L 是复数，我们可将它们分解成实部和虚部，记为

f=u+iv , L=a+ib , 则有f (n )-L = u (n )- a+i [v (n )-b ]. 不等式

()()()()u n a f n L v n b f n L -≤--≤-和

表明当,()()().n f n L u n a v n b →∞→→→时关系式推得和 反过来，不等式

()()+()f n L u n a v n b -≤--

表明当,()(),().n u n a v n b f n L →∞→→→当时和推得 换句话说，复值序列f 收敛当且仅当实部u 和虚部v 分别收敛，这是有 lim ()lim ()+i lim ()n n n f n u n v n →∞→∞→∞

=. 显然，对所有正实数x 有定义的函数都可以通过限制x 仅取正整数来构造序列，这表明，刚刚给出的定义与6.4节中作为更一般函数的定义之间十分类似。这种类似也可以推广到无穷极限，我们把定义记号

lim ()lim ()n n f n f n →∞→∞

=+∞=-∞和 留给读者，就像在6.5节当f 是实值时那样做，如果f 是复的，,(),n f n →∞→+∞当时若就记().f n →∞

术语“收敛序列”通常仅指极限为有限的序列，具有无限极限的序列称为发散。当然存在没有无限极限的发散序列，有下列公式定义的序列，就是例子，

21()(1),()sin ,()(1)1,().2n i n

n n f n f n f n f n e n ππ??=-==-+= ??? 作为讨论和、积等等的极限的基本规则对于收敛序列的极限也是成立的。读者自己公式化这些定理应该不会有困难，它们的证明有点类似于3.5节中给出的那些证明。