九年级比例线段知识点总结
九年级比例线段知识点总结
九年级数学学习的重要一环就是比例线段的知识。比例线段是
指两个线段的长度之间存在着相等的比例关系。在九年级，学生
需要通过掌握比例线段的相关知识来解决实际生活中的问题。本
文将对九年级比例线段知识点进行总结。
比例线段的定义和性质
首先，我们来了解比例线段的定义和性质。在图形中，如果两
条线段之间的长度比相等，那么我们可以说这两条线段是成比例的。具体来说，如果在线段AB和CD上，有一个点E使得AE：EB = CE：ED，我们就可以称AB与CD是成比例的。
比例线段的比例关系在数学中非常重要。根据比例线段的性质，我们可以推导出一些重要的结论。比如，如果一条线段被分割成
两个比例相等的部分，那么这条线段的两个部分与整条线段的比
例也相等。
比例线段的应用
在实际生活中，比例线段的知识广泛应用于各个领域。例如，我们可以通过比例线段的知识求解几何图形中的未知边长。当我们已知一个图形中的线段比例，而另一个线段的长度是未知的时候，我们可以通过比例关系来求解未知线段的长度。
另一个应用场景是地图测量。比例线段可以帮助我们计算实际地图上两点之间的距离。当我们知道地图上的一个距离与实际距离之间的比例关系时，我们可以通过比例线段来计算其他距离的实际值。
比例线段的运算
在九年级，我们也需要学习比例线段的运算。比例线段的运算包括两个方面：比例的乘法和比例的除法。
比例的乘法指的是，当我们已知两个比例线段相等的时候，我们可以将其相乘得到一个等于的比例。例如，如果线段AD与BC 成比例，而线段DE与EF也成比例，那么我们可以得到AD：BC = DE：EF，我们还可以得到AD：EF = BC：DE，这个过程叫做比例的乘法。
比例的除法就是比例的相除运算。当我们已知一个比例等于另
一个比例的乘积时，我们可以通过比例的相除运算，求得两个比
例相等的关系。例如，如果AD：BC = DE：EF，而AD与EF也
成比例，那么我们可以通过除法得到AD：EF = BC：DE。
比例线段的例题解析
接下来，我们看一些九年级比例线段的例题解析。
例题1：AB是三角形ABC中的底边，高CH到AB上。若AH：HB = 2：3，CH：HB = 5：1，求AH：CH的值。
解析：根据题目信息，我们可以知道AH：HB = 2：3，CH：
HB = 5：1。我们需要求的是AH：CH。根据比例线段的乘法，我
们可以得到：
AH：HB × CH：HB = AH：CH
将已知的比例代入，得到 2：3 × 5：1 = AH：CH
化简得到 10：3 = AH：CH，因此AH：CH = 10：3。
例题2：一根长5米的木棒分成了3段，前两段长度的比是3：7，后一段比前两段短2米。求前两段的长度。
解析：设前两段的长度为3x和7x，则第三段的长度为3x-2。
根据题目信息，我们可以列出等式：
3x + 7x + 3x - 2 = 5
化简得到 13x = 7
解方程可得 x = 7/13
所以，前两段的长度为 3 × 7/13 = 21/13 米和 7 × 7/13 = 49/13 米。
通过以上例题，我们可以看到，学习比例线段的知识不仅能够
帮助我们解决实际问题，而且能够锻炼我们的逻辑思维能力和解
题能力。
总结
九年级比例线段的知识是数学学习中的重要一环。掌握比例线段的定义、性质和运算规则，能够帮助我们解决实际生活中的问题，并为我们的思维和解题能力提供良好的训练。通过深入理解和应用比例线段的知识，我们可以提高数学能力，并且为将来学习更高级的数学知识打下坚实的基础。
比例线段知识点与练习题
第十八章 相似形——比例线段及相似知识点讲解 【知识点讲解】 一、比例线段 1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别是m ，n ，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成 n m b a = ,其中a 叫做比的前项;b 叫做比的后项。 2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 3.比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果 d c b a = ，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d 叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项． 4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b: c 或 c b b a =，那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项． 二、比例的性质： (1)比例的基本性质：bc ad d c b a =?= ac b c b b a =?=2 (2)反比性质： c d a b d c b a =?= (3)更比性质: 或 d b c a d c b a =?=或a c b d = (4)合比性质: d d c b b a d c b a ±= ±?= (5)等比性质: n m f e d c b a ====...且 b a n f d b m e c a n f d b =++++++++?≠++++......0...
比例线段练习 １、判断下列四条线段是否成比例 ① a=2，b=5,c=15，d=23； ② a=2，b=3, c=2，d=3； ③ a=4，b=6, c=5，d=10； ④ a=12，b=8, c=15，d=10 2、已知：ad=bc （1） 将其改写成比例式； （2） 写出所有以a ，d 为内项的比例式； （3） 写出使b 作为第四项比例项的比例式； （4）若 d b c a =；写出以c 作第四比例项的比例式； 3 、计算. (1)已知：x ∶y=5∶4，y ∶z=3∶7.求x ∶y ∶z. (2)已知：a ，b ，c 为三角形三边长，(a-c) ∶(c+b) ∶(c-b)=2∶7∶(-1)，周长为24.求三边长. 4 、在相同时刻的物高与影长成比例，如果一古塔在地面上影长为50m ，同时，高为1.5m 的测竿的影长为2.5m ，那么，古塔的高是多么米? 5、 EF BE CD AB = ，AB=10cm ，AD=2cm ，BC=7.2cm ，E 为BC 中点.求EF ，BF 的长. 6.(1)已知：x ：(x+1)=(1—x)：3，求x 。 (2)若2132=+-y x y x ，求x y (3) 若56=+b b a ，求 b a ，b b a - (4)若x 2-3xy+2y 2 =0,求x y 7．将比例式中的x 移到第四比例项，使比例式仍成立。 （1）a:b=x :c （2） x :a=b:c （3） a:x =b:c 8：若52===f e d c b a ，求f d ab e c a d b c a 43432,-+-+-- 练习：已知:4 1 :32:51::=z y x , 求 z y x z y x 5252+--+的值
九年级数学上册 1.1、比例线段知识要点 华东师大版
比例线段 知识要点 本节主要内容为线段的比、成比例线段、比例性质和黄金分割的概念. 在同一单位下，两条线段的长度比叫做这两条线段的比. ①概念：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段. ②比例线段中的相关概念 已知四条线段a、b、c、d，如果＝(a∶b＝c∶d)，那么a、b、c、d叫做组成比例的项.线段a、d叫做比例外项，线段b、c叫做比例内项，线段d叫做a、b、c的第四比例项. 如果作为比例内项是两条相同的线段，即＝(a∶b＝b∶c)，那么线段b叫做线段a、c的比例中项. 如果m n n p ，比例外项是；比例内项是；比例中项是。 ①比例基本性质：＝ad＝bc(bd≠0) ＝b2＝ac(bc≠0)②合比性质：＝＝
③等比性质：若＝＝……＝(b+d+…+n≠0) 则＝ 4.黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC，(AC＞BC)，且使AC是AB和BC的比例中线，叫做把线段AB黄金分割，C点叫做线段AB的黄金分割点. 1.请用表达式复述比例基本性质、合比性质、等比性质。 2.画出黄金分割图，并用表达式表示。 典型例题 例1已知3∶x＝8∶y，求 例2已知＝，求. 例3若＝，求
例4已知x∶y∶z＝１∶３∶５.求的值. 练习 一、填空题 1.若4x=5y,则x∶y＝ . 2.若＝＝，则∶ ＝ . 3.已知＝，则的值为 . 4.已知＝，那么＝ . 5.若＝＝＝3，且b+d+f＝4，则a+c+e＝ . 6.若(x+y)∶y＝8∶3，则x∶y＝ . 7.若＝，那么＝ . 8.等腰直角三角形中，一直角边与斜边的比是 . 9.已知△ABC和△A′B′C′，＝＝＝，且A′B′+B′C′+C′A′＝16cm.则AB+BC+AC＝ cm. 10.若a＝8cm，b＝6cm，c＝4cm，则a、b、c的第四比例项d＝ cm； a、c的比例中项x＝ cm. 二、选择题 1.已知x＝＝＝，则x的值是( )
九年级比例线段知识点总结
九年级比例线段知识点总结 九年级数学学习的重要一环就是比例线段的知识。比例线段是 指两个线段的长度之间存在着相等的比例关系。在九年级，学生 需要通过掌握比例线段的相关知识来解决实际生活中的问题。本 文将对九年级比例线段知识点进行总结。 比例线段的定义和性质 首先，我们来了解比例线段的定义和性质。在图形中，如果两 条线段之间的长度比相等，那么我们可以说这两条线段是成比例的。具体来说，如果在线段AB和CD上，有一个点E使得AE：EB = CE：ED，我们就可以称AB与CD是成比例的。 比例线段的比例关系在数学中非常重要。根据比例线段的性质，我们可以推导出一些重要的结论。比如，如果一条线段被分割成 两个比例相等的部分，那么这条线段的两个部分与整条线段的比 例也相等。 比例线段的应用
在实际生活中，比例线段的知识广泛应用于各个领域。例如，我们可以通过比例线段的知识求解几何图形中的未知边长。当我们已知一个图形中的线段比例，而另一个线段的长度是未知的时候，我们可以通过比例关系来求解未知线段的长度。 另一个应用场景是地图测量。比例线段可以帮助我们计算实际地图上两点之间的距离。当我们知道地图上的一个距离与实际距离之间的比例关系时，我们可以通过比例线段来计算其他距离的实际值。 比例线段的运算 在九年级，我们也需要学习比例线段的运算。比例线段的运算包括两个方面：比例的乘法和比例的除法。 比例的乘法指的是，当我们已知两个比例线段相等的时候，我们可以将其相乘得到一个等于的比例。例如，如果线段AD与BC 成比例，而线段DE与EF也成比例，那么我们可以得到AD：BC = DE：EF，我们还可以得到AD：EF = BC：DE，这个过程叫做比例的乘法。
北师大数学九年级上册第四章比例线段
第01讲_比例线段 知识图谱 比例与比例线段 知识精讲 一．比例的性质 1.比例的基本性质： a c ad bc b d =⇔=； 2.反比定理：a c b d b d a c =⇔=； 3.更比定理：a c a b b d c d =⇔=(或d c b a =)； 4.合比定理：a c a b c d b d b d ++=⇔= ； 5.分比定理：a c a b c d b d b d --=⇔= ； 6.合分比定理：a c a b c d b d a b c d ++=⇔= --； 7.等比定理：(0)a c m a c m a b d n b d n b d n b ++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+≠⇔=++⋅⋅⋅+． 二．成比例线段 1.比例线段：对于四条线段a b c d ，，，，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如 a c b d =（即::a b c d =） ，那么这四条线段a b c d ，，，叫做成比例线段，简称比例线段． 2.比例的项：在比例式a c b d =（::a b c d =）中，a d ，称为比例外项，b c ，称为比例内项，d 叫做a b c ，，的 第四比例项．三条线段a b b c =（2b ac =）中，b 叫做a 和c 的比例中项． 3.黄金分割：如图，若线段AB 上一点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即2AC AB BC =⋅）则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中 510.618AC AB AB -=≈，35 0.382BC AB AB -=≈，AC 与AB 的比叫做黄金比．
九年级成比例线段知识点
九年级成比例线段知识点 成比例线段在九年级的数学课程中占据了重要的地位。本文将 对九年级学生需要掌握的成比例线段的相关知识点进行介绍和解析。 一、成比例线段的定义 成比例线段指的是在同一直线上的两个线段，它们的长度比相等。即若线段AB与线段CD成比例，记作AB∶CD，那么有 AB/CD=常数k。 二、成比例线段的特性 1. 定比分点性质：若在线段AB上有一点M，使得AM/MB=k，则称M为AB的一个定比分点。定比分点的特性是，若M是AB 的定比分点，则AM/MB=k或MB/AM=1/k。 2. 分段问题：设线段AB上有一点E，使得AE为AB的α部分（即AE/AB=α），则BE为AB的β部分（即BE/AB=β）。若已 知α和β，求线段AE和BE的具体长度时，可以使用分段比例定理：AE/BE=α/β。
3. 三点共线问题：若已知A、B、C三点共线，且AB∶BC=k，那么可以得出结论，点A、B、C是成比例线段。 三、成比例线段的性质和定理 1. 外分比例定理：在线段AB的延长线上取一点C，使得AC 为AB的α倍，BC为AB的β倍，则有AC/BC=α/β。 2. 内分比例定理：在线段AB上取一点C，使得AC为AB的α倍，BC为AB的β倍，那么有AC/BC=α/β。 3. 同位角定理：若两条平行线被一条交叉线所切分，那么所得 的各对共线点所构成的线段成比例。 四、成比例线段的应用 成比例线段在实际问题中具有广泛的应用。以下举例说明： 例1：已知在一条长为10cm的铁丝上，从一端开始分别距离 1cm和9cm的两个固定点，现在要找到距离这两个固定点等距离 的一个点M，该点在铁丝上的位置离起点较近。求点M在铁丝上 的位置。
比例线段知识点
知识点1：两条线段的比 如果a:b=c:d （即 d c b a =）那么就说a 、b 、c 、 d 成比例，两条线段的长度比叫做两条线段的比。 例1 如图1，已知M 为线段AB 上一点，AM ：MB ＝3：5，且AB ＝16cm,求线段AM ，BM 的长度. 例2 若a=6cm, b=6m,则两条线段a,b 的比为1，请你判断这种说法是否正确。 知识点2 成比例线段 1 成比例线段 在四条线段a,b,c,d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即 d c b a =，我们就把这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，线段a, d 是比例外项，线段b,c 是比例内项，线段d 是a,b,c 的第四比例项 例3 判断下列各组长度的线段是否成比例？ （1）cm a 2=cm b 3=cm c 4=cm d 1= （2）cm a 5.1=cm b 5.2=cm c 5.4=cm d 5.6= （3）cm a 1.1=cm b 2.2=cm c 3.3=cm d 4.4= （4）cm a 1=cm b 2=cm c 2=cm d 4= 知识点3 比例的基本性质 比例线段有以下基本性质： 两个外项的积等于两个内项的积，即如果d c b a =，那么c d ab = 还可以得到d b c a =，c d a b =，b d a c = 例4 若a,b,c,d 是成比例线段，且3=a ,5=b ,2=d 求c
知识点4 合比性质 如果d c b a =，那么d d c b b a +=+，或者d d c b b a -=- 例5 （1）若 4=y x ，求y y x -，y x x + （2）若53=b a ，求b b a +- 知识点5等比性质 如果k c d b a ==，那么k c d b a d b c a ===++ 拓展：k b a b a b a ==== (3) 32211，那么321321b b b a a a ++++=k b a b a b a ====....332211 例6 已知， 3===f e d c b a ，求f d b e c a 4242+-+-的值(042≠+-f d b ) 例7 已知4 1532===-c b a ，求c b a ++的值 知识点6 黄金分割 如果点C 把线段AB 分割成AC 和CB （CB AC φ）两条线段，且AB AC AC BC =，那么这种分割称为黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 是BC 与AB 的比例中项，AC 与AB 的比值叫做黄金分割数（简称黄金数）由计算可知 AC ：AB ＝ 2 15-：1≈0.618：1＝0.618
比例线段知识点及练习题
第十八章 相似形——比例线段及相似知识点讲解 【知识点讲解】 一、比例线段 1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别是m ，n ，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成n m b a = ,其中a 叫做比的前项;b 叫做比的后项。 2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 3.比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果d c b a = ，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ， d 叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项． 4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c 或 c b b a =，那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项． 二、比例的性质： (1)比例的基本性质： bc ad d c b a =?= ac b c b b a =?=2 (2)反比性质： c d a b d c b a =?= (3)更比性质: 或 d b c a d c b a =?=或a c b d = (4)合比性质: d d c b b a d c b a ±=±?= (5)等比性质: n m f e d c b a ====...且 b a n f d b m e c a n f d b =++++++++?≠++++......0...
比例线段练习 １、判断下列四条线段是否成比例 ① a=2，b=5,c=15，d=23； ② a=2，b=3, c=2，d=3； ③ a=4，b=6, c=5，d=10； ④ a=12，b=8, c=15，d=10 2、已知：ad=bc （1） 将其改写成比例式； （2） 写出所有以a ，d 为内项的比例式； （3） 写出使b 作为第四项比例项的比例式； （4）若d b c a =；写出以c 作第四比例项的比例式； 3 、计算. (1)已知：x ∶y=5∶4，y ∶z=3∶7.求x ∶y ∶z. (2)已知：a ，b ，c 为三角形三边长，(a-c) ∶(c+b) ∶(c-b)=2∶7∶(-1)，周长为24.求三边长. 4 、在相同时刻的物高与影长成比例，如果一古塔在地面上影长为50m ，同时，高为1.5m 的测竿的影长为2.5m ，那么，古塔的高是多么米? 5、 EF BE CD AB =，AB=10cm ，AD=2cm ，BC=7.2cm ，E 为BC 中点.求EF ，BF 的长. 6.(1)已知：x ：(x+1)=(1—x)：3，求x 。 (2)若 2 132=+-y x y x ，求x y (3) 若 56=+b b a ，求b a ，b b a - (4)若x 2-3xy+2y 2=0,求x y 7．将比例式中的x 移到第四比例项，使比例式仍成立。 （1）a:b=x :c （2） x :a=b:c （3） a:x =b:c 8：若 52===f e d c b a ，求f d ab e c a d b c a 43432,-+-+-- 练习：已知:41:32:51::=z y x , 求z y x z y x 5252+--+的值 9： 若ABC 三边a:b:c=6:4:3,三边上的高分别为h 1、h 2、h 3，求h 1:h 2:h 3的值。 10：已知两地的实际距离是250米，画在地图上的距离（图距）是5厘米，在这样的地图上,图距a=8厘米的两地A,B 的实际距离是多少呢?比例尺是多少？
九年级线段成比例知识点
九年级线段成比例知识点 一、什么是线段成比例？ 线段成比例是指两个线段之间的比值相等。即如果两个线段的长度之比等于另外两个线段的长度之比，那么这四个线段就成比例。 二、线段成比例的判定方法 1. 基于长度的判定方法： 设有四个线段AB、CD、EF和GH，我们可以使用以下方法判定它们是否成比例。 （1）如果AB/CD = EF/GH，即两个比值相等，那么线段AB 和CD与线段EF和GH成比例。 （2）如果AB/CD = EF/GH = k（常数），即三个比值相等，那么线段AB和CD与线段EF和GH成比例。
2. 基于相似三角形的判定方法： 我们也可以利用相似三角形的性质来判定线段成比例。 （1）如果三角形ABC与三角形DEF相似，那么线段AB和CD与线段AC和DF成比例。 （2）如果三角形ABC与三角形DEF相似，并且线段AB与线段DE相等，那么线段AB和CD与线段AC和DF成比例。 三、线段成比例的性质 1. 线段成比例的交叉乘积性质： 设AB/CD = EF/GH，那么有以下等式成立： AB × GH = CD × EF
这条性质可以用来解决一些与线段成比例相关的问题。 2. 平行线段上的线段成比例性质： 如果线段AB与线段CD平行，并且线段AD与线段BC相交于点O，那么有以下等式成立： AO/OD = BO/OC 这个性质可以帮助我们在平行线段上找到线段成比例的关系。 四、线段成比例的应用 线段成比例广泛应用于几何学和代数学中。在几何学中，我们可以使用线段成比例来证明两个三角形相似或者证明平行线段之间的关系。在代数学中，线段成比例可以用来求解未知长度和方程的解等问题。 简单来说，线段成比例在数学中是一个重要的概念，它帮助我们理解和解决与线段长度和比值有关的问题。在学习几何学和代
湘教版九年级上册数学比例线段专题
比例线段专题 1.线段的比 定义：在同一长度单位下，两条线段的长度的比叫做这两条线段的比。 说明： （1）统一单位： 如果用同一长度单位量得线段a 、b 的长度分别是m 、n ，那么 n m b a ::=或 n m b a =。 （2）前项后项： 在b a :或b a 中，a 叫比的前项， b 叫比的后项。 （3）应用：（比例尺） 若实际距离是250m ，图上距离是5cm ，求比例尺. 解析： 比例尺＝ 实际距离 图上距离 ， 5000 1 250005＝ ∴ ， ∴比例尺为1：5000. 注意： （1）若k b a =:，说明a 是b 的k 倍； （2）两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长单位必须一致。（单位要统一）； （3）两条线段的比值是一个没有单位的正数； （4）线段的比是有顺序性，即a b b a ::≠。
2.比例线段 定义：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 图解： 注意： （1）顺序性：如 d c b a =叫做线段a、b、c、d成比例，而不能说成是b、a、c、d成比例。 如 d c b a =中，线段d叫做a、b、c的第四比例项，而不能说成“线段d 叫做b、a、c的第四比例项”。 3．比例性质 （1）基本性质： ad b d b b a bc ad d c b a = ⇔ = = ⇔ = 2 : : : : （简称：外项积等于内项积） 深层推导：① d c b a =⇒② d b c a =（交换bc）；③ a c b d =（交换ad）；④ c d a b = （上下对称）；⑤ b a d c =（左右对称）；⑥ c a d b =（左右对称）；⑦ b d a c =（左 右对称）；⑧ a b c d =（左右对称）。 （2）更比性质：① d c b a =⇒② d b c a =（交换bc）；③ a c b d =（交换ad）。 （3）合比性质： d c b a =⇔ d d c b b a+ = + （4）分比性质： d c b a =⇔ d d c b b a- = - （5）合分比性质： d c d c b a b a - + = - +或 d a d c b a b a + - = + -
初三数学上比例线段(基础) 知识讲解+巩固练习
比例线段（基础） 知识讲解 【学习目标】 1、了解相似的图形及相似多边形的概念及性质； 2、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段； 3、会运用比例线段解决简单的实际问题； 4、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点. 【要点梳理】 要点一、相似形 1.相似的图形 在数学上，我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形. 要点诠释： (1) 相似的图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等形. 2.相似多边形 一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数. 要点诠释： 相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． 要点二、比例线段 1. 两条线段的比：用同一个长度单位去度量两条线段a ，b ，得到它们的长度，我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比.记作 a b 或a : b . 2．成比例线段：在四条线段,,,a b c d 中，如果其中两条线段a ，b 的比等于另外两条线段 c ， d 的比，即 (::)a c a b c d b d ==或，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．这时，线段,,,a b c d 叫做组成比例的项，线段,a d 叫做比例外项，线段,b c 叫做比例内项. 如果作为比例内项的两条线段是相等的，即,,a b c 之间有::a b b c =，那么线段b 叫做线段,a c 的比例中项. 3．比例的性质： （1）基本性质 如果 a c b d =，那么ad bc =（,b d ≠0）. 反之也成立，即 如果ad bc =，那么a c b d =（,b d ≠0）. （2）合比性质 如果 ++==.a c a b c d b d b d ，那么（,b d ≠0）
苏科版九年级数学下册第六章《图形的相似》知识点总结+易错点汇总
第六章《图形的相似》 知识点一：比例线段 1.比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a c b d =，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段． 2.比例的基本性质： (1)基本性质：a c b d =⇔ ad ＝b c ；（b 、 d ≠0） (2)合比性质：a c b d =⇔ a b b ±＝c d d ±；（b 、d ≠0） (3)等比性质： a c b d =＝…＝m n ＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔ ......a c m b d n ++++++＝k .（b+d …+n ≠0） 3.平行线分线段成比例定理：（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即 如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则 AB DE BC EF = . （2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例. 即如图所示，若AB ∥CD ，则 OA OB OD OC = . （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似． 如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC. 4. 黄金分割：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝= 5－1 2 ≈0.618，那么线段 AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比． 例1：把长为10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为 cm 。 知识点二 ：相似三角形的性质与判定 5. 相似三角形的判定： (1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA). 如图，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，则△ABC ∽△DEF. (2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A ＝∠D ， AC AB DF DE = ，则△ABC ∽△DEF. F E D C B A 学 班级 姓名 考试号 -----------------------------------------------------------密---------------------------------封----------------------------------线--------------------------------------
14初中数学“成比例线段”知识点全解析
初中数学“成比例线段”知识点全解析 一、引言 成比例线段是初中数学中的一个重要概念，它是研究比例关系的基础。理解并掌握成比例线段的概念和性质，对于提高学生分析问题和解决问题的能力具有重要意义。本文将详细解析成比例线段的概念、性质、判定方法以及应用，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。 二、成比例线段的概念 1.定义：如果四条线段a, b, c, d满足a/b = c/d，那么我们就说这四条线段是 成比例的，记作a:b = c:d。 2.术语解析：在a:b = c:d中，a和d称为比例的外项，b和c称为比例的内项。 三、成比例线段的性质 1.等比性质：若a:b = c:d，则(a+b)/b = (c+d)/d。这一性质表明，成比例线段 的对应项之和与原线段的比例关系相同。 2.合比性质：若a:b = c:d，则(a-b)/b = (c-d)/d。这一性质表明，成比例线段 的对应项之差与原线段的比例关系相同。 3.更比性质：若a:b = c:d，则a/c = b/d。这一性质表明，成比例线段的交叉项 之比相等。 4.反比性质：若a:b = c:d，且b和d均不为0，则a/b = d/c。这一性质表明， 成比例线段的交叉项之积相等。 四、成比例线段的判定方法 1.直接判定法：根据定义直接判断四条线段是否满足a/b = c/d。 2.等比中项法：如果两条线段的平方等于另外两条线段的乘积，那么这四条线段 是成比例的。即如果a² = bc，那么a, b, c以及另一条与它们成比例的线段d构成成比例线段。 3.相似三角形法：在相似三角形中，对应边之间的比例是相等的。因此，可以通 过证明两个三角形相似来判定四条线段是否成比例。 五、成比例线段的应用
人教版九年级数学下册27.1《图形的相似和比例线段》知识讲解(基础)(含答案)
图形的相似和比例线段--知识讲解（基础） 【学习目标】 1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似； 2、了解比例线段的概念及有关性质，探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征：对应角相等，对应边的比相等.明确相似比的含义； 3、知道两个相似的平面图形之间的关系，会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力. 【要点梳理】 要点一、比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n， 或写成a m b n ． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d，则ad=bc； （2）若a:b=b:c，则2b =ac（b称为a、c的比例中项）． 要点二、相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 要点诠释： (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等； 要点三、相似多边形 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 要点诠释： （1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比．
【典型例题】 类型一、比例线段 1.（2019•甘肃模拟）若 532c b a ==（abc≠0），求c b a c b a +-++的值． 【答案与解析】解：设5 32c b a ===k ， 则a=2k ，b=3k ，c=5k ， 所以2 5410532532==+-++=+-++k k k k k k k k c b a c b a ． 【总结升华】本题考查了比例的性质．解题的关键是先假设 k c b a ===532，得出a=2k ，b=3k ，c=5k ，降低计算难度． 举一反三： 【变式】（2019•兰州一模）若3a=2b ，则 a b a -的值为（ ） A ．21- B ．21 C ．31- D ．3 1 【答案】A 【解析】解：∵3a=2b， 设a=2k ，则b=3k ， 则2 1232-=-=-k k k a b a ． 故选A ． 类型二、相似图形 2.（2019•江北区模拟）下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有（ ） （1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C. 【解析】解：（1）所有菱形的对应角不一定相等，故菱形不一定都相似； （2）等腰直角三角形都相似，正确； （3）正方形都相似，正确； （4）矩形对应边比值不一定相等，不矩形不一定都相似；
浙教版初中数学九年级比例线段及黄金分割(基础) 知识讲解
比例线段及黄金分割（基础） 知识讲解 【学习目标】 1、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段； 2、会运用比例线段解决简单的实际问题； 3、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点. 【要点梳理】 要点一、比例线段 【： 394495 图形的相似 预备知识】 1．成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 2．比例的性质： （1）基本性质：如果 a c b d =，那么ad bc =. （2）合比性质：如果++==.a c a b c d b d b d ，那么 如果--==.a c a b c d b d b d ，那么 要点诠释： （1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比； （2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关； （3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数． 要点二、黄金分割 1.定义： 点C 把线段AB 分割成AC 和CB 两段,如果AC BC AB AC =,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比. 要点诠释： AC AB =≈叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 图4－7 如图，已知线段AB ，按照如下方法作图： （1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD = 2 1AB . （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB .
（3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点. 要点诠释： 一条线段的黄金分割点有两个. 【典型例题】 类型一、比例线段 1. （2016•兰州模拟）若a ：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（ ） A ．2a=3b B ．3a=2b C ． D ． 【思路点拨】根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案． 【答案】B ． 【解析】A 、2a=3b ⇒a ：b=3：2，故选项错误； B 、3a=2b ⇒a ：b=2：3，故选项正确； C 、=⇒b ：a=2：3，故选项错误； D 、=⇒a ：b=3：2，故选项错误． 故选B ． 【总结升华】考查了比例的性质．在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积． 举一反三： 【变式】（2015•崇明县一模）已知=，那么下列等式中，不一定正确的是（ ）． A ．2a=5b B. a b 52= C. a+b=7 D.a b b 72 += 【答案】C ． 2. 设432z y x ==，求2222232z xy x z yz x --+-的值． 【思路点拨】由已知条件利用解方程的思想不能求出x ，y ，z 的值，因此用设参数法代入化简． 【答案与解析】设4 32z y x ==＝k 则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k 原式＝2222)4(322)2()4(433)2(2k k k k k k k k -⨯⨯-+⨯⨯-⨯＝222412k k --＝2 1 【总结升华】解此类题学生容易误认为设k 后，未知数越多更不易解出，实际上分子、分母能产生公因式约去． 类型二、黄金分割
比例线段知识点及练习题
第十八章 相像形——比例线段及相像学问点讲解 【学问点讲解】 一、比例线段 1.线段的比：假如选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别是m ，n ，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成n m b a = ,其中a 叫做比的前项;b 叫做比的后项。 2.成比例线段：在四条线段中，假如其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 3.比例的项：确定四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，假如d c b a = ，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ， d 叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项． 4.比例中项：假如作为比例线段的内项是两条一样的线段，即a:b=b:c 或 c b b a =，那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项． 二、比例的性质： (1)比例的根本性质： bc ad d c b a =⇔= ac b c b b a =⇔=2 (2)反比性质： c d a b d c b a =⇔= (3)更比性质: 或 d b c a d c b a =⇒=或a c b d = (4)合比性质: d d c b b a d c b a ±=±⇒= (5)等比性质: n m f e d c b a ====...且 b a n f d b m e c a n f d b =++++++++⇒≠++++......0...
比例线段练习 １、判定以下四条线段是否成比例 ① a=2，b=5,c=15，d=23； ② a=2，b=3, c=2，d=3； ③ a=4，b=6, c=5，d=10； ④ a=12，b=8, c=15，d=10 2、确定：ad=bc 〔1〕 将其改写成比例式； 〔2〕 写出全部以a ，d 为内项的比例式； 〔3〕 写出访b 作为第四项比例项的比例式； 〔4〕假设d b c a =；写出以c 作第四比例项的比例式； 3 、计算. (1)确定：x ∶y=5∶4，y ∶z=3∶7.求x ∶y ∶z. (2)确定：a ，b ，c 为三角形三边长，(a-c) ∶(c+b) ∶(c-b)=2∶7∶(-1)，周长为24.求三边长. 4 、在一样时刻的物高与影长成比例，假如一古塔在地面上影长为50m ，同时，高为1.5m 的测竿的影长为2.5m ，那么，古塔的高是多么米? 5、 EF BE CD AB =，AB=10cm ，AD=2cm ，BC=7.2cm ，E 为BC 中点.求EF ，BF 的长. 6.(1)确定：x ：(x+1)=(1—x)：3，求x 。 (2)假设 2132=+-y x y x ，求x y (3) 假设 56=+b b a ，求b a ，b b a - (4)假设x 2-3xy+2y 2=0,求x y 7．将比例式中的x 移到第四比例项，使比例式仍成立。 〔1〕a:b=x :c 〔2〕 x :a=b:c 〔3〕 a:x =b:c 8：假设 52===f e d c b a ，求f d ab e c a d b c a 43432,-+-+-- 练习：确定:4 1:32:51::=z y x , 求z y x z y x 5252+--+的值 9： 假设ABC 三边a:b:c=6:4:3,三边上的高分别为h 1、h 2、h 3，求h 1:h 2:h 3的值。 10：确定两地的实际距离是250米，画在地图上的距离〔图距〕是5厘米，在这样的地图上,图距a=8厘米的两地
人教版九年级数学比例线段
1、已知如图，AD ＝DE ＝EC ，且AB ∥DF ∥EH ，AH 交 DF 于K ，求 KF DK 的值。 2、如图，□ABCD 中，EF 交AB 的延长线于E ， 交BC 于M ，交AC 于P ，交AD 于N ，交CD 的延 长线于F 。求证：PN PF PM PE ⋅=⋅。 答案： 一、填空题： 1、 3 2 ，4，8，14；2、2或－1；3、±23 4、2∶5； 二、选择题：CBBB 三、解答题： 1、 3 1； 2、证明PM PN PF PE =即可； 课后作业 一、填空题： 1． 三条平行线截两条直线，所得的 成比例。 2． 已知x y 52=，则y x :=______________。 3． 已知线段a ：b=b:c,若a=2，c=3，那么b= ， 4． 若x ∶y ∶z=2∶5∶9，则 =+-++z y x z y x 2 。 5． =++===++222,7 53,10z y x z y x z y x 则且 若 。 6． 如图，在△ABC 中，MN ∥BC ，若∠C=680 ，AM ：MB ＝1： 2，则∠MNA=_______度，AN ：NC ＝__________。 7． 如图，△ABC 中，DE ∥BC ，AD=1，DB=2，AE=2，则 EC= 。 8． 若 ==+y x y y x 则,38 。 9、若 ()0753≠==a c b a ，则a c b a ++=_________
二、选择题： 1．如果 32=b a ，则 b b a +等于（ ） （A ）l 31 （B ）2 1 （C ）53 （D ）35 2．如果d 是a 、b 、c 的第四比例项，则其比例为（ ） (A)a ：b=c ：d （B ）a ：b=d ：c （C ）a ：d=b ：c （D ）d ：a=b ：c 3．已知 32==d c b a ，且d b ≠，则 d b c a --=（ ） （A ）32 （B ）5 2 （C ）53 （D ）51 4．D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC ，如果2 3 =DB AD ，AE=15，那么EC 的长是 （ ） （A ）10 （B ）22. 5 （C ）25 （D ）6 5．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 和DF 分别l 1、l 2、l 3相交于A 、B 、C 和点D 、E 、F ，若AB=2，EF=1，则 （ ） （A ） BC ∶DE=2 (B) BC ∶DE=21 (C) BC ·DE=2 (D) BC ·DE=2 1 6．已知 07 54≠==z y x ，那么下列式子成立的是（ ） （A ） 43=++z y y x （B ）61=+-y x y z （C ）16 7 =++z z y x （D ）21=++--z y x z y x 7．如图，平行四边形ABCD 中，AB=5，DF=1，AG=3，FG 延长线交AD 、CB 延长线于E 、H ，则EF ：FG ：GH=( )。 (A)1∶3∶5 (B)1∶2∶2 (C)1∶2∶3 (D)1∶3∶2 8．若 3 2 =y x ，则 ()=+--+y x y x y x y x : （A ） 25∶1 (B) 1∶25 (C)27:8 (D)3:2 三、解答题： 1． 已知：如图，l 1∥l 2∥l 3，AB=3，BC=5，DF=12。求DE 和 EF B H G E D C A F
九年级数学下册图形的相似和比例线段(教师版)知识点+详细答案
图形的相似和比例线段 【学习目标】 1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似； 2、了解比例线段的概念及有关性质，探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征：对应角相等，对应边的比相等.明确相似比的含义； 3、知道两个相似的平面图形之间的关系，会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力. 【要点梳理】 要点一、比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是 a:b=m:n，或写成a m b n ． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d，则ad=bc； （2）若a:b=b:c，则2b =ac（b称为a、c的比例中项）． 要点二、相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 要点诠释： (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等； 要点三、相似多边形 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 要点诠释： （1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比． 【典型例题】 类型一、比例线段 1. 下列四组线段中，成比例线段的有( ) A．3cm、4cm、5cm、6cm B．4cm、8cm、3cm、5cm C．5cm、15cm、2cm、6cm D．8cm、4cm、1cm、3cm 【答案】C. 【解析】四个选项中只有，故选C. 2. 求证：如果，那么.