初三数学--线段的比和比例线段
初三数学 线段的比和比例线段
一、线段的比：
1.在同一单位长度下，两条线段的倍数关系叫做这两条线段的比。即两条线段的长度的比。 如：线段a 与b 的比，记作b a （或a ：b ），若b a ＝31，则说明a 是b 的3
1，b 是a 的3倍。
2.n 1
=
实际距离图上距离，我们称为比例尺，进行有关比例尺的计算时，要注意统一单位。
[练习]
1.已知一矩形的长a=1.35m ，宽b=60cm ，则a ∶b 的值为
2.图纸上画出的某个零件的长是32mm ，如果比例尺是 1∶20，这个零件的实际长是 .
a ，
b 的长度分别为8㎝，32㎝，则a ∶b = 。
4.如图，点C 是AB 的中点，点D 在BC 上，AB=24，BD=5， （1）AC ∶CB ＝ ；AC ∶AB ＝ ；
（2）_____=BD BC ；_____=AB CD ；_____=CD AD
。
5..如图延长线段AB 到C ，使BC=4，若AB=8，则线段AC•：BC=
6.延长线段AB 到C ，使BC=2AB ，则AC ：AB 为（ ） A ．1：2 B ．2：1 C ．1：3 D ．3：1
7.等边三角形的一边与这边上的高的比是（ ） A.
3∶2 B. 3∶1 C. 2∶3 D. 1∶3
，等边三角形的一边与这一边的高的比是
△ABC 中，D 是BC 上一点，若AB ＝15 cm ，AC ＝10 cm ，且BD ∶DC ＝AB ∶AC ，BD －DC ＝2 cm ，则BC= ． 10.如图所示，已知直角三角形的两条直角边的长的比为a ∶b ＝1∶2，其斜边长为45cm ， 那么这个三角形的面积是（ ）cm 2．
A. 32
B. 16
C. 8
D. 4
11.已知A 、B 两地相距300km ，在地图上量得两地相距15cm ，则图上距离与实际距离之比为 ．
∶30000的地图上，如果两点的图上距离为5厘米，那么两点的实际距离为 千米．在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3cm,而两地的实际距离为1500m ，那么这张地图的比例尺为________.
13.已知在同一时刻物高与影长成比例．12时整，1.5m 的标杆在地上的影子长3m ，•现在量得一建筑物的影长20m ，则该建筑物有多高？ 二、比例线段
A
D C
B
b a
的值叫做线段b a ,的比，若d c b a =，则称线段d c b a ,,,成比例线段。（注意a,b,c,d 的顺序）
例1.下列线段能成比例线段的是（ ） (A)1cm,2cm,3cm,4cm (B)1cm,
2cm,22cm,2cm (C)2cm,5cm,3cm,1cm (D)2cm,5cm,3cm,4cm
2.bc ad d c b a d c
b a =⇔=⇔=::，其中d
c b a ,,,分别叫第一、第二、第三、第四比例项，
d a ,称为外项，c b ,称为内项；外项的积等于内项的积。
AE AC AD AB =
，且
AB ＝12，AC ＝3，AD ＝5，则AE ＝________．
例2.如果线段a =4，b =16，c =8，那么a 、b 、c 的第四比例项d 为（ ） (A)8 (B)16 (C)24 (D)32 3.比例性质：
①基本性质：bc ad d c
b a =⇔=；比例中项：若a
c b
=2
，则称b 是ac 的比例中项
②反比性质：c d a b d
c b a =⇔=；③更比性质：d
b c a d c b a =⇔=； ④合比性质：d b
c b b a
d c b a ±=
±⇔=； ⑤等比性质：n n b a b a b a b a === 3
32211，则11
2121b a
b b b a a a n n =+++++ 例1.如果 a:b=12:8，且b 是a 和
c 的比例中项，那么b:c 等于（ ） A. 4：3 B. 3：2 C. 2：3 D. 3：4
n
m
=q p =32
(n+q ≠0)，则q n p m ++＝ 。
例3. （1）已知a ＝4，b ＝9，则a 、b 的比例中项是
（2）已知线段a ＝4cm ，b ＝9cm ，线段c 是a 、b 的比例中项，则线段c 的长为 （3）已知b 是a ，c 的比例中项，且a=3cm ，c=6cm ，则b= cm 。
例4.若互不相等的四条线段的长a,b,c,d 满足a b ＝c
d ，m 为任意实数，则下列各式中，相等关系一定成立的是（ ）
（A ）
a ＋m
b ＋m ＝
c ＋m
d ＋m （B ）a ＋b b ＝c ＋d c （C ）a c ＝d
b （D ）a －b a ＋b ＝
c －
d c ＋d
例4.（1）已知：
y z x z x y
x y z +++===k ，则k=_______． （2）已知a
a c
b b
c b a c c b a k -+=+-=-+=
，则k 的值为 。
例5.若3x ＝4y ＝5z ，则y z y x +-∶x x z y -+＝ .
例6.若b
a ＝d
c ＝f
e ＝3，且b+d+
f ＝4，则a+c+e ＝ .
【练习】
d c b a =，则下列等式中不成立的是（ ）A.c d a b =
B. d d c b
b a -=- C. d
c c b a a +=+ D. b a c b
d a =++ 2．若
5:6:=y x ，则下列等式中，不正确的是（ ）
A 、511=
+y y x B 、51=-y y x C 、6=-y x x D 、5=-x y y
3．若2:1:::===d c c
b b a ，则=d a :（ ）
A 、1:2
B 、1:4
C 、1:6
D 、1:8
4．已知
875c
b a ==，且20=++
c b a ，则=-+c b a 2（ ） A 、11 B 、12 C 、314
D 、9
5．若4:3:2::=c
b a ，且5=-+
c b a ，则b a -的值是（ ）
A 、5
B 、-5
C 、20
D 、-20
综合练习
（一）填空题：
1.若4x=5y,则x ∶y ＝
3x ＝4
y ＝
5
z ，则
y z y x +-∶x
x
z y -+＝ . 13
y x -＝7y
，则y y x +的值为 b a ＝43，那么b
b a +＝ .
5.若(x+y)∶y ＝8∶3，则x ∶y ＝ .
6.若b a b
+＝5
3，那么b a ＝ .
7.已知△ABC 和△A ′B ′C ′，''B A AB ＝''C B BC ＝''A C CA ＝2
3
，且A ′B ′+B ′C ′+C ′A ′＝16cm.则AB+BC+AC ＝ .
8.若a ＝8cm ，b ＝6cm ，c ＝4cm ，则a 、b 、c 的第四比例项d ＝ cm ； a 、c 的比例中项x ＝ cm. 9. 如果x ∶y ∶z ＝1∶3∶5，那么
z
y x z y x +--+33＝
10.在1∶5000000的福建省地图上，量得福州到厦门的距离约为60cm ，那么福州到厦门的实际距离约为 km. 11.已知
b a ＝d
c ＝
52 (b+d ≠0)，则d
b c a ++＝ 12、若
4
3x
x =，则x 等于 13．已知
35=y x ，则=-+)(:)(y x y x 14．如果32=b a ，且3,2≠≠b a ，那么=-++-5
1b a b a 15．已知a b a 3)(7=-，则
=b a 16．如果2===c z b y a x ，那么=+-+-c
b a z
y x 3232
（二）解答题
1、已知：5y-4x ＝0，求(x+y)∶(x-y)
2、已知
c b a +=a c b +=b
a
c +＝x ，求x
3、一个三角形的三内角分别为30°、60°、90°，另一个三角形的三内角分别为45°、45°、90°，计算每一个三角形三边长度之比. （自己画图）
6、如图5.1-2，D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，AB AD ＝AC AE ＝
BC
DE
＝
3
2
，且△ABC 与△ADE 的周长之差为15cm ，求△ABC 与△ADE 的周长.
11.已知d
c
b a =，证明：
d
d
c b b a -=- 12、若3:2:1::=c b a ，求
c
b a c
b a +---的值。
△ABC 中，
3
4
==CD AC BD AB ,且三角形周长为21，求AB 的长
7、已知5:4:2::=c b a ，且632=+-a b a ， 求c b a 23-+的值。 8、已知8
75c
b a ==，且20=++
c b a ，求c b a -+2
9、若4:3:2::=c b a ，且5=-+c b a ， 求b a -的值． 10、若
6
5
432+==+c b a ,且2132=+-c b a ，试求c b a ::
线段的比与比例线段的概念
线段的比与比例线段的概念、比例的性质和黄金分割 I 梳理知识 比与比例、比例的基本性质、合比性质、等比性质、两线段的比、成比例线段、平行线分 线段成比例、截三角形两边或其延长线的直线平行于第三边的判定、黄金分割 1. 线段的比的定义 在同一单位长度下，两条线段 2. 比例线段的定义 在四条线段中，如果其中两条线段的 _______________________________________ 等于另外两条线段的 _____ ,那么这四条线段叫做 成比例线段，简称 ____________ .在 a ： b = c ： d 中，a 、d 叫做比例的 ___ , b 、c 叫做比例 的 _____ ，称d 为a 、b 、c 的 _____________ . 3. 比例的性质 (1)比例的基本性质：如果a : b = c : d ，那么 则b 叫a , c 的比例中项. ⑵合份)比性质：若 a ⑶等比性质：若一 b 4.黄金分割 (1) 黄金分割的意义：如图，点 那么称线段 AB 被点C 黄金分割.其中点C 叫做线段AB 的 做 . (2) 黄金分割的作法 【例题讲解】 例1.(1)已知1,厉,5三个数，如果再添一个数，使之能与已知的三个数成比例，则这个 数应该是 ___________ . ⑵在比例尺为1: n 的某市地图上，规划出一块长 5cm X 2cm 的矩形工业区，则该工业区 的实际面积是 平方米. 例 2.(1)已知 X ： y : z = 3 : 4 : 5，①求-—y 的值；②若 x +y + z = 6, z a (2)已知a 、b 、c 、d 是非零实数，且 -------- b c d 的值? 的比叫做这两条线段的比 ?特别地，若a : b = b : C,即 ，则 C 把线段AB 分成两条线段 AC 和BC,如果 __________________ , ,AC 与AB 的比叫 求 X 、y 、z. C bad 一d 一 k ，求 k a b c
线段的比和比例的基本性质1
九 年 级 数 学 导 学 案 年级 九 班级 学科 数 学 课题 线段的比和比例的基本性质 第 1 课时 总 2 课时 编制人 审核人 课型 新授课 使用者 教 学 内 容 学习目标 1．结合实际情境了解线段比的概念，并会计算两条线段的比． 2．结合实际情境了解比例线段的概念． 3．理解并掌握比例的基本性质，并能进行简单应用． 学习过程 一.复习回顾： 1．如图：，则线段AB 与CD 的比为AB ∶CD ＝ ． 2．已知线段AB ＝2cm ，线段CD ＝2m ，则线段AB ∶CD ＝ ． 通过用幻灯片展示生活的的图片，引入本章的学习内容—相似图形。 二.新课学习： 先阅读教材P 76－78页的内容，然后完成下面的问题： 1．线段比的定义：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的 长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比AB ∶CD ＝m ∶n 或写成AB CD ＝m n ，其中，线段AB 、CD 分别叫做这两个线段比的前项和后项．如果把m n 表示成比值k ，则AB CD ＝ 或AB ＝ . 2．求两条线段的比时，应保持两条线段的长度单
位 ． 3．比例线段的定义：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a b ＝c d ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段． 4．比例的性质： (1)比例的基本性质：如果a ∶b ＝c ∶d ，那么 ； (2)如果ad ＝bc(a 、b 、c 、d 都不等于0)，那么a b ＝ ． 在求两条线段的比时，有哪些地方是需要特别留意的？ 归纳结论：(1)线段的比为正数；(2)单位要统一；(3)线段的比与所采用的长度单位无关． 典例讲解： 1．见教材P 78例1. 2．已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否成比例？ (1)a ＝16cm ，b ＝8cm ，c ＝5cm ，d ＝10cm ；(2)a ＝8cm ，b ＝5cm ，c ＝6cm ，d ＝10cm . 解：(1)a b ＝2，d c ＝2，则a b ＝d c ，所以a 、b 、d 、c 成比例；(2)由已知得ab≠cd，ac ≠bd ，ad ≠bc ，所以a 、b 、c 、d 四条线段不成比例． 三.自主总结： 1.线段的比的概念、表示方法；前项、后项及比值k ； 2.两条线段的比是有序的;与采用的单位无关，但要选用同一长度单位； 3.比例线段的性质，运用比例线段的基本性质解决问题. 四.达标测试 1．等边三角形的一边与这边上的高的比是( ) A.3∶2 B.3∶1 C ．2∶ 3 D ．1∶ 3 2．若四条线段a 、b 、c 、d 成比例，且a ＝3，b ＝4，c ＝6，则d ＝( ) A ．2 B ．4 C ．4.5 D ．8 3．在比例尺为1∶900 000的安徽黄山交通图中，黄山风景区与市政府所在地之间的距离是4 cm ，这两地的实际距离是( ) A ．2 250厘米 B ．3.6千米 C ．2.25千米 D ．36千米 4．A 、B 两地之间的高速公路为120 km ，在A 、B 间有C 、D 两个收费站，已知AD ∶DB ＝11∶1，AC ∶CD ＝2∶9，则C 、D 间的距离是________km.
北师大数学九年级上册第四章比例线段
第01讲_比例线段 知识图谱 比例与比例线段 知识精讲 一．比例的性质 1.比例的基本性质： a c ad bc b d =⇔=； 2.反比定理：a c b d b d a c =⇔=； 3.更比定理：a c a b b d c d =⇔=(或d c b a =)； 4.合比定理：a c a b c d b d b d ++=⇔= ； 5.分比定理：a c a b c d b d b d --=⇔= ； 6.合分比定理：a c a b c d b d a b c d ++=⇔= --； 7.等比定理：(0)a c m a c m a b d n b d n b d n b ++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+≠⇔=++⋅⋅⋅+． 二．成比例线段 1.比例线段：对于四条线段a b c d ，，，，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如 a c b d =（即::a b c d =） ，那么这四条线段a b c d ，，，叫做成比例线段，简称比例线段． 2.比例的项：在比例式a c b d =（::a b c d =）中，a d ，称为比例外项，b c ，称为比例内项，d 叫做a b c ，，的 第四比例项．三条线段a b b c =（2b ac =）中，b 叫做a 和c 的比例中项． 3.黄金分割：如图，若线段AB 上一点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即2AC AB BC =⋅）则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中 510.618AC AB AB -=≈，35 0.382BC AB AB -=≈，AC 与AB 的比叫做黄金比．
九年级成比例线段知识点
九年级成比例线段知识点 成比例线段在九年级的数学课程中占据了重要的地位。本文将 对九年级学生需要掌握的成比例线段的相关知识点进行介绍和解析。 一、成比例线段的定义 成比例线段指的是在同一直线上的两个线段，它们的长度比相等。即若线段AB与线段CD成比例，记作AB∶CD，那么有 AB/CD=常数k。 二、成比例线段的特性 1. 定比分点性质：若在线段AB上有一点M，使得AM/MB=k，则称M为AB的一个定比分点。定比分点的特性是，若M是AB 的定比分点，则AM/MB=k或MB/AM=1/k。 2. 分段问题：设线段AB上有一点E，使得AE为AB的α部分（即AE/AB=α），则BE为AB的β部分（即BE/AB=β）。若已 知α和β，求线段AE和BE的具体长度时，可以使用分段比例定理：AE/BE=α/β。
3. 三点共线问题：若已知A、B、C三点共线，且AB∶BC=k，那么可以得出结论，点A、B、C是成比例线段。 三、成比例线段的性质和定理 1. 外分比例定理：在线段AB的延长线上取一点C，使得AC 为AB的α倍，BC为AB的β倍，则有AC/BC=α/β。 2. 内分比例定理：在线段AB上取一点C，使得AC为AB的α倍，BC为AB的β倍，那么有AC/BC=α/β。 3. 同位角定理：若两条平行线被一条交叉线所切分，那么所得 的各对共线点所构成的线段成比例。 四、成比例线段的应用 成比例线段在实际问题中具有广泛的应用。以下举例说明： 例1：已知在一条长为10cm的铁丝上，从一端开始分别距离 1cm和9cm的两个固定点，现在要找到距离这两个固定点等距离 的一个点M，该点在铁丝上的位置离起点较近。求点M在铁丝上 的位置。
初三数学--线段的比和比例线段
初三数学 线段的比和比例线段 一、线段的比： 1.在同一单位长度下，两条线段的倍数关系叫做这两条线段的比。即两条线段的长度的比。 如：线段a 与b 的比，记作b a （或a ：b ），若b a ＝31，则说明a 是b 的3 1，b 是a 的3倍。 2.n 1 = 实际距离图上距离，我们称为比例尺，进行有关比例尺的计算时，要注意统一单位。 [练习] 1.已知一矩形的长a=1.35m ，宽b=60cm ，则a ∶b 的值为 2.图纸上画出的某个零件的长是32mm ，如果比例尺是 1∶20，这个零件的实际长是 . a ， b 的长度分别为8㎝，32㎝，则a ∶b = 。 4.如图，点C 是AB 的中点，点D 在BC 上，AB=24，BD=5， （1）AC ∶CB ＝ ；AC ∶AB ＝ ； （2）_____=BD BC ；_____=AB CD ；_____=CD AD 。 5..如图延长线段AB 到C ，使BC=4，若AB=8，则线段AC•：BC= 6.延长线段AB 到C ，使BC=2AB ，则AC ：AB 为（ ） A ．1：2 B ．2：1 C ．1：3 D ．3：1 7.等边三角形的一边与这边上的高的比是（ ） A. 3∶2 B. 3∶1 C. 2∶3 D. 1∶3 ，等边三角形的一边与这一边的高的比是 △ABC 中，D 是BC 上一点，若AB ＝15 cm ，AC ＝10 cm ，且BD ∶DC ＝AB ∶AC ，BD －DC ＝2 cm ，则BC= ． 10.如图所示，已知直角三角形的两条直角边的长的比为a ∶b ＝1∶2，其斜边长为45cm ， 那么这个三角形的面积是（ ）cm 2． A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 11.已知A 、B 两地相距300km ，在地图上量得两地相距15cm ，则图上距离与实际距离之比为 ． ∶30000的地图上，如果两点的图上距离为5厘米，那么两点的实际距离为 千米．在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3cm,而两地的实际距离为1500m ，那么这张地图的比例尺为________. 13.已知在同一时刻物高与影长成比例．12时整，1.5m 的标杆在地上的影子长3m ，•现在量得一建筑物的影长20m ，则该建筑物有多高？ 二、比例线段 A D C B
初中数学知识点精讲精析 比例线段
第一节比例线段 要点精讲 （一）比例线段 1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n，那么就说 这两条线段的比是a:b=m:n，或写成,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项。 2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 3.比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项． 4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c或，那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项． （二）比例的性质： (1)比例的基本性质： (2)反比性质： (3)更比性质: 或 (4)合比性质: (5)等比性质: 且 (三) 平行线分线段成比例定理 1.定理: 三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例。 2.推论: 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。 3.平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比例。 4.如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。 这四个定理主要提出由平行线可得到比例式;反之,有比例可得到平行线。首先要弄清三个基本图形。
这三个基本图形的用途是: 1.由平行线产生比例式 基本图形(1): 若l1//l2//l3，则或或或 基本图形(2): 若DE//BC，则或或或 基本图形(3): 若AC//BD，则或或或 在这里必须注意正确找出对应线段，不要弄错位置。 2．由比例式产生平行线段 基本图形(2):若, , , ,, 之一成立，则DE//BC。 基本图形(3):若, , , , , 之一成立，则AC//DB。 典型例题 【例1】已知: a:b:c=3:5:7且2a+3b-c=28, 求3a-2b+c的值。 【答案】解:∵a:b:c=3:5:7 设a=3k, b=5k, c=7k ∵2a+3b-c=28 ∴6k+15k-7k=28，∴k=2 ∴3a-2b+c=9k-10k+7k=6k=12 【解析】题目中已知三个量a,b,c的比例关系和有关a,b,c的等式,我们可以利用这个等量关系,通过设参数k, 转化成关于k的一元方程,求出k后,使得问题得解。 【例2】若, 求的值。 【答案】设 则x=3k, y=4k, z=5k ∴ 【解析】在这个问题中,不必求出K的值,就可以把问题解决了。
初三数学成比例线段知识讲解
初三数学成比例线段知识讲解 初三数学中的成比例线段知识是一个重要的基础概念，它涉及到数学中的比例和比例的性质。在初三数学学习过程中，我们会学习到成比例线段的定义、性质以及相关的应用。 成比例线段是指两个线段之间的比例关系保持不变。具体来说，如果两个线段AB和CD之间的比例关系为AB:CD=a:b，那么我们可以说这两个线段成比例。其中，a和b为常数，且不为零。 成比例线段的定义使我们能够在解决实际问题时，通过已知条件推导出未知条件。例如，如果我们知道一个三角形的两个边长成比例，我们就可以根据这个比例关系求解出第三条边的长度。 成比例线段的性质包括：(1) 如果两个线段成比例，那么它们的倒数也成比例；(2) 如果两个线段成比例，那么它们的和与差也成比例； (3) 如果两个线段成比例，那么它们的平方也成比例。 利用这些性质，我们可以解决许多与成比例线段有关的问题。例如，如果我们知道一个四边形的对角线成比例，我们就可以通过这个比例关系求解出其他线段的长度。 在实际应用中，成比例线段有着广泛的应用。在几何学中，成比例线段的概念是建立在相似三角形的基础上的。相似三角形的边长成比例，而成比例线段的性质可以推导出相似三角形的性质。因此，
成比例线段在解决相似三角形问题时起着重要的作用。 成比例线段还在比例的运用中起着重要的作用。在比例的运用中，我们经常需要根据已知条件求解未知条件。而成比例线段的性质使得我们能够通过已知比例关系推导出未知比例关系，从而解决问题。 初三数学中的成比例线段知识是一个重要的基础概念。通过学习成比例线段的定义、性质和应用，我们可以在解决实际问题时运用这些知识，提高数学解题的能力。同时，成比例线段的概念也为后续的几何学和比例的运用奠定了基础。因此，我们应该认真学习和掌握成比例线段知识，为数学学习打下坚实的基础。
九年级线段成比例知识点
九年级线段成比例知识点 一、什么是线段成比例？ 线段成比例是指两个线段之间的比值相等。即如果两个线段的长度之比等于另外两个线段的长度之比，那么这四个线段就成比例。 二、线段成比例的判定方法 1. 基于长度的判定方法： 设有四个线段AB、CD、EF和GH，我们可以使用以下方法判定它们是否成比例。 （1）如果AB/CD = EF/GH，即两个比值相等，那么线段AB 和CD与线段EF和GH成比例。 （2）如果AB/CD = EF/GH = k（常数），即三个比值相等，那么线段AB和CD与线段EF和GH成比例。
2. 基于相似三角形的判定方法： 我们也可以利用相似三角形的性质来判定线段成比例。 （1）如果三角形ABC与三角形DEF相似，那么线段AB和CD与线段AC和DF成比例。 （2）如果三角形ABC与三角形DEF相似，并且线段AB与线段DE相等，那么线段AB和CD与线段AC和DF成比例。 三、线段成比例的性质 1. 线段成比例的交叉乘积性质： 设AB/CD = EF/GH，那么有以下等式成立： AB × GH = CD × EF
这条性质可以用来解决一些与线段成比例相关的问题。 2. 平行线段上的线段成比例性质： 如果线段AB与线段CD平行，并且线段AD与线段BC相交于点O，那么有以下等式成立： AO/OD = BO/OC 这个性质可以帮助我们在平行线段上找到线段成比例的关系。 四、线段成比例的应用 线段成比例广泛应用于几何学和代数学中。在几何学中，我们可以使用线段成比例来证明两个三角形相似或者证明平行线段之间的关系。在代数学中，线段成比例可以用来求解未知长度和方程的解等问题。 简单来说，线段成比例在数学中是一个重要的概念，它帮助我们理解和解决与线段长度和比值有关的问题。在学习几何学和代
湘教版九年级上册数学比例线段专题
比例线段专题 1.线段的比 定义：在同一长度单位下，两条线段的长度的比叫做这两条线段的比。 说明： （1）统一单位： 如果用同一长度单位量得线段a 、b 的长度分别是m 、n ，那么 n m b a ::=或 n m b a =。 （2）前项后项： 在b a :或b a 中，a 叫比的前项， b 叫比的后项。 （3）应用：（比例尺） 若实际距离是250m ，图上距离是5cm ，求比例尺. 解析： 比例尺＝ 实际距离 图上距离 ， 5000 1 250005＝ ∴ ， ∴比例尺为1：5000. 注意： （1）若k b a =:，说明a 是b 的k 倍； （2）两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长单位必须一致。（单位要统一）； （3）两条线段的比值是一个没有单位的正数； （4）线段的比是有顺序性，即a b b a ::≠。
2.比例线段 定义：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 图解： 注意： （1）顺序性：如 d c b a =叫做线段a、b、c、d成比例，而不能说成是b、a、c、d成比例。 如 d c b a =中，线段d叫做a、b、c的第四比例项，而不能说成“线段d 叫做b、a、c的第四比例项”。 3．比例性质 （1）基本性质： ad b d b b a bc ad d c b a = ⇔ = = ⇔ = 2 : : : : （简称：外项积等于内项积） 深层推导：① d c b a =⇒② d b c a =（交换bc）；③ a c b d =（交换ad）；④ c d a b = （上下对称）；⑤ b a d c =（左右对称）；⑥ c a d b =（左右对称）；⑦ b d a c =（左 右对称）；⑧ a b c d =（左右对称）。 （2）更比性质：① d c b a =⇒② d b c a =（交换bc）；③ a c b d =（交换ad）。 （3）合比性质： d c b a =⇔ d d c b b a+ = + （4）分比性质： d c b a =⇔ d d c b b a- = - （5）合分比性质： d c d c b a b a - + = - +或 d a d c b a b a + - = + -
线段比例计算方法知识点总结
线段比例计算方法知识点总结线段比例是数学中的一个重要概念，用于描述和比较线段之间的长度关系。在实际应用中，线段比例计算方法经常被使用到，比如在测量和绘图中。本文将对线段比例的概念和计算方法进行总结，以帮助读者更好地理解和应用这一知识点。 1. 线段比例的定义 线段比例指的是两个线段之间的长度比值。设有两个线段AB和CD，线段比例可以表示为AB:CD。其中，AB称为第一个线段，CD 称为第二个线段。如果两个线段长度的比值相等，即AB:CD=EF:GH，那么我们就说这两组线段的比例相等。 2. 线段比例的基本性质 线段比例具有以下基本性质： - 任意线段与自身的比例为1:1，即线段与自身的比例相等。 - 如果线段AB与线段CD的比例为m:n，那么线段CD与线段AB 的比例为n:m。 - 如果线段AB与线段CD的比例为m:n，线段CD与线段EF的比例为n:p，那么线段AB与线段EF的比例为m:p。即线段比例具有传递性。 3. 线段比例计算方法 线段比例的计算可以通过几何方法或代数方法来实现。
3.1 几何方法 几何方法是通过直观的图形分析和测量来计算线段比例。常用的方 法包括倍量法和相似三角形法。 3.1.1 倍量法 倍量法是通过在一侧或两侧同时乘以同一个倍数来计算线段比例。 具体步骤如下： - 将线段AB分为若干等分，选取其中一份作为第二个线段的起点。 - 逐步倍量，完成对另一个线段的划分。 - 根据划分结果，得出线段的比例关系。 3.1.2 相似三角形法 相似三角形法是利用相似三角形的性质，通过线段的长度比值来计 算线段比例。具体步骤如下： - 构造与给定线段具有一定几何关系的相似三角形。 - 利用相似三角形的对应边长比例关系，求解线段比例。 3.2 代数方法 代数方法是通过运用代数学中的变量和方程来计算线段比例。常用 的方法包括“等式法”和“移项法”。 3.2.1 等式法
线段的比例与长度计算
线段的比例与长度计算 线段是初中数学中的基础概念之一，它在几何图形的构造和计算中起着重要的 作用。在数学学习中，我们经常会遇到线段的比例和长度计算问题。本文将以实例为基础，详细介绍线段的比例计算和长度计算的方法，帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这一知识点。 一、线段的比例计算 在几何图形中，线段的比例计算是指给定两个线段的长度，求它们之间的比例 关系。下面我们通过一个例子来说明。 例1：已知线段AB的长度为6cm，线段CD的长度为12cm，求线段AB与线 段CD的比例。 解：线段AB与线段CD的比例可以表示为AB：CD。根据已知条件可知AB：CD = 6：12。由于6和12都可以被2整除，所以可以简化比例为1：2。因此，线 段AB与线段CD的比例为1：2。 在实际问题中，线段的比例计算常常涉及到两个或多个线段之间的关系。比如，在一条直线上，已知线段AB的长度为4cm，线段BC的长度为6cm，求线段AC 的长度。这个问题可以通过线段的比例计算来解决。 解：设线段AC的长度为x cm，则根据线段的比例计算可得4：6 = x：6。通 过交叉相乘得到4×6 = 6x，解得x = 4。因此，线段AC的长度为4cm。 二、线段的长度计算 线段的长度计算是指已知线段的两个端点的坐标，求线段的长度。下面我们通 过一个例子来说明。 例2：已知线段AB的坐标为A(2, 3)，B(5, 7)，求线段AB的长度。
解：根据坐标计算线段的长度需要使用到勾股定理。设线段AB的长度为d， 则根据勾股定理可得d² = (5-2)² + (7-3)²。计算得d² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25，因此d = √25 = 5。所以，线段AB的长度为5。 线段的长度计算在实际问题中也经常出现。比如，在一个矩形中，已知矩形的 两个对角线的端点坐标分别为A(1, 2)、B(4, 6)和C(3, 1)、D(6, 5)，求矩形的对角线长度。 解：根据已知坐标可得到两条对角线的长度分别为AB和CD。根据坐标计算 线段的长度，可以使用勾股定理。设线段AB的长度为d₁，线段CD的长度为d₂，根据勾股定理可得d₁² = (4-1)² + (6-2)² = 9 + 16 = 25，d₂² = (6-3)² + (5-1)² = 9 + 16 = 25。因此，d₁ = d₂ = √25 = 5。所以，矩形的对角线长度为5。 通过以上实例，我们可以看出线段的比例计算和长度计算在数学中的重要性和 实用性。在实际问题中，我们经常需要根据已知条件计算线段的比例和长度，以求解问题或进行几何图形的构造。因此，掌握线段的比例计算和长度计算方法对于中学生来说是非常重要的。 总结起来，线段的比例计算可以通过已知线段的长度，求解线段之间的比例关系；线段的长度计算可以通过已知线段的两个端点的坐标，应用勾股定理求解线段的长度。通过这两种计算方法，我们可以更好地理解和应用线段的比例和长度知识，为解决实际问题提供了有效的工具和方法。 希望本文的介绍和实例能够帮助中学生和他们的父母更好地理解和掌握线段的 比例计算和长度计算方法，为数学学习和实际问题解决提供帮助。通过不断练习和应用，相信大家能够在数学学习中取得更好的成绩和进步。
初中数学教案：线段的长度与比例关系
初中数学教案：线段的长度与比例关系 一、线段的长度概念及计算方法 线段是几何中最基本的图形之一，它由两个端点和连接两个端点的直线组成。在初中数学中，我们需要了解线段的长度及与比例关系的相关内容。下面将详细介绍线段长度的概念以及计算方法。 1. 线段长度定义 线段的长度指线段上所有点到起点或终点的距离之和。用符号"|"加上表示该线段的字母表示，如AB表示从A点到B点所得到的长度，则表示AB这条线段的长度。 2. 线段长度计算方法 （1）对于坐标系中已知两个点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，我们可以利用勾股定理来计算AB的长度。勾股定理表达式为：AB² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²。 （2）若已知两个坐标不同且分别为A（x₁, y₁）和B（x₂, y₂），则可利用平面直角坐标系公式d = √[(X₂-X₁)² + (Y₂-Y₁)²]来求解，其中d即表示AB线段在平面直角坐标系下的实际长度。 二、线段长度与比例关系 在数学问题中，常常涉及到线段的比例关系，下面将介绍线段长度与比例关系之间的相关概念和应用。 1. 线段长度比的定义 在数学中，对于两个线段AB和CD，我们可以通过求解它们长度之间的比值来计算线段长度比。表示为：[AB]:[CD]或者AB/CD。
2. 线段等分点的性质与定理 若给定直线上两个不同点A、B，并且再取一个点C，将线段AB分成两部 分:AC和CB。这时候若满足AB:AC=AC:CB，则称点C是线段AB的一个等分点。其中，[AB]:[AC] = [AC]:[CB]得到的等式被称为“内外分割”的基本定理。 3. 线段长短关系问题 （1）问题一：已知一条线段上有多个点，如何确定它们在该线段上的位置？ 解答：我们可以确定每个点到起始点的距离，并按照从小到大进行排序即可得 出其在该线段上的位置。 （2）问题二：已知一个长线段上划分了多个小区间，如何求每个小区间长度？ 解答：我们可以利用总长度除以划分区间数即可得到每个小区间的平均长度。 如果要求某个具体小区间的长度，我们可以将其区间端点相减即可。 4. 在实际问题中的应用 线段的长度与比例关系在日常生活中有着广泛的应用。 （1）比例尺：地图或蓝图上常常使用比例尺来表示实际距离与地图上的距离 之间的关系，这就是线段长度与比例关系的直观应用。 （2）杆秤原理：在物理实验中，杆秤是测量物体质量重量的一种工具。它利 用线段等分点的概念设计出不同刻度来测量重力大小，使得线段长度与质量成正比，使测量更加精确。 （3）分配资源：在经济学中，为了公平合理地分配资源，我们常常要考虑各 方之间的需要和优先级。这时候就需要利用到线段长度与比例关系进行资源分配计算。
北师版九年级初三数学上册《比例的性质》名师精品教案
4.1成比例线段 第1课时 线段的比和成比例线段 教学目标 1．（理解） 能熟记比例的基本性质． 2．（掌握） 能够运用比例的性质进行简单的计算和证明. 教学重难点 【教学重点】 比例的基本性质及其应用. 【教学难点】 比例的基本性质的应用. 课前准备 课件. 教学过程 一、情景导入 配制糖水时，通过确定糖和水的比例来确保配制糖水的浓度. 若有含糖a 千克的糖水b 千克，含糖c 千克的糖水d 千克，含糖e 千克的糖水f 千克…… 它们的浓度相等，把这些糖水混合到一起后，浓度不变.可表示为a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b . 这样表示的数学根据是什么？ 二、合作探究 探究点一：比例的基本性质 已知a ＋3b 2b ＝72，求a b 的值. 解：解法1：由比例的基本性质， 得2（a ＋3b ）＝7×2b . ∴a ＝4b ，∴a b ＝4. 解法2：由a ＋3b 2b ＝72，得a ＋3b b ＝7， ∴a b ＋3b b ＝a b ＋3＝7，∴a b ＝4. 方法总结：利用比例的基本性质，把比例式转化成等积式，再用含有其中一个字母
的代数式表示另一个字母，然后利用代入法或化成方程求解，这是解决比例问题常见的方法. 探究点二：等比性质 （1）已知a ：b ：c ＝3：4：5，求2a －3b ＋c a ＋b 的值； （2）已知a b ＝c d ＝e f ＝2，且b ＋d ＋f ≠0，求a －2c ＋3e b －2d ＋3f 的值. 解析：（1）利用“引入参数法”，把a ，b ，c 用含同一个字母的代数式表示出来，再代入分式求值；（2）应用比例的等比性质，表示出a 与b 、c 与d 、e 与f 三组量之间的倍数关系，再代入原代数式求值. 解：（1）设a ：b ：c ＝3：4：5＝k ，则a ＝3k ，b ＝4k ，c ＝5k ，∴2a －3b ＋c a ＋b ＝6k －12k ＋5k 3k ＋4k ＝－k 7k ＝－17 ； （2）∵a b ＝c d ＝e f ＝2，∴a b ＝－2c －2d ＝3e 3f ＝2， ∴a －2c ＋3e b －2d ＋3f ＝2. 方法总结：解多个比例式连在一起求值型试题的方法：方法一是引入参数，使其他 的量都统一用含有一个字母的式子表示，再求分式的值；方法二是运用等比性质，即如果a b ＝c d ＝…＝m n （b ＋d ＋…＋n ≠0），则a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋m ＝a b ，转化后求分式的值. 若a ，b ，c 都是不等于零的数，且a ＋b c ＝b ＋c a ＝ c ＋a b ＝k ，求k 的值. 解：当a ＋b ＋c ≠0时，由a ＋b c ＝b ＋c a ＝c ＋a b ＝k ， 得a ＋b ＋b ＋c ＋c ＋a a ＋b ＋c ＝k ， 则k ＝2（a ＋b ＋c ）a ＋b ＋c ＝2； 当a ＋b ＋c ＝0时，则有a ＋b ＝－c . 此时k ＝a ＋b c ＝－c c ＝－1. 综上所述，k 的值是2或－1. 易错提醒：运用等比性质的条件是分母之和不等于0，往往忽视这一隐含条件而出错.本题题目中并没有交代a ＋b ＋c ≠0，所以应分两种情况讨论，容易出现的错误是忽略讨论a ＋b ＋c ＝0这种情况. 三、板书设计
初中数学相似三角形基础知识精讲--比例线段
初中数学相似三角形基础知识精讲--比例线段 【基础知识精讲】 一、两条线段的比：同一长度单位下两条线段长度的比叫两条线段的比。 二、成比例线段：1.比例线段： 四条线段d c b a 、、、中，如果 d c b a =， 那么这四条线段 d c b a 、、、叫做成比例线段，简称比例线段。 2.比例中项： 如果 c b b a =（或a c b =2），则b 叫做c a 、的比例中项。 三、比例的性质：1. 基本性质: 如果 d c b a =，那么b c a d =. 2．更比性质：如果d c b a =，那么d b c a =. 3．反比性质: 如果d c b a =，那么c d a b =. 4．合比性质：如果d c b a =，那么d d c b b a +=+. 5．分比性质：如果d c b a =，那么d d c b b a -=-. 6．等比性质: 如果)0(≠+++===n d b n m d c b a ，那么 b a n d b m c a =++++++ . 四、黄金分割：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC>BC ），如果 AC BC AB AC =， 那么点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比， 618.02 1 5≈-=AB AC 。 【例题巧解点拨】 例1：（1）已知 2a c a b c d b d b d --==，求和 （2）已知 0,0,a c a b c d a b c d b d a b c d ++=-≠-≠=--，且求证： 例2：已知d c b a 、、、是非零实数，且 k c b a d d a b c d c a b d c b a =++=++=++=++，
初三数学比例线段知识精讲 上海科技版
初三数学比例线段知识精讲 某某科技版 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 比例线段 二. 教学要求 1. 结合现实情景了解线段的比和成比例线段，理解并掌握比例的基本性质及其简单应用 2. 了解黄金分割，体会其中的文化和艺术价值，进一步理解线段的比和成比例线段。 三. 重点及难点 重点： 1、了解线段的比和成比例线段，理解并掌握比例的基本性质。 2、了解黄金分割，理解线段的比、成比例线段等相关知识。 难点： 1、比例基本性质的简单应用。 2、成比例线段的应用。 四. 课堂教学 ［知识要点］ 知识点1、线段的比 当用同一长度单位量得两条线段AB ，CD 的长度分别是m ， n ，那么就说这两条线段 的比AB:CD=m: n 或写成 k n m CD AB ==， 其中线段AB ，CD 分别叫做这两条线段比的前项和后项，k 叫做它们的比值。 说明：（1）两线段的比是指用同一长度单位度量的两线段长度的比 （2）两线段的比值与所用的长度单位无关。 知识点2、成比例线段 （1）成比例线段的定义：四条线段a ，b ，c ，d ，中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即d c b a =，那么这四条线段a ，b ， c ， d 叫做成比例线段，简称比例线段，其中a ，d 可称为比例外项，b ，c 可称为比例内项，d 可称为a ，b ，c 的第四比例项。 （2）比例的基本性质 如果d c b a =，那么ad=bc 如果ad=bc （a ，b ，c ，d ，都不等于0），那么d c b a =。 说明： ①比例的基本性质是比例变形的重要依据。 ②比例的基本性质的互逆关系的变形，可引用比值k 的方法，设d c b a ==k ，那么a=kb ， c=k d ，a d=k b ·d=b ·k d=b c 知识点3、比例的性质
初三数学上比例线段(基础) 知识讲解+巩固练习
比例线段（基础） 知识讲解 【学习目标】 1、了解相似的图形及相似多边形的概念及性质； 2、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段； 3、会运用比例线段解决简单的实际问题； 4、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点. 【要点梳理】 要点一、相似形 1.相似的图形 在数学上，我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形. 要点诠释： (1) 相似的图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等形. 2.相似多边形 一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数. 要点诠释： 相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． 要点二、比例线段 1. 两条线段的比：用同一个长度单位去度量两条线段a ，b ，得到它们的长度，我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比.记作 a b 或a : b . 2．成比例线段：在四条线段,,,a b c d 中，如果其中两条线段a ，b 的比等于另外两条线段 c ， d 的比，即 (::)a c a b c d b d ==或，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．这时，线段,,,a b c d 叫做组成比例的项，线段,a d 叫做比例外项，线段,b c 叫做比例内项. 如果作为比例内项的两条线段是相等的，即,,a b c 之间有::a b b c =，那么线段b 叫做线段,a c 的比例中项. 3．比例的性质： （1）基本性质 如果 a c b d =，那么ad bc =（,b d ≠0）. 反之也成立，即 如果ad bc =，那么a c b d =（,b d ≠0）. （2）合比性质 如果 ++==.a c a b c d b d b d ，那么（,b d ≠0）
(完整word版)北师大版九年级上册数学线段成比例
6．已知三条线段的长分别为1 cm ，2 cm ， 2 cm ，如果另外一条线段与它们是成比例线段，试求出另外一条线段的长． 7．若a ＋23＝b 4＝c ＋56 ，且2a －b ＋3c ＝21.试求a ∶b ∶c . 8．如图所示，若点P 在线段AB 上，点Q 在线段AB 的延长线上，AB ＝10，AP BP ＝AQ BQ ＝3 2 ，求线段PQ 的长． （二）平行线分线段成比例 【知识梳理】 1．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段__成比例__． 2．平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段__成比例__． 【典型例题】 考点1：平行线分线段成比例定理 【例4】如图，l 1∥l 2∥l 3，下列比例式错误的是( ) A.AC CE ＝BD DF B.AC AE ＝BD BF C.CE AE ＝DF BF D.AE BF ＝BD AC
,例4题图) ,变式题图) 【变式1】如图，直线l 1∥l 2∥l 3，已知AG ＝0.6 cm ，BG ＝1.2 cm ，CD ＝1.5 cm ，则CH ＝__ __cm. 【变式2】已知：如图，l 1∥l 2∥l 3，AB ＝3，DE ＝2，EF ＝4，求AC 的长． 知识点二：平行线分线段成比例定理的推论 【例5】如图，已知AB ∥CD ，下列结论不成立的是( ) A.AO OD ＝BO OC B.AO AD ＝OB BC C.OA OB ＝OD OC D.OA OB ＝BC AD 例5图) （例6） 【例6】如图，AD 是△ABC 的中线，AE ＝EF ＝FC ，BE 交AD 于点G ，则AG AD ＝ ． 【变式1】如图，在三角形ABC 中，点E ，F 分别是AB ，AC 边上的点，且有EF ∥BC ，如果EB AB ＝45，则AC FC ＝( ) A.94 B.59 C.54 D.95 【课堂训练】 1．如图，已知在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ∶DB ＝3∶5，那么CF ∶CB 等于( ) A ．5∶8 B ．3∶8 C ．3∶5 D ．2∶5 ,第1题图) ,第2题图) 2．如图，已知直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 和DF 分别与l 1，l 2，l 3相交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，如果AB ＝1，EF ＝3，那么下列各式中，正确的是( ) A ．BC ∶DE ＝3 B ．B C ∶DE ＝1∶3
成比例线段
一、相似图形:具有相同形状的图形 注 〔1〕 与图形的大小，位置、颜色等无关， 〔2〕相似图形可通过放大，缩小得到。 〔3〕全等图形是相似图形的特殊情况。 〔4〕相似图形的边的条数相同，对应线段的比值相等，对应角相等 如：所有的正方形、等腰直角三角形，等边三角形，圆是相似图形。 二、成比例线段 1、线段的比：在同一单位长度下，两条线段长度的比，叫这两条线段的比 〔1〕线段的比与线段的长度单位无关，但要采用同一单位。 〔2〕线段的比无单位。结果一般化为最简整数比 2、比例线段 ①概念：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条 线段的比， 如 d c b a =〔或a ∶b ＝c ∶ d 〕，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．此时也称这四条线段成比例． 注：〔1〕单位统一 〔2〕顺序性： 称a, b ，c,d 成比例 称a,d,c,b 成比例 ②比例线段中的相关概念 已知四条线段a 、b 、c 、d ，如果d c b a =(a∶b＝c∶d)， 线段a 、b 、c 、 d 叫做组成比例的项. 线段a 、d 叫做比例外项， 线段b 、c 叫做比例内项， 线段d 叫做线段a 、b 、c 的第四比例项. 特别地，当比例内项相等时，即c b b a =(a∶b＝b∶c)，那么b 叫做a 、 c 的比例中项. 注:〔1〕线段a,b,c, d 成比例，其表示方法是有顺序的； 〔2〕判断四条线段是否成比例的方法 ○ 1排序：按线段长度排序 ○ 2看前两条线段的比是否等于后两条线的比 如果m n n p =，比例外项是 ；比例内项是 ；比例中项是 。 3.比例的性质 (::)a c a b c d b d ==或(::)a c a d c b d b ==或