轴对称全章各节同步练习题及答案

轴对称

扎实基础

1.下列四个图形中，不是轴对称图形的是( )

2.如图所示，下列图形可以看作是轴对称图形的有( ) A 0个B 1个C 2个D 3个

3.下列图形中，△A'B'C'与△ABC关于直线MN成轴对称的是( )

4.把26个英文字母按规律分成4组，现在还有4个字母D，M，Q，X，请你按原规律补上，其顺序依次为

(1)N,S，Z，F，R，P，J，L，G，( ) ； (2)H，I，O，( ) ；

(3)B，C，K，E，( )； (4)V，A，T，Y，W，U，( ) .

5.如图1一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD=150°，∠B=40°，则∠ACD=.

6.如图2所示，△ABC与△AED关于直线1对称，若AB=2cm，∠C=95°，则AE=，∠D=.

7.如图3所示，(1)∵点A与点B关于直线l对称，∴1是线段AB的，(2)∵l是线段AB的垂直平分线，∴=；l AB.

综合提升

1.下面所给的交通标志图中，是轴对称图形的是( )

2.如图4，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为( ) A 10cm2 B 8cm2 C 6cm2 D 4cm2

3.把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着这条直线的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.在自然界和日常生活中，这种图形变换大量存在(如图5).结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形(如图6)的对应点所具有的性质是( )

A对应点连线与对称轴垂直 B对应点连线被对称轴平分 C对应点连线被对称轴垂直平分D对应点连线互相平行

4.如图7所示，△ABC与△A'B'C'关于直线1对称，则∠B的度数为.

5.如图8，某英语单词由四个字母组成，且四个字母都关于直线1对称，则这个英语单词为.

6.如图9所示，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形共有个.

7.如图所示，点A、B在直线l的同侧，AB=4cm，点C是点B关于直线l的对称点，AC交直线l于点D，AC=5cm，连接BD，求△ABD的周长.

8.如最左图所示的是一幅“弦图”.请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的知识，在如右图所示的方格纸中设计另外两个不同的图案.画图要求：(1)每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形都不重叠；(2)所设计的图案(不含方格纸)必须是轴对称图形.

拓展延伸

1.将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B”，再把它铺平，你可以看到的图形是( )

2.甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称图形的是( )

3.下列图标是由我们熟悉的一些基本数学图形组成的，其中是轴对称图形的是.(填序号)

4.一个正五边形的对称轴共有.

5.如图所示，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再

将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法

有种.

线段的垂直平分线的性质（1）

扎实基础

1.如图1所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为( )

A 6

B 5

C 4

D 3

2.如图2所示，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB=cm.

3.如图3所示，已知OC=OD，则下列说法正确的是( )

A ∠COP=∠DOP

B CA=DA

C OP⊥C

D D 点O在线段CD的垂直平分线上

4.如图4所示，MN是线段AB的垂直平分线，下列说法正确的有( )①MN⊥AB；②AD=BD；③MN=AB；④MD=ND；

⑤AB是NM的垂直平分线 A 2个 B 3个 C 4个 D 5个

5.尺规作图：如图所示，点A在直线MN上，请你作出经过点A且垂直于直线MN的直线(保留作图痕迹).

综合提升

1.下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB.其中正确的有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

2.下列说法：①平面内一个锐角的平分线只有一条；②圆的对称轴是直径；③若PA=PB，OA=OB(P，O是不同的两点)，则直线PO是线段AB的垂直平分线，其中正确的有( )

A 0个

B 1个

C 2个

D 3个

3.如图5所示，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是( ) A 1对 B 2对 C 3对 D 4对

4.如图6所示，∠A=90°，DE是斜边BC的垂直平分线，且与边AC，BC分别交于点D、E，若∠ABD=∠C+6°，则∠BDC的度数是.

5.如图，已知AB比AC长3cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是15cm，求AB和AC

的长.

6.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，∠DAE与∠DAC的度数比为2:1，求∠B的度数.

7.如图所示，AD为∠BAC的平分线，AE=AF，请判断线段AD所在直线是否为线段EF的垂直平分线，如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

8.如图所示，四边形ABCD是一只“风筝”的骨架，其中AB=AD，CB=CD.八年级的小志同学观察了这个“风筝”的骨架后，认为四边形ABCD的两条对角线AC⊥BD，垂足为E，并且BE=ED，你同意小志同学的判断吗?请说明理由；(2)设对角线AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积.

拓展延伸

1.如图7，已知直线MN是线段AB的垂直平分线，AM=5cm，△MAB的周长为16cm，那么AN=( )

A 3cm

B 4cm

C 5cm

D 6cm

2.如图8，等腰△ABC中，AB=AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为( )

A 13

B 14

C 15

D 16

3.如图9，点D在AC的垂直平分线上，AB∥CD,若∠ADC=130°,则∠BAC的度数是.

4.如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，且交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F.(1)若△CMN

的周长为15cm，求AB的长；(2)若∠MFN=70°，求∠MCN的度数.

线段的垂直平分线的性质（2） 扎实基础

1.如图1所示的尺规作图是作( )

A 线段的垂直平分线

B 一个半径为定值的圆

C 一条直线的平行线

D 一个角等于已知角 2.如图2所示，在△ABC 中，分别以点A ，B 为圆心，大于

2

1

AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，若△ACD 的周长为10，AB=7，则△ABC 的周长为( ) A 7 B 14 C 17 D 20 3.右面四个图形中，有且只有3条对称轴的是( )

4.如图所示，△ABC 与△AED 关于某条直线对称，请你画出它们的对称轴.

综合提升

1.分别以直线l 为对称轴作轴对称图形，错误的是( )

2.如图，已知△ABC(AC

3.如图，已知线段AB ，分别以点A 和点B 为圆B 心，大于

2

1

AB 的长为半径作弧，两 弧相交于C ，D 两点，作直线CD 交AB 于点E ，在直线CD 上任取一点F ，连接FA ，FB. 若FA=5，则FB= .

4.如图.(1)回答问题：①到线段两端点距离相等的点在 上；②到角的两边距离 相等的点在 上；(2)求作一点P ，使PC=PD ，且使点P 到∠AOB 两边的距离相等

5.如图，已知线段AB ，求作一点，使它到A ，B 两点的距离相等，并且到线段AB 的距离等于2

1

AB(作出满足条件的所有点).

6.(1)如图，在△ABC中画出AB边的垂直平分线与BC边的垂直平分线；(2)设所画的两条垂直平分线相交于点O，则由点O在AB的垂直平分线上，可以知道哪两条线段相等?(3)由点O在BC的垂直平分线上，又可以得到什么结论?(4)根据(2)与(3)的结论，在线段的相等关系方面，你有什么新的发现?请先用等式表示，再用文字加以叙述.

7.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,8)，点B(6,8).(1)只用直尺(没有刻度)和圆规作一点P，使点P 同时满足下列两个条件(要求保留作图痕迹，不必写出作法).①点P到A，B两点的距离相等；②点P到∠xOy两边的距离相等；(2)在(1)中作出点P后，求点P的坐标.

拓展延伸

1.如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；步骤3：连接AD，交BC延长线于点H，下列叙述正确的是( )

A BH垂直平分线段AD

B AC平分∠BAD

C S△ABC=BC·AH

D AB=AD

2.下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.

已知：如图4，直线l和l外一点P，求作：直线l的垂线，使它经过点P．作法：如图5，(1)在直线l上任取两点A，B；(2)分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；(3)作直线PQ．则直线PQ就是所求的垂线．请回答：该作图的依据是．

3.如图所示，用直尺和圆规作△ABC的边AB，AC的垂直平分线，

并标出两条垂直平分线的交点P(要求保留作图痕迹，不写作法)

4.如图，△ABC与△DFE关于直线1对称，请仅用无刻度的直尺，在下面两个图中分别作出直线l.

5.如图，某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目，现要在公园内建一个售票中心，使得三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，请在图中确定售票中心的位置.

画轴对称图形

扎实基础

1.如图所示，若把正六边形ABCDEF沿CF折叠，则与点E重合的是( )

A 点A

B 点

C C 点E

D 点F

2.把一张正方形纸片对折两次后(如图①②)，再挖去一个三角形小孔(如图③)，

则展开后的图形是( )

3.如图所示，把下列图形补成以直线l，m为对称轴的轴对称图形.

4.如图，分别在格点图中将已知四边形补成关于已知直线l，m，n，P为对称轴的轴对称的图形.

5.如图所示，已知△ABC，分别以OM，ON为对称轴画三角形，使其与△ABC对称.

综合提升

1.用刻度尺分别画下列图形的对称轴，可以不用刻度尺上的刻度画的是( )A ①④ B ②③ C ③④ D ①②

2.下列说法正确的是( )

A任何一个图形都有对称轴 B两个全等三角形一定关于某条直线对称 C若△ABC与△A'B'C'成轴对称，则△ABC 与△A'B'C'全等 D点A，B在直线l两侧，且线段AB与直线l交于点O，若AO=BO，则点A与点B关于直线对称3.如图1是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔.若一个球按图中所示的方向被击出(球可以经过多次反射)，则该球最后将落入的球袋是( ) A 1号袋 B 2号袋 C 3号袋 D 4号袋

4.下列选项中，有一张纸片会与图2所示图形拼凑成正方形纸片，且正方形上的黑色区域会形成一个轴对称图形，则此纸片为( )

5.如图，△ABC在3×3的正方形网格中，点A，B，C均在正方形的顶点上.请在图①②中画出不同的△DEF，使△ABC和△DEF关于某条直线成轴对称.

6.如图，先画△ABC关于直线l1对称的△A1B1C1，(直线l1过点C)，再画出△A1B1C1关于直线l2对称的△A2B2C2.

7.如图所示，△ACB与△DEF关于直线OM对称，△DEF与△PQR关于直线ON对称，且∠MON=60°，将△ACB绕点O沿顺时针方向旋转多少度能与△PQR重合呢?

8.在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形.有些多边形边数不同，对称轴的条数也不同；有些多边形边数相同，但却有不同数目的对称轴.回答下列问题：(1)非等边的等腰三角形有条对称轴，非正方形的长方形有条对称轴，等边三角形有条对称轴；(2)观察图①②③中的凸多边形(实线画出的部分)，它们的共同点是只有1条对称轴，其中图②和图③都可以看作由图①修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图④和图⑤中，分别修改图②和图③，得到只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形；(3)小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图⑥是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形；(4)请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴.

拓展延伸

1.将一张正方形纸依次按如图①②所示的方式对折，然后沿图③中的虚线裁剪，则将图③的彩纸展开铺平后的图案是( )

2.如图，将△ABC放在小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均落在格点上.(1)△ABC的面积等于多少?(2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，以BC所在直线为对称轴，作出△ABC关于直线BC对称的图形，并简要说明画图方法(不要求证明).

用坐标表示对称轴

扎实基础

1.设直线l垂直于x轴，点A，B在直线l上，则( )

A点A、B的横坐标相同 B点A、B的纵坐标相同 C点A、B横、纵坐标都相同 D点A、B横、纵坐标都不同2.一学生误将点A的横、纵坐标次序颠倒，写成A(a，b)，另一学生误将点B的坐标写成关于y轴的对称点的坐标(-b，-a)，则A，B两点原来的位置关系是( ) A 关于x轴对称B关于y轴对称 C 重合 D 以上都不对

3.点A(1，-2)关于x轴对称的点的坐标是，关于y轴对称的点的坐标是.

4.点P(-2,2b-1)关于x轴的对称点P1的坐标是(3a-1,5),则a=，b=.

5.点M的坐标为(3,2)，它关于x轴的对称点是点N，点N关于y轴的对称点是点P，则点P的坐标为.

6.已知点M(3a-b,5)，N(9,2a+3b)关于x轴对称，则b a的值是．

综合提升

1.已知点P(a+1,2a-3)关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是( )

A a＜-1

B -1＜a＜1.5

C -1.5＜a＜1

D a＞1.5

2.若点P关于x轴的对称点为P1(2a+b，-a+1)，关于y轴的对称点为P2(4-b，b+2)，则点P的坐标为( )

A (9,3)

B (-3,-3)

C (9,-3)

D (-9,-3)

3.如图1所示，已知点A，B的坐标分别为(2,0)，(2，4)，以A，B，P为顶点的三角形与△ABO全等，写出符合条件的点P的坐标为．

4.如图2所示，如果△A'B'C'与△ABC关于y轴对称，那么点A的对应点A'的坐标为．

5.已知P1点关于x轴的对称点P2(3-2a,2a-5)是第三象限内的整点(横、纵坐标都为整数的点，称为整点)，则点P1的坐标是．

6.在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的各顶点均在格点上.(1)作出与△ABC 关于y轴对称△A1B1C1；(2)将△ABC向左平移2个单位长度得到△A2B2C2，写出△A2B2C2各顶点的坐标，并画出平移后的△A2B2C2；(3)观察△A1B1C1与△A2B2C2，它们是否关于某条直线对称?若是，请在图上画出这条对称轴.

7.如图所示，△BCO是△BAO经过某种变换得到的.(1)点A与点C的坐标之间的关系是什么?(2)如果△AOB中任意一点M的坐标(x，y)，那么它的对应点N的坐标是什么?

8.在平面直角坐标系中，已知点A(a，b)与点B(c，d)(d≠0)关于y轴对称，求式子

d b

2014

-3a-3c的值.

9.如图所示，在平面直角坐标系中，直线l过点P(3,0)，且平行于y轴.(1)如果△ABC三个顶点的坐标分别是

A(-2,0)，B(-1,0)，C(-1,2)，且△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线1的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2三个顶点的坐标；(2)如果点Q的坐标是(-a,0)，其中a>0，点Q关于y轴的对称点是Q1，点Q1关于直线l的对称点是Q2，求QQ2的长.

10.如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线.实验与探究：由图易知A(0,2)关于直线l 的对称点A'的坐标为(2,0)，请在图中分别标明B(5,3)，C(-2,5)关于直线l的对称点B'，C'的位置，并写出它们的坐标B'；C'．归纳与发现：结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P(m，n)关于第一、三象限的角平分线l的对称点P'的坐标为.

拓展延伸

1.在直角坐标系xOy中，点P(-2,3)关于x轴的对称点的坐标是( ) A (-2,-3) B (2，-3) C (2,3) D (-3,-2)

2.如图3，在平面直角标系中，△ABC与△DEF关于直线m=1对称，点M，N分别是这两个三角形中的对应点，如

3.如图4，在坐标平面内，依次作点P(-1,2)关于直线y=x 的对称点P 1，P 1关于x 轴的对称点P 2，P 2关于y 轴的对称点P 3，P 3关于直线y=x 的对称点P 4，P 4关于x 轴的对称点P 5，P 5关于y 轴的对称点P 6，……，按照上述的变换继续作对称点P n ，P n+1，P n+2，当n=2016时，点P n+2的坐标为 ．

4.在平面直角坐标系中，已知点P(1-2m ，

3

4

3-m )关于y 轴的对称点Q 在第四象限，且m 为整数.(1)求整数m 的值；(2)求△OPQ 的面积.

5.如图，在边长为1的小正方形网格中，△AOB 的顶点均在格点上.(1)B 点关于y 轴的对称点坐标为 ；(2)将△AOB 向左平移3个单位长度得到△A 1O 1B 1，请画出△A 1O 1B 1；(3)在(2)的条件下，A 1点的坐标为 ．

等腰三角形（1） 扎实基础

1.已知一个等腰三角形的顶角为30°，则它的一个底角等于( ) A 30° B 75°C 150°D 125°

2.等腰直角三角形一个底角的度数是( ) A 30° B 45° C 60° D 90°

3.下列说法正确的是( )

A 等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合

B 顶角相等的两个等腰三角形全等

C 等腰三角形的一边不可以是另一边的2倍

D 等腰三角形的两个底角相等 4.等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是( )

A 过顶点的直线

B 底边的垂线

C 顶角的平分线所在的直线

D 腰上的高所在的直线

5.如图1所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=700

，O 是△ABC 内一点，且∠OBC=∠OCA ，则∠BOC 的度数为( ) A 140° B 110° C 125° D 115°

6.如果等腰三角形的一个内角为50°，那么其余两个角为 ．

7.等腰三角形的周长是16，其中两边之差为2，则它的三边长分别为 .

综合提升

1.等腰三角形一腰上的高与底边所夹的角等于( ) A.顶角 B 顶角的一半 C 顶角的2倍 D 底角的一半

2.如图2所示，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠B 的度数为( ) A 35° B 40° C 45° D 50°

3.已知一个等腰三角形的两边长x ，y 满足方程组??

?=+=-8

233

2y x y x ,则此等腰三角形的周长为( )

A 5

B 4

C 3

D 5或4

4.如图3，在△A 1BC 中,∠B=30°,A 1B=CB ；在边A 1B 上任取一点D ，延长CA 1到A 2，使A 1A 2=A 1D ，得到△A 1A 2D.在边A 2D 上任取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3=A 2E ，得到△A 2A 3E ，…，按此作法继续下去，则第n 个三角形中以A n 为顶点的内角度数是( ) A n

)2

1(·750

B 1

)

2

1(-n ·650

C 1

)

2

1(-n ·750

D n

)2

1(·850

5.如图4，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠DBC=26°,且AD=DB,则∠A= ．

6.如图5所示，在△ABC 中，AB=AC ，BC=6，AD ⊥BC 于点D ，则BD= ．

7.如图所示，∠BAC=∠ABD，AC=BD，点O是AD，BC的交点，点E是AB的中点，试判断OE和AB的位置关系，并给出证明.

8.如图所示，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB，且∠ACD=25°，求∠B的度数.

9.如图，已知A(3,0)，B(0,4)，C为x轴上一点，使△ABC为等腰三角形，且一腰长为5.(1)画出等腰三角形ABC；

(2)求出C点的可能的坐标.

10.在Rt△ABC中，∠BAC=900，AC=2AB，点D是AC的中点，将一个锐角为450的直角三角板如图所示放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连接BE，EC，试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想.

拓展延伸

2.如图7，D是Rt△ABC斜边BC上一点，AB=AD，记∠CAD=α，∠ABC=β，若α=10°，则β的度数是( )

A 40°

B 50°

C 60°

D 不能确定

3.已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为( ) A 8或10 B 8 C 10 D 6或12

4.如图8所示，直线m∥n，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，则∠1=．

5.如图9所示，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1.按下列要求画图：以A为圆心,1为半径向右画弧，交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心,1为半径向右画弧，交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心,1为半径向右画弧，交OC于点A3，得第3条线段A2A3；这样画下去，直到得到第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=．

6.如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O.(1)求证:OB=OC；(2)若∠ABC=50°，求∠BOC 的度数.

等腰三角形（2）

扎实基础

1.在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，其中是等腰三角形的是( )

A ∠A=50°,∠B=60°

B ∠A=70°∠B=40°

C ∠A=40°,∠B=90°

D ∠A=80°,∠B=60°

2.如图1所示，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3cm，则CD的长为( ) A 4cm B 3cm C 2cm D 1.5cm

3.如图2，直线MN与直线PQ相交于点O，∠MOP=40°，A为平面内一点，且∠AOM=60°,现有一点B在直线MN 或直线PQ上，使得△AOB是等腰三角形，这样的点B有个.

4.如图，已知线段a，h，求作等腰△ABC，使得底边BC=a，BC边上的高为h.(保留作图痕迹，不写作法)

5.如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是∠CAE的平分线. (1)尺规作∠ADC的平分线DN(保留作图痕迹不写作法和证明)；(2)设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状，并说明理由.

1.如图3，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，给出下列结论：①∠C=72°；

②BD是∠ABC的平分线；③BC=AD；④△ABC是等腰三角形.其中正确的结论有( )

A 1个

B 2个

C 3个

D 4个

2.如图4所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC，交AB于点M，交AC于点N，且BM+CN=9，则MN的长为( ) A 6 B 7 C 8 D 9

3.满足下列条件的三角形：①三个内角比为1:2:1；②三个内角比为2:2:5；③三个内角比为1:2:3.其中是等腰三角形的有( ) A 0个 B 3个 C 2个 D 1个

4.如图5，坐标平面内有一点A(2，-1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的点P有个.

5.如图6所示，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大为.

6.如图所示,上午8时，一艘船从A处出发以20海里/时的速度向正北方向航行，上午11时到达B处，从A，B 处望灯塔C，分别测得∠NAC=44°，∠NBC=88°，求从B处到灯塔C的距离.

7.如图所示，∠ABC和∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E.(1)求证:BD+EC=DE；

(2)若AB=15，AC=12，求△ADE的周长.

8.如图所示，已知△ABC中，AB=AC，D，E分别是AB，BC上的点，连接DE并延长与AC的延长线交于点F，若DE=EF，试证明：BD=CF.

9.如图所示，∠ABC=900，D，E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD的延长线与AB的延长线相交于点M.(1)求证:∠FMC=∠FCM；(2)AD与MC垂直吗?请说明理由.

1.如图7，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=800，则∠C的度数为( )A 30°B 40°C 45°D 60°

2.平面直角坐标系中，已知A(2,2)，B(4,0).若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是( ) A 5 B 6 C 7 D 8

3.如图8，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，∠PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有个.

4.如图9，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点，已知图中有A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有个.

5.如图，已知△ABC中，∠ABC=∠ACB，以点B为圆心，BC长为半径的弧分别交AC，AB于点D，E，连接BD，ED.(1)写出图中所有的等腰三角形；(2)若∠AED=114°，求∠ABD和∠ACB的度数.

等边三角形（1）

扎实基础

1.等边三角形两条角平分线所夹的锐角的度数是.

2.如图1所示，在等边△ABC中，AB=3，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，过O作OE∥AB，OF∥AC，分别交BC于点E，F，则△OEF的周长为.

3.如图2所示，△ABC为等边三角形，AD⊥BC于点D，AE=AD，则∠ADE=度.

4.由于木质的衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作，小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图3-①，衣架杆OA=OB=18cm.若衣架收拢时，∠AOB=600，如图3-②，则此时AB=cm.

5.如果一个三角形是轴对称图形，且有一个角为600，那么这个三角形是角形，这个图形有条对称轴.

综合提升

1.如图4所示，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是( )

A 180°

B 220°

C 240°

D 300°

2.下列命题不能判定三角形是等边三角形的是( )

A有两条边相等，且有一个角是60° B一个角的平分线与对边上的中线或高重

C三边都相等 D有两角相等，且这两个角的和等于第三个角的2倍

3.下列几种三角形：①有一个角为600的等腰三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高也是这边上的中线的三角形；④有一外角为1200的等腰三角形.其中是等边三角形的有( )个 A 4 B 3 C 2 D 1

4.已知在△ABC中，AB=AC=2，∠C=60°，则BC的长为( ) A 1 B 2 C 3 D 4

5.△ABC的三边a，b，c满足a2+b2+c2-2a-2b=2c-3，则△ABC为( )

A直角三角形 B等腰直角三角形 C钝角三角形 D等边三角形

6.如图5所示，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD,DF=DE,则∠E=.

7.如图所示，△ABC是等边三角形，点E是AC上一点，∠1=∠2，BE=CD，请判断△ADE的形状，并说明理由.

8.如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.(1)求证：△ODE是等边三角形；(2)线段BD，DE，EC三者有什么数量关系?写出你的判断过程；(3)数学学习不但要能解决问题，还要善于提出问题.结合本题，在现有的图形上，请提出两个与“等边三角形”有关的问题(只提出问题，不需要解答).

9.如图所示，△ABD，△AEC都是等边三角形.(1)求证:DC=BE；(2)CD与BE交于点O，求∠BOC的度数.

10.如图所示，△ABD和△CBD都是等边三角形，点E从A→D运动(但不与点A，D重合)，点F从D→C运动，且满足AE=DF.(1)试猜想BE，BF的大小关系，并说明理由；(2)试说明点E从A→D运动的过程中四边形BEDF面积的变化情况，并说明理由.

11.如图所示，在△ABC中，D是BC边上的一点，DE⊥BC，交AB边于点E，DF⊥AC于点F，BE=CD,BD=CF.(1) △ABC是等腰三角形吗?请说理由. (2)连接EF，当∠A=度时，△DEF是等边三角形.

拓展延伸

1.如图6所示，等边△DEF 的顶点分别在等边△ABC 的各边上，且DE ⊥BC 于点E ，若AB=1，则BD 的长为( ) A

21 B 31 C 32 D 4

3 2.如图7所示,l ∥m ，等边△ABC 的顶点A 在直线m 上，则∠α= .

3.如图8所示，直线a ∥b ，△ABC 是等边三角形，点A 在直线a 上，边BC 在直线b ，把△ABC 沿BC 方向平移BC 的一半得到△A'B'C'，(如图①)，继续以上的平移得到图②，再继续以上的平移得到图③……，请问在第100个图形中等边三角形的个数是 .

4.如图所示，△ABC 与△ADE 是等边三角形，点B ，C ，D 在同一直线上.求证:(1)CE=AC+CD ；(2)∠ECD=600

.

等边三角形（2） 扎实基础

1.在Rt △ABC 中，∠C=900

，∠B=300

，斜边AB 的长为2cm ，则AC 长为( ) A 4cm B 2cm C 1cm D

2

1cm 2.图1是屋架设计图的一部分，立柱BC 垂直于横梁AD ，AB=10m ，∠A=300

，则立柱BC 的长度是( ) A 5m B 8m C 10m D 20m

3.如图2所示，已知∠AOB=600

，点P 在边OA 上，OP=12，点M ，N 在边OB 上，PM=PN ，若MN=2，则OM=( ) A 3 B 4 C 5 D 6

4.山的高度是100m ，小明沿倾斜角为30°的山坡从山脚步行到山顶，那么小明一共走了 . 综合提升

1.如图3所示，在△ABC 中，∠B=300

，BC 的垂直平分线交AB 于点E ，垂足为D.若ED=5，则CE 的长为( ) A 10 B 8 C 5 D 2.5

2.如图4所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°，则BD 与AB 的关系是( ) A BD=

21AB B BD=41AB C BD=31AB D BD=6

1AB 3.如图5所示，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3, ∠B=30°，点P 是BC 边上的动点，则AP 长不可能是( ) A 3.5 B 4.2 C 5.8 D 7

4.如图6所示，一棵树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( ) A 6m B 9m C 12m D 15m

5.如图7所示，已知∠ABC=60°，DA是BC的垂直平分线，BE平分∠ABD交AD于点E，连接CE.有下列结论：①BE=AE；②BD=AE；③AE=2DE；④S△ABE=S△CBE，其中正确的结论是( )

A ①②③

B ①②④

C ①③④

D ②③④

6.如图8所示，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB.若EC=1,则EF=.

7.如图9所示，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AC，若AB=12cm,则CE=cm.

8.如图，在△ABC中，∠C=900，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E.(1)求证:△ACD≌△AED；

(2)若∠B=300，CD=1，求BD的长.

9.如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.

(1)求∠F的度数；(2)若CD=3，求DF的长.

10.如图所示，等边△ABC的边长为10，点P是边AB的中点，Q为BC延长线上一点，CQ：BC=1:2，过点P作PE ⊥AC于点E，连接PQ交AC边于点D，求DE的长.

11.如图所示，已知∠MAN=1200，AC平分∠MAN，点B，D分别在射线AN，AM上.(1)在图①中，当∠ABC=∠ADC=900时，求证:AD+AB=AC；(2)若把(1)中的条件“∠ABC=∠ADC=90”改为ABC+∠ADC=1800，其他条件不变，如图②所示，则(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

拓展延伸

1.在△ABC 中,∠A:∠B:∠C=1:2:3，CD ⊥AB 于点D ，AB=a ，则DB=( ) A

31a B 41a C 43a D 2

1a 2.如图10所示，在△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,AB+CB=12cm,则AB=( ) A 6cm B 7cm C 8cm D 9cm

3.如图11所示，已知∠MON=30°，点A 1，A 2，A 3，A 4…在射线ON 上，点B 1，B 2，B 3…在射线OM 上，△A 1B 1A 2， △A 2B 2A 3，△A 3B 3A 4均为等边三角形，若OA 1=1，则△A 6B 6A 7的边长为 .

4.如图所示，已知∠AOB=30°，OC 平分∠AOB ，P 为OC 上任意一点，PD ∥OA 交OB 于D ，PE ⊥OA 于E ，如果OD=4cm ，求PE 的长.

课题学习—最短路径问题 扎实基础

1.七年级1班同学做游戏，在活动区域OP 上放了一些球(如图所示)，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A?

2.如图所示，已知甲、乙、丙三个人做传球游戏，游戏规则如下：甲将球传给乙，乙将球立刻传给丙，然后丙又立刻将球传给甲，若甲站在∠AOB 内的P 点，乙站在OA 上，丙站在OB 上，并且甲、乙、丙三人的传球速度相同，问乙和丙必须站在何处，才能使球从甲到乙、乙到丙、丙到甲这一轮所用的时间最少?

3.如图，钝角△ABC面积为15,最长边AB=10,BD平分∠ABC,点M，N分别为BD、BC上的动点,求CM+MN的最小值.

综合提升

1.如图所示，在五边形ABCDE中,∠BAE=1200,∠B=∠E=900,AB=BC,AE=DE,在BC、DE

上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为( )

A 100°

B 110°

C 120°

D 130°

2.如图所示，在平面直角坐标系中，已知A(2,3)，B(4,4)，C(5,1)，在x轴上找一点D，使四边形ABCD的周长最小，在图中作出D点.

3.如图，公园内两条小河MO，NO在O处汇合，两河形成的半岛上有一景点P.现计划在两条小河上各建一座小桥Q和R，并在半岛上修三段小路，连通两座小桥与景点，这两座小桥应建在何处能使修路费用最少?请说明理由.

4.A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.(1)一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在点C，使点C到A、B两校的距离相等?如果有，请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹；(2)若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场的位置.

5.如图所示，一牧童在A处牧马，牧童家在B处，A、B处距河岸的距离AC、BD的长分别是70m和50m，且CD

的距离为50m，天黑前牧童从A点将马牵到河边去饮水，再赶回家，你知道牧童怎样走路程最短吗?

6.在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题.如图(1)，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短?你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线(如图(2))，问题就转化为要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小，他的做法是这样的：①作点B关于直线的对称点B'；