第十一章压杆的稳定_工程力学

第十一章 压杆的稳定

承受轴向压力的杆，称为压杆。如前所述，直杆在轴向压力的作用下，发生的是沿轴向的缩短，杆的轴线仍然保持为直线，直至压力增大到由于强度不足而发生屈服或破坏。直杆在轴向压力的作用下，是否发生屈服或破坏，由强度条件确定，这是我们已熟知的。然而，对于一些受轴向压力作用的细长杆，在满足强度条件的情况下，却会出现弯曲变形。杆在轴向载荷作用下发生的弯曲，称为屈曲，构件由屈曲引起的失效，称为失稳（丧失稳定性）。本章研究细长压杆的稳定。

§11.1 稳定的概念

物体的平衡存在有稳定与不稳定的问题。物体的平衡受到外界干扰后，将会偏离平衡状态。若在外界的微小干扰消除后，物体能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是稳定的；若在外界的微小干扰消除后物体仍不能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是不稳定。如图11.1所示，小球在凹弧面中的平衡是稳定的，因为虚箭头所示的干扰（如微小的力或位移）消除后，小球会回到其原来的平衡位置；反之，小球在凸弧面上的平衡，受到干扰后将不能回复，故其平衡是不稳定的。

上述小球是作为未完全约束的刚体讨论的。对于受到完全约束的变形体，平衡状态也有稳定与不稳定的问题。如二端铰支的受压直杆，如图11.2(a )所示。当杆受到水平方向的微小扰动（力或位移）时，杆的轴线将偏离铅垂位置而发生微小的弯曲，如图11.2(b)所示。若轴向压力F 较小，横向的微小扰动消除后，杆的轴线可恢复原来的铅垂平衡位置，即图11.2(a )，平衡是稳定的；若轴向压力F 足够大，即使

(a ) 稳定平衡 图11.1 稳定平衡与不稳定平衡

微小扰动已消除，在力F 作用下，杆轴线的弯曲挠度也仍将越来越大，如图11.2(c)所示，直至完全丧失承载能力。在F =F cr 的临界状态下，压杆不能恢复原来的铅垂平衡位置，扰动引起的微小弯曲也不继续增大，保持微弯状态的平衡，如图11.2(b)所示，这是不稳定的平衡。如前所述，直杆在轴向载荷作用下发生的弯曲称为屈曲，发生了屈曲就意味着构件失去稳定（失稳）。压杆保持稳定与发生屈曲间的力F cr 称为压杆的临界载荷或临界压力。

建筑物中的立柱、桁架结构中的受压杆、液压装置中的活塞推杆、动力装置中的气门挺杆等都是工程中常见的压杆，细长压杆的稳定是设计中必需考虑的。

§11.2 两端铰支细长压杆的临界载荷

压杆是否能保持稳定，取决于压杆的临界载荷或临界压力F cr 。当F =F cr 时，压杆处于如图11.2(b)所示的微弯平衡状态。现将二端铰支的细长压杆重画于图11.3，用静力学的方法研究其平衡问题。

一、力的平衡

取任一截面，由力的平衡方程可知，杆在任一距原点o 为x 处的弯矩为：

M (x )=-Fy 二、物理方程

讨论弹性小变形情况，有线弹性应力-应变关系：

(a )

图11.2 压杆稳定概念

(b)

(c)

图11.3 二端铰支的细长压杆

σ=E ε 三、变形几何关系

在弹性小变形条件下，处于微弯平衡状态的杆的挠曲线微分方程由(9-19)式给出为：

将M (x )=-Fy 代入，杆的挠曲线微分方程可写为：

d 2y /d x 2+k 2y =0

式中，k 2=F /EI 。上式是一个二阶齐次常微分方程，其通解为： y =Asink x +Bcosk x 式中的积分常数A 、B 由边界条件确定。

图11.3中，杆的边界条件是在二支承处挠度为零，即： 1) x =0处， y =0； 2) x =l 处， y =0。 将边界条件1）代入通解，有：

B=0；

再将边界条件2）代入通解，有：

Asink l =0

注意上式中如果A=0，则因为B 已经为零，挠曲线微分方程给出的解答将成为y ≡0，其物理意义是杆各截面处挠度均为零，不发生弯曲变形，杆仍然为直杆。这与所研究的微弯平衡问题不符，故A ≠0。于是，必有：

sink l =0

上式给出：

k l =n π ( n=0，1，2，… ) 注意前面已定义k 2=F /EI ，即F = k 2EI ，利用上式，可以得到：

( n=0，1，2，… )

EI

x M dx y d )

(2

2=2

22l EI n F π=

上述结果中若取n=0，则F =0，杆上无载荷，不会发生压杆稳定问题。故由n=1可给出使二端铰支压杆发生微弯平衡(失稳)的最小临界载荷为：

式(11-1)称为确定二端铰支压杆稳定临界载荷的欧拉公式。欧拉公式指出：压杆稳定的临界载荷F cr 与杆长l 的平方成反比，l 越大，F cr 越小，杆越容易发生屈曲失稳；压杆的临界载荷F cr 与杆的抗弯刚度EI 成正比，杆的抗弯刚度越小，F cr 越小，杆越容易发生屈曲失稳。细长杆件l 大、抗弯刚度EI 小，稳定问题是不可忽视的。

值得注意的是，对于图11.3所示的压杆屈曲问题，若二端为平面铰链支承，只允许杆在x y 平面内弯曲，则截面惯性矩I=I z ；若二端为球形铰链支承，则杆可在过轴线x 的任一平面内发生弯曲。若截面对某轴惯性矩最小，则能承受的临界载荷也最小，将首先垂直于该轴的平面内发生屈曲失稳。例如，对于图11.4所示之二端为球形铰支的矩形截面压杆，若h>b ，则显然有

I y =hb 3/12

例11.1 直径d=20mm 的圆截面直杆，长l =800mm ，二端铰支。已知材料的弹性模量

E=200GPa ，σys =240MPa ，试求其临界载荷和屈服载荷。 解：由二端铰支压杆临界载荷的欧拉公式(11-1)式，有：

压杆的屈服条件为σ=F /A=σys ，故屈服载荷为：

2

2l

EI

F cr π=

---(11-1 )

图11.4 失稳发生在I 最小的方位

N

N d l E F cr 32

4

334

2

2102.2480064201020064

?=????=

?=

πππ

显而易见，F cr <

§11.3 不同支承条件下压杆的临界载荷

采用与前节类似的方法，可以由压杆微弯平衡的力学模型，研究不同支承情况下的屈曲临界载荷。但是应当注意，当杆端约束情况改变时，挠曲线近似微分方程中的弯矩和挠曲线的边界约束条件也将发生变化，因而临界载荷也不同。 一、二端固定的压杆

二端固定的压杆如图11.5所示。在B 端施加轴向压力F ，讨论杆在微弯状态下的平衡。注意固定端A 的约束反力有轴向反力F A x =F ，有反力偶M A ；由对称性知B 端也应有反力偶M B =M A =M ，如图所示

。固定端还可以有y 方向的反力，但因为本问题（载荷和几何）是左右对称的，若A 端有反力F A y ，则B 端一定有同号的反力F B y =F A y ，为满足平衡方程：

∑F y =F A y +F B y =0

必有F A y =F B y =0。故二端固定支承压杆，在微弯平衡状态时的受力如图11.5所示。

杆在任一截面x 处的弯矩为： M (x )=M -Fy 挠曲线近似微分方程为：

N

N d A F ys

ys

s 322103.754

240

204

?=??=

==πσπσ图11.5 二端固定的压杆

EI

Fy

M EI x M dx y d -==)(22

仍然定义k 2=F /EI ，上式成为：

上述二阶常微分方程的通解为： y=Asink x +Bcosk x +M /F

为确定积分常数A 、B ，将挠度方程微分得到截面转角为： y ′=θ=Akcosk x -Bksink x

二端固定杆的边界条件是，二固定端处挠度和转角均为零，即： 1) x =0处， y A =0，θA =0； 2) x =l 处， y B =0，θB =0； 将4个边界条件分别代入通解，得到：

B+M /F =0； Ak=0

Asink l +Bcosk l +M /F =0 Akcosk l -Bksink l =0

上述第一式说明B ≠0。因为若B=0，则必有M =0，二固定端无反力偶，相当于铰支，如所讨论的问题不符。将第二式Ak=0代入上述第四式，并注意B 、k 均不为零，则必有：

sink l =0

再将sink l =0代入上述第三式，并利用上述第一式给出的B=-M /F ，还有：

cosk l -1=0

能使sink l =0，cosk l -1=0同时满足的解答是：

k l =2n π ( n=0，1，2，… )

若n=0，因为杆长l ≠0，则由k=0，有F =0，杆上无载荷，不会发生微弯平衡。 n=1时，k l =2π，有k=2π/l ，代入k 2=F /EI ，即得到二端固定压杆的临界载荷为：

EI

M y k dx y d =+2

22

二、欧拉公式的一般形式

前节导出的二端铰支压杆的临界应力公式(11-1)式和本节导出的二端固定压杆的临界应力公式(11-2)式，可以统一写成：

这就是确定压杆稳定临界载荷F cr 的欧拉公式的一般形式。对于二端铰支的压杆，μ=1；对于二端固定的压杆，μ=1/2。μl 可视为压杆的相当长度，即确定二端固定压杆稳定的临界载荷时，杆长相当于二端铰支压杆长度的1/2；μ则称为反映压杆不同支承情况的相当长度系数。

用类似的方法研究一端固定、另一端铰支；一端固定、另一端自由的压杆，结果表明其稳定临界载荷也可由(11-3)式描述，只不过μ值不同而已。

不同支承情况下，用欧拉公式的一般形式(11-3)式确定临界载荷时的相当长度系数μ为：

μ=1 二端铰支

μ=0.7 一端铰支、一端固定 μ=2 一端自由、一端固定 μ=0.5 二端固定

可见，杆端支承对于压杆的临界载荷有显著影响。杆的几何尺寸一定时，一端自由、一端固定时临界载荷最小；二端铰支，一端铰支、一端固定次之；二端固定支承时临界载荷最大。

---(11-4)

2

24l EI F cr π=

---(11-2 )

2

2)(l EI F cr μπ=

---(11-3 )

N

l EI F x

cra 2

3

922

228122.012.01010?????=

=

ππ在工程实际中，受压杆件二端的支承情况往往是复杂的。需要根据具体情况，分析支承对于杆端的约束特性，选择适当的理想化支承模型。如桁架中的压杆，其节点处的连接常常用焊接或铆接，但因为连接处限制杆件转动的能力并不强，简化成铰接是比较恰当且偏于安全的。又如图11.6所示的圆柱销铰链，在x y 平面内，杆可以绕销钉转动，接头处支承是铰支。在yz 平面内，杆不能与接头发生相对转动，若接头固定牢靠，可以简化为固定端；但若杆插入接头的深度不够或杆与接头连接的

间隙较大，有相对转动的可能，则接头处仍应简化为铰支。

例11.2 矩形截面木杆如图11.7所示，b=0.12m ，h=0.2m ，l =8m 。已知材料的弹性模

量E=10GPa ，试求图中(a )、(b)二种情况下杆的临界载荷。 解：1）情况(a )

先讨论杆在yz 平面失稳的情况，此时I=I x =hb 3/12，二端可视为固定端，故有：

=177.6?103 N=177.6 kN

再讨论杆在y x 平面失稳的情况，此时I=I z =bh 3

/12，二端应视为铰支，故有：

=123.4?103 N=123.4 kN

N

l EI F x

cra 2

3

922

21)85.0(1212.02.01010)5.0(??????=

=

ππ

图11.6圆柱销铰链连接

(a )

图11.7 例11.2图

(b)

N

l EI F x

crb 2

3

922

21)

85.0(122.012.01010)

5.0(??????=

=

ππ因为F cra2

F cra =123.4kN 。

2）情况(b)

先讨论杆在yz 平面失稳的情况，此时I=I x =bh 3/12，二端可视为固定端，故有：

=493.5?103 N=493.5 kN

再讨论杆在y x 平面失稳的情况，此时I=I z =hb 3/12，二端可视为铰支，故有：

=44.4?103 N=44.4 kN

因为F crb2< F cra1，故杆如情况(b)放置时，失稳将在是y x 平面发生，且F crb =44.4kN 。 可见，矩形截面压杆易于在截面惯性矩I 小的平面内发生屈曲失稳，若支承条件在惯性矩I 小的平面内也较弱，则临界载荷将大大降低，更易发生屈曲失稳。因此，在本题的支承条件下，情况(b)中的截面放置是不合理的，情况(a )中的截面设置是较合理的。如果二端支承条件在y x 、yz 平面相同，则对于稳定而言，截面设计成正方形比矩形合理。

§11.4 中小柔度杆的临界应力

欧拉公式是由挠曲线近似微分方程导出的，而挠曲线近似微分方程只有在线弹性条件下才成立。换言之，只有压杆所受的应力在线弹性范围内时，欧拉公式才适用。超出此范围，欧拉公式能否利用？如何利用？这就是本节所要讨论的。

N

l EI F x

crb 2

3

922

2281212.02.01010?????=

=

ππ

一、临界应力与杆的柔度

压杆在稳定临界状态时，横截面上的应力，由欧拉公式(11-3)式给出为：

式中，A 是压杆的横截面积，σcr 是压杆稳定的临界应力。

将截面惯性矩I 写成 I=i 2A ， i 称为截面的惯性半径，量纲为[长度]1。 则临界应力公式成为： 式中，λ为：

λ=μl /i ---(11-6)

上述无量纲参数λ，称为压杆的柔度或细长比。λ反映了杆端约束、压杆长度、杆截面形状和尺寸对临界应力的综合影响。杆端约束情况μ一定时，杆长l 越大，截面惯性半径i 越小，则λ越大，杆越细长，临界应力越小，越容易发生屈曲失稳。 由于欧拉公式是在线性弹性条件下得到的，故由此给出的临界应力公式(11-5)式的适用条件，应当是压杆中的应力不大于材料的比例极限σp ，即

上式给出：

若令：

则只有在λ≥λP 时，欧拉临界应力公式（11-5）或临界载荷（11-3）式才成立。 二、临界应力总图

λ≥λP 的杆，称为大柔度杆，前面讨论中的所说的细长杆，就是指大柔度杆，其

---(11-5)

2

2)(l A EI A F cr cr

μπσ==2

222)/(λ

πμπσE

i l E cr ==p

cr E

σλ

πσ≤=22---(11-7)

p E σπλ/≥p

p E σπλ/=

破坏形式是弹性屈曲失稳，临界应力可由欧拉公式确定。

另一方面，对于长度短、截面尺寸大的杆，由于杆的柔度很小而不至失稳；其破坏形式是强度不足，临界应力为σcr =σys （延性材料）或σcr =σb （脆性材料）。

压杆的临界应力如图11.8所示。在柔度较小的AB 段（λ≤λs ），杆称为小柔度杆，临界应力σcr =σys ，发生的破坏是强度不足；在柔度较大的CD 段（λ≥λp ），杆是大柔度杆，临界应力σcr =π2

E/λ2

，发生的破坏是应力小于比例极限的线性弹性屈曲失稳；在中等柔度的BD 段（λs ≤λ≤λp ），杆称为中柔度杆，对应的临界应力则为

σp ≤σcr ≤σys ，故发生的也是屈曲失稳破坏（并非线性弹性屈曲失稳）。

对于图11.8中BD 段的中柔度杆，失稳临界应力的分析比较复杂，其工程计算方法是由下述经验公式给出的：

σcr =a -b λ （λs ≤λ≤λp ） ---(11-8)

此即临界应力总图中的虚直线段。a 、b 分别是与材料相关的参数，单位为MPa 。表11-1列出了一些常用材料的a 、b 值。

表11-1 一些常用材料的a 、b 值

σσ

σ图11.8 压杆的临界应力总图

由（11-8）式可知，中柔度杆的下限λs可写为：

λs=(a-σcr)/b ---(11-9) 对于延性材料，式中σcr=σys，对于脆性材料，σcr=σb。

在工程实际中，对于临界应力总图中BD段的中柔度杆，除用线性经验公式(11-8)式外，还有抛物线型的压杆临界应力经验公式。无论经验公式如何描述，临界应力σcr在二端点B和C处之值，必然应分别为σys(或σb)和σp。

综上所述，计算压杆临界应力的基本方法、步骤如图11.9所示。

图11.9 确定压杆临界应力的基本方法与步骤

例11.3低碳钢压杆二端铰支，杆直径d=40mm。已知σys=242MPa，E=200GPa，若杆长L1=1.5m、L2=0.8m、L3=0.5m，试计算各杆的临界应力和临界载荷。

解：1）查表确定λs、λp

由表11-1知，对于低碳钢有：

λp=100，λs=60，a=310MPa，b=1.14MPa

2）计算杆的柔度λ λ=μl/i

二端铰支压杆：μ=1；

圆形截面的截面惯性半径：i=(I/A)1/2=[(πd4/64)/ (πd2/4)] 1/2=d/4=10mm

杆1的柔度为： λ1=μL1/i=1500mm/10mm=150

杆2的柔度为： λ2=μL 2/i =800mm/10mm=80 杆3的柔度为： λ3=μL 3/i =500mm/10mm=50

3）判定压杆的类型，计算计算临界应力和临界载荷:

杆1： λ1=150>λp =100，为大柔度杆，由欧拉公式（11-5）式有：

F cr1=σcr1A=(87.73?402π/4)N=110244 N=110 kN

杆2： λs =60>λ2=80<λp =100，为中柔度杆，由经验公式（11-8）式有：

σcr2=a -b λ=310MPa -1.14?80MPa=218.8 MP a F cr2=σcr2A=(218.8?402π/4)N=274952 N=275 kN

杆3： λ3=50>λs =60，为小柔度杆，有：

σcr3= σys =242 MP a

F cr3=σcr3A=(242?402π/4)N=304106 N=304 kN

例11.4 矩形截面木杆如图11.10所示，b=0.12m ，h=0.2m 。已知σys =25MP a ，

E=9.5GPa 。若F 1=120kN ，F 2=240kN ，试求杆的临界长度。 解：1）由材料性能确定λs 、λp 由表11-1知，对于木材有：

a =28.7MPa ，b=0.19MPa ，λp =110， λs =(a -σys )/

b =(28.7-25)/0.19=19.5

2）不同柔度压杆的临界载荷

由临界应力总图知，λ=λp =110时的

临界应力可由线性经验公式（或欧拉公式）求得为：

MPa

MPa E cr 73.87150102002

2

3221=?==πλπσ

图11.10 例11.4图

σcrp =σp =a -b λp =28.7 MP a -0.19 MP a ?110=7.8 MP a ， λs =19.5时的临界应力为：

σcrs =σys =25MP a

3）判断杆的类型，设计杆长

F 1=120kN 时：

σcr1=F 1/A=120000N/(120?200)mm=5 MP a ，

由于σcr1=5 MP a <σp =7.8 MP a ，故可按大柔度杆设计，由欧拉公式有：

杆在yz 平面失稳时，I=I x =hb 3/12；二端可视为固定端，μ=0.5。 由(11-6)式有：

L 11=λi /μ=λ(I/A)1/2/μ=[137?(0.122/12)1/2/0.5]m=9.49m 杆在y x 平面失稳时，I=I z =bh 3/12，二端可视为铰支，μ=1；有：

L 12=λi /μ=λ(I/A)1/2/μ=[137?(0.22/12)1/2]m=7.9m 故当F =F 1=120kN 时，杆的临界长度为：

L 1=min{ L 11、L 12}=7.9m F 2=240kN 时：

σcr2=F 2/A=240000N/(120?200)mm=10 MP a

由于σys >10 MP a >σp =7.8 MP a ，故可按中柔度杆设计，由(11-8)式有： λ=(a -σcr2)/b=(28.7-10)/0.19=98.4

杆在yz 平面失稳时，I=I x =hb 3/12；二端可视为固定端，μ=0.5。 由(11-6)式同样有：

L 21=λi /μ=λ(I/A)1/2/μ=[98.4?(0.122/12)1/2/0.5]m=6.82m

杆在y x 平面失稳时，I=I z =bh 3/12，二端可视为铰支，μ=1；有：

137

5

95002

21===πσπλcr E

L 22=λi /μ=λ(I/A)1/2/μ=[98.4?(0.22/12)1/2]m=5.68m

故若F =F 2=240kN ，杆的临界长度应为： L 2=min{ L 21、L 22}=5.68m

讨论：利用临界应力总图，除可由杆的柔度λ判断其类型外，也可由临界应力判断杆的类型，即σcr ≤σp ，大柔度杆；σp ≤σcr ≤σys ，中柔度杆；σys ≤σcr ，小柔度杆。

§11.5 压杆的稳定计算

受压杆件的屈曲失稳是在截面应力小于极限强度时发生的。前面的讨论已经给出了压杆稳定临界应力的计算方法。即对于大柔度杆，临界应力σcr 按欧拉公式计算，对于中柔度杆，临界应力按线性经验公式计算，然后得到临界载荷F cr 。考虑到载荷估计、约束简化、杆的几何及计算等误差，考虑到材料性能的分散性及可能的偶然超载等等，与强度设计一样，在压杆稳定设计时，同样需要留有保证杆的稳定性的安全储备。

引入稳定许用安全系数n st ，则许用压力为[F st ]= F cr /n st ，稳定性条件是：

上式要求杆的工作压力F 小于许用压力[F st ]。稳定性条件还可写为：

即实际工作稳定安全系数n 应大于许用稳定安全系数n st 。

稳定许用安全系数的选取，一般应大于强度安全系数。因为加载的偏心、杆的初始曲率、支承条件的实际情况等对强度影响并不显著的因素，对于稳定性却有较大的影响；同时，失稳垮塌的后果也更为严重。一般情况下，钢材稳定许用安全系数取1.8-3.0，铸铁取5.0-5.5，丝杆、活塞杆、发动机挺杆取2.0-6.0，矿山、冶金设

---(11-10)

][st st

cr

F n F F =≤

st cr

n F

F n ≥=

---(11-11)

备取4.0-8.0等。稳定许用安全系数可在相关专业设计手册中查得。

利用压杆的稳定条件，可以进行稳定性设计。与强度设计一样，稳定性设计也包括稳定性校核、截面尺寸或杆长设计、确定许用载荷等等。

例11.5 千斤顶如图11.11所示。丝杆由优质碳钢制成，丝杆的内径d=40mm ，最大顶

升高度L=350mm ，最大起重量F =80kN 。若规定的许用稳定安全系数为n st =4，试校核其稳定性。 解：1）由材料性能确定λs 、λp

由表11-1知，对于优质碳钢，有：

a =461MPa ， b=2.57MPa ，λp =100，λs =60 2）计算杆的柔度

丝杆可简化为下端固定、上端自由的压杆，μ=2； 圆截面惯性半径为：i =(I/A)1/2=d/4 故丝杆的柔度为：λ=μL/i =2?350/10=70 3）判断杆的类型，计算临界载荷

由于杆的柔度：λs =60<λ=70<λp =100，故为中柔度杆，按经验公式有： σcr =a -b λ=461MPa-2.57MPa ?70=281.1 MPa

F cr =σcr A =281.1MPa ?(402π/4)mm 2=353240 N=353.24 kN 4）稳定性校核

由稳定性条件(11-11)式，有： n=F cr /F =353.24/80=4.415>n st =4 可见，丝杆是稳定的。

例11.6 活塞杆BC 由铬锰钢制成，σys =780MPa ，E=210GPa ，直径d=36mm ，最大外

伸长度L=1m ，若规定的许用稳定安全系数为n st =6，试确定其最大许用压力

图11.11 例11.5图

F max 。

解：1）由材料性能确定λs 、λp 查表11-1，有：

a =980MPa ，b=5.29MPa ， λp =55，

λs =(a -σys )/b=(980-780)/5.29=37.8 2）计算杆的柔度

活塞杆可简化为B 端固定、C 端铰支的压杆，μ=0.7； 圆截面惯性半径为：i =d/4=9 mm ；

故活塞杆的柔度为：λ=μL/i =0.7?1000/9=77.8 3）判断杆的类型，计算临界载荷

由于杆的柔度：λ=77.8>λp =55，故为大柔度杆，按欧拉公式有： σcr =π2E/λ2=(210?103π2/77.82)MPa=342.4 MPa

F cr = σcr A=πd 2σcr /4=(342.4?362π/4)N=348520N=348.52kN

4）确定最大许用载荷F max 由稳定性条件(11-11)式，有：

F max ≤F cr /n st =348.52kN/6=58.09 kN

例11.7 某硬铝合金制圆截面压杆长L=1m ，二端铰支，受压力F =12kN 作用。已知

σys =320MPa ，E=70GPa ，若规定许用稳定安全系数为n st =5，试设计其直径d 。 解：1）由材料性能确定λs 、λp

查表11-1，有：a =372MPa ， b=2.14MPa ，λp =50，

λs =(a -σys )/b=(372-320)/2.14=24.3

2）确定临界载荷

由稳定性条件(11-10)式，有：

图11.12 例11.6图

F cr ≥F ?n st =12kN ?5=60 kN

3）估计截面直径d

按大柔度杆涉计，由欧拉公式有：

解得：

d=36.47mm 取d=38mm 。

4）计算杆的柔度，检验按欧拉公式设计的正确性：

可见，按欧拉公式设计是正确的。

讨论：在满足稳定条件的情况下设计截面尺寸，由于柔度λ不能确定，故只有先假定压杆的类型，选取欧拉公式或经验公式计算；估计截面尺寸后，再计算柔度，校核其是否满足所假定压杆类型的柔度要求。

已知截面尺寸和压力载荷，设计杆长时，可求出截面上的工作应力；然后与材料的应力σp 、σys 比较，即可依据临界应力总图判断杆的类型，如例11.4所述。 最后指出，欲提高压杆的稳定性，可采取如下措施： 1）选择合理的截面形状

在截面面积不变的情况下，提高截面惯性矩 I 或惯性半径i ，可使杆的柔度减小

，临界应力增大，提高稳定性。如用空心圆形、矩形截面代替实心截面等。 2）改善杆端约束

自由端最不利于压杆的稳定。一端固定，一端自由的压杆，μ=2；换成一端固定

，一端铰支，则μ=0.7；由大柔度压杆的欧拉公式可见，临界载荷与μ的平方成反比，故后者可使临界载荷提高到前者的 4/0.72=8.16倍。若杆长l 过大，还可以

N

N d l EI F cr 60000)10001()64/(1070)(2

43222=????==ππμπ5026.1054

/381000

1=>=?=

=

p i

l

λμλ

考虑在杆中部增加约束，欧拉公式中临界载荷与杆长l 的平方也是成反比的，在杆中部增加一可动铰支座，杆长缩短一半，失稳临界载荷可提高到4倍。

小 结

1) 直杆在轴向载荷作用下发生的弯曲称为屈曲，屈曲就意味着构件失稳。压杆保

持稳定的临界力F cr 称为压杆的临界载荷或临界压力。 3) 杆的柔度用无量纲参数λ表示，且：

λ=μl /i

式中μ为反映压杆不同支承情况的相当长度系数，截面的惯性半径 i =(I/A)1/2。λ反映了杆端约束、压杆长度、杆截面形状和尺寸对临界应力的综合影响。λ越大，临界应力越小，越容易发生屈曲失稳。

3) 对于λ≥λp 的大柔度杆，计算临界应力的欧拉公式为：

杆二端固定时，μ=0.5；一端固定、一端铰支时，μ=0.7；二端铰支时，μ=1；一端铰支、一端自由时，μ=2。注意分析屈曲失稳平面，正确计算截面惯性矩I 。 4) 对于λs ≤λ≤λp 的中柔度杆，临界应力由经验公式求解： σcr =a -b λ

5) 对于λ≤λs 的小柔度杆，将不发生屈曲失稳，临界应力由材料的极限强度确定。

σcr =σys 或σb

6) 临界应力总图中的柔度界限值为：

2

222)/(λ

πμπσE i l E cr

==p

p E σπλ/=b

a u s /)(σλ-=???=)

()

(脆性材料延性材料b ys

u σσσ

7) 压杆的稳定性条件为：

或：

8）利用稳定性条件设计杆长时，可由临界应力判断杆的类型；设计截面几何时，可先假定杆的类型，取相应公式计算几何尺寸，再校核柔度。

思 考

题

11-1 什么是稳定性？稳定性与强度、刚度有什么不同？

11-2 杆在轴向压缩载荷作用下的屈曲与在横向载荷作用下的弯曲有什么区别？ 11-3 受拉直杆是否有稳定问题？为什么？

11-4 二端铰支的低碳钢圆截面压杆，长细比L/d 为多大时，需要考虑稳定性问题？

长细比L/d 为多大时，才能应用欧拉公式求临界载荷？

11-5 矩形截面的梁，承受平面弯曲时，不宜设计成方形截面；矩形截面的柱，承

受轴向压缩时，宜于设计成方形截面；为什么？

11-6 何谓杆的柔度，量纲是什么？何谓截面的惯性半径，量纲是什么？圆截面的

惯性半径i 等于d/4，矩形截面(b ?h)的惯性半径i 等于多少？

11-7 将某圆截面压杆的直径和长度都加大一倍，对杆的柔度有无影响？对杆的临

界应力有无影响？对杆的临界载荷有无影响？

11-8 某材料的σp =180MPa ，σys =260MPa 。问当杆的工作应力σ为100MPa 、200MPa

时，应如何设计杆的长度？

st cr

n F

F n ≥=

][st st

cr

F n F F =≤