圆的综合练习题及答案完整版
圆的综合练习题及答案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
圆的综合练习题答案
1.如图，已知AB 为⊙O 的弦，C 为⊙O 上一点，∠C =∠BAD ，且BD ⊥AB 于B .
（1）求证：AD 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为3，AB =4，求AD 的长.
（1）证明: 如图, 连接AO 并延长交⊙O 于点E , 连接BE , 则∠ABE =90°.
∴ ∠EAB +∠E =90°. ……………………
∵ ∠E =∠C , ∠C =∠BAD ， ∴ ∠EAB +∠BAD =90°.
∴ AD 是⊙O 的切线. ……………………（2）解：由（1）可知∠ABE =90°.
∵ AE =2AO =6, AB =4, ∴ 5222=-=AB AE BE . …………………………………………………3分 ∵ ∠E=∠C =∠BAD , BD ⊥AB ,
∴ .cos cos E BAD ∠=∠ …………………………………………………4分 ∴ .
AE
BE AD
AB =
∴ 5
512=AD . …………………………………………………5分 2.已知：在⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，OE⊥AC
于点E ，过点C 作直线FC ，使∠FCA＝∠AOE，交 AB 的延长线于点D.
（1）求证：FD 是⊙O 的切线；
（2）设OC 与BE 相交于点G ，若OG ＝2，求⊙O
半径的长；
证明：（1）连接OC
（如图①），
∵O A ＝OC ，∴∠1＝∠A.
∵OE ⊥AC ，∴∠A ＋∠AOE ＝90°. ∴∠1＋∠AOE ＝90°.
又∠FCA ＝∠AOE ， 图① ∴∠1＋∠FCA ＝90°. 即∠OCF ＝90°.
∴FD 是⊙O 的切线. (2)
分
（2）连接BC （如图②），
∵OE ⊥AC ，∴AE ＝EC. 又AO ＝OB ， ∴OE ∥B C 且BC OE 2
1
=
(3)
∴△OEG ∽△CBG. 图② ∴21==CB OE CG OG . ∵OG ＝2，∴CG ＝4.
∴OC ＝6. (5)
分
即⊙O 半径是6.
3.如图，以等腰ABC ?中的腰AB 为直径作⊙O ，交底边BC
于
点D ．过点D 作DE AC ⊥，垂足为E ． （I ）求证：DE 为⊙O 的切线；
（II ）若⊙O 的半径为5，60BAC ∠=，求DE 的长．
解：（I ）证明：连接AD ，连接OD
AB 是直径，∴BC AD ⊥，
又 ABC ?是等腰三角形，∴D 是BC 的中点． OD AC ∴∥．
DE AC ⊥，DE OD ⊥∴． DE ∴为⊙O 的切线．
（II ）在等腰ABC ?中，60BAC ∠=，知ABC △是等边三角形．
⊙O 的半径为5，10AB BC ∴==，1
52
CD BC =
=． 4. 如图，△ABC 中，AB =AE ，以AB 为直径
作⊙O 交BE 于C ，过C 作CD ⊥AE 于D ， DC 的延长线与AB 的延长线交于点P . （1）求证：PD 是⊙O 的切线； （2）若AE =5，BE =6，求DC 的长. （1）证明：连结OC …………………1分 ∵PD ⊥AE 于D ∴∠DCE ＋∠E =900
∵ AB=AE , OB =OC ∴∠CBA =∠E =∠BCO 又∵∠DCE =∠PCB ∴∠BCO ＋∠PCB =900
∴PD 是⊙O 的切线 ……………2分 （2）解：连结AC ………………3分 ∵ AB=AE =5 AB 是⊙O 的直径
BE =6
∴ AC ⊥BE 且EC=BC =3 ∴ AC =4
又 ∵ ∠CBA =∠E ∠EDC =∠ACB =90°
∴△ EDC ∽△BCA ………………4分
∴AC DC =AB EC
即4DC =53 ∴ DC =512
5分
5.在Rt △ABC 中，∠C=90 ， BC =9， CA =12，∠ABC 的平
分线BD 交AC 于点D ， DE ⊥DB 交AB 于点E ，⊙O 是△
BDE
的外接圆，交BC 于点F
（1）求证:AC 是⊙O 的切线;
（2）联结EF ，求EF
AC
的值.
（1） 证明：连结OD ，-------1分 ∵90C ∠=，∴90DBC BDC ∠+∠=． 又∵BD 为∠ABC 的平分线，∴ABD DBC ∠=∠． ∵OB OD =，∴ABD ODB ∠=∠
∴90ODB BDC ∠+∠=，即∴90ODC ∠=-----2分 又∵OD 是⊙O 的半径， ∴AC 是⊙O 的切线．
··· ……………
（2） 解：∵ DE ⊥DB ，⊙O 是Rt△BDE 的外接圆， ∴BE 是⊙O 的直径， 设⊙O 的半径为r ，
在Rt△ABC 中， 22222912225AB BC CA =+=+=， ∴15AB =
∵A A ∠=∠，90ADO C ∠=∠=，∴△ADO ∽△ACB ．
∴
AO OD AB BC =．∴15159r r
-=．
∴458r =．∴454
BE = ········· 4分
又∵BE 是⊙O 的直径．∴90BFE ∠=．∴△BEF ∽△BAC
∴4534154
EF BE AC BA ===．……………………………5分 A C
E
O
B
F D
（第5题）
F
E C
A D o B
O
F
E
D
C
B
A A
B C
D
E F O 7. 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，E 是AB 延长线上的一点，D 是⊙O 上的一点，且
AD 平分∠FAE ，ED ⊥AF 交AF 的延长线于点C ． （1）判断直线CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AF ∶FC =5∶3，AE =16，求⊙O 的直径AB 的长．
解：（1）直线CE 与⊙O 相切．
证明：如图，连结 OD ．
∵AD 平分∠FAE ， ∴∠CAD =∠DAE ．
∵OA =OD ， ∴∠ODA =∠DAE ． ∴∠CAD =∠ODA ． ∴OD ∥AC ． ∵EC ⊥AC ， ∴OD ⊥EC ．
∴CE 是⊙O 的切线． ……………………………………………………………2分
（2）如图，连结BF ．
∵ AB 是⊙O 的直径，
∴ ∠AFB =90°． ∵∠C =90°， ∴∠AFB =∠C ． ∴BF ∥EC ．
∴AF ∶AC = AB ∶AE ．
∵ AF ∶FC =5∶3，AE =16， ∴5∶8=AB ∶16．
∴AB = 10．…………………………………………………………5分
8已知：如图，在△ABC 中，AB = AC ，点D 是边BC 的中点．以BD 为直径作圆O ，交边AB 于点P ，联结PC ，交AD 于点E ． （1）求证：AD 是圆O 的切线；
（2）若PC 是圆O 的切线，BC = 8，求DE 的长． （1）证明：∵AB = AC ，点D 是边BC 的中点，
∴AD ⊥BD ．
又∵BD 是圆O 直径， ∴AD 是圆O 的切线．……2分 （2）解：连结OP ，
由BC = 8，得CD = 4，OC = 6，OP = 2． ∵PC 是圆O 的切线，O 为圆心，∴90OPC ∠=?． 由勾股定理，得42PC = 在△OPC 中，2
tan 4
42OP OCP PC ∠=
==
A
B C D P E ． O （第8题）
在△DEC 中，
9.
如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 是AB 延长线的一点，AE ⊥CD 交DC 的延长线于E ，CF ⊥AB 于F ，且CE ＝CF ． （1） 求证：DE 是⊙O 的切线；
（2） 若AB ＝6，BD ＝3，求AE 和BC 的长． 证明：（1）连接OC,
10如图，⊙O 的直径4=AB ，点P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，联结AC ．
（1）若?=∠30CPA ，求PC 的长；
（2）若点P 在AB 的延长线上运动，CPA ∠的平分线交AC 于点M ．你认为CMP ∠的大
小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出CMP ∠的大小．
解：（1）联结OC ，则PC OC ⊥．
在Rt △OCP 中，22
1
==
AB OC ，?=∠30CPA ． ∴ 323==OC PC ． ……………………2分 （2）CMP ∠的大小不发生变化． …………………3分
CPO COP ∠+∠=
2121 ?=??=45902
1
． ………5分 11如图，点P 在半O 的直径BA 2AB PA =PC O C ，连
结BC .
（1）求P ∠的正弦值；
（2）若半O 的半径为2，求BC 的长度.
（1）证明：如图，连接OC ． ∵PC 切半O 于点C ，
90PCO ∴∠=?．…………………1分
∵2AB PA =， PA OA OB OC ∴===．
在Rt PCO △中，1
sin 2
OC P OP ∠==． ················· 2分 （2）过点O 作OD BC ⊥于点D ，则2BC BD =． ··········· 3分
F A O B C
D
C
P 2
tan ,tan 24 2.54DE DCE DC DE DC DCE ∠=
=∴=∠=?=分
第19题
D
C
1sin 2
P ∠=
， 30P ∴∠=?， 60POC ∴∠=?． ∵OC OB =，
30B OCB ∴∠=∠=?． 在Rt OBD △中，2
OB =， cos30BD OB ∴=?=
····················· 4分 BC ∴= ·························· 5分
12已知：如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，过点D 作⊙O 的切线DE 交BC 于点E ． 求证：BE=CE ．
证明：连接CD.
∵∠ACB=90° ,AC 为⊙O 直径，
∴EC 为⊙O 切线，且∠A D C=90°. (2)
∵ED 切⊙O 于点D,
∴EC ＝E D . …………………………………3分 ∴∠ECD =∠EDC.
∵∠B+∠ECD =∠BDE+∠EDC =90°， ∴∠B=∠BDE.
∴BE=ED. ………………………………………………4分
13.已知：如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，且∠BCE =∠CAB ，CE 交AB 的延长线于点E ，AD ⊥AB ，交EC 的延长线于点D ．
（1）判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；
（2）若CE =3，BE =2，求CD 的长．
解：（1）直线DE 与⊙O 相切． 证明：如图，连结 OC ． ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ∠ACB =90°．
∵OA =OC ， ∴∠OAC =∠ACO ． ∵∠BCE =∠CAB ， ∴∠BCE =∠ACO ． ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ∠ACB =90°．
∴∠BCE ＋∠BCO =∠BCO ＋∠ACO =∠OCE =90°． ………………1分 ∴DE 是⊙O 的切线． ……………………………………………2分
B A
（2）∵∠BCE =∠CAB ，∠BEC =∠CEA ，
∴ △BEC ∽△CEA ． ∴CE ∶AE = BE ∶CE ． ∵ CE =3，BE =2， ∴3∶AE =2∶3．
∴AE = 9
2
． ……………………………………………………3分
∵AD ⊥AB ，AB 是⊙O 的直径， ∴DA 是⊙O 的切线．
∴AD =CD ． ………………………………………………4分 在Rt △ABC 中，由勾股定理得222AD AE DE +=，
∴()
2
2
2932CD CD ??+=+ ???
． ∴CD =
15
8
．………………………………………………5分 14. 已知：如图，AB 为⊙O 的直径，AD 为弦，∠DBC =∠A .
（1）求证： BC 是⊙O 的切线； （2）若OC ∥AD ，OC 交BD 于E ，BD=6，CE=4，求AD 的长. （1）证明： ∵ AB 是⊙O 的直径，
∴ ∠ADB =90°．………………………… 1分 ∴ ∠ABD +∠A =90°． 又∵∠DBC =∠A ．
∴ ∠ABD +∠DBC =90°． ∴ ∠ABC =90°．
∴BC 是⊙O 的切线． ………………………2分
（2）解： ∵ OC ∥AD ， ∠ADB =90°，
∴ OE ⊥BD ，∠OED =∠ADB = ∠BEC =90°．
∴ BE =12
BD =3． ………………………4分
又∵∠DBC =∠A ，
∴ △CBE ∽△BAD ．
∴AD BD BE
CE
=，即63
4
AD =． ∴AD =92
． ……5分
15.如图：AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，22.5DAB ∠=，延长AB 到点C ， 使得
2ACD DAB ∠=∠．
(1)求证：CD 是⊙O
的切线； (2)若AB =BC 的长．
（1）证明：连结DO ………………………………1分 ∵ AO=DO
∴∠DAO =∠ADO =
C
B O
D
A
∴∠DOC =450
又∵∠ACD =2∠DAB
∴∠ACD =∠DOC =450
∴∠ODC =900 ………………2分
∴CD 是⊙O 的切线
（2）解：连结DB ………………………………………3分
∵ AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADO ＋∠ODB =900
由（1）知∠CDB ＋∠ODB =900 ∴∠ADO =∠OAD =∠CDB ………4分 又∵∠DCB =∠ACD ∴ △ADC ∽△DBC
∴ BC DC =DC BC AB +
∴
2
222BC
BC +=
∴BC =2-2 BC =-2-2(舍负)
∴ BC =2-2 ………………………………………5分
O
D
A
C B
中考数学二模试题分类汇编——圆的综合综合附答案
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）． （1）求⊙M的半径； （2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH． （3）在（2）的条件下求AF的长． 【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4． 【解析】 【分析】 （1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长； （2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论； （3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．【详解】 （1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM， ∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径， ∴BT=TC=1 2 3 ∴124 ； （2）如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，∵CE⊥AB， ∴∠HBC+∠BCH=90° 在△COF中， ∵∠OFC+∠OCF=90°， ∴∠HBC=∠OFC=∠AFH， 在△AEH和△AFH中，
∵ AFH AEH AHF AHE AH AH ∠=∠ ? ? ∠=∠ ? ?= ? ， ∴△AEH≌△AFH（AAS）， ∴EH=FH； （3）由（1）易知，∠BMT=∠BAC=60°， 作直径BG，连CG，则∠BGC=∠BAC=60°， ∵⊙O的半径为4， ∴CG=4， 连AG， ∵∠BCG=90°， ∴CG⊥x轴， ∴CG∥AF， ∵∠BAG=90°， ∴AG⊥AB， ∵CE⊥AB， ∴AG∥CE， ∴四边形AFCG为平行四边形， ∴AF=CG=4． 【点睛】 本题考查的是垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 2．如图，△ABC的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC=∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD于E，交AB于F，交⊙O于G． （1）判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）求证：AG2=AF·AB； （3）若⊙O的直径为10，55△AFG的面积.
圆的综合大题
二次函数与圆 1、如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60o． （1）求⊙O 的直径； （2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切； （3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的 速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((< 2、如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）． （1）求此抛物线的解析式 （2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明； （3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积． 3、如图，抛物线2 23y x x =-++与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D . （1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作 PF DE ∥交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ； ①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？ ②设BCF △的面积为S ，求S 与m 的函数关系式. 专题一：圆的综合解答题 【知识储备】 1、同圆或等圆中，半径处处相等； 2、射影定理； 3、有一条公共边的两个三角形相似，公共边的平方等于它在两个三角形中的对应边的乘积。 AB CD BC ?=2 AC CD BC ?=2（公共边的平方等于共线边之积）。 4、垂径定理基本模型： 2 2 2 2?? ? ??+=d h r （r ：半径、h ：圆心距、d ：弦长） 5、∥+角平分线→等腰三角形（知二推一） 6、相等的角的三角函数值相等。 【例题讲解】 基本题型：条件发散 例1、（2016.内江）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AC 的垂直平分线分别与AC 、BC 及AB 的延长线相交于点D 、E 、F ，⊙O 是△BEF 的外接圆，∠EBF 的平分线交EF 于点G ，交⊙O 于点H ，连接BD 、FH 。 （1）试判断BD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）当AB ＝BE ＝1时，求⊙O 的面积； （3）在（2）的条件下，求HB HG ?的值。 练习：（2016.资阳）如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连接BD。 （1）求证：∠A＝∠BDC； （2）若CM平分∠ACD，且分别交AD、BD于点M、N，当DM＝1时，求MN的长。 例2、（2016.绵阳）如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是 BC的中点，DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AB 于点F 。 （1）判断DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若OF ＝4，求AC 的长度。 练习： 1、（2016.南充）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点O ，OC ＝1，以点O 为圆心、OC 为半径作半圆。 （1）求证：AB 为⊙O 的切线； （2）如果tan ∠CAO= 3 1 ，求cosB 的值。 2、（2016.甘孜）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与边BC 、AC 分别交于D 、E 两点，过点D 作DH ⊥AC 于点H 。 （1）判断DH 与⊙O 的位置关系，并说明理由； 一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知O 的半径为5，弦AB 的长度为m ，点C 是弦AB 所对优弧上的一动点． ()1如图①，若m 5=，则C ∠的度数为______； ()2如图②，若m 6=． ①求C ∠的正切值； ②若ABC 为等腰三角形，求ABC 面积． 【答案】()130；()2C ∠①的正切值为3 4 ；ABC S 27=②或 432 25 . 【解析】 【分析】 ()1连接OA ，OB ，判断出AOB 是等边三角形，即可得出结论； ()2①先求出10AD =，再用勾股定理求出8BD =，进而求出tan ADB ∠，即可得出结 论； ②分三种情况，利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论． 【详解】 ()1如图1，连接OB ，OA ， OB OC 5∴==， AB m 5==， OB OC AB ∴==， AOB ∴是等边三角形， AOB 60∠∴=， 1 ACB AOB 302 ∠∠∴==， 故答案为30； ()2①如图2，连接AO 并延长交 O 于D ，连接BD ， AD 为O 的直径， AD 10∴=，ABD 90∠=， 在Rt ABD 中，AB m 6==，根据勾股定理得，BD 8=， AB 3 tan ADB BD 4 ∠∴= =， C ADB ∠∠=， C ∠∴的正切值为3 4 ； ②Ⅰ、当AC BC =时，如图3，连接CO 并延长交AB 于E ， AC BC =，AO BO =， CE ∴为AB 的垂直平分线， AE BE 3∴==， 在Rt AEO 中，OA 5=，根据勾股定理得，OE 4=， CE OE OC 9∴=+=， ABC 11 S AB CE 692722 ∴=?=??=； Ⅱ、当AC AB 6==时，如图4， 《圆的有关概念》练习题 一．选择题（共7小题） 1．下列各图形中，各个顶点一定在同一个圆上的是（） A．正方形B．菱形C．平行四边形D．梯形 2．下列说法：（1）直径是弦；（2）弦是直径；（3）半圆是弧，但弧不一定是半圆；（4）半径相等的两个圆是等圆；（5）长度相等的两条弧是等弧．其中错误的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个 3．下列说法中，（1）长度相等的两条弧一定是等弧；（2）半径相等的两个半圆是等弧；（3）同一条弦所对的两条弧一定是等弧；（4）直径是圆中最大的弦，也就是过圆心的直线．其中正确说法的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．如图，AB是⊙O的直径，D、C在⊙O上，AD∥OC，∠DAB=60°，连接AC，则 ∠DAC等于（） A．15°B．30°C．45°D．60° 5．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=84°，则∠E等于（）A．42°B．28°C．21°D．20° 第4题图第5题图第6题图 6．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC．若∠AOC=70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（） A．70°B．60°C．50°D．40° 7．点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（）A．2 B．3 C．4 D．5 二．填空题（共3小题） 8．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心、CB为半径的圆交 AB于点D，则∠ACD=度． 第8题图第9题图第0题图 9．如图，AB为⊙O的直径，AD∥OC，∠AOD=84°，则∠BOC=． 10．如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC=a，EF=b，NH=c，则a、b、c的大小是． 三．解答题（共6小题） 图 3 图6 《圆》综合复习测试题 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1．图1是北京奥运会自行车比赛项目标志，则图中两轮所在圆的位置关系是（ ） （A ）内含 （B ）相交 （C ）相切 （D ）外离 2．如图2，点A 、B 、C 都在⊙O 上，且点C 在弦AB 所对的优弧上，若72AOB ∠=?，则A C B ∠ 的度数是（ ） （A ）18° （B ）30° （C ）36° （D ）72° 3．已知1O 和2O 的半径分别为3cm 和2cm ，圆心距124O O =cm ，则两圆的位置关系是（ ） （A ）相切 （B ）内含 （C ）外离 （D ）相交 4.如图3，已知CD 是⊙O 的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA ，若∠D 的度数是50o ，则∠C 的度数是（ ） （A ）50o （B ）40o （C ）30o （D ）25o 5.边长为2的等边三角形的外接圆的半径是（ ） (Ａ) 3 3 (B) 3 (Ｃ)2 3 (Ｄ)2 3 3 6．一个圆锥的侧面展开图形是半径为8cm ，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为 （ ） (A)3 8 cm (B) 3 16cm (C)3cm (D) 3 4cm 7.如图5，P 为⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点A ，且OP=5，PA=4，则sin∠APO 等于（ ） (A)5 4 (B)5 3 (C)3 4 (D)4 3 8.如图6,AB 是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,如果AB=20,CD=16, 那么线段OE 的长为( ) (A)10 (B)8 (C)6 (D)4 9.如图7，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB,AC 夹角为120 ，AB 的长为30cm ，贴纸部分 BD 的长为20cm ，则贴纸部分的面积为（ ） 图1 O C B A 图2 P O A · 图5 圆中综合题复习专题 第一组 1.若集合A ＝{(x ，y)|x 2＋y 2≤16}，B ＝{(x ，y)|x 2＋(y －2)2≤a －1}且A ∩B ＝B ，则a 的取值范围是________． 解：由题意知B ?A.当a<1时，B ＝?，满足题意；当a ＝1时，B ＝{(0，2)}，满足题意；当a>1时，则集合A ，B 分别表示圆面x 2＋y 2≤16与圆面x 2＋(y －2)2 ≤a －1，由题意得B 内含于A ，从而4－a －1≥2，解得a ≤5.综上，a ≤5. 2.已知两点A (1,2)，B (5,5)到直线l 的距离分别是3和2，则满足条件的直线共有_____条. 解以A (1,2)为圆心，3为半径的圆A ：(x －1)2＋(y －2)2＝9，以B (5,5)为圆心，2为半径的圆B ：(x －5) 2＋(y －5)2＝4，根据题意所要满足的条件，则l 是圆A 与圆B 的公切线，因为A (1,2)，B (5,5)两点间的距离d ＝5，即d ＝r 1＋r 2，所以圆A 与圆B 相外切，所以有3条公切线. 3.过点(3，1)作圆()1122=+-y x 的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为________． 解：点P (3，1)与圆心C (1，0)PA 2,则以P (3，1)为圆心，以2为半径的圆P 方程为(x －3)2＋(y －1)2 ＝4,则两圆的交点即为A ，B ，两圆相减可得AB 的方程为2x ＋y －3＝0． 4.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ： ()()22481x y -+-=，圆2C ：()()22 669x y -++=．若圆心在x 轴上的圆C 同时平分圆1C 和圆2C 的圆周，则圆C 的方程是_______________________． 解：由题意，圆C 与圆C 1和圆C 2的公共弦分别为圆C 1和圆C 2的直径，设C (a ，0），则(a ﹣4)2+(0﹣8)2+1=(a ﹣6)2+(0+6)2+9，∴a =0，∴圆C 的方程是x 2+y 2=81． 5.圆x 2＋y 2＝1与圆(x ＋4)2＋(y －a )2＝25相切，则实数a 的值为________． 15+，解得a =± 51=-，得0a =.综上 a =±0． 6.在平面直角坐标系xOy 中，若与点A(2，2)的距离为1且与点B(m ，0)的距离为3的直线恰有两条，则实数m 的取值范围是________． 解:由题意知以A(2，2)为圆心，1为半径的圆与以B(m ，0)为圆心，3为半径的圆相交，所以4<(m －2)2＋ 4<16，所以－23＋2 圆的综合解答题 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 专题一：圆的综合解答题 【知识储备】 1、同圆或等圆中，半径处处相等； 2、射影定理； 3、有一条公共边的两个三角形相似，公共边的平方等于它在两个三角形中的对应边的乘积。 AB CD BC ?=2 AC CD BC ?=2（公共边的平方等于共线边 之积）。 4、垂径定理基本模型： 2222??? ??+=d h r （r ：半径、h ：圆心距、d ：弦 长） 5、∥+角平分线→等腰三角形（知 二推一） 6、相等的角的三角函数值相等。 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 【例题讲解】 基本题型：条件发散 例1、（2016.内江）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AC 的垂直平分线分别与AC 、BC 及AB 的延长线相交于点D 、E 、F ，⊙O 是△BEF 的外接圆，∠EBF 的平分线交EF 于点G ，交⊙O 于点H ，连接BD 、FH 。 （1）试判断BD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）当AB ＝BE ＝1时，求⊙O 的面积； （3）在（2）的条件下，求HB HG ?的值。 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 练习： （2016.资阳）如图，在⊙O 中，点C 是直径AB 延长线上一点，过点C 作⊙O 的切线，切点为D ，连接BD 。 （1）求证：∠A ＝∠BDC ； （2）若CM 平分∠ACD ，且分别交AD 、BD 于点M 、N ，当DM ＝1时，求MN 的长。 例2、（2016.绵阳）如图，AB 为⊙O 直径，C 为⊙O 上一点，点D 是 BC 的中点，DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AB 于点F 。 （1）判断DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若OF ＝4，求AC 的长度。 中考数学圆的综合综合经典题及详细答案 一、圆的综合 1．如图，四边形OABC 是平行四边形，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于D ，延长AO 交O 于E ，连接CD ，CE ，若CE 是⊙O 的切线，解答下列问题： （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若BC=4，CD=6，求平行四边形OABC 的面积． 【答案】（1）证明见解析（2）24 【解析】 试题分析：（1）连接OD ，求出∠EOC=∠DOC ，根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可； （2）根据切线长定理求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=OD=4，根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解． 试题解析：（1）证明：连接OD ， ∵OD=OA ， ∴∠ODA=∠A ， ∵四边形OABC 是平行四边形， ∴OC ∥AB ， ∴∠EOC=∠A ，∠COD=∠ODA ， ∴∠EOC=∠DOC ， 在△EOC 和△DOC 中， OE OD EOC DOC OC OC =?? ∠=∠??=? ∴△EOC ≌△DOC （SAS ）， ∴∠ODC=∠OEC=90°， 即OD ⊥DC ， ∴CD 是⊙O 的切线； （2）由（1）知CD 是圆O 的切线， ∴△CDO 为直角三角形， ∵S △CDO = 1 2 CD?OD ， 又∵OA=BC=OD=4， ∴S△CDO=1 2 ×6×4=12， ∴平行四边形OABC的面积S=2S△CDO=24． 2．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）． （1）求⊙M的半径； （2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH． （3）在（2）的条件下求AF的长． 【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4． 【解析】 【分析】 （1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长； （2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论； （3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．【详解】 （1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM， ∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径， ∴BT=TC=1 2 3 ∴124 ； （2）如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，∵CE⊥AB， ∴∠HBC+∠BCH=90° 专题一:圆的综合解答题 【知识储备】 1、同圆或等圆中,半径处处相等; 2、射影定理； ３、有一条公共边的两个三角形相似，公共边的平方等于它在两个三角形中的对应边的乘积。 AB CD BC ?=2 AC CD BC ?=2（公共边的平方等于共线边之 积）。 4、垂径定理基本模型: 2 2 2 2?? ? ??+=d h r （r :半径、h :圆心距、d :弦长) ５、∥+角平分线→等腰三角形(知二推一） ６、相等的角的三角函数值相等。 【例题讲解】 基本题型:条件发散 例１、(２０16.内江）如图,在R ｔ△ＡB Ｃ中，∠A ＢＣ＝９０°，ＡＣ的垂直平分线分别与AC 、BC 及AB 的延长线相交于点D 、E 、F ，⊙O 是△BEF 的外接圆,∠EB Ｆ的平分线交EF 于点G ，交⊙O 于点H ，连接ＢD 、F Ｈ。 （1）试判断BD与⊙O的位置关系,并说明理由； (2)当AB=BE＝１时，求⊙O的面积; HG?的值。 (3）在（2）的条件下，求HB 练习: (2016．资阳）如图,在⊙O中,点Ｃ是直径AB延长线上一点，过点Ｃ作⊙O的切线,切点为D,连接ＢD。 （１)求证:∠A＝∠BＤＣ； (2）若ＣＭ平分∠ACD,且分别交AD、ＢD于点M、N，当DM=1时，求MＮ的长。 例2、（20１６.绵阳)如图,AB 为⊙O 直径,C 为⊙O 上一点,点D 是 BC 的中点，ＤE ⊥ＡC 于点E ，DF ⊥AB 于点F 。 (1)判断DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； (2)若O Ｆ＝４,求AC 的长度。 练习： １、(201６.南充）如图,在Ｒt △ABC 中，∠ACB ＝９0°，∠BAC 的平分线交BC 于点O,OC=1，以点O 为圆心、OC 为半径作半圆。 (1）求证:AB 为⊙Ｏ的切线; （2)如果t ａｎ∠CAO= 3 1 ,求cosB 的值。 与圆有关的综合题 知识考点?对应精练 【知识考点】 （1）圆与三角函数； （2）圆与函数； （3）圆与点、线、三角形； （4）圆与多边形. 【方法总结】 （1）看到求圆的切线，想到：有交点，连半径，证垂直；无交点，作垂直，证半径；（2）看到圆中的三角函数，想到三角函数一般在直角三角形中使用，直径所对的圆周角是直角； （3）看到过圆外的同一点的两条切线，想到切线长定理； （4）看到垂直于弦的直径，想到垂径定理. 【失分盲点】 （1）易忽视圆中的两条半径构成等腰三角形这个条件； （2）在证明一条直线是圆的切线时，若直线与圆的公共点未确定时，易犯证明直线与半径垂直的错误； （3）在圆中的三角形，易犯不说明其为直角三角形就应用三角函数解决问题的错误. 【对应精练】 例.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F过点A作PO的垂线AB 垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF． （1）求证：PB与⊙O相切； （2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明； （3）若AC=12，tan∠F=，求cos∠ACB的值 、 真题演练?层层推进 1.如图，在△ABO中，OA=OB，C是边AB的中点，以O为圆心的圆过点C． （1）求证：AB与⊙O相切； （2）若∠AOB=120°，AB= ，求⊙O的面积． 2.如题24图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,∠ABC=90°,弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC 交DC的延长线于点E. (1)求证：∠BCA=∠BAD; (2)求DE的长; (3)求证:BE是⊙O的切线. 3.(2014广东)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF. （1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π） （2）求证：OD=OE； （3）PF是⊙O的切线。 中考数学圆的综合-经典压轴题附答案解析 一、圆的综合 1．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC． （1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线； （2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）8． 【解析】 （1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可； （2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案． 试题解析：连接AD，OA， ∵∠ADC=∠B，∠B=60°， ∴∠ADC=60°， ∵CD是直径， ∴∠DAC=90°， ∴∠ACO=180°-90°-60°=30°， ∵AP=AC，OA=OC， ∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°， ∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°， 即OA⊥AP， ∵OA为半径， ∴AP是⊙O切线． （2）连接AD，BD， ∵CD 是直径， ∴∠DBC=90°， ∵CD=4，B 为弧CD 中点， ∴BD=BC= ， ∴∠BDC=∠BCD=45°， ∴∠DAB=∠DCB=45°， 即∠BDE=∠DAB ， ∵∠DBE=∠DBA ， ∴△DBE ∽△ABD ， ∴ ， ∴BE?AB=BD?BD= ． 考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质． 2．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点D 在BC uuu r 上，点E 在弦AB 上（E 不与A 重 合），且四边形BDCE 为菱形． （1）求证：AC=CE ； （2）求证：BC 2﹣AC 2=AB?AC ； （3）已知⊙O 的半径为3． ①若AB AC =5 3 ，求BC 的长； ②当 AB AC 为何值时，AB?AC 的值最大？ 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2；② 32 九年级《圆》测试题 （时间90分钟，满分100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请选出来） 1．如图，点A B C ，，都在⊙O 上，若34C =o ∠， 则AOB ∠的度数为（ ） A ．34o B ．56o C ．60o D ．68o 2．已知两圆的半径分别为6和8，圆心距为7， 则两圆的位置关系是（ ） A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切 3．如图，圆内接正五边形ABCD E 中，∠ADB ＝（ ）． A ．35° B ．36° C ．40° D ．54° 4．⊙O 中，直径AB ＝a ， 弦CD ＝b ,,则a 与b 大小为（ ） A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ≤b D ． a ≥b 5．如图，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，． 已知50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，， 那么EDF ∠等于（ ） A ．40° B ．55° C ．65° D ．70° 6．边长为a 的正六边形的面积等于（ ） A ． 2 4 3a B ．2a C ． 2 2 33a D ．233a 7．如图所示，小华从一个圆形场地的A 点出发，沿着与半径OA 夹角为α的方 向行走，走到场地边缘B 后，再沿着与半径OB 夹角为α的 方向折向行走。按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时 处于弧AB 上，此时∠AOE ＝56°，则α的度数是（ ） A ．52° B ．60° C ．72° D ．76° 8．一个圆锥的高为33，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（ ） O C B A （第1题图） O A F C E （第5题图） E A B C D （第3题图） （第7题图） 圆的综合问题 一、 填空题 1. “k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的 条件. 2. 直线y ＝kx ＋1与圆M ：x 2＋y 2－2y ＝0的位置关系是 . 3. 已知直线y ＝kx ＋1与圆（x －3）2＋（y －2）2＝9相交于A ，B 两点.若AB>4，则实数k 的取值范围是 . 4. 过点P （－4，0）的直线l 与圆C ：（x －1）2＋y 2＝5相交于A ，B 两点，若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为 . 5. 已知圆O ：x 2＋y 2＝4，若不过原点O 的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，且满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，则直线l 的斜率为 . 6. （2017·苏北四市期末）已知A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，P 是圆 C 2：（x －3）2＋（y －4）2＝1上的动点，则|PA →＋PB →|的取值范围为 . 7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知A （－12，0），B （0，6），点P 在圆O ：x 2＋y 2 ＝50上.若PA →·PB →≤20，则点P 横坐标的取值范围是 . 8. 在平面直角坐标系xOy 中，过点M （1，0）的直线l 与圆x 2＋y 2＝5交于A ，B 两点， 其中点A 在第一象限，且BM →＝2MA →，则直线l 的方程为 . 二、 解答题 9. 已知圆C 经过点A （－2，0），B （0，2），且圆心在直线y ＝x 上，又直线l ：y ＝kx ＋1与圆C 相交于P ，Q 两点. （1） 求圆C 的方程； （2） 若OP →·OQ →＝－2，求实数k 的值. 专题三压轴解答题 第四关以解析几何中与圆相关的综合问题 【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，圆不会单独出大题，一般是结合椭圆、抛物线一起考查，预计在15年高考中解答题仍会重点考查圆与椭圆、抛物线相结合的综合问题，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.这体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想. 类型一以圆的切线为背景的相关问题 典例1【浙江省台州市2019届高三上学期期末质量评估】设点为抛物线外一点，过点作抛物线 的两条切线，，切点分别为，． （Ⅰ）若点为，求直线的方程； （Ⅱ）若点为圆上的点，记两切线，的斜率分别为，，求的取值范围．【解析】（Ⅰ）设直线方程为，直线方程为. 由可得. 因为与抛物线相切，所以，取，则，. 即. 同理可得.所以：. （Ⅱ）设，则直线方程为， 直线方程为. 由可得. 因为直线与抛物线相切，所以 . 同理可得 ,所以，时方程 的两根. 所以，. 则 . 又因为，则， 所以 .学_ 【名师指点】圆的切线的应用，往往从两个方面进行考查，一是设切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解；二是结合切线长定理与勾股定理求解． 【举一反三】已知椭圆C ：2 2 24x y +=. （1）求椭圆C 的离心率； （2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，试判断直线AB 与圆2 2 2x y +=的位置关系，并证明你的结论. 【解析】（1）由题意椭圆C 的标准方程为12 422=+y x ， 所以42 =a ，22 =b ，从而2242 2 2 =-=-=b a c ， 所以2 2 == a c e . （2）直线AB 与圆22 2 =+y x 相切，证明如下： 设点),(00y x A ，)2,(t B ，其中00≠x ， 因为OB OA ⊥，所以0=?，即0200=+y tx ，解得0 2x y t - =， 3、有一条公共边的两个三角形相似，公共边的平方等于它在两个三角形中的对应边的乘 积。 【例题讲解】 基本题型：条件发散 例1、（2016.内江）如图，在 及AB 的延长线相交于点 D 、 交O O 于点H,连接BD F 耳 （1） 试判断BD 与O O 的 位置关系，并说明理由; （2） 当AB= BE = 1时，求O O 的面积； 专题一: 圆的综合解答题 【知识储备】 1同圆或等圆中, 2、射影定理； 半径处处相等; $ AC" = AD^ AB SC- =SD T E CD 亠二AD ? BD 2 BC 2 CD ?AB BC 2 CD ? AC （公共边的平方等于共线边之积）。 4、垂径定理基本模型: ?? 2 2 , 2 d r h — 5、 // +角平分线7等腰三角形（知二推一） 6、 相等的角的三角函数值相等。 （r :半径、h :圆心距、 d :弦长） Rt △ ABC 中， E 、F,O O 是△BEF 的外接圆，/ EBF 的平分线交 EF 于点G, / ABC= 90°, AC 的垂直平分线分别与 AC BC (3)在(2)的条件下，求 HG?HB 的值。 例2、(2016.绵阳)如图，AB 为O 0直径，C 为O 0上一点，点D 是BC 的中点，DE 丄AC 练习： (2016.资阳)如图，在O 0中，点C 是直径 切 线，切点为D,连接BD 。 (1) 求证：/ A =/ BDC (2) 若CM 平分/ ACD 且分别交 AD BD 于点M N, AB 延长线上一点，过点 C 作O O 的 当 于点E , DF 丄AB 于点F 。 (1) 判断DE 与O O 的位置关系，并证明你的结论; (2) 若OF = 4，求AC 的长度。 练习： 1、(2016.南充)如图，在 Rt △ ABC 中，/ ACB= 90°,/ BAC 的平分线交 BC 于点O, OC =1,以点O 为圆心、OC 为半径作半圆。 (1) 求证：AB 为O O 的切线； (2) 如果 tan / CAO=1 ，求 cosB 的值。 3 2、(2016.甘孜)如图，在^ ABC 中，AB= AC,以AB 为直径的O O 与边BC AC 分别交于 D 、 E 两点，过点 D 作DHL AC 于点H 。 (1)判断DH 与OO 的位置关系，并说明理由； A 与圆有关的综合问题 题型一：与圆有关的轨迹问题 [典例] 已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程； (2)若∠PB Q ＝90°，求线段P Q 中点的轨迹方程． [解] (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设P Q 的中点为N (x ，y )． 在Rt △PB Q 中，|PN |＝|BN |. 设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥P Q ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4. 故线段P Q 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0. [方法技巧] 求与圆有关的轨迹问题的4种方法 [针对训练] 1．(2019·厦门双十中学月考)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 解析：选A 设中点为A (x ，y )，圆上任意一点为B (x ′，y ′)， 由题意得，????? x ′＋4＝2x ，y ′－2＝2y ，则? ???? x ′＝2x －4，y ′＝2y ＋2， 故(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得，(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故选A. 2．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点． (1)求M 的轨迹方程； (2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积． 解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0，4)，半径为4. 设M (x ，y )，则CM ―→＝(x ，y －4)，MP ―→ ＝(2－x,2－y )． 由题设知CM ―→·MP ―→ ＝0， 故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0， 圆 一．解答题（共23小题） 1．（2015?）如图，CE是⊙O的直径，BD切⊙O于点D，DE∥BO，CE的延长线交BD于点A． （1）求证：直线BC是⊙O的切线； （2）若AE=2，tan∠DEO=，求AO的长． 2．（2011?）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E． （1）若∠A+∠CDB=90°，求证：直线BD与⊙O相切； （2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直径． 3．（2011?）如图，在△ABC中，D为AB上一点，⊙O经过B、C、D三点，∠COD=90°，∠ACD=∠BCO+∠BDO． （1）求证：直线AC是⊙O的切线； （2）若∠BCO=15°，⊙O的半径为2，求BD的长． 4．（2016?株洲）已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形 （1）求证：△DFB是等腰三角形； （2）若DA=AF，求证：CF⊥AB． 5．（2016?）如图，正形ABCD接于⊙O，M为中点，连接BM，CM． （1）求证：BM=CM； （2）当⊙O的半径为2时，求的长． 6．（2013?模拟）已知：△ABC是⊙O的接正三角形，P为弧BC上一点（与点B、C不重合）， （1）如果点P是弧BC的中点，求证：PB+PC=PA； （2）如果点P在弧BC上移动时，（1）的结论还成立吗？请说明理由． 7．（2011?南漳县模拟）如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（，0），解答下列各题： （1）求线段AB的长； （2）求⊙C的半径及圆心C的坐标； 九年级数学圆的综合的专项培优练习题(含答案)含详细答案 一、圆的综合 1．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC． （1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线； （2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）8． 【解析】 （1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可； （2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案． 试题解析：连接AD，OA， ∵∠ADC=∠B，∠B=60°， ∴∠ADC=60°， ∵CD是直径， ∴∠DAC=90°， ∴∠ACO=180°-90°-60°=30°， ∵AP=AC，OA=OC， ∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°， ∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°， 即OA⊥AP， ∵OA为半径， ∴AP是⊙O切线． （2）连接AD，BD， ∵CD是直径， ∴∠DBC=90°， ∵CD=4，B为弧CD中点， ∴BD=BC=， ∴∠BDC=∠BCD=45°， ∴∠DAB=∠DCB=45°， 即∠BDE=∠DAB， ∵∠DBE=∠DBA， ∴△DBE∽△ABD， ∴， ∴BE?AB=BD?BD=． 考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质． 2．如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若tan A=1 2 ，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明； （3）在（2）的条件下，若OF=1，求圆O的半径． 【答案】（1）答案见解析；（2）AB=3BE；（3）3． 【解析】 试题分析：（1）先判断出∠OCF+∠CFO=90°，再判断出∠OCF=∠ODF，即可得出结论；（2）先判断出∠BDE=∠A，进而得出△EBD∽△EDA，得出AE=2DE，DE=2BE，即可得出结论； 图3 N M F E B C A B A C E F M N P 图2图1 A 图3 D A 图2图1几何综合题：与圆相关 1．已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CA =CB ，有一圆心角为45°半径长等于CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，直线CE 、CF 分别与直线AB 交于M 、N 。 （1）如图1，当AM =BN 时，将△ACM 沿CM 折叠，点A 落在EF 的中点P 处，再将△BCN 沿CN 折叠，点B 也恰好落在点P 处，此时，PM =AM ，PN =BN ，△PMN 的形状是 ，线段AM 、BN 、MN 之间的数量关系是 。 （2）如图2，当扇形CEF 绕点C 在∠ACB 内部旋转时，线段AM 、MN 、BN 之间的数量关系是 ，试证明你的结论。 （3）当扇形CEF 绕点C 旋转到图3的位置时，线段MN 、AM 、BN 之间的数量关系是 ，试证明你的结论。 2．李明同学在学习正多边形和圆时，发现了以下一些有趣的结论：若P 是正多边形外接圆上一点，将P 与正多边形相邻三个顶点连结，这三条线段之间有一些特殊的数量关系。 （1）如图1，若P 是正△ABC 外接圆的弧BC 上一点，连PA 、PB 、PC ，则PB +PC 与PA 之间的数量关系是 ； （2）如图2，若P 是正方形ABCD 的外接圆的弧BC 上一点，连PA 、PB 、PD ，则PB +PD 与PA 之间的数量关系是 ，试证明你的结论； （3）如图3，若点P 是正六边形ABCDEF 外接圆的弧BC 上一点，连PA 、PB 、PF ，则PB +PF 与PA 之间的数量关系是 。 3．小明学习了垂径定理后，作了下面的探究，请你根据题目要求帮小明完成探圆的综合解答题
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