求解共点力平衡问题的常见方法(经典归纳附详细答案)解读

求解共点力平衡问题的常见方法

共点力平衡问题，涉及力的概念、受力分析、力的合成与分解、列方程运算等多方面数学、物理知识和能力的应用，是高考中的热点。对于刚入学的高一新生来说，这个部分是一大难点。 一、力的合成法 物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反;

1.（2008年·广东卷）如图所示，质量为m 的物体悬挂在轻质支架上，斜梁OB 与竖直方向的夹角为θ(A 、B 点可以自由转动)。设水平横梁OA 和斜梁OB 作用于O 点的弹力分别为F 1和F 2，以下结果正确的是（ ）

A.F 1=mgsinθ

B.F 1= sin mg q

C.F 2=mgcosθ

D.F 2=cos mg q

二、力的分解法 在实际问题中，一般根据力产生的实际作用效果分解。

2、如图所示，在倾角为θ的斜面上，放一质量为m 的光滑小球，球被竖直的木板挡住，则球对挡板的压力和球对斜面的压力分别是多少？

3．如图所示，质量为m 的球放在倾角为α的光滑斜面上，试分析挡板AO 与斜面间的倾角β多大时，AO 所受压力最小。

三、正交分解法 解多个共点力作用下物体平衡问题的方法

物体受到三个或三个以上力的作用时，常用正交分解法列平衡方程求解: 0x F =合,0

y F =合.

为方便计算，建立坐标系时以尽可能多的力落在坐标轴上为原则

.

θ

4、如图所示，重力为500N 的人通过跨过定滑轮的轻绳牵引重200N 的物体，当绳与水平面成60°

角时，物体静止。不计滑轮与绳的摩擦，求地面对人的支持力和摩擦力。

四、相似三角形法 根据平衡条件并结合力的合成与分解的方法，把三个平衡力转化为三角形的三条边，利用力的三角形与空间的三角形的相似规律求解.

5、 固定在水平面上的光滑半球半径为R ，球心0的正上方C 处固定一个小定滑轮，细线一端拴一小球置于半球面上A 点，另一端绕过定滑轮，如图5所示，现将小球缓慢地从A 点拉向B 点，则此过程中小球对半球的压力大小N F 、细线的拉力大小T F 的变化情况是 ( )

A 、N F 不变、T F 不变 B. N F 不变、T F 变大 C ，

N F 不变、T F 变小 D. N F 变大、T F 变小

6、两根长度相等的轻绳下端悬挂一质量为m 物体，上端分别固定在天花板M 、N 两点，M 、N 之间距离为S ，如图所示。已知两绳所能承受的最大拉力均为T ，则每根绳长度不得短于____ 。

五、用图解法处理动态平衡问题

对受三力作用而平衡的物体，将力矢量图平移使三力组成一个首尾依次相接的封闭力三角形，进而处理物体平衡问题的方法叫三角形法;力三角形法在处理动态平衡问题时方便、直观，容易判断.

7、如图4甲，细绳AO 、BO 等长且共同悬一物，A 点固定不动，在手持B 点沿圆弧向C 点缓慢移动过程中，绳BO 的张力将 ( )

A 、不断变大

B 、不断变小

C 、先变大再变小

D 、先变小再变大 六．矢量三角形在力的静态平衡问题中的应用

若物体受到三个力（不只三个力时可以先合成三个力）的作用而处于平衡状态，则这三个力一定能构成一个力的矢量三角形。三角形三边的长度对应三个力的大小，夹角确定各力的方向。 8．如图所示，光滑的小球静止在斜面和木版之间，已知球重为G ，斜面的倾角为θ，求下列情况

下小球对斜面和挡板的压力？（1）、挡板竖直放置（2）、挡板与斜面垂直

七、对称法

研究对象所受力若具有对称性，则求解时可把较复杂的运算转化为较简单的运算，或者将复杂的图形转化为直观而简单的图形.所以在分析问题时，首先应明确物体受力是否具有对称性. 9、如图10甲所示，重为G 的均匀链条挂在等高的两钩上，链条悬挂处与水平方向成 角，试求; (1)链条两端的张力大小. (2)链条最低处的张力大小.

八、整体法与隔离法

通常在分析外力对系统的作用时，用整体法；在分析系统内各物体（各部分）间相互作用时，用隔离法．解题中应遵循“先整体、后隔离”的原则。

10、有一直角支架AOB ，AO 水平放置，表面粗糙，OB 竖直向下，表面光滑，AO 上套有小环P ，OB 上套有小环Q ，两环质量均为m ，两环间由一根质量可忽略，不何伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如图所示，现将P 环向左移一小段距离，两环再将达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO 杆对P 环的支持力N F 和细绳拉力T F 的变化情况是：（ ） A 、N F 不变、T F 变大 B 、N F 不变、T F 变小 C 、N F 变大、T F 变大

D 、N F 变大、T F 变小

11、在粗糙水平面上有一个三角形木块a ，在它的两个粗糙斜面上分别放

有质量为m 1和m 2的两个木块b 和c ，如图所示，已知m 1＞m 2，三木块均处于静止，则粗糙地面对于三角形木块（ ）

A ．有摩擦力作用，摩擦力的方向水平向右

B ．有摩擦力作用，摩擦力的方向水平向左

C ．有摩擦力作用，但摩擦力的方向不能确定

D ．没有摩擦力的作用

b

c a

m 1 m 2

θ

θ

九、正弦定理法 正弦定理:在同一个三角形中，三角形的边长与所对角的正弦比值相等;

在中有

sin sin sin AB BC CA C

A

B

=

=

同样，在力的三角形中也满足上述关系，即力的大

小与所对角的正弦比值相等.

12、不可伸长的轻细绳AO 、BO 的结点为0，在0点悬吊电灯L ，OA 绳处于水平，电

灯L 静止,如图所示，保持0点位置不变，改变OA 的长度使A 点逐渐上升至C 点，在此过程中绳OA 的拉力大小如何变化?

十．拉密原理法

拉密原理:如果在三个共点力作用下物体处于平衡状态，那么各力的大小分别与另外两个力所夹角的正弦成正比.在图8所示情况下，原理表达式为

3121

2

3

sin sin sin F F F θθθ=

=

13、 如图9甲所示装置，两根细绳拉住一个小球，保持两绳之间夹角θ不变;若把整个装置顺时针缓慢转动0

90，则在转动过程中，CA 绳拉力1T F 大小的变化情况是 ，CB 绳拉力2T F 大小的变化情况是 .

十一.解析法：求共点力作用下物体平衡的极值问题的方法

根据物体的平衡条件列方程，在解方程时采用数学知识求极值。通常我们会用到的数学知识有：二次函数极值、均分定理求极值、讨论分式极值、三角函数极值以及几何法求极值 14、重为G 的木块与水平地面间的动摩擦因数为μ，一人欲用最小的力F 使得木块做匀速运动，则此最小作用力的大小和方向如何？

N 1

N 2

，

θ

N 2

N 1，

mg

第三章 相互作用专题练习（一）参考答案

求解共点力平衡问题的常见方法

1.【解析】根据三力平衡特点，任意两个力的合力与第三个力等大反向，可作出如图所示矢量图，由三角形知识可得F 1=mgtanθ,F 2=mg/cosθ,故D 正确,A 、B 、C 错误。

2.【解析】小球受到重力mg 、斜面的支持力N 1、竖直木板的支持力N 2的作用.将重力mg 沿N 1、

N 2反方向进行分解，分解为N 1，、N 2，

，如图所示. 由平衡条件得：N 1= N 1，

=mg/cosθ N 2= N 2，

=mgtanθ.

3. 【解析】当挡板与斜面的夹角β由图示位置变化时，F N1大小改变，但方向不变，始终与斜面垂直；F N2的大小、方向均改变（图中画出一系列虚线表示变化的F N2）。由图可看出，当F N2与F N1垂直即β=90°时，挡板AO 所受压力最小，最小压力F N2min=mgsinα。

4、【解析】人和重物静止，所受合力皆为零，对物分析得到，绳拉力F 等于物重200N ；人受四个力作用，将绳的拉力分解，即可求解。如图所示，将绳的拉力分解得

水平分力：Fx=Fcos60°=200×N=100N

竖直分力：Fy=Fsin60°=200×N =100N

在x 轴上，F′与Fx 二力平衡，所以静摩擦力F′=Fx =100N

在y 轴上，三力平衡得地面对人支持力 F N =G －Fy =（500

－

100）N=100

（5－）N

5、解析 小球受力如图5乙所示，根据平衡条件知，小球所受支持力'N F 和

G

θ N 2

N 1

G

N 2

N 1

G

N 1

N 2

G

N 2

N 1

θ

细线拉力T F 的合力F 跟重力是一对平衡力，即F G =.根据几何关系知，力三角形'

N FAF 与几何三角形COA 相似.设滑轮到半球顶点B 的距离为h,线长AC 为L ，则有

'N T F F G R

R h

L

=

=

+,由于小球从

A 点移向

B 点的过程中，G R h 、、均不变,L 减小，故'

N F 大小不变，T F 减小.所以正确答案为C 选项.

6、分析：绳子越短，两条绳夹角越大，绳子张力越大。对图3作辅助线OE ⊥MN ，对D 点受力分析如图所示，∵ △DBC ∽△ONE ，

有

，其中

，

，

则

7、解析 选0点为研究对象，受F 、A F 、B F 三力作用而平衡,此三力构成一封闭的动态三角形如图4乙.容易看出，当B F 与A F 垂直即0

90αβ+=时，B F 取最小值，所以D 选项正确.

8、分析与解答：小球受力如图所示，小球在重力、斜面的支持力和挡板的支持力三个力共同的作用下处于平衡状态，因其中两力之和恰好与第三力大小相等方向相反，故这三个力可构成力的三角形，由矢量三角形的边角关系可知：

当挡板竖直放置时： N 1=Gtg θ N

2=G/cos θ 当挡板与斜面垂直放置时：N 1=Gsin θ N 2=Gcos θ

这样比我们建立直角坐标，再利用正交分解法来求解就简单多了。

9、解析 (1)在求链条两端的张力时，可把链条当做一个质点处理.两边受力具有对称性使两端点的张力F 大小相等，受力分析如图10乙所示.取链条整体为质点研究对象.由平衡条件得竖直方向

2Fsin =G θ，所以端点张力为G

F=

2sin θ

(2)在求链条最低点张力时，可将链条一分为二，取一半研究，受力分析如图10丙所示，由平衡条件得水平方向所受力为

'cos cos cot 2sin 2

G G F F θθθθ

==

=

即为所求.

10、解析 采取先“整体”后“隔离”的方法.以P 、Q 、绳为整体研究对象，受重力、AO 给的向上弹力、OB 给的水平向左弹力.由整体处于平衡状态知AO 给P 向右静摩擦力与OB 给的水平向左弹力大小相等;AO 给的竖直向上弹力与整体重力大小相等.当P 环左移一段

距离后，整体重力不变，AO 给的竖直向上弹力也不变.再以Q 环为隔离研究对象，受力如图3乙所示，Q 环所受重力G 、OB 给Q 弹力F 、绳的拉力T F 处于平衡,P 环向左移动一小段距离的同时T F 移至'

T F 位置，仍能平衡，即

T F 竖直分量与G 大小相等，T F 应变小，所以正确答案为B 选项.

11、【解析】由于三物体均静止，故可将三物体视为一个物体，它静止于水平面上，必无摩擦力作用，故选D ．

12、解析 取0点为研究对象，0点受灯的拉力F(大小等于电灯重力G)、OA 绳的拉力1T 、OB 绳的拉力2T ,如图7乙所示.因为三力平衡，所以1T 、2T 的合力'G 与G 等大反向.由正弦定理得

1sin sin T G θ

α

=

,即1sin sin G T θα

=

,由图知θ不变,α

由小变大, α增大到0

90后再减小，所以据1T 式知1T 先变小后变大，当

090α=时，1T 有最小值.

13、解析 在整个装置缓慢转动的过程中，可以认为小球在每一位置都是平衡的.小球受到三个力的作用，如图9乙所示，根据拉密原理有

12sin sin sin T T F F G β

α

θ

=

=

,由于θ不变, α由0

90逐渐变为0

180，sin α会逐渐变小直到为零，所以

2T F 逐渐变小直到为零;由于β由钝角变为锐角，sin β先变大后变小，所以1T F 先变大后变小.

14、【解析】：解析法。木块在运动中受到摩擦力的作用，要减小摩擦力，应当使作用力F 斜向上与水平方向的夹角为θ时，F 的值最小。木块受力分析如图所示，

由平衡条件可知：F cosθ－μ f N =0， F sin θ+f N －G=0 ，解得：F=μG/cos+μsinθ

令tanψ=μ，sinψ=μ/（21μ+） ，cosψ=1/（2

1μ+） ，

cosθ+μsinθ=（21μ+）（cosθcosψ+ sin θsinψ）= （2

1μ+）cos （θ－ψ），

可见，当θ=ψ=arctanμ时，F 有最小值为Fmin=μG/（2

1μ+）

读书的好处

1、行万里路，读万卷书。

2、书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。

3、读书破万卷，下笔如有神。

4、我所学到的任何有价值的知识都是由自学中得来的。——达尔文

5、少壮不努力，老大徒悲伤。

6、黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。——颜真卿

7、宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。

8、读书要三到：心到、眼到、口到

9、玉不琢、不成器，人不学、不知义。

10、一日无书，百事荒废。——陈寿

11、书是人类进步的阶梯。

12、一日不读口生，一日不写手生。

13、我扑在书上，就像饥饿的人扑在面包上。——高尔基

14、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游

15、读一本好书，就如同和一个高尚的人在交谈——歌德

16、读一切好书，就是和许多高尚的人谈话。——笛卡儿

17、学习永远不晚。——高尔基

18、少而好学，如日出之阳；壮而好学，如日中之光；志而好学，如炳烛之光。——刘向

19、学而不思则惘，思而不学则殆。——孔子

20、读书给人以快乐、给人以光彩、给人以才干。——培根