随机数产生原理

第一节 均匀随机数的产生及其应用

§1.1 随机数的产生

§1.1.1 均匀随机数的产生

随机变量X 的抽样序列 ,,,,21n X X X 称为随机数列。若随机变量X 是均匀分布的，则X 的抽样序列 ,,,,21n X X X 称为均匀随机数列；如果X 是正态分布的随机变量，则称其抽样序列为正态随机数列。

用数学方法产生随机数，就是利用计算机能直接进行算术运算或逻辑运算的特点，产生具有均匀总体、简单子样统计性质的随机数。计算机利用数学方法产生随机数速度快，占用内存少，对模拟的问题可以进行复算检查，通常还具有较好的统计性质。

另外，计算机上用数学方法产生随机数，是根据确定的算法推算出来的，因此严格说来，用数学方法在计算机上产生的“随机数”不能说是真正的随机数，故一般称之为“伪随机数”。不过对这些伪随机数，只要通过统计检验符合一些统计要求，如均匀性、随机性、独立性等，就可以作为真正的随机数来使用。以后，我们统称这样产生的伪随机数为随机数。

首先给出产生均匀随机数的方法，这是产生具有其它分布随机数的基础，而后给出产生其它分布随机数的方法。

§1.1.1 均匀随机数的产生方法

线性同余法简称为LCG 法（Linear Congruence Generator ），它是Lehmer 于1951年提出来的。线性同余法利用数论中的同余运算原理产生随机数。分为乘同余法、混合同余法等，线性同余法是目前发展迅速且使用普遍的方法之一。

线性同余法递推公式为

)(m o d 1M c ax x n n +≡-

,,2,1, ==n M x r n n

其中0x 为初值，a 为乘子，c 为增量，M 为模，且c a x ,,0和M 皆为非负整数。 当0=c 时，上式称为乘同余法公式；当0>c 时，上式称为混合同余法公式。 如下例用乘同余法产生伪随机数：

例1：

1117(mod11)

n n x x x +=??≡? 1234567891011121;7;5;2;3;10;4;6;9;

8;1;7;......x x x x x x x x x x x x ============

上述方法虽产生了随机数，但只产生1-10之间的数。

下列用混合同余法产生（0,1）均匀随机数。

例2：

混合同余法：

111314159269453806245(mod 2147483648)

n n x x x +=??≡+? /2147483648n n r x =

则 [)~0,1n r U 。

用C 语言表述为:

double hrand(){

static unsigned long x=1;

x=(314159269L*x+453806245L)%(2147483648L);

return((double)x/2147483648.0);

}

如产生[)3,5U ε~之间的随机数,可令ε=2n r +3.

§1.1.1 均匀随机数的应用

下面看几个具体的实例，来看一下随机数有哪些应用。

1.模拟投硬币1000次，记录正面朝上的概率及反面朝上的概率。

（方法：用混合同余法产生1000的[)0,1均匀随机数，小于0.5时即为“0”(反面)，大于等于0.5是即为“1”（正面）。为0的个数除以1000即为反面朝上的概率，同理1的个数除以1000即为正面朝上的概率。）

下面是模拟正面朝上的概率程序：

#include "stdio.h"

#include "stdlib.h"

double hrand();

int main(){

long i,count=0;

double k;

for(i=1;i<=10000;i++){

k=hrand();

if(k>0.5) {

count++;

} } printf("%.16lf\n",(double)count/10000.0);

return(0);

}

double hrand(){

static unsigned long x=1;

x=(314159269L*x+453806245L)%(2147483648L);

return((double)x/2147483648.0);

}

运行结果：

0.4999000000000000

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2.求1

20x dx 方法一：随机点法

#include "stdio.h"

#include "stdlib.h"

#include "math.h"

double hrand(){

static unsigned long x=1;

x=(314159269L*x+453806245L)%(2147483648L);

return((double)x/2147483648.0);

}

int main(){

long i,count=0;

double x,y,y1;

for(i=1;i<=1000000;i++){

x=hrand(); /*x 从0到1*/

y=hrand(); /*y 从0到1*/

y1=x*x; /*x^2在x 处的值*/ if(y

}

printf("%.16lf\n",(double)count/1000000.0*1);

return(0);

}

运行结果：

0.3335010000000000

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方法二：求积分也可由平均值法求得

平均值法：由()f x ε~ ()().()()

g x g x f x f x = (()f x ≠0), 则10()(1()(()n n g x g g x dx E f n

f x εε??)==??)??∑? 用平均值法求1

20x dx ?中的积分： 令()1f x = 2()g x x =

则12

011(())()n

i i x dx E g g x n ε===∑?，其中 ~(0,1)i x U #include "stdio.h"

#include "stdlib.h"

double hrand();

int main(){

long i;

double x,y,n=0,m=10000;

for(i=1;i<=10000;i++){

x=hrand();

y=x*x;

n=n+y;

}

printf("%.16lf\n",(double)n/m);

return(0);

}

double hrand(){

static unsigned long x=1;

x=(314159269L*x+453806245L)%(2147483648L); return((double)x/2147483648.0);

}

运行结果：

0.3319887679961978

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作业：用两种方法（随机点法，平均值法）求1

x e

dx的值。答案：

方法一：随机点法：

#include "stdio.h"

#include "stdlib.h"

#include "math.h"

#define e 2.718281828

double hrand(){

static unsigned long x=1;

x=(314159269L*x+453806245L)%(2147483648L); return((double)x/2147483648.0);

}

int main(){

long i,count=0;

double x,y,y1;

for(i=1;i<=100000;i++){

x=hrand(); /*x从0到1*/

y=hrand()*e; /*y从0到e*/

y1=exp(x); /*e^x在x处的值*/

if(y

}

printf("%.16lf\n",(double)count/100000.0*e);

return(0);

}

运行结果：

1.7191773421185998

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方法二：平均值法

#include "stdio.h"

#include "stdlib.h"

#include "math.h"

double hrand(){

static unsigned long x=1;

x=(314159269l*x+453806245l)%(2147483648l); return((double)x/2147483648.0);

}

main(){

long i;

double x,y,k,sum=0;

for(i=1;i<=10000000;i++){

x=hrand();

y=exp(x);

sum=sum+y;

}

k=(double)sum/10000000.0; printf("%.16lf\n",k);

}

运行结果：

1.7184117075589254

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