中考数学试题分类大全直角三角形与勾股定理

一、选择题

1．（2010 浙江台州市）如图，△ABC 中，∠C =90°，AC =3，点P 是边BC 上的动点，

则AP 长不可能．．．是(▲)

A ．

B ．3

C ．4

D ．5

【答案】A

2．（2010山东临沂）如图，ABC ?和DCE ?都是边长为4的等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，连接BD ，则BD 的长为

（A

B

）C

）D

）【答案】D

3．（2010 四川泸州）在△ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，则该三角形为（ ）

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ． 钝角三角形

D ．等腰直角三角形

【答案】B

4．（2010 广西钦州市）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC ＝6 cm 、BC ＝8 cm ，

现将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则BE 的长为

（A ）4 cm （B ）5 cm （C ）6 cm （D ）10 cm

【答案】B

5．（2010广西南宁）图1中，每个小正方形的边长为1，ABC ?的三边c b a ,,的大小关系式：

（A ）b c a << （B ）c b a <<

（C ）b a c << （D ）a b c << 图1

A 第15题 B

C D E E D

C

B

A

（第3题）

【答案】C

6．（2010广东湛江）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）

，2，3 ，3，4 ，4，5 ，5，6

【答案】C

二、填空题

1．（10湖南益阳）如图4，在△ABC 中，AB ＝AC ＝8，AD 是底边上的高，E 为AC 中点，则DE

＝

．

【答案】4

2．（2010辽宁丹东市）已知△ABC 是边长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰

Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是 ．

【答案】n )2(

3．（2010 浙江省温州）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR 使得∠R=90°，点H 在边QR 上，点D ，E 在边PR 上，点G ，F 在边_PQ 上，那么APQR 的周长等于 ．

【答案】

4．（2010四川宜宾）已知，在△ABC 中，∠A = 45°，AC = 2，AB = 3+1，则边BC 的长为 ．

A

B C

D

E

F G 第15题图

【答案】2

5．（2010湖北鄂州）如图，四边形ABCD 中，AB =AC =AD ，E 是CB 的中点，AE =EC ，∠BAC =3∠DBC ，BD =6266 ，则AB = ．

【答案】12

6．（2010河南）如图，Rt △ABC 中，∠C=090, ∠ABC=0

30，AB=6.点D 在AB 边上，点E 是BC 边上一点（不与点B 、C 重合），且DA=DE ，则AD 的取值范围是 .

【答案】2≦ AD < 3

7．（2010四川乐山）如图（4），在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，∠ACD=40°,则∠EBC=______.

【答案】140°

8．（2010四川乐山）勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．图（6）

是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S 1，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S 2，…，第n 个正方形和第n 个直角三角形的面积之和为S n ．设第一个正方形的边长为1．

图（6）

请解答下列问题：

（1）S 1＝__________；

（2）通过探究，用含n

的代数式表示S n ，则S n ＝__________．

【答案】1＋38；(1＋38)·(34

)n -1(n 为整数) 9．（2010 江苏镇江）如图，ο90,=∠?ACB ABC Rt 中，DE 过点C ，且DE ο50=∠ACD

【答案】οο40,50

10．（2010 广西玉林、防城港）两块完全一样的含30?

角的三角板重叠在一起，若绕长直角边中点M 转动，使上面一块的斜边刚好过下面一块的直角顶点，如图6，∠A ＝30?，AC ＝10，则此时两直角顶点C 、C '间的距离是 。

【答案】5

11．（2010 福建泉州南安）将一副三角板摆放成如图所示，图中1∠= 度．

【答案】120

12．（2010 广西钦州市）一个承重架的结构如图所示，如果∠1＝155°，那么∠2＝_ ▲_°．

1

（第10题图）

【答案】65

13．（2010 山东淄博）如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”．只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为5的线段__________条.

【答案】8

14．（2010年山西）在,

90

,ο

=

∠

?ACB

ABC

Rt中D是AB的中点，CD=4cm，

则AB= cm。

【答案】8

15．

（2010黑龙江绥化）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边，在△ABC外部作等腰直角三角形ACD ，则线段BD的长为。

【答案】4或25或10

三、解答题

1．（2010浙江杭州）(本小题满分10分)

如图，AB = 3AC，BD = 3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上.

(1) 求证：△ABD∽△CAE；

(2) 如果AC =BD，AD =2

2BD，设BD = a，求BC的长.

【答案】

(1) ∵BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上，∴?DBA = ?CAE,

又∵3

=

=

AE

BD

AC

AB

, ∴△ABD∽△CAE. --- 4分

(2) ∵AB = 3AC = 3BD，AD =22BD，

∴AD2 + BD2 = 8BD2 + BD2 = 9BD2 =AB2，

∴?D =90°,

由（1）得?E =?D = 90°,

∵AE=

3

1

BD , EC =

3

1

AD = 2

3

2

BD , AB = 3BD，

(第15题)

1

2

第2题

∴在Rt △BCE 中，BC 2 = (AB + AE )2 + EC 2

= (3BD +31BD

)2 + (322BD )2 = 9

108BD 2 = 12a 2 , ∴ BC =32 a .

--- 6分

2．（2010 湖北孝感）（本题满分10分）

[问题情境]

勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，着名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言。

[定理表述]

请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）；（3分） [尝试证明]

以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a 、b 为底，以b a +为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；（4分）

[知识拓展]

利用图2中的直角梯形，我们可以证明.2<+c

b a 其证明步骤如下： AD b a BC ,+=Θ= 。

又∵在直角梯形ABCD 中有BC AD （填大小关系），即 ，

.2<+∴c

b a （3分） 【答案】[定理表述] 如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边长为

c ，那么,222c b a =+

…………3分

说明：只有文字语言，没有符号语言给2分。

[尝试证明]

ABE Rt ?Θ≌,,EDC AEB ECD Rt ∠=∠∴?

又ο

ο90,90=∠+∠∴=∠+∠DEC AEB DEC EDC .90ο=∠∴AED …………5分

,AED Rt DEC Rt ABE Rt ABCD S S S S ???++=梯形Θ

.2

12121))((212c ab ab b a b a ++=++∴ 整理，得.222c b a =+

…………7分

[知识拓展] c b a AD RC c AD 2,,2<+<= …………10分

3．（2010 山东荷泽）（本题满分8分）如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 是∠ABC 的平分

线，CD ＝5㎝，求AB 的长．

【答案】解：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 是∠ABC 的平分线

∴∠ABD ＝∠CBD ＝30°

∴AD ＝DB

又∵Rt △CBD 中，CD ＝5㎝

∴BD ＝10㎝

∴BC ＝35㎝，AC ＝2BC ＝310㎝

20题图 A

B

C

D