(完整版)微积分初步课程期末复习
《微积分初步》课程期末复习
第一部分课程的说明
《微积分初步》是电大专科数控技术、计算机网络技术、计算机信息管理等专业的一门必修的重要基础课程，通过本课程的学习，使学生对微分、积分有初步认识和了解，使学生初步掌握微积分的基本知识、基本理论和基本技能，并逐步培养学生逻辑推理能力、自学能力，较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，为学习本专业其它课程和今后工作的需要，打下必要的基础。
本课程选用教材是《微积分初步》，中央电大出版社出版，赵坚、顾静相编。
本课程的形成性考核仍采用中央电大统一规定的课程形成性考核作业，一共四次，形成性考核作业挂到网上。
本课程的考核成绩采用期末考试成绩与形成性考核作业相结合的方法，满分为100分：期末考试成绩满分为100分，占期末考核成绩的80％；形成性考核作业满分为100分，占期末考核成绩的20％。
考试要求分为三个不同层次：有关定义、定理、性质和特征等概念的内容由低到高分为“知道、了解、理解”三个层次；有关计算、解法、公式和法则等内容由低到高分为“会、掌握、熟练掌握”三个层次．三个不同层次由低到高在期末试卷中的比例为：2:3:5．试题按其难度分为容易题、中等题和较难题，其分值在期末试卷中的比例为：4:4:2．期末考试采用闭卷方式，考试时间为90分钟。
期末考试题型：填空题（每小题4分，共5题），单项选择题（每小题4分，共5题），计算题（每题11分，共4题），应用题（1题，共16分）。
填空题和单项选择题共40分，主要考核基本概念、基本性质、重要定理、基本运算、基本结果等。
计算题有：计算极限（1题，共11分）；计算导数或微分（1题，共11分），包括复合函数和隐函数求导数、导数值或微分；计算不定积分和定积分（各1题，共22分），包括凑微分法和分部积分法。
应用题16分，主要考核极值的几何应用（几何形状主要是：长方形、长方体、圆柱体等）。
第二部分考核内容和考核要求
考核内容包括函数、极限与连续、导数与微分、导数应用、不定积分与定积分、积分应用等方面的知识．
一、函数、极限与连续
（一）考核知识点
1．函数
常量与变量，函数概念，基本初等函数，复合函数，初等函数，分段函数。
2．极限
极限的定义，极限的四则运算。
3．连续函数
连续函数的定义和四则运算，间断点。
（二）考核要求
1．了解常量和变量的概念；理解函数的概念；了解初等函数和分段函数的概念。熟练掌握求函数的定义域、函数值的方法；掌握将复合函数分解成较简单函数的方法。
2．了解极限概念，会求简单极限。
3．了解函数连续的概念，会判断函数的连续性，并会求函数的间断点。
二、导数与微分
（一）考核知识点
1．导数
导数定义，导数的几何意义。
2．导数公式与求导法则
导数的基本公式，四则运算求导法则，复合函数求导法则，隐函数求导方法，
3．微分的定义与计算
4．高阶导数的概念及求法
（二）考核要求
1．了解导数概念，会求曲线的切线。
2．熟练掌握求导数的方法（导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则），会求简单的隐函数的导数。
3．了解微分的概念，掌握求微分的方法。
4．了解高阶导数的概念，掌握求显函数的二阶导数的方法。
三、导数应用
（一）考核知识点
1．函数单调性判别，函数极值；
2．导数在实际问题中的应用（以几何问题为主）。
（二）考核要求
1．掌握函数单调性的判别方法。
2．了解极值概念和极值存在的必要条件，掌握极值判别的方法。
3．掌握求函数最大值和最小值的方法（以几何问题为主）。
四、一元函数积分
（一）考核知识点
1．原函数与不定积分
原函数的概念；不定积分的定义、性质，积分基本公式；求不定积分的直接积分法、第一换元积分法和分部积分法。
2．定积分
定积分的定义（用牛顿莱布尼兹公式作定义）、性质和计算。
3．广义积分（简单的无穷限积分）
（二）考核要求
1．理解原函数与不定积分概念，了解不定积分的性质，掌握积分与导数（微分）的关系。
2．熟记积分基本公式，熟练掌握第一换元积分法和分部积分法。
3．了解定积分概念（定义、几何意义）和定积分的性质。
4．熟练掌握牛顿－莱布尼兹公式，并熟练地用它计算定积分。
5．掌握定积分的换元积分法和分部积分法。
6．了解无穷积分收敛性概念，会计算较简单的无穷积分。
五、积分应用
（一）考核知识点
1．已知切线斜率求曲线方程。
2．微分方程的基本概念，微分方程及其解、阶以及分类。
3．可分离变量的微分方程与一阶线性微分方程求解举例。
（二）考核要求
1．掌握已知切线斜率求曲线方程。
2．了解微分方程，阶，解（通解、特解），线性，齐次，非齐次，初始条件等概念。3．熟练掌握变量可分离的微分方程和一阶线性微分方程的解法。
期 终 复 习 题
一、填空题 1．函数)2ln(1
)(-=
x x f 的定义域是___________ 。
2．函数x
y -=
31
＋)1ln(-x 的定义域是__________。
3．设)(x f ＝???<-≥-010
1e 2
x x
x x ，则)0(f ＝________。 4．函数x x x f 2)1(2
-=-，则=)(x f _______ 。 5．=→x
x
x 2sin lim
0_______ 。 6．设x x y ln =，则y ''_______。
7．曲线2+=
x y 在点2=x 的切线方程是_______ 。
8．函数)1ln(2
x y +=在区间__________内是单调减少的。 9．函数1)2(2
--=x y 的单调增加区间是 ． 10．若
?+=c x x x f 2cos d )(，则=)(x f ．
11．?=x x d 2cos d ___________。 12．='?
x x d )(sin
．
13．=+?e 1
2
dx )1ln(d d x x . 14．=+?x x x -d )1cos (11 .
15．微分方程x y y x x sin )(e 3
='+''的阶数是 ． 二、单项选择题 1．函数y ＝
242
1
x x -++的定义域是（ ）
。 （A ）[－2，2) （B ）(－2，2] （C ）(－2，2) （D ）[－2，2]
2．设11
)(+=
x x f ，则=))((x f f （ ）。 （A ）11++x x （B ）x x +1 （C ）111++x （D ）x
+11 3．函数)e e (2
1)(x
x x f -+=的图形关于（ ）对称．
（A ）x y = （B ）y 轴
（C ）x 轴 （D ）坐标原点 4、当0→x 时，变量（ ）是无穷小量．
(A) x 1 (B) x
x sin (C) 1e -x
(D) 32x x
5．函数sin ,0(),0
x
x f x x k x ?≠?
=-??=? 在x = 0处连续，则k = (
)．
（A ）-2
（B ）-1
（C ）1 （D ）2
6．曲线x x y -=3在点(1,0)处的切线方程是（ ）。
（A ）22+=x y （B ）22+-=x y （C ）22-=x y （D ）22--=x y 7．若x x f x
cos e
)(-=，则=')0(f （ ）。
（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2- 8．函数322
-+=x x y 在区间)4,2(内满足（ ）．
(A) 先单调上升再单调下降 (B) 单调上升
(C) 先单调下降再单调上升 (D) 单调下降 9．函数y ＝x 2－2x ＋5在区间 (0，1) 上是（ ）。
（A ）单调增加 （B ）先单调增加，后单调减少 （C ）单调减少 （D ）先单调减少，后单调增加 10．下列式子中正确的是（ ）。
（A ）x x f x x f x
d )(d )(d d
=? （B ）?=)()(d x f x f （C ）
?=')(d )(x f x x f （D ）x x f x x f d )(d )(d =?
11．以下计算正确的是（ ）
（A ）3ln 3d d 3x x
x = （B ）)1(d 1d 2
2
x x
x +=+ （C ）
x x
x
d d = （D ） )1d(d ln x x x =
12．若x x f cos )(=，则
='?x x f d )(（ ）
． (A) c x +sin (B) c x +cos
(C) c x +-sin (D) c x +-cos 13．=?
-)e (d x
x （ ）。
（A ）c x x
+-e
（B ）c x x x ++--e e
（C ）c x x
+--e
（D ）c x x x +---e e
14．下列定积分中积分值为0的是（ ）．
（A ）x x
x d 2
e e 1
1?--- （B ）x x
x d 2e e 11?--+ （C ）
x x x
d )cos (2
?-
+π
π （D ）x x x d )sin (2?-+π
π
15．微分方程y y -='的通解是（ ）。
（A ）x c y -=e （B ）x
c y e = （C ）c y x
+=-e （D ）c y x +-=e
三、计算题
1．计算极限：69
lim 223-+--→x x x x 2．计算极限423lim 222-+-→x x x x
3．计算极限3
2)
1sin(lim 21-+-→x x x x 4、计算极限5456lim 221--++-→x x x x x
5．设)0(211y x
y '+=
，求 6．设x y x
21sin e +=，求y '
7．设y x y x
'-=，求2
sin 2cos 8．计算不定积分：?
+x x x d 1)ln (
9．计算不定积分：?+x x d )12(5 10．计算不定积分：
x x x d 1sin
2
?
11．计算不定积分：?x x x d 3sin 12．计算定积分：
x x x d )e 1(e 3
ln 0
2?
+
13．计算定积分：?π20
d sin x x x 14．计算定积分：?20
d 2cos π
x x x
15．计算定积分：?
-10
2d e x x x
四、应用题
1．用钢板焊接一个容积为3
4m 的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？
2．某厂要生产一种体积为V 的无盖圆柱形铁桶，问怎样才能使用料最省？
3．欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
综合练习答案
一、填空题
1．2>x 且3≠x 2。)3,1( 3。0 4。12
-x 5．
21 6。x 1 7。2
3
41+=x y 8。)0,(-∞ 9．),2(+∞ 10。x 2sin 2- 11。x x d 2cos 12。c x +sin
13．0 14。2 15。二阶 二、单项选择题
1．B 2。A 3。B 4。C 5。B 6．C 7。C 8。B 9。C 10。D 11。A 12。B 13．B 14。A 15。A 三、计算题 1．
56 2．41 3．41
4。3
2- 5．1- 6．x x
x 2sin e 11
2+-7．2
cos 22ln 2sin 2x x y x x --='
8．c x x x x x +--
+4ln )2(2122 9．c x ++6)12(121 10．c x
+1
cos 11．c x x x ++-
3sin 913cos 31 12．3
56
13．1 14。 2
1- 15。)1e 3(412
---
四、应用题
1．当底面边长为2=x 米时，高为1=h 米时总造价最低，最低总费是160元。 2．底半径3
πV r =
，高3π
V h = 3．当底边的边长6=x 米，高3=h 米时用料最省．
微积分2期末复习提纲答案
2015年6月微积分2期末复习提纲 1、 本学期期末考试考察的知识点如下: 第六章隐函数的偏导数求解P194例9-10，条件极值应用题（例10）求解，约占12% 第七章二重积分（二重积分的概念，比较大小P209课后习题，直角坐标系下的交换积分次序P212例题3&P213习题1（7），直角坐标与极坐标系下的二重积分计算）约占26%; 第八章无穷级数（无穷级数的概念,几何级数，P-级数，正项级数的比较判别法和比值判别法，任意项级数的敛散性，幂级数的收敛半径及收敛域，求幂级数的和函数，间接 展开以 1 ,,ln(1)1x e x x +-为主）约占35%; 第九章微分方程（微分方程及其解的概念，一阶分离变量,齐次和一阶线性微分方程求解(通解和特解），二阶常系数齐次，非齐次微分方程的通解(三角型的不要求）。约占27%. 2、样题供参考（难度、题型） 一、填空题：（14小题） 1、若D ：224x y y +≤，则 D d σ=??4π。(表示求解积分区域D 的面积——圆) ● 或D ：9122≤+≤y x ，则 ??=D dxdy 8π。(表示求解积分区域D 的面积——圆环) ● 或2 2 :4D x y y +≤，将 dxdy y D ??化为极坐标系下的累次积分4sin 20 sin d r dr π θ θθ? ? ． (判断θ的范围作为上下限，判断r 的范围作为上下限，y 用rsin θ代入) 7.3极坐标系下二重积分的计算 2、交换积分次序 1 1 (,)y dy f x y dx = ? ?1 (,)x dx f x y dy ? ?。 （依题得：010<
AP微积分课程主要内容详解
AP微积分课程主要内容详解 AP是美国大学的预科课程，除此之外大家还对AP项目了解多少呢？比如AP微积分课程？关于AP微积分AB和AP微积分BC两门课程的主要内容，是否有所接触呢？编辑为大家整理了AP微积分课程的主要内容，分享给大家，供大家参考，希望对大家入门有所帮助！ AP项目包括两门AP微积分课程，AP微积分课程相当于大学的微积分课程。这两门课程以及相应的考试称之为AP微积分AB和微积分BC。下面我们来看一下这两门AP微积分课程的主要内容。 AP微积分AB课程的主要内容： I.函数（Functions）、图像（Graphs）、极限（Limits）包括图象分析（Analysis of graphs）、函数的极限（Limits of functions）、渐进和无穷（Asymptotic and unbounded behavior）、函数的连续性（Continuity as a property of functions）4部分内容； Ⅱ。导数（Derivatives）包括导数的概念（Concept of the derivative）、在一个点处的导数（Derivative at a point）、导函数（Derivative as a function）、二阶导数（Second derivatives）、导数的应用（Applications of derivatives）、导数的运算（Computation of derivatives）等内容； Ⅲ。积分Integrals 包括积分的概念和性质（Interpretations and properties of definite integrals）、积分的应用（Applications of integrals）、微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）、不定积分（Techniques of antidifferentiation）、不定积分的应用（Applications of antidifferentiation）、定积分的数值计算（Numerical approximations to definite integrals）； AP微积分BC课程的主要内容除了包括微积分AB课程的全部内容之外，还增加了以下内容：平面曲线的参数方程、向量方程、极坐标方程；反积分；多项式近似计算；级数；
电大---微积分初步答案完整版
微积分初步形成性考核作业（一）解答 ————函数，极限和连续 一、填空题（每小题2分，共20分） 1．函数) 2ln(1 )(-= x x f 的定义域是 ． 解：0 20)2ln({ >-≠-x x ， 2 3{ >≠x x 所以函数) 2ln(1 )(-= x x f 的定义域是),3()3,2(+∞? 2．函数x x f -= 51)(的定义域是 ． 解：05>-x ，5
微积分2习题答案
一、填空题 1．设)(x P 是x 的多项式，且26)(lim 23=-∞→x x x P x ，3) (lim 0=→x x P x ，则=)(x P 2．=-++∞ →))(arcsin(lim 2 x x x x 6 π x x x 3262 3++↑ 3．=?? ? ??-∞ →3 21lim x x x 32 -e 4．设A x x ax x x =-+--→1 4 lim 31，则有=a ，=A 4，－2 5．设x x x x x f sin 2sin )(+=，则=∞→)(lim x f x 2 6．=?+→2 32031 sin sin lim x x x x x 31 7．函数) 2)(1(1+-+=x x x y 的间断点是 1=x 8．为使函数()x x x f tan 1 ?=在点0=x 处连续，应补充定义()=0f 1 9．设函数?????=≠-=00)1(3 x K x x y x 在0=x 处连续，则参数=K 3-e 10．函数???>+≤+=0 10 )(x e x a x x f x 在点0=x 处连续，则=a 2 二、单项选择题 1．设0>n x ，且n n x ∞→lim 存在，则n n x ∞ →lim ② ①0> ②0≥ ③0= ④0< 2．极限=-→1 11 lim x e x ③ ①∞ ②1 ③不存在 ④0 3．=++∞→- →x x x x x x 1 sin lim ) 1(lim 10 ④ ①e ； ②1e -； ③1e +； ④1 1e -+ 4．()() 213 ++-= x x x y 的连续区间是__________________ ② ①()()()+∞----∞-,11,22, ②[)+∞,3 ③()()+∞--∞-,22, ④()()+∞--∞-,11, 5．函数1 2 111 11+----=x x x x y 的不连续点有 ③ ①2个 ②3个 ③4个 ④4个以上 6．下列函数中，.当0→x 时，与无穷小量x 相比是高阶无穷小量的是___________；是等价无穷小量的是__________________ ①，② ①x cos 1- ②2 x x + ③x ④x 2sin
微积分课程教学基本要求
微积分课程教学基本要 求 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
(1) 微积分(I)教学基本要求(3学时/周, 48学时) (一)说明 《微积分(I)》称之为“直观微积分”，其特点是给极限以易懂的直观定义， 跨过极限理论证明的难点，尽快进入微积分的最基本的主线内容：一元函数的 微分、积分以及简单微分方程等. 这样使学生容易入门，先掌握实际应用广泛 的微积分基本内容，突出牛顿式的数学与物理概念、几何直观相结合的处理方法, 不拘泥于严格的数学证明，注重基本的计算能力和运用微积分方法分析和 解决实际问题能力的培养。 (1)这部分内容的极限概念主要以“无限趋向”直观的定义, 只介绍极限的精 ε-的极限证明, 但极限的保号性的运用要求掌握。 确定义，不要求用δ (2)连续函数在闭区间上的有界性，取最值性，及介值性的结论要求会运用. (3)这部分要求突出计算和应用。 由于学生从中学到大学在学习方法上有较大变化,为适应这个过程,建议在 教学中注意对学生学习方法和阅读教材与参考书的指导，堂上要有适当的例题 讲解。 (二)内容 1. 函数: 函数定义,基本初等函数; 隐函数, 参数方程表示的函数,复合函数。 函数的几个主要性质:有界性,奇偶性，单调性，周期性,凸凹性。 2极限: ε-”定义的证明题,只要只讨论函数的极限，强调“无限趋近”, 不要求“δ ε-”思想说明极限的保号及有界等性质. 求用“δ
极限的运算性质,两个重要极限，无穷小量,无穷大量.利用极限性质、等价无穷小、高阶无穷小计算极限。 3.连续: 连续和间断的概念(不讲一致收敛),闭区间连续函数的性质. 4. 导数与微分 导数与微分的概念,几何意义. 导数与微分计算: 基本导数、微分公式, 四则运算法则,复合函数链式法则, 参数方程求导数,隐函数求导数;高阶导数Leibniz 公式 5. 微分中值定理和导数应用 三个微分中值定理的证明及应用. L ’Hospital 法则, Taylor 公式, 函数()()α x x e x x x ++1,1ln ,,cos ,sin 在00=x 处的Taylor 公式, 用Taylor 公式求函数的极限. 函数性态的研究: 增减极值,凸性，拐点, 渐近线; 函数图象的讨论和略画。 一元函数的极值及最值问题。 6.积分 原函数和不定积分的概念及性质; 不定积分的计算： 凑微分,变量代换,分部积分， 了解有理函数的积分的思路与结论 7. 定积分的概念及基本性质, 变限积分与微积分基本定理,Newton-Leibniz 公式 定积分的计算：凑微分,变量代换,分部积分，了解不能积成初等函数的积分。
《微积分初步》形成性考核作业答案
《微积分初步》形成性考核作业（一）参考答案 ——函数，极限和连续 一、填空题（每小题2分，共20分） 1．() () 3,+∞2，3 或填{}23x x x >≠且； 2．(),5-∞或填{}5x x <； 3．()(]2,11,2--?-或填{}121x x x -<≤≠-且； 4．26x +； 5．2； 6．21x -； 7.1x =-； 8.1； 9.2； 10. 32 二、单项选择题（每小题2分，共24分） 1.B 2.A 3.D 4.C 5.D 6.D 7.C 8.D 9.C 10.B 11.D 12.A 三、解答题（每小题7分，共56分） 1、1/4; 2、7/2; 3、3/2; 4、2/3; 5、2； 6、-1/2; 7、-1/8; 8/16 《微积分初步》形成性考核作业（二）参考答案 ——导数、微分及应用 一、填空题（每小题2分，共20分） 1．12 ； 2．10x y -+=； 3．230x y +-=； 4 1 ； 5．6-； 6．()271ln3+；7.21x -； 8.2-； 9.()1,+∞； 10. 0a >. 二、单项选择题（每小题2分，共24分） 1.D 2.C 3.C 4.B 5.D 6.C 7.C 8.C 9.A 10.B 11.B 12.A 三、解答题（每小题7分，共56分） 1．解：()111 22 1 221x x x y xe x e x e x ??'=+-=- ??? . 2．解：24cos 43sin cos y x x x '=-. 3． 解：21y x '=- . 4． 解：sin tan cos x y x x '= =. 5．解：方程两边同时对x 求微分，得 ()()220 2222xdx ydy xdy ydx x y dx x y dy x y dy dx x y +--=-=--∴= -
微积分初步形成性考核作业(三)
微积分初步形成性考核作业（三） ———不定积分、极值应用问题 一、填空题（每小题2分，共20分） 1．若)(x f 的一个原函数为2ln x ，则=)(x f 2/x 。 2．若)(x f 的一个原函数为x x 2e --，则=')(x f 1+2e -2x 。 3．若 ?+=c x x x f x e d )(，则=)(x f e x +xe x 。 4．若 ?+=c x x x f 2sin d )(，则)(x f 2cosx 。 5．若 c x x x x f +=?ln d )(，则=')(x f 1/x 。 6．若?+=c x x x f 2cos d )(，则=')(x f -4cos2x 。 7．=?-x x d e d 2 e -x 2dx 。 8．='?x x d )(sin sinx+c 。 9．若?+=c x F x x f )(d )(，则?=-x x f d )32( 1/2F(2x-3)+c 。 10．若?+=c x F x x f )(d )(，则?=-x x xf d )1(2 -1/2F(1-x 2）+c 。 二、单项选择题（每小题2分，共16分） 1．下列等式成立的是（ A ）。 A ．)(d )(d d x f x x f x =? B ．)(d )(x f x x f ='? C ．)(d )(d x f x x f =? D ．)()(d x f x f =? 2．若c x x x f x +=?22e d )(，则=)(x f （ A ）。 A ．)1( e 22x x x + B ．x x 22e 2 C ．x x 2e 2 D ．x x 2e 3．若)0()(>+ =x x x x f ，则='?x x f d )(（ A ）。 A. c x x ++ B. c x x ++2
电大《微积分初步》复习题及答案解析
微积分初步复习试题 一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数x x x f -++=4) 2ln(1 )(的定义域是 ]4,1()1,2(-?-- ． ⒉若24sin lim 0=→kx x x ，则=k 2 ． ⒊曲线x y e =在点)1,0(处的切线方程是 1+=x y ． ⒋ =+?e 12 d )1ln(d d x x x ． ⒌微分方程1)0(,=='y y y 的特解为 x y e = ． 二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈设函数x x y sin =，则该函数是（ A ）． A ．偶函数 B ．奇函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数 ⒉当=k （ C ）时，函数???=≠+=0,0 ,2)(2x k x x x f ，在0=x 处连续. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 ⒊下列结论中（ C ）正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．函数的极值点一定发生在其驻点上. C ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. ⒋下列等式中正确的是（ D ）． A . )cos d(d sin x x x = B. )1 d(d ln x x x = C. )d(d x x a x a = D. )d(2d 1 x x x = ⒌微分方程x y y x y sin 4)(53='''+''的阶数为（ B ） A. 2； B. 3； C. 4； D. 5 三、计算题（本题共44分，每小题11分） ⒈计算极限238 6lim 222+-+-→x x x x x ． 原式21 4 lim )1)(2()2)(4(lim 22-=--=----=→→x x x x x x x x ⒉设x x y 3cos ln +=，求y d .
《微积分初步》期末复习资料
微积分初步（12春）期末模拟试题 一、填空题 ⒈函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f 62-x ． ⒉若2sin 6sin lim 0=→kx x x ，则=k 1 ． ⒊曲线1e )(+=x x f 在)2,0(处的切线斜率是 2 1 21+=x y ． ⒋若 x 1 是)(x f 的一个原函数，则=')(x f dx e x 2- ． ⒌x y y y 2sin ln )(4='''++'为 4 阶微分方程. 6.函数72)1(2+-=-x x x f ，则=)(x f 32+x ． 7.若函数?? ??? =≠+=0,0 ,13sin )(x k x x x x f ,在0=x 处连续，则=k 3 ． 8.曲线x y =在点)1,1(处的切线方程是 1 ． 9.=?-x x d e d 2 3 2 x ． 10.微分方程x y xy y sin 4)(5)4(3=+''的阶数为 3 ． 11.函数x x x f -++= 4)2ln(1 )(的定义域是 ]4,1()1,2(-?-- ． 12.若24sin lim 0=→kx x x ，则=k 2 ． 13.曲线x y e =在点)1,0(处的切线方程是 1+=x y ． 14.=+?e 1 2d )1ln(d d x x x ． 15.微分方程1)0(,=='y y y 的特解为 x y e = ． 16.函数24) 1ln(1 )(x x x f -++= 的定义域是 ]2,0()0,1(?- ． 17.函数1 3 22+--=x x x y 的间断点是= 1-=x ． 18.函数2)1(3+=x y 的单调增加区间是 ),1[+∞- ．
完整word版微积分课程教学大纲
《微积分》课程教学大纲 课程类型: 公共基础课课程代码: 0140026 课程学时: 75 学分: 5 适用专业: 经济学专业（金融方向） 开课时间:一年级一学期开课单位: 基础部数学教研室 大纲执笔人: 兰星大纲审定人: 王培颖 一、课程性质、任务 课程性质：微积分已经被广泛应用于各种经济活动之中，并且与其他经济学分支互相渗透或结合。微积分即是掌握现代化科学知识必不可少的基础知识和基本工具，也是后继课程《概率论与数理统计》《计量经济学》等的基础课程，所经，微积分已经成为经济学专业学生必修的一门专业基础课。 教学目的与任务：首先要使学生掌握经济学专业所必须的微积分知识和方法，迸一步培养学生正确、熟练的计算能力，同时还要通过微积分课程的教学，对学生进行数学思想和方法的教育训练，进一步培养学生正确、深刻的思维能力，及独立的分析解决实际问题的能力。 备注：本教学大纲以赵树嫄等主编的《微积分》为编写标准。 二、课程教学内容 （一）教学内容、目标与学时分配 教学内容教学目标学时分配 75 理论教学部分 6 1、函数（第一章） 1/2 了解 1．1集合1 理解 1．2实数集1/2 1．3 理解函数关系 1/2 了解 4 1．分段函数 1/2 5建立函数关系的例题掌握． 11 1．6函数的几种简单性质了解 1 了解反函数与复合函数．17 1 掌握 8 1．函数的几种简单性质17 、极限与连续（第二章）2 ． 21理解数列极限 2 2．函数极限理解22 理解变量极限． 23 2 4．无穷大与无穷小理解 21 5． 2掌握极限的运算法则 3 6． 2 两个重要极限了解3 2．7利用等价无穷小量代换求极限掌握 2 了解．8函数的连续性 22 9 3、导数与微分（第三章）理解 3．1引出导数概念的例题 1
物理学力学数学 微积分初步习题解答
1．求下列函数的导数 ⑴10432+-=x x y ⑵100cos 8sin 7/ 1-++=x x x y ⑶)/()(bx a b ax y ++= ⑷21sin x y += ⑸x e y sin = ⑹x e y x 100+=- x x x e e y x e y x x x x x x y bx a b a y x x x x y x y ----=+-==++=++=+-=-+-=-=100100)1('cos '1/1cos 2·)1(·)1cos(') /()('sin 8cos 7)2/(1'46'sin 2 2 2 /122 12 /122 2 2 ⑹ ⑸⑷ ⑶⑵解：⑴ 2．已知某地段地形的海拔高度h 因水平坐标x 而变，h=100-0.0001x 2(1-0.005x 2)，度量x 和h 的单位为米。问何处的高度将取极大值和极小值，在这些地方的高度为多少？ 解：先求出h(x)对x 的一阶导数和二阶导数： 4 2643643647242102106)102102(102102)1051010(2 2--------?-?=?-?= ?-?=?+-= x x x x x x x dx d dx h d dx d dx dh 令dh/dx=0，解得在x=0,10,-10处可能有极值。∵d 2h/dx 2|x=0<0,∴x=0是极 大值点，h(0)=100；∵d 2h/dx 2|x=10>0,∴x=10是极小值点，h(10)=99.0005米；显然，x=-10亦是极小值点，h(-10)=h(10). 3．求下列不定积分 ?? ++-dx x dx x x x )2()13(2 3 ⑵ ⑴ ?????? ????-+-++--+dx xdx dx xe xdx x dx e dx b ax dx dx x x dx e x x x b ax dx x x x x x x x ln 2 22113 ) 12(cos )11(cos sin )sin()cos (sin )2(22⑽⑼⑻⑺⑹⑸ ⑷⑶ 解： ????????? ? ??????????????????????+==++= += +-=--=+==++=++= +-=--=++- =++=++-=-==+--=-=-++ +=-+=- +++= +=+++-=+-=+-----+---++-++-c x x xd dx c x x dx x xdx c e x d e dx xe c x x xd xdx x c b ax b ax d b ax c e x d e dx e c b ax b ax d b ax dx b ax c arctgx x dx dx dx c x x xdx xdx dx x x c e x dx x dx e dx e c x dx x dx dx x c x x x dx xdx dx x dx x x x x x x x a a b ax dx x x x a a x dx x x x x x x x x dx x x x x x x 2 2 1ln 41212 12212213 12222 /11 2212212111111122/3133 312 ln 22x 22 34133)(ln )(ln ln )12(2sin )2cos 1(cos )11()(sin )(sin sin cos sin )()()2()cos()()sin()sin(sin cos cos sin )cos (sin 2ln 323)2(2)2(3)13(2 2 2 2 22 22 ⑽⑼⑻⑺⑹⑸⑷⑶⑵⑴ 4. 求下列定积分
AP微积分课程内容介绍
简单地说，AP微积分是一门大学入门级别的微积分课程。学生会在探索变化、极限、方程等概念的过程中学习掌握相关定义、定理的论证和总结。学生需要通过图像、数字、分析和语言描述来解决实际问题，并在此过程中培养强化对于微分学和积分学的理解。 AP微积分课程分为AP Calculus AB和AP Calculus BC两种，两者是被包含与包含的关系，即BC是AB的拓展与延伸。二者共同包括的内容有极限、导数、定积分、牛顿-莱布尼兹公式、微分方程等课题，而专属于BC的内容有参数方程、矢量方程、极坐标、无限序列、级数等课题。从另一个角度来说，微积分AB所涵盖的内容大约是美国大学一个学期所教授的微积分知识，而微积分BC所涵盖的内容差不多要一个学年才能上完。具体的课程设置参见下表（其中九、十单元的所有内容以及六、七、八单元中的部分内容为BC课程独有）：
不过虽然大纲版本在变化，可喜可贺的是考试内容并无翻天覆地的变化。 对于课程学校中计算器问题，一般要求所使用的图形计算器一定能够画函数图像，条件允许情况下最好准备TI-Nspire系列(推荐CX-CAS)。而且图形计算器在美国大学很多课程都要用到，可提前准备着。 希望以上的内容能给将要学习AP微积分的同学们一点帮助。 学通国际课程培训中心自2008年起一直致力于ALEVEL、IGCSE、IB、AP、SAT2等主流国际课程中30多门科目的提分与培优，经11年深耕教学，目前已拥有教师团队80余人，其中20%为博士，80%为名校海归硕士，平均国际课程教龄8年以上，每年为学生提供50000小时以上的高品质课程。除常规国际课程培训外，我们还提供“G5全程护航计划”——全天候全脱产式学习，“全球TOP10大学冲击计划”——高考留学两不误双轨制ALEVEL课程，国际学校备考与衔接课程，英国G5名校STEP、MAT、PAT、TSA、牛剑面试等附加考试辅导，海外学校iTEP、Ukiset、AEAS、AEIS、维立克面试等入学考试辅导课程；同时还提供个性化的学术背景提升项目。
微积分初步形成性考核册答案
微积分初步形成性考核册答 案 标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
微积分初步形成性考核作业（一） ————函数，极限和连续 一、填空题（每小题2分，共20分） 1．函数) 2ln(1 )(-= x x f 的定义域是 ． 解：020)2ln({>-≠-x x ， 2 3{>≠x x 所以函数) 2ln(1 )(-= x x f 的定义域是),3()3,2(+∞? 2．函数x x f -= 51)(的定义域是 ． 解：05>-x ，5
高中物理竞赛讲义——微积分初步
高中物理竞赛讲义——微积分初步 一：引入 【例】问均匀带电的立方体角上一点的电势是中心的几 倍。 分析： ①根据对称性，可知立方体的八个角点电势相等；将原立 方体等分为八个等大的小立方体,原立方体的中心正位于个小立方体角点位置；而根据电势叠加原理，其电势即为八个小立方体角点位置的电势之和，即U 1=8U 2 ； ②立方体角点的电势与什么有关呢?电荷密度ρ；二立方体的边长a ；三立方体的形状； 根据点电荷的电势公式U=K Q r 及量纲知识，可猜想边长为a 的立方体角点电势为 U=CKQ a =Ck ρa 2 ；其中C 为常数，只与形状（立方体）及位置（角点）有关，Q 是总电量，ρ是电荷密度；其中Q=ρa 3 ③ 大立方体的角点电势：U 0= Ck ρa 2 ；小立方体的角点电势：U 2= Ck ρ（a 2 ）2=CK ρa 2 4 大立方体的中心点电势：U 1=8U 2=2 Ck ρa 2 ；即U 0=12 U 1 【小结】我们发现，对于一个物理问题，其所求的物理量总是与其他已知物理量相关联，或者用数学语言来说，所求的物理量就是其他物理量（或者说是变量）的函数。如果我们能够把这个函数关系写出来，或者将其函数图像画出来，那么定量或定性地理解物理量的变化情况，帮助我们解决物理问题。 二：导数 ㈠ 物理量的变化率 我们经常对物理量函数关系的图像处理，比如v-t 图像，求其斜率可 以得出加速度a ，求其面积可以得出位移s ，而斜率和面积是几何意义上 的微积分。我们知道，过v-t 图像中某个点作出切线，其斜率即a= △v △t . 下面我们从代数上考察物理量的变化率： 【例】若某质点做直线运动，其位移与时间的函数关系为上s=3t+2t 2,试求其t 时刻的速度的表达式。（所有物理量都用国际制单位，以下同）
《高等数学二》期末复习题与答案_28171462418361700
《高等数学（二）》期末复习题 一、选择题 1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=?b a ，则=b （ ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--. 2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ?+-=?=? 代表的图形为 ( ) （A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22 ()D I x y dxdy =+?? ，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ ） (A) 2240 a d a rdr a π θπ=? ? (B) 2240 2a d a adr a πθπ=?? (C) 2230 023a d r dr a π θπ=? ? (D) 224001 2 a d r rdr a πθπ=?? 4、 设的弧段为：2 30,1≤≤=y x L ，则=? L ds 6 （ ） （A ）9 (B) 6 （C ）3 (D) 2 3 5、级数 ∑∞ =-1 1 )1(n n n 的敛散性为 （ ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑??=→?=n i i i i D f d y x f 1 0),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是（ ） （A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分??-1 010 d ),(d x y y x f x 等于 ( ) （A ）??-1 010d ),(d x x y x f y (B) ??-1 010 d ),(d y x y x f y (C) ? ?-x x y x f y 10 1 0d ),(d (D) ??1 01 0d ),(d x y x f y
国家开放大学《微积分初步》模拟试题2及参考答案
国家开放大学《微积分初步》模拟试题2及参考答案 一、填空题（每小题4分，本题共20分） 1．函数24) 2ln(1)(x x x f -++=的定义域是]2,1()1,2(-?--。 2．若函数? ??=≠+=0,0,2)(2x k x x x f ,在0=x 处连续，则=k 2 。 3．曲线x y =在点)1,1(处的斜率是 2 1。 4．=?x x d 2c x +2ln 2。 5．微分方程x y 2='满足初始条件1)0(=y 的特解为12+=x y 。 二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） 1．设32)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f （D ）。 A ．12-x B ．22-x C ．42-x D ．42-x 2．若函数f (x )在点x 0处可导，则（B ）是错误的。 A ．函数f (x )在点x 0处有定义 B ．A x f x x =→)(lim 0 ，但)(0x f A ≠ C ．函数f (x )在点x 0处连续 D ．函数f (x )在点x 0处可微 3．函数642-+=x x y 在区间)4,4(-是（A ）。 A ．先减后增 B ．先增后减 C ．单调减少 D ．单调增加 4．若)0()(>+=x x x x f ，则='?x x f d )(（B ）。 A ．c x x ++2 B ．c x x ++ C ．c x x ++2323221 D ．c x x ++23 22 3 5．微分方程x y y y x y sin 4)(53''='''+'的阶数为（C ）。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 三、计算题（本题共44分，每小题11分） 1．计算极限451lim 221+--→x x x x 。
中国大学先修课程《微积分》课程纲要
中国大学先修课程《微积分》课程纲要 一．课程目的： 1．让学生在中学微积分的基础之上对微积分学有一个比较高的认识； 2．培养学生尽可能早地了解与把握微积分的基本思想，掌握最核心、最有用、最生动的部分； 3．通过本课程，学生可以了解微积分是如何从朴素、自然变得复杂的原因，更加深刻地理解其数学本质，逻辑方面经受一次比较严格的训练，使得直觉与理性完美结合起来。二．授课对象： 高二年级学生中对微积分对数学感兴趣的同学。 三．授课时间： 用两个学期的时间，完成教材前四章的教学。内容分别是：第一章函数与极限，第二章微积分的基本概念，第三章积分的计算及应用，第四章微分中值定理与泰勒公式。 本学期从小高考结束开始上课，本学期完成第一章、第二章、第四章的教学，下学期完成第二章的教学。 上课时间安排在每周五下午4：00~6：00。 下学期时间安排待定。 四．评价方法： 考试由北京大学统一出题，本学期考试时间在7月份，具体时间待定。 本课程的考试结果经北京大学认定后，可以计入北京大学非数学专业学分。 五．教材： 北京大学物理系使用的课本《高等数学》上册(第二版，李忠、周建莹编著)。 六．授课教师： 王刚 七．课程内容 第一章：函数与极限 §1 实数； §2 变量与函数； §3 序列极限； §4 函数的极限；
§5 连续函数； §6 闭区间上连续函数的性质 第二章：微积分的基本概念 §1 微商的概念； §2 复合函数的微商与反函数的微商； §3 无穷小量与微分； §4 一阶微分的形式不变性及其应用； §5 微分与近似计算 §6 高阶导数与高阶微分 §7 不定积分 §8 定积分 §9 变上限定积分 §10 微积分基本定理 第三章：积分的计算及其应用 §1 不定积分的换元法 §2 分部积分法 §3 有理式的不定积分与有理化方法 §4 定积分的分部积分法与换元积分法则§5 定积分的若干应用 第四章：微分中值定理与泰勒公式 §1 微分中值定理 §2 柯西中值定理与洛必达法则 §3 泰勒公式 §4 关于泰勒公式余项 §5 极值问题 §6 函数的凸凹性与作图
微积分2答案完整版
2010—2011真题答案 一、 1.答案：14 21sin 2sin 2 x x x x --，易。 学霸解析：()2 1 2 2 4 421(sin )()sin ()sin sin 2sin 2 x x f x t dt x x x x x x x x -''''==-=-? 知识点：原函数求导，易。 2． 答案：1y x =- 学霸解析：22()0y y y xy ''-+= 代入)1,2(，1y '=- 知识点：等式两边同时求导，中。 3. 答案：11(1)(1)1 n n n x n ∞ +=--+∑ 学霸解析：11 (1)ln(1)n n n x x n -∞ =-+=∑ 知识点：对ln(1+x)的应用，中。 4． 答案： 120 (,)y y dy f x y dx -? ? 学霸解析：01, 0x y x ≤≤?? ≤≤?12, 02x y x ≤≤?? ≤≤-? 知识点：x,y 定义域的转换，中。 5．答案：(1cos1)π-
学霸解析：21 22 2 sin()sin (1cos1)D x y dxdy d r rdr πθπ+= =-???? 知识点：二重积分，中。 6．答案：11(ln )21x y c x +=- +- 学霸解析：111 ln 21x c x y +=-+- 11(ln )21x y c x +=-+- 知识点：微分方程求通解，难。 二、 1. 答案：C 学霸解析：绝对收敛：对于级数1n n u ∞=∑,如果级数1n n u ∞=∑收敛的话，则称1 n n u ∞ =∑为绝对收敛。 条件收敛：如果 1 n n u ∞ =∑发散，但 1 n n u ∞ =∑却是收敛的，则称 1 n n u ∞ =∑为条件收敛。 知识点：幂级数收敛性，易。 2． 答案：D 学霸解析：对于A ，2D dxdy =?? 对于B ， 4D dxdy =?? 知识点：二重积分，中。 3．
国家开放大学《微积分初步》模拟试题11及参考答案
国家开放大学《微积分初步》模拟试题11及参考答案 一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数22)1(2+-=-x x x f ，则=)(x f 12+x ． ⒉=→x x x 2sin lim 0 2 ． ⒊曲线21 -=x y 在点)1,1(处的切线方程是2 321+-=x y ． ⒋='?x x d )(sin c x +sin ． ⒌微分方程y x x y y x +='+'''e sin )(4的阶数为 3 ． 二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数) 2ln()(+=x x x f 的定义域是（C ）． A ． ),2(+∞- B ．),1(+∞- C ．),1()1,2(+∞-?-- D ．),0()0,1(+∞?- ⒉当=k （B ）时，函数???=≠+=0, 0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续. A ．0 B ．1 C ．2 D ．1- ⒊下列结论中（D ）不正确． A ．若)(x f 在[a ，b ]内恒有0)(<'x f ，则在[a ，b ]内函数是单调下降的. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上. D ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. ⒋下列等式成立的是（A ）． A ．)(d )(d d x f x x f x =? B ．)(d )(x f x x f ='? C ．)(d )(d x f x x f =? D ．)()(d x f x f =? ⒌下列微分方程中为可分离变量方程的是（C ） A. y x x y +=d d ； B. )(d d x y x x y +=； C. y xy x y +=d d ； D. x xy x y sin d d +=
《微积分初步》应用题解题步骤
《微积分初步》应用题 上镜率：2011年7月，2010年7月，2007年7月 1、欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解： 设长方体底边边长为x ，高为h 因为2108x h =，所以有2 108h x = 表面积222210843244y x xh x x x x x =+=+=+ 24322y x x '=- 令0y '=得6x =（唯一驻点） 由实际问题知，当底边长为6，高为210836 =时，用料最省。 【分析，（1）其中()()2212243243243224322x x x x x x x x --'??''+=+=-=- ??? （2）243220y x x '=-=有2 4322x x = 两边同乘以2x 得到32432x = 两边同除以2得到3343221662 x === 所以解得6x = （3）应用结论：实际问题中一定存在最值，唯一的驻点是极大（小）值点，也一定 是最大（小）值点。 （4）如果此题中的108换成其他数字如32，同理可做 】 上镜率：2011年1月， 2009年1月 2、欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设长方体底边边长为x ，高为h 因为232x h =，所以有2 32h x = 表面积22223212844y x xh x x x x x =+=+=+ 21282y x x '=- 令0y '=得4x =（唯一驻点） 由实际问题知，当底边长为4，高为210826 =时，用料最省。
上镜率：2011年1月， 2008年7月 3、用钢板焊接一个容积为4m 3的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接 费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？ 解： 设水箱的底边长为x ，则有高24h x = 表面积 22164y x xh x x =+=+ 所以2162y x x '=- 令0y '=得2x =（唯一驻点） 有实际问题知，当底边长为2，高为1时表面积最小，费用最低 此时最低费用为()21040160y ?+=（元）。 上镜率：2008年1月 4、设矩形周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体，试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。 解： 设矩形一边为x ，则另一边旋转轴为1202602 x x -=- 圆柱体体积为()()2236060y x x x x ππ=-=- 所以() 21203y x x π'=- 令0y '=得0x =（舍），40x =（唯一驻点） 由实际问题知，当矩形一边为40，一边为20，且短边为旋转轴时圆柱体体积最大。 上镜率：2007年1月 5、欲用围墙围成面积为216立方米的一块矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 解：设土地一边为x ，另一边为2 216x ， 用料及长度为216432323y x x x x =+=+ 24323y x '=- 令0y '=得12x =-（舍），12x =（唯一驻点） 由实际问题知，当土地一边为12，另一边为18时，用料最省