全等三角形证明判定方法分类情况总结

全等三角形（一）SSS

【知识要点】

1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形． 2．全等图形的性质：

（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等 （2）全等图形的面积相等

3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形

（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于” 如

DEF ABC ??与全等，记作ABC ?≌DEF ?

（2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等．

（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．

（4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．

4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS ”．

如图，在ABC ?和DEF ?中???

??===DF AC EF BC DE

AB

ABC ?∴

≌DEF ?

【典型例题】

例1．如图，ABC ?≌ADC ?，点B 与点

D 是对应点，

?=∠26BAC ，

且?=∠20B ，1=?ABC S ，求

ACD D CAD ∠∠∠,,的度数及ACD ?的面积．

例

2．如图，

ABC ?≌DEF

?，

cm CE cm BC A 5,9,50==?=∠，求EDF ∠的度数及CF 的长．

例3．如图，已知：AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAD BAE ∠=∠

例4．如图AB=DE ，BC=EF ，AD=CF ，求证：

（1）ABC ?≌DEF ? （2）AB//DE ，BC//EF

A D

例5．如图，在,90?=∠?C ABC 中D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且BE=BC ，DE=DC ，求证：（1）AB DE ⊥；

（2）BD 平分ABC ∠ （角平分线的相关证明及性质）

【巩固练习】

1．下面给出四个结论：①若两个图形是全等图形，则它们形状一定相同；②若两个图形的形状相同，则它们一定是全等图形；③若两个图形的面积相等，则它们一定是全等图形；④若两个图形是全等图形，则它们的大小一定相同，其中正确的是（ ）

A 、①④

B 、①②

C 、②③

D 、③④

2．如图，ABD ?≌CDB ?，且AB 和CD 是对应边，下面四个结论中 不正确的是（ ）

A 、CD

B ABD ??和的面积相等 B 、CDB ABD ??和的周长相等

C 、CB

D C ABD A ∠+∠=∠+∠ D 、AD//BC 且AD=BC

3．如图，ABC ?≌BAD ?，A 和 B 以及C 和D 分别是对应点，如果

?=∠?=∠35,60ABD C ，则BAD ∠的度数为（ ）

A 、?85

B 、?35

C 、?60

D 、?80

4．如图，ABC ?≌DEF ?，AD=8，BE=2，则AE 等于（ ） A 、6 B 、5 C 、4 D 、3

5．如图，要使ACD ?≌BCE ?，则下列条件能满足的是（ ） A 、AC=BC ，AD=CE ，BD=BE B 、AD=BD ，AC=CE ，BE=BD C 、DC=EC ，AC=BC ，BE=AD D 、AD=BE ，AC=DC ，BC=EC

6．如图，ABE ?≌DCF ?，

点A 和点D 、点E 和点F 分别是对应点，则AB= ，=∠A ，AE= ，CE= ，AB// ，若BC AE ⊥，则DF 与BC 的关系是 ．

7．如图，ABC ?≌AED ?，若=∠?=∠?=∠?=∠BAC C EAB B 则,45,30,40 ，

=∠D ，=∠DAC ．

8

，AE=AD ，则ABE ?

ACD ?，

所以=∠AEB

，=∠BAE ，=∠BAD ．

D 第4题图

第5题图

B

第6题图

第7题图 第8题图 第9题题图

9．如图，ABC ?≌DEF ?，?=∠90C ，则下列说法错误的是（ ） A 、互余与F C ∠∠ B 、互补与F C ∠∠

C 、互余与E A ∠∠

D 、互余与D B ∠∠

10．如图，ACF ?≌DBE ?，cm CD cm AD ACF E 5.2,9,110,30==?=∠?=∠，求D ∠的度数及BC 的长．

11．如图，在ABD ABC ??与中，AC=BD ，AD=BC ，求证：ABC ?≌ABD ?

全等三角形（一）作业

1．如图，ABC ?≌CDA ?，AC=7cm ，AB=5cm.，则AD 的长是（ ） A 、7cm B 、5cm C 、8cm D 、无法确定

2．如图，ABC ?≌DCE ?，?=∠?=∠62,48E A ，点B 、C 、E 在同一直线上，则ACD ∠的度数为（ ）

A 、?48

B 、?38

C 、?110

D 、?62

3．如图，ABC ?≌DEF ?，AF=2cm,CF=5cm ，则AD= ．

4．如图，ABE ?≌ACD ?，?=∠?=∠25,100B A ，求BDC ∠的度数．

5．如图，已知，AB=DE ，BC=EF ，AF=CD ，求证：AB//CD

A

E

A

D C

A

B C

D

E

A

C

F

6．如图，已知AB=EF ，BC=DE ，AD=CF ， 求证：①ABC ?≌FED ?

②AB//EF

7．如图，已知AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAE BAD ∠=∠

F

E

全等三角形（二）

【知识要点】

定义：SAS

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”，几何表示

如图，在ABC ?和DEF ?中，

ABC EF BC E B DE AB ?∴??

?

??=∠=∠=≌)(SAS DEF ?

【典型例题】

【例1】 已知：如图，AB=AC ，AD=AE ，求证：BE=CD.

【例2】 如图，已知：点D 、E 在BC 上，且BD=CE ，

AD=AE ，∠1=∠2，由此你能得出哪些结论？给出证明.

【例3】 如图已知：AE=AF ，AB=AC ，∠A=60°，∠B=24°，求∠BOE 的度数.

【例4】 如图，B ，C ，D 在同一条直线上，△ABC ，△ADE 是等边三角形， 求证：①CE=AC+DC ； ②∠ECD=60°.

【例5】如图，已知△ABC 、△BDE 均为等边三角形。求证：BD ＋CD=AD 。

C A

D B E

C A

B

C

E

【巩固练习】

1．在△ABC 和△C B A '''中，若AB=B A ''，AC=C A ''，还要加一个角的条件，使△ABC ≌△C B A '''，那么你加的条件是（ ）

A ．∠A=∠A ' B.∠B=∠

B ' C.∠C=∠

C ' D.∠A=∠B ' 2．下列各组条件中，能判断△ABC ≌△DEF 的是（ ） A ．AB=DE ，BC=EF ；CA=C

D B.CA=CD ；∠C=∠F ；AC=EF

C ．CA=C

D ；∠B=∠

E D.AB=DE ；BC=E

F ，两个三角形周长相等 3．阅读理解题：

如图：已知AC ，BD 相交于O ，OA=OB ，OC=OD.

那么△AOD 与△BOC 全等吗？请说明理由.△ABC 与△BAD 全等吗？请说明理由.

小明的解答：

21∠=∠ AOD ≌△BOC

而△BAD=△AOD+△ADB △ABC=△BOC+△ 所以△ABC ≌△BAD

（1）你认为小明的解答有无错误；

（2）如有错误给出正确解答；

4．如图，点C 是AB 中点，CD ∥BE ，且CD=BE ，试探究AD 与CE 的关系。

5．如图，AE 是，BAC 的平分线∠AB=AC

（1）若D 是AE 上任意一点，则△ABD ≌△ACD ，说明理由. （2）若D 是AE 反向延长线上一点，结论还成立吗？请说明理由. 6．如图，已知AB=AC ，EB=EC ，请说明BD=CD 的理由

D

OA=OB OD=OC

全等三角形（二）作业

1．如图，已知AB=AC ，AD=AE ，BF=CF ，求证：BDF ?≌CEF ?。

2．如图，△ABC ，△BDF 为等腰直角三角形。求证：（1）CF=AD ；（2）CE ⊥AD 。

3．如图，AB=AC ，AD=AE ，BE 和CD 相交于点O ，AO 的延长线交BC 于点F 。 求证：BF=FC 。

4．已知：如图1，AD ∥BC ，AE=CF ，AD=BC ，E 、F 在直线AC 上，求证：DE ∥BF 。

5. 如图，已知AB ⊥AC ，AD ⊥AE ，AB=AC ，AD=AE ， 求证：（1）BE=DC ，（2）BE ⊥DC.

6、已知，如图A 、F 、C 、D 四点在一直线上，AF=CD ，AB//DE ，且AB=DE ，求证：（1）△ABC ≌△DEF （2）∠CBF=∠FEC

A

B C

E D F

A

C E

F

A

D E C

B F O 1 2

D

C

A

B

E F

D A

B

Q

C

P

E

7、已知:如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:BD=CE

8、如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG，

（1）观察猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论。

（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说出旋转过程，若不存在，说明理由。

9、已知:如图,AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．

10、已知C为AB上一点,△ACN和△BCM是正三角形.求证：（1）AM=BN

（2）求∠AFN大小。

11、已知如图，F在正方形ABCD的边BC边上，E在AB

的延长线上，FB＝EB，AF交CE于G，求∠AGC的度数.

12、如图，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD.

(1)观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；

(2)若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC 的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由.

C

N

M

B

A

E

D

F

F

D

A

C

E B

F

D

A

C

G

E

B

全等三角形（三）ASA

【知识要点】

ASA

如图，在ABC

?与DEF ?中

E

B DE AB D A ∠=∠=∠

=∠ ∴)(ASA DEF ABC ???

ASA

公理推论（AAS 公理）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全

等．

【典型例题】

【例1

】下列条件不可推得ABC ?和'

'

'

C B A ?全等的条件是（ ） A 、 AB=A 'B '

，'

A A ∠=∠，

'

C C ∠=∠

B 、 AB= A 'B '

，AC=A 'C '

，BC='

B C '

C 、 AB= A 'B '

，AC=A 'C '

，'

B B ∠=∠ D 、 AB= A 'B '

，'

A A ∠=∠，'

B B ∠=∠

【

例

2

】

已

知

如

图

，

DE AB DE AB D A //,,=∠=∠，求证：BC=EF

【例3】如图，AB=AC ，C B ∠=∠，求证：AD=AE

【例4】已知如图，43,21∠=∠∠=∠，点P 在AB 上，可以得出PC=PD 吗？试

证明之．

【例5】如图，321∠=∠=∠，AC=AE ，求证：DE=BC

A

D A B

【例6】如图，21,∠=∠∠=∠D A ，AC ，BD 相交于O ， 求证：①AB=CD ②OA=OD

【巩固练习】

1．如图，AB//CD ，AF//DE ，BE=CF ，求证：AB=CD

2．如图，AD//BC ，O 为AC 中点，过点O 的直线分别交AD ，BC 于点M ，N ，求证：AM=CN

3．求证：两个全等三角形ABC 与A 'B 'C '

的角平分线AD 、A 'D '

相等

4．如图，AB ，CD 相交于O ，E ，F 分别在AD ，BC 上，若FOB EOD ???，求证：

COF AOE ???

5．如图，AB//CD ，AD//BC ，求证：AB=CD

6．已知，如图AB=DB ，21,∠=∠∠=∠E C ，求证：AC=DE

A

D

'

B D

'

C '

C

B

A

B

D

全等三角形（三）作业

1．已知，如图，CD AF D A =∠=∠∠=∠,21,，求证：AB=DE

2．如图，已知CAD BAE ADE AED ∠=∠∠=∠,，求证：BE=CD

3．已知如图，AB=AD ，CAE BAD D B ∠=∠∠=∠,，求证：AC=AE

4．已知如图，在ABC ?中，AD 平分BC AD BAC ⊥∠,，求证：ABD ACD ???

5．已知如图，cm AC ABD DCA DBC ACB 10,,=∠=∠∠=∠，求BD 的长（要求写出完整的过程）

6、如图ABC △中，∠B ＝∠C ，D ，E ，F 分别在AB,BC,AC 上，且BD=CE,∠DEF=∠B 求证：ED=EF

C

E

A D E

C

B

F

7、 (1)如图１，以的边、为边分别向外作正方形和正方形，连结，试判断△ABC 与△AEG 面积之间的关系，并说明理由．

(2)园林小路，曲径通幽，如图２所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b 平方米，这条小路一共占地多少平方米？

8、已知：如图 , AD 为CE 的垂直平分线 , EF ∥BC.求证：△EDN ≌△CDN ≌△EMN ．

9、 已知：如图 , AB=AC , AD=AE , 求证：△OBD ≌△OCE

10、已知：如图 , AB=CD , AD=BC ,O 为BD 中点 , 过O 作直线分别与DA 、BC 的延长线交于E 、F ．求证：OE=OF

11、如图在△ABC 和△DBC 中 , ∠1=∠2 , ∠3=∠4 , P 是BC 上任意一点．求证：PA=PD.

12、已知 ：如图 , 四边形 ABCD 中 , AD ∥BC , F 是AB 的中点 , DF 交CB 延长线 于E , CE=CD ． 求证：∠ADE=∠EDC ．

13、已知：如图 , OA=OE , OB=OF , 直线FA 与BE 交于C , AB 和EF 交于O ,求证：∠1=∠2．

A

G F

C B

D E （图１）

全等三角形（四）

强化训练

1、如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 、F 分别是线段AB 、BC 、CA 上

的点，

（1）若AD BE CF ==，问△DEF 是等边三角形吗？试证明你的结论； （2）若△DEF 是等边三角形，问AD BE CF ==成立吗？试证明你的结论．

2、如图所示，已知∠1=∠2，EF ⊥AD 于P ，交BC 延长线于M ，求证：2∠M=（∠ACB-∠B ）

3、△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，D 为BC 中点，E 、F 分别在AC 、

AB 上，且DE ⊥DF ，试判断DE 、DF 的数量关系，并说明理由．

4、已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F H ，是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G ．

（1）求证：BF AC =；（2）求证：1

2

CE BF =；

5、 如图，点O 是等边ABC △内一点，110AOB BOC α∠=∠=o

，．将BOC

△绕点C 按顺时针方向旋转60o

得ADC △，连接OD ． （1）求证：COD △是等边三角形；

（2）当150α=o

时，试判断AOD △的形状，并说明理

由；

（3）探究：当α为多少度时，AOD △是等腰三角形？

B

D

A E F C H G

B A B

C

D

O

110o α

7、

过等腰直角三角形直角顶点A 作直线AM 平行于斜边BC ，在AM 上取点D ，使BD=BC ，且DB 与AC 所在直线交于E ，求证：CD=CE 。

过A 作AF ⊥BC 于F ，过D 作DG ⊥BC 于G ，则DG=AF=1/2BC=1/2BD ， 在Rt △BDG 中，DG=1/2BD =>

∠DBC=30° =>∠BDC=∠BCD=1/2(180°-30°)=75°，即∠EDC=75° ∠DEC=∠DBC+∠BCA=30°+45°=75° ∴∠EDC=∠DEC =>CD=CE

8、Rt △ABC ，AB=AC,BM 是中线，AD ⊥BM 交BC 于D ，求证：∠AMB=∠CMD 。

9、如图，已知△ABC 是等边三角形，∠BDC ＝120o，说明AD=BD+CD 的理由。

10、已知：如图，点D 在△ABC 的边CA 的延长线上，点E 在BA 的延长线上，CF 、

EF 分别是∠ACB 、∠AED 的平分线，且∠B=30°，∠D=40°，求∠F 的度数。

11、等边三角形ABC 和等边三角形DEC ，D 在AC 边上。延长BD 交CE 延长线于N ，延长AE 交BC 延长线于M 。求证：CM=CN 易证△BCD ≌△ACE 所以∠DBC=∠EAC

再证△BCN ≌△ACM (ASA)

∴ CM=CN

E C

A

M D A

B M

A B

C

E M

N

D

12、操作：如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．

13、如图等边△ABC和等边△CDE，点P为射线BC一动点，角APK=60°，PK交直线CD于K。

（1）试探索AP、PK之间的数量关系；

K

D

（2）当点P运动到BC延长线上时，上题结论是否依然成立？为什么。14、（涉及相似三角形）若P为ABC

△所在平面上一点，且

120

APB BPC CPA

∠=∠=∠=°，则点P叫做ABC

△的费马点. 如图，在锐角ABC

△外侧作等边ACB

△′连结BB′。

求证：BB′过ABC

△的费马点P，且BB′=PA PB PC

++.

15、如图,ABC

?是等腰直角三角形,∠C＝900,点M,N分别是边AC和BC的中点,点D在射线BM上,且BD＝2BM, 点E在射线NA上,且NE＝2NA.求证:BD⊥DE.

A

C

B

B'

K A

D

M

N

E

D

C

B

A

第五章 全等三角形 拓展延伸

分析：三角形全等的证明及其运用关键点在于“把相等的边（角）放入正确的三角形中”，去说明“相等的边（角）所在的三角形全等”，利用三角形全等来说明两个角相等（两条边相等）是初中里面一个非常常见而又重要的方法。

例1：已知AE 既是∠BAC 的平分线，也是∠BDC 的平分线，试说明AB=AC

思路：AB 在△ABD 中，AC 在△ACD 中，要说明AB=AC ，尝试说明△ABD 与△ACD 全等。

1． 观察图形发现两个三角形存在公共边AD

2． 题目所给条件可以得到两组角相等，

3． 再根据三个条件的位置，利用ASA ，可得三角形全等 4． 再利用全等三角形的对应边相等，得到AB=AC

例2：在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AE 是过点A 的直线，BD ⊥AE ，CE ⊥AE ，如果CE=5，BD=11，请你求出DE 的长度。 思路：抓住题目中所给的一组相等线段AB=AC 进行分析，对它们的位置进行分析，发现AB 、AC 分别位于一个Rt △中，所以尝试着去找条件，去说明它们所在的两个Rt △全等。

那么：已经存在了两组等量关系：AB=AC ，直角=直角.可以求证△ABD ≌△ACE 。

D C

E

A

B

练习1. 小明说：“三角形一边的两个端点到这边上的中线所在直线的距离相等。”你认为小明的话有道理吗？为什么？

分析：如图，题目的意思是要你说明哪两条线段相等呢? _______＝_______

∴我们只需要说明 ________≌________

解：

练习2．在△ABC中，∠ACB= 900，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，△ADC≌△CEB，且 DE=AD+BE。你能说出其中的道理吗？

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时， DE =AD-BE。说说你的理由。

（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE，AD，BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系。

B

A

图1

图3