全等三角形证明判定方法分类总结
全等三角形（一）SSS
【知识要点】
1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形．
2．全等图形的性质：
（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等
（2）全等图形的面积相等
3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形
（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于”如DEF
ABC?
?与全等，记作ABC
?≌DEF
?
（2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等．
（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．
（4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS”．
如图，在ABC
?和DEF
?中
?
?
?
?
?
=
=
=
DF
AC
EF
BC
DE
AB
ABC
?
∴≌DEF
?
【典型例题】
例1．如图，ABC
?≌ADC
?，点B与点D是对应点，
?
=
∠26
BAC，且?
=
∠20
B，1
=
?ABC
S，求
A C D
D
C A D∠
∠
∠,
,的度数及ACD
?的面积．
例2．如图，ABC
?≌DEF
?，cm
CE
cm
BC
A5
,
9
,
50=
=
?
=
∠，求EDF
∠的度数及CF的长．
A D
例3．如图，已知：AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAD BAE ∠=∠
例4．如图AB=DE ，BC=EF ，AD=CF ，求证：
（1）ABC ?≌DEF ? （2）AB//DE ，BC//EF
例5．如图，在,90?=∠?C ABC 中D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且BE=BC ，DE=DC ，求证：（1）AB DE ⊥；
（2）BD 平分ABC ∠
【巩固练习】
1
．下面给出四个结论：①若两个图形是全等图形，则它们形状一定相同；②若两
个图形的形状相同，则它们一定是全等图形；③若两个图形的面积相等，则它们一定是全等图形；④若两个图形是全等图形，则它们的大小一定相同，其中正确的是（ ）
A 、①④
B 、①②
C 、②③
D 、③④ 2．如图，ABD ?≌CDB ?，且AB 和CD 是对应边，下面四个结论中
不正确的是（ ）
A 、CD
B ABD ??和的面积相等
B 、CDB ABD ??和的周长相等
C 、CB
D C ABD A ∠+∠=∠+∠ D 、AD//BC 且AD=BC
3．如图，ABC ?≌BAD ?，A 和 B 以及C 和D 分别是对应点，如果
?=∠?=∠35,60ABD C ，则BAD ∠的度数为（ ）
A 、?85
B 、?35
C 、?60
D 、?80
4．如图，ABC ?≌DEF ?，AD=8，BE=2，则AE 等于（ ） A 、6 B 、5 C 、4 D 、3
D 第3题图
第4题图
第5题图
B
第6题图
5．如图，要使ACD ?≌BCE ?，则下列条件能满足的是（ ） A 、AC=BC ，AD=CE ，BD=BE B 、AD=BD ，AC=CE ，BE=BD C 、DC=EC ，AC=BC ，BE=AD D 、AD=BE ，AC=DC ，BC=EC 6．如图，ABE ?≌DCF ?，点A 和点D 、点E 和点F 分别是对应点，则AB= ，=∠A ，AE= ，CE= ，AB// ，若BC AE ⊥，则DF 与BC 的关系是 ．
7．如图，ABC ?≌AED ?，若=∠?=∠?=∠?=∠B A C C E A
B B 则,45,30,40 ，=∠D ，=∠DA
C ．
8．如图，若AB=AC ，BE=CD ，AE=AD ，则A B E ? ACD ?，所以
=∠A E B ，=∠BAE ，=∠BAD ．
9．如图，ABC ?≌DEF ?，?=∠90C ，则下列说法错误的是（ ） A 、互余与F C ∠∠ B 、互补与F C ∠∠
C 、互余与E A ∠∠
D 、互余与D B ∠∠
10．如图，ACF ?≌DBE ?，cm CD cm AD ACF E 5.2,9,110,30==?=∠?=∠，求
D ∠的度数及BC 的长．
11．如图，在ABD ABC ??与中，AC=BD ，AD=BC ，求证：ABC ?≌ABD ?
D
第7题图
第8题图
第9题题图
全等三角形（一）作业
1．如图，ABC ?≌CDA ?，AC=7cm ，AB=5cm.，则AD 的长是（ ） A 、7cm B 、5cm C 、8cm D 、无法确定
2．如图，ABC ?≌DCE ?，?=∠?=∠62,48E A ，点B 、C 、E 在同一直线上，则ACD ∠的度数为（ ）
A 、?48
B 、?38
C 、?110
D 、?62
3．如图，ABC ?≌DEF ?，AF=2cm,CF=5cm ，则AD= ．
4．如图，ABE ?≌ACD ?，?=∠?=∠25,100B A ，求BDC ∠的度数．
5．如图，已知，AB=DE ，BC=EF ，AF=CD ，求证：AB//CD
A
B C
D E
______________________________________________________________________________________________________________
6．如图，已知AB=EF ，BC=DE ，AD=CF ， 求证：①ABC ?≌FED ?
②AB//EF
7．如图，已知AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAE BAD ∠=∠
F
E
全等三角形（二）
【知识要点】 定义：SAS
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”，几何表示
如图，在ABC ?和DEF ?中，
ABC EF BC E B DE AB ?∴??
?
??=∠=∠=≌)(SAS DEF ?
【典型例题】
【例1】 已知：如图，AB=AC ，AD=AE ，求证：BE=CD.
【例2】 如图，已知：点D 、E 在BC 上，且BD=CE ，AD=AE ，∠1=∠2，由此你能得出哪些结论？给出证明.
【例3】 如图已知：AE=AF ，AB=AC ，∠A=60°，∠B=24°，求∠BOE 的度数.
C
A
D
B
E C
【例4】如图，B，C，D在同一条直线上，△ABC，△ADE是等边三角形，求证：①CE=AC+DC；②∠ECD=60°.
【例5】如图，已知△ABC、△BDE均为等边三角形。求证：BD＋CD=AD。
A
E
B C
【巩固练习】
1．在△ABC 和△C B A '''中，若AB=B A ''，AC=C A ''，还要加一个角的条件，使△ABC ≌△C B A '''，那么你加的条件是（ ）
A ．∠A=∠A ' B.∠B=∠
B ' C.∠C=∠
C ' D.∠A=∠B ' 2．下列各组条件中，能判断△ABC ≌△DEF 的是（ ）
A ．AB=DE ，BC=EF ；CA=CD B.CA=CD ；∠C=∠F ；AC=EF C ．CA=CD ；∠B=∠E D.AB=DE ；BC=EF ，两个三角形周长相等 3．阅读理解题：
如图：已知AC ，BD 相交于O ，OA=OB ，OC=OD.
那么△AOD 与△BOC 全等吗？请说明理由.△ABC 与△BAD 全等吗？请说明理由.
小明的解答：
21∠=∠ AOD ≌△BOC
而△BAD=△AOD+△ADB △ABC=△BOC+△ 所以△ABC ≌△BAD
（1）你认为小明的解答有无错误；
（2）如有错误给出正确解答；
4．如图，点C 是AB 中点，CD ∥BE ，且CD=BE ，试探究AD 与CE 的关系。
5．如图，AE 是，BAC 的平分线∠AB=AC
（1）若D 是AE 上任意一点，则△ABD ≌△ACD ，说明理由.
（2）若D 是AE 反向延长线上一点，结论还成立吗？请说明理由. 6．如图，已知AB=AC ，EB=EC ，请说明BD=CD 的理由
D
OA=OB OD=OC
全等三角形（二）作业
1．如图，已知AB=AC ，AD=AE ，BF=CF ，求证：BDF ?≌CEF ?。
2．如图，△ABC ，△BDF 为等腰直角三角形。求证：（1）CF=AD ；（2）CE ⊥AD 。
3．如图，AB=AC ，AD=AE ，BE 和CD 相交于点O ，AO 的延长线交BC 于点F 。 求证：BF=FC 。
4．已知：如图1，AD ∥BC ，AE=CF ，AD=BC ，E 、F 在直线AC 上，求证：DE ∥BF 。
A
B
C
E
D
F
A
D
E
O 1
2
D
C
A
B
E
F
5. 如图，已知AB ⊥AC ，AD ⊥AE ，AB=AC ，AD=AE ， 求证：（
1）BE=DC ，（2）BE ⊥DC.
6、已知，如图A 、F 、C 、D 四点在一直线上，AF=CD ，AB//DE ，且AB=DE ，求证：（1）△ABC ≌△DEF （2）∠CBF=∠FEC
D
A
B
Q
C
P
E
7、 已知:如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:BD=CE
8、如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接BE 、DG ， （1）观察猜想BE 与DG 之间的大小关系，并证明你的结论。
（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说出旋转过程，若不存在，说明理由。
9、已知:如图,AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE ．求证:BE ∥CF ．
10、已知C 为AB 上一点,△ACN 和 △BCM 是正三角形.求证：（1）AM=BN （2）求∠AFN 大小。
N
11、已知如图，F在正方形ABCD的边BC边上，E在
AB的延长线上，FB＝EB，AF交CE于G，求∠AGC
的度数.
12、如图，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD.
(1)观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；(2)若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC 的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由.
F
D
A
C
E B
F D
A C
G
E
B
全等三角形（三）ASA
【知识要点】
ASA
如图，在ABC
?与DEF ?中
E
B DE AB D A ∠=∠=
∠=∠ ∴
)(ASA DEF ABC ???
ASA 公理推论（
AAS 公理）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．
【典型例题】
【例1】下列条件不可推得ABC ?和'
'
'
C B A ?全等的条件是（ ）
A 、 AB=A '
B '
，'
A A ∠=∠，
'C C ∠=∠
B 、 AB= A '
B '
，AC=A '
C '
，BC='
B C '
C 、
AB= A '
B '
，AC=A '
C '
，'
B B ∠=∠
D 、
AB= A 'B '，'A A ∠=∠，'B B ∠=∠
【例2】已知如图，DE AB DE AB D A //,,=∠=∠，求证：BC=EF
【例3】如图，AB=AC ，C B ∠=∠，求证：AD=AE
【例4】已知如图，43,21∠=∠∠=∠，点P 在AB 上，可以得出PC=PD 吗？
试证明之．
D
【例5】如图，321∠=∠=∠，AC=AE ，求证：DE=BC
A
B
【例6】如图，21,∠=∠∠=∠D A ，AC ，BD 相交于O ， 求证：①AB=CD ②OA=OD
【巩固练习】
1．如图，AB//CD ，AF//DE ，BE=CF ，求证：AB=CD
2．如图，AD//BC ，O 为AC 中点，过点O 的直线分别交AD ，BC 于点M ，N ，
求证：AM=CN
3．求证：两个全等三角形ABC 与A '
B '
C '
的角平分线AD 、A '
D '
相等
4．如图，AB ，CD 相交于O ，E ，F 分别在AD ，BC 上，若FOB EOD ???，
求证：
A
D
'
B D
'
C '
C
B
COF AOE ???
5．如图，AB//CD ，AD//BC ，求证：AB=CD
6．已知，如图AB=DB ，21,∠=∠∠=∠E C ，求证：AC=DE
A B
D
全等三角形（三）作业
1．已知，如图，CD AF D A =∠=∠∠=∠,21,，求证：AB=DE
2．如图，已知CAD BAE ADE AED ∠=∠∠=∠,，求证：BE=CD
3．已知如图，AB=AD ，CAE BAD D B ∠=∠∠=∠,，求证：AC=AE
4．已知如图，在ABC ?中，AD 平分BC AD BAC ⊥∠,，求证：ABD ACD ???
C
E
5．已知如图，cm AC ABD DCA DBC ACB 10,,=∠=∠∠=∠，求BD 的长（要求写出完整的过程）
6、如图ABC △中，∠B ＝∠C ，D ，E ，F 分别在AB,BC,AC 上，且BD=CE,∠DEF=∠B
求证：ED=EF
A
A
D
E
C
B
F
全等三角形证明判定方法分类总结
全等三角形（一）SSS 【知识要点】 1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形． 2．全等图形的性质： （1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等 （2）全等图形的面积相等 3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形 （1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于”如DEF ABC? ?与全等，记作ABC ?≌DEF ? （2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等． （3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角． （4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS”． 如图，在ABC ?和DEF ?中 ? ? ? ? ? = = = DF AC EF BC DE AB ABC ? ∴≌DEF ? 【典型例题】 例1．如图，ABC ?≌ADC ?，点B与点D是对应点， ? = ∠26 BAC，且? = ∠20 B，1 = ?ABC S，求 A C D D C A D∠ ∠ ∠, ,的度数及ACD ?的面积． 例2．如图，ABC ?≌DEF ?，cm CE cm BC A5 , 9 , 50= = ? = ∠，求EDF ∠的度数及CF的长． A D
例3．如图，已知：AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAD BAE ∠=∠ 例4．如图AB=DE ，BC=EF ，AD=CF ，求证： （1）ABC ?≌DEF ? （2）AB//DE ，BC//EF
全等三角形题型归类及解析
全等三角形难题题型归类及解析 一、角平分线型 角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性，常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平分线上一点作两边的垂线。另外掌握两个常用的结论：角平分 线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角形。 1. 如图，在ΔABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分∠BAC ，在AB 上截取AE=AC ， 连结DE ，已知DE=2cm ，BD=3cm ，求线段BC 的长。 2. 已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ， ?PN ⊥CD 于N ，判断PM 与PN 的关系． 3. 已知：如图E 在△ABC 的边AC 上，且∠AEB=∠ABC 。 (1) 求证：∠ABE=∠C ； (2) 若∠BAE 的平分线AF 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于D ，设AB=5，AC=8，求DC 的长。 ． A B C D E P D A C B M N
5、如图所示，已知∠1=∠2，EF ⊥AD 于P ，交BC 延长线于M ，求证：2∠M=（∠ACB-∠B ） 2 1P F M D B A C E 6、如图，已知在△ABC 中，∠BAC 为直角，AB=AC ，D 为AC 上一点，CE ⊥BD 于E ． （1） 若BD 平分∠ABC ，求证CE=1 2 BD ； （2） 若D 为AC 上一动点，∠AED 如何变化，若变化，求它的变化范围； 若不变，求出它的度数，并说明理由。 8、如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ， 求证：AC=AE+CD ． 二、中点型 由中点应产生以下联想： E D C B A
全等三角形相似三角形证明(中难度题型)
全等三角形证明经典50题.doc 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 1. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 2. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 B C D F A D B C B C
已知：∠1=∠2，CD=DE，EF 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。 8.已知：AB知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C A D B C B A C D F 2 1 E C D B D C B A F E A B C D A
10. P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB 15．（5分）如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交 AP 于D ．求证：AD +BC =AB ． 16．（6分）如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B 17．（6分）如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若 AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ． （1）求证：MB =MD ，ME =MF （2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立若成立请给予证明；若不成立请说明理由． P E D C B A D C B A A D B B D C 全等三角形的判定 全等三角形复习 [知识要点] 一、全等三角形 1．判定和性质 一般三角形 直角三角形 判定 边角边（SAS ）、角边角（ASA ） 角角边（AAS ）、边边边（SSS ） 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等（HL ） 性质 对应边相等，对应角相等 对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等 注：① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等； ② 全等三角形面积相等． 2．证题的思路： ? ? ? ?? ??? ???? ? ???????? ? ?? ?????? ????? ??）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（） 找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 二、例题讲解 例1.（SSS ）如图，已知AB=AD ，CB=CD,那么∠B=∠D 吗？为什么？ 分析：要证明∠B=∠D ，可设法使它们分别在两个三角形中，再证它们所 在的两个三角形全等，本题中已有两组边分别对应相等，因此只要连接 AC 边即可构造全等三角形。 解：相等。理由：连接AC ，在△ABC 和△ADC 中，??? ??===AC AC CD CB AD AB ∴△ABC ≌△ADC （SSS ），∴∠B=∠D （全等三角形的对应角相等） 点评：证明两个角相等或两条线段相等，往往利用全等三角形的性质求解。有时根据问题的需要添加适当的辅助线构造全等三角形。 例2.（SSS ）如图，△ABC 是一个风筝架，AB=AC,AD 是连接A 与BC 中点D 的支架，证明：AD ⊥BC.分析：要证AD ⊥BC ，根据垂直定义，需证∠ADB=∠ADC,而∠ADB=∠ADC 可由△ABD ≌△ACD 求得。 证明： D 是BC 的中点，∴BD=CD 在△ABD 与△ACD 中，?? ? ??===AD AD CD BD AC AB C 【第1部分全等基础知识归纳、?小结】 1、全等三?角形的定义：能够完全重合的两个三?角形叫全等三?角形。两个全等三?角形中， 互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的 ?角叫对应?角。 概念深?入理理解： （1）形状?一样，?大?小也?一样的两个三?角形称为全等三?角形。（外观?长的像） （2）经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三?角形称为全等三?角形。（位置变化） 2、 全等三?角形的表示?方法：若△ABC 和△A ′B ′C ′是全等的，记作“△ABC ≌△A ′B ′C ′”其中，“≌”读作“全等于”。记两个三?角形全等时，通常把表示对应顶点的字?母写在对应的位置上。 3、全等三?角形的性质： 全等是?工具、?手段，最终是为了了得到边等或?角等，从?而解决某些问题。 （1）全等三?角形的对应?角相等、对应边相等。 （2）全等三?角形的对应边上的?高，中线，?角平分线对应相等。 （3）全等三?角形周?长，?面积相等。 4、寻找对应元素的?方法 （1）根据对应顶点找 如果两个三?角形全等，那么，以对应顶点为顶点的?角是对应?角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三?角形全等时，对应顶点的字?母都写在对应的位置上，因此，由全等三?角形的记法便便可写出对应的元素。 （2）根据已知的对应元素寻找全等三?角形对应?角所对的边是对应边，两个对应?角所夹的边是对应边； 图3 图1图2 （3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。 通过对两个全等三?角形各种不不同位置关系的观察和分析，可以看出其中?一个是由另?一个经过下列列各种运动?而形成的；运动?一般有3种：平移、对称、旋转； 5、全等三?角形的判定：（深?入理理解） ①边边边（SSS）②边?角边（SAS）③?角边?角（ASA）④?角?角边（AAS） ⑤斜边，直?角边（HL） 注意：（容易易出错） （1）在判定两个三?角形全等时，?至少有?一边对应相等（边定全等）； （2）不不能证明两个三?角形全等的是，㈠三个?角对应相等，即AAA；㈡有两边和其中?一?角对应相等，即SSA。 全等三?角形是研究两个封闭图形之间的基本?工具，同时也是移动图形位置的?工具。在平?面?几何知识应?用中，若证明线段相等或?角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三?角形的知识。 6、常?见辅助线写法：（照着辅助线说明要能做出图、养成严谨、严密的习惯） 如：⑴过点A作BC的平?行行线AF交DE于F ⑵过点A作BC的垂线，垂?足为D ⑶延?长AB?至C，使BC＝AC ⑷在AB上截取AC，使AC＝DE ⑸作∠ABC的平分线，交AC于D ⑹取AB中点C，连接CD交EF于G点 同?一条辅助线，可以说法不不?一样，那么得到的条件、证明的?方法也不不同。 全等三角形经典例题 典型例题： 知识点一：全等三角形判定1 例1：如图，在△AFD 和△EBC 中，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，有下面四个论断：（1）AD ＝CB ；（2）AE ＝CF ；（3）DF ＝BE ；（4）AD ∥BC 。请将其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，编一道证明题，并写出证明过程。 思路分析： 1）题意分析：本题一方面考查证明题的条件和结论的关系，另一方面考查全等三角形判定1中的三边对应关系。 2）解题思路：根据全等三角形判定1：三边对应相等的两个三角形全等。首先确定命题的条件为三边对应相等，而四个论断中有且只有三个条件与边有关，因此应把论断中的（1）（2）（3）作为条件，来证明论断（4）。在证明全等之前，要先证明三边分别对应相等。 ; 解答过程： 已知：如图，在△AFD 和△EBC 中，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，AD ＝CB ，AE ＝CF ，DF ＝BE 。求证：AD ∥BC 。 证明：∵AE ＝CF ∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ∴AF ＝CE 在△AFD 和△CEB 中， ∵ & ∴△AFD ≌△EBC （SSS ） ∴∠A ＝∠C ∴AD ∥BC 解题后的思考：在运用全等三角形判定1判断三角形全等时，一定要找准三边的对应关系，然后给出证明。 小结：本例题一方面考查了命题的书写与证明，另一方面通过本题的严格证明锻炼学生的逻辑思维能力，进一步规范了三角形全等证明题的书写。 知识点二：全等三角形判定2 AD CB AF CE DF BE =??=? ?=? 例2：已知：如图，是和的平分线，。 * 求证：（1）△OAB ≌△OCD ；（2）。 思路分析： 1）题意分析：本题主要考查全等三角形判定2中的对应关系。 2）解题思路：根据全等三角形判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。在证明三角形全等之前，要先证明两边及夹角分别对应相等。 解答过程：证明：（1）∵OP 是和的平分线， ∴∠AOP ＝∠COP ，∠BOP ＝∠DOP ∴∠AOP －∠BOP ＝∠COP －∠DOP < ∴∠AOB ＝∠COD 在△OAB 和△OCD 中， ∵ ∴△OAB ≌△OCD （SAS ） （2）由（1）知△OAB ≌△OCD ∴AB ＝CD 解题后的思考：在判断三角形全等时，一定要根据全等三角形判定2，找准对应边和对应角。 . 例3：已知：如图，AB ∥CD ，AB ＝CD ，求证：AD ∥BC ，AD ＝BC 思路分析： 1）题意分析：本题主要考查全等三角形判定2的应用。 2）解题思路：根据全等三角形判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。在证明三角形全等之前，要先将用于证明三角形全等的条件准备好。即如何由已知条件证明出两边和一角相等，以及如何用上AB ∥CD 这个条件。 解答过程： 连接BD ∵ AB ∥CD 、 OP AOC ∠BOD ∠OA OC OB OD ==，AB CD =AOC ∠BOD ∠OA OC AOB COD OB OD =?? ∠=∠??= ? 全等三角形知识点复习 一、知识要点 1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形； 即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； (3)有公共边的，公共边一定是对应边； (4)有公共角的，角一定是对应角； (5)有对顶角的，对顶角一定是对应角； 2、全等三角形的判定和性质 3、证题的思路： (AS A )(AAS)???? ?? ??? ????? ??? ??? ??? ?????? ??? ??? ?? 找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边(SAS) (HL)(SSS) (AAS)(SAS)(ASA)(AAS) 4、应注意的问题 （1）要正确区分“对应边”与“对边”、“对应角”与“对角”的不同含义； （2）符号“≌”表示的双重含义：①“∽”表示形状相同；②“=”表示大小相等； （3）表示两个三角形全等时，表示对应的顶点的字母要写在相对应的位置上； （4）要正确区分判定三角形全等的结论的不同含义； （5）要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等． 5、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 6、全等三角形问题中常见的辅助线的作法 （1）连接法（连接公共边构造三角形全等）； （2）延长法（延长至相交、倍长中线） （3）截长补短法（适合于证明线段的和、差等问题） （4）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线 二、考点解密 （1）常见全等的判定和性质考察 1、已知△ABD ≌△CDB ，AB 与CD 是对应边，那么AD= ，∠A= ； 2、如图，已知△ABE ≌△DCE ，AE=2cm ，BE=1.5cm ，∠A=25°∠B=48°；那么DE= cm ，EC= cm ，∠C= 度；∠D= 度； E B A D C C B A F E D C B A 第2小题 第3小题 第4小题 3、如图，△ABC ≌△DBC ，∠A=800，∠ABC=300 ，则∠DCB= 度； 4、如图，已知，∠ABC ＝∠DEF ，AB ＝DE ，要说明△ABC ≌△DEF ，（1）若以“SAS ”为依据，还须添加的一个条件为 ； （2）若以“ASA ”为依据，还须添加的一个条件为 ；（3）若以“AAS ”为依据，还须添加的一个条件为 ； 5．已知△ABC ≌△DEF ，△DEF 的周长为32 cm ，DE =9 cm ，EF =12 cm 则AB =____________，BC =____________，AC =____________． 6．一个三角形的三边为2、5、x ，另一个三角形的三边为y 、2、6，若这两个三角形全等，则x +y =__________． 7．下列命题中正确的是（ ） 全等三角形题型归类及解析 全等三角形难题题型归类及解析 一、角平分线型 角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性，常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平分线上一点作两边的垂线。另外掌握两个常用的结论：角平分线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角形。 1. 如图，在ΔABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分∠BAC ，在AB 上截取AE=AC ， 连结DE ，已知DE=2cm ，BD=3cm ，求线段BC 的长。 2. 已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ， ?PN ⊥CD 于N ，判断PM 与PN 的关系． 3. 已知：如图E 在△ABC 的边AC 上，且∠AEB=∠ABC 。 (1) 求证：∠ABE=∠C ； (2) 若∠BAE 的平分线AF 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于D ，设AB=5， AC=8，求DC 的长。 A B C D E P D A C B M N 二、中点型 由中点应产生以下联想： 1、想到中线，倍长中线 2、利用中心对称图形构造8字型全等三角形 3、在直角三角形中联想直角三角形斜边上的中线 4、三角形的中位线 2、已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F H ，是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G ． （1）求证：BF AC =； （2）求证：1 2 CE BF = D A E F C H G B 3、如图，△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF，试判断BE+CF与EF的大小关 系，并证明你的结论。 4、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的 全等三角形与角平分线 全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形． 全等多边形： 能够完全重合的多边形就是全等多边形． 相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角． 全等多边形的对应边、对应角分别相等． 如下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABCDE ≌五边形'''''A B C D E ． 这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”． A' B'C' D' E' E D C B A 全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形． 全等三角形的对应边相等，对应角分别相等； 反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等． 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等． 全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”． 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． 全等三角形的判定方法： (1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等． (4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 判定三角形全等的基本思路： SAS HL SSS →?? →??→? 找夹角已知两边 找直角 找另一边 ASA AAS SAS AAS ?? ?? ?? ?? ?? ?? 边为角的对边→找任意一角→ 找这条边上的另一角→已知一边一角 边就是角的一条边 找这条边上的对角→ 找该角的另一边→ ASA AAS →??→? 找两角的夹边已知两角 找任意一边 全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式： ⑴ 平移全等型 全等三角形的证明 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)． 要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法： (1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等． (4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 专题1、常见辅助线的做法 典型例题 找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等； （3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种： 新人教版八年级上学期全等三角形证明题 一．解答题（共10小题） 1．（2013?泉州）如图，已知AD是△ABC的中线，分别过点B、C作BE⊥AD于点E，CF⊥AD交AD 的延长线于点F，求证：BE=CF． 2．（2013?河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现 如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空： ①线段DE与AC的位置关系是_________； ②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是_________． （2）猜想论证 当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想． （3）拓展探究 已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA 上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长． 3．（2013?大庆）如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C 旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H． （1）求证：CF=DG； （2）求出∠FHG的度数． 4．（2012?阜新）（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°． ①当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论； ②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． （2）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由． 甲：AB：AC=AD：AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°； 乙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°； 丙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°． 全等三角形证明条件归类 初学三角形全等证明，根据已知条件找到证明全等的三个条件是难点。如何才能找到证明全等证明的三个条件呢？从三角形全等证明的四种证明方法（边角边、角边角、角角边、边边边）来看：已知两边对应相等，第三个条件可以找已知两边的夹角对应相等，或找第三边对应相等；如果告诉了两个角对应相等，第三个条件找两个角的夹边对应相等，或是已知的两个角中的某个角的对应边相等；已知一边和一角对应相等，第三个条件可能是对应相等角的另一边对应相等，或是另一角对应相等。分析以上这些情况，找第三个条件分两种情况：一是再找一组对应边相等，二是再找一组对应角相等。对应边相等的情形从题目给定的条件来看分以下几种情况： 一是公共边是第三个条件 例1：如图，在ABD ABC ??与中，AC=BD ，AD=BC ，求证：ABC ?≌ABD ? 证明：△ABD 和△BAC 中： ∵ BD=AC BC=AD AB=BA(公共边) ∴ ABC ?≌ABD ?（SSS ） 二是相等对应边+公共边的和对应相等是第三个条件 例1：如图2，已知AC=DF, ∠A=∠D,AE=BD, 求证：ΔABC ≌ΔDEF 证明：∵AE=BD ∴ AE+EB=BD+EB （即AB=DE ） 在△ABC 和△DEF 中 ∵AC=DF ∠A=∠D AB=DE ∴ΔABC ≌ΔDEF （SAS ） 例2如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。求证：AF=DE 。 ∵CE=FB ∴CE+EF=EF+FB （即CF=BE ） ∵AB=DC AE=DF CF=BE ∴△ABE ≌△CDF （SSS ） ∴AF=DE 三是相等对应边-公共边的差对应相等是第三个条件 例1：如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。求证：△AED ≌△BFC 。 证明：∵DF=CE ， ∴DF-EF=CE-EF ，即DE=CF ， 在△AED 和△BFC 中， ∵ AD=BC ， ∠D=∠C ，DE=CF B F D 第F E D C B A F E D C B A H F E D C B A F E D C B A １．三角形全等的判定一（SSS ） 1．如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ．△ABC 和△ADC 全等吗？为什么？ ２．如图，C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE ． 求证△ACD ≌△CBE ． ３．如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB =DE ，AC =DF ， BE =CF ． 求证∠A =∠D ． ４．已知，如图，AB=AD ，DC=CB ．求证：∠B=∠D 。 ５．如图, AD ＝BC, AB ＝DC, DE ＝BF. 求证：BE ＝DF. ２．三角形全等的判定二（SAS ） 1．如图，AC 和BD 相交于点O ，OA =OC ，OB =OD ．求证DC ∥AB ． 2．如图，△ABC ≌△A B C '''，AD ，A D ''分别是△ABC ，△A B C '''的对应边上的中线，和A D ''有什么关系？证明你的结论． 3．如图，已知AC ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC ＝BE ，AE ＝BD ，试猜想线段CE 和DE 的大小和 位置关系，并证明你的结论． 4．已知：如图，AD ∥BC ，AD=CB ，求证：△ADC ≌△CBA ． 5．已知：如图AD ∥BC ，AD=CB ，AE=CF 。求证：△AFD ≌△CEB ． 6．已知，如图，AB=AC ，AD=AE ，∠1=∠2。求证：△ABD ≌△ACE ． 7．已知:如图,点B,E,C,F 在同一直线上,AB ∥DE,且AB=DE,BE=CF. 求证:AC ∥DF ． 8．已知:如图,AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE ．求证:BE ∥CF ． 9．如图, 在△ABC 中, 分别延长中线BE 、CD 至F 、H, 使EF ＝ BE, DH ＝CD, 连结AF 、AH ． 求证：(1) AF ＝AH ； (2)点A 、F 、H 三点在同一直线上； (3)HF ∥BC. 10．如图, 在△ABC 中, AC ⊥BC, AC ＝BC, 直线EF 交AC 于F, 交 AB 于E, 交BC 的延长线于D, 连结AD 、BF, CF ＝CD. 求证：BF ＝AD, BF ⊥AD. 11．证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线对应相等，那么这两个三角形全 等．（提示：首先分清已知和求证，然后画出图形，再结合图形用数学符号表示已知和求证） 12．证明：如果两个三角形有两条边和第三边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等． 13.已知：如图，正方形ABCD ，BE =CF ，求证：(1)AE =BF ； （2）AE ⊥BF . 14．已知：E 是正方形ABCD 的边长AD 上一点，BF 平分∠EBC ， 交CD 于F ，求证BE=AE+CF.（提示：旋转构造等腰） 15.如图,△ABD 和△ACE 是△ABC 外两个等腰直角三角形,∠BAD=∠CAE=900.（1）判断CD 和BE 有怎样的数量关系;（2）探索DC 和BE 的夹角的大小.（3）取BC 的中点M ，连MA ，探讨MA 和DE 的位置关系。 C D A B D A C B E A C E D B A E B C F D A B C D 2 A C B E D 1 A B C D E F A D E F G F E D C A B A D C 八年级全等三角形分类证明题 一．SAS 1、 如图（1）：AD ⊥BC ，垂足为D ，BD=CD 。求证：△ABD ≌△ACD 。 2.如图（2）：AC ∥EF ，AC=EF ，AE=BD 。 求证：△ABC ≌△EDF 。 3.如图（3）：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。求证：△AED ≌△BFC 。 4.如图（4）：AB=AC ，AD=AE ，AB ⊥AC ，AD ⊥AE 。求证：（1）∠B=∠C ， （2）BD=CE 5.如图（5）：AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB=CD ，BC=DE 。求证：AC ⊥CE 6.如图（6）：CG=CF ，BC=DC ，AB=ED ，点A 、B 、C 、D 、E 在同一直线上。 求证：（1）AF=EG ，（2）BF ∥DG 。 7、如图（7）：AC ⊥BC ，BM 平分∠ABC 且交AC 于点M 、N 是AB 的中 点且BN=BC 。 求证：（1）MN 平分∠AMB ，（2）∠A=∠CBM 。 8、如图（13）△ABC ≌△EDC 。求证：BE=AD 。 9.如图（14）在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，AE 是BC 的中线，过点C 作CF ⊥AE 于F ，过B 作BD ⊥CB 交CF 的延长线于点D 。 （1）求证：AE=CD ，（2）若BD=5㎝，求AC 的长。 （图1）D C B A F E D C B A F E （图3）D C B A E （图4）D C B A E D B A G F E （图6）D C B A N M （图7） C B A E （图13）D C B A F E （图14） D C B A 全等三角形判定（基础） 【学习目标】 1．理解和掌握全等三角形判定方法“边角边”、“角边角”、“角角边”、“边边边”定理. 2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等. 【要点梳理】 要点一、全等三角形判定1——“边角边” 1. 全等三角形判定1——“边角边” 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）. 要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 要点二、全等三角形判定2——“角边角” 全等三角形判定2——“角边角” 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）. 要点诠释：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C . 要点三、全等三角形判定3——“角角边” 1.全等三角形判定3——“角角边” 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. r 三角形全等的判定专题训练题 1、如图（1）：AD ⊥BC ，垂足为D ，BD=CD ．求证：△ABD ≌△ACD ． 2、如图（2）：AC ∥EF ，AC=EF ，AE=BD ．求证：△ABC ≌△EDF ． 3、 如图（3）：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C ．求证：△AED ≌△BFC ． 4、 如图（4）：AB=AC ，AD=AE ，AB ⊥AC ，AD ⊥AE ．求证：（1）∠B=∠C ，（2）BD=CE 5、如图（5）：AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB=CD ，BC=DE ．求证：AC ⊥CE ． （图1）D C B A F E D C B A F E （图3）D C B A E （图4）D C B A E D B A r 6、如图（6）：CG=CF，BC=DC，AB=ED，点A、B、C、D、E在同一直线上． 求证：（1）AF=EG，（2）BF∥DG． 7、如图（7）：AC⊥BC，BM平分∠ABC且交AC于点M、N是AB的中点且BN=BC． 求证：（1）MN平分∠AMB，（2）∠A=∠CBM． 8、如图（8）：A、B、C、D四点在同一直线上，AC=DB，BE∥CF，AE∥DF． 求证：△ABE≌△DCF． 9、如图（9）AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF． 求证：AM是△ABC的中线． 10、如图（10）∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，BD=CE．求证：AB=AC． G F E （图6） D C B A N M （图7） C B A F E （图8）D C B A M F E （图9） C B A E （图10） D C B A 八年级数学全等三角形的证明归类 初学三角形全等证明，根据已知条件找到证明全等的三个条件是难点。如何才能找到证明全等证明的三个条件呢？从三角形全等证明的四种证明方法（边角边、角边角、角角边、边边边）来看：已知两边对应相等，第三个条件可以找已知两边的夹角对应相等，或找第三边对应相等；如果告诉了两个角对应相等，第三个条件找两个角的夹边对应相等，或是已知的两个角中的某个角的对应边相等；已知一边和一角对应相等，第三个条件可能是对应相等角的另一边对应相等，或是另一角对应相等。分析以上这些情况，找第三个条件分两种情况：一是再找一组对应边相等，二是再找一组对应角相等。对应边相 等的情形从题目给定的条件来看分以下几种情况：一是公共边是第三个条件 例1：如图，在ABD ABC ??与中，AC=BD ，AD=BC ，求证：ABC ?≌ABD ?证明：△ABD 和△BAC 中：∵ BD=AC BC=AD AB=BA(公共边)∴ ABC ?≌ABD ?（SSS ） 二是相等对应边+公共边的和对应相等是第三个条件 例1：如图2，已知AC=DF, ∠A=∠D,AE=BD, 求证：ΔABC ≌ΔDEF 证明：∵AE=BD ∴ AE+EB=BD+EB （即AB=DE ） 在△ABC 和△DEF 中∵AC=DF ∠A=∠D AB=DE A 第2图 ∴ΔABC ≌ΔDEF （SAS ） 例2如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。求证：AF=DE 。 ∵CE=FB ∴CE+EF=EF+FB （即CF=BE ） ∵AB=DC AE=DF CF=BE ∴△ABE ≌△CDF （SSS ）∴AF=DE 三是相等对应边-公共边的差对应相等是第三个条件 例1：如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。求证：△AED ≌△BFC 。证明：∵DF=CE ， ∴DF-EF=CE-EF ，即DE=CF ，在△AED 和△BFC 中， ∵ AD=BC ， ∠D=∠C ，DE=CF ∴△AED ≌△BFC （SAS ） 四是等边三角形的三边相等（等腰三角形两腰相等）是第三个条件 例1：如图5，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，求证：△ACD ≌△BCE 。 证明：∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形 ∴AC=BC CD=CE ∠ACB=∠DCE=60° ∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE （即∠BCE=∠ACD ）在△ACD 和△BCE 中， ∵ AC=BC ∠BCE=∠ACD CD=CE ， ∴△ACD ≌△BCE （SAS ） E F E D C B A B 全等三角形的判定 一、知识点梳理 知识梳理: SSA）和角角角（AAA）不能作为判定两个三角形全等的方法。 技巧平台： 证明两个三角形全等时要认真分析已知条件，仔细观察图形，明确已具备了哪些条件，从中找出已知条件和所要说明的结论的内在联系，从而选择最适当的方法。根据三角形全等的条件来选择判定三角形全等的方法，常用的证题思路如下表： AC边即可构造全等三角形。 B D C 解：相等。理由：连接AC ，在△ABC 和△ADC 中，??? ??===AC AC CD CB AD AB ∴△ABC ≌△ADC （SSS ），∴∠B=∠D （全等三角形的对应角相等） 点评：证明两个角相等或两条线段相等，往往利用全等三角形的性质求解。有时根据问题的需要添加适当的辅助线构造全等三角形。 例2.（SSS ）如图，△ABC 是一个风筝架，AB=AC,AD 是连接A 与BC 中点D 的支架，证明：AD ⊥BC.分析：要证AD ⊥BC ADB=∠ ADC 可由△ABD ≌△ACD 求得。 证明：ΘD 是BC 的中点，∴BD=CD 在△ABD 与△ACD 中，?? ? ??===AD AD CD BD AC AB ∴△ABD ≌△ACD(SSS)，∴∠ADB=∠ADC （全等三角形的对应角相等） Θ∠ADB+∠ADC=?180（平角的定义） ∴∠ADB=∠ADC=?90，∴AD ⊥BC （垂直的定义） 例3.（SAS ）如图，AB=AC,AD=AE,求证：∠B=∠C. 分析：利用SAS 证明两个三角形全等，∠A 是公共角。 证明：在△ABE 与△ACD 中,?? ? ??=∠=∠=AD AE A A AC AB ∴△ABE ≌△ACD(SAS),∴∠B=∠C （全等三角形的对应角相等） 例4.（SAS ）如图，已知E,F 是线段AB 上的两点，且AE=BF,AD=BC,∠A=∠B,求证：DF=CE. 分析：先证明AF=BE ，再用SAS 证明两个三角形全等。 A D B 全等三角形的判定 全等三角形复习 [知识要点] 一、全等三角形 1．判定和性质 一般三角形 直角三角形 判定 边角边（SAS ）、角边角（ASA ） 角角边（AAS ）、边边边（SSS ） 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等（HL ） 性质 对应边相等，对应角相等 对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等 注：① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等； ② 全等三角形面积相等． 2．证题的思路： ? ? ? ?? ??? ???? ? ???????? ? ?? ?????? ????? ??）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（） 找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 二、例题讲解 例1.（SSS ）如图，已知AB=AD ，CB=CD,那么∠B=∠D 吗？为什么？ 分析：要证明∠B=∠D ，可设法使它们分别在两个三角形中，再证它们所 在的两个三角形全等，本题中已有两组边分别对应相等，因此只要连接 AC 边即可构造全等三角形。 解：相等。理由：连接AC ，在△ABC 和△ADC 中，??? ??===AC AC CD CB AD AB ∴△ABC ≌△ADC （SSS ），∴∠B=∠D （全等三角形的对应角相等） 点评：证明两个角相等或两条线段相等，往往利用全等三角形的性质求解。有时根据问题的需要添加适当的辅助线构造全等三角形。 例2.（SSS ）如图，△ABC 是一个风筝架，AB=AC,AD 是连接A 与BC 中点D 的支架，证明：AD ⊥BC.分析：要证AD ⊥BC ，根据垂直定义，需证∠ADB=∠ADC,而∠ADB=∠ADC 可由△ABD ≌△ACD 求得。 证明： D 是BC 的中点，∴BD=CD C全等三角形的判定复习与总结(教案)
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