《函数的基本性质》培优训练题(教师版)

《函数的基本性质》培优训练题

1．（2016?义乌市模拟）已知a为实数，函数f（x）=x2﹣|x2﹣ax﹣2|在区间（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递增，则a的取值范围为（）

A．[1，8]B．[3，8]C．[1，3]D．[﹣1，8]

【解答】解：令函数g（x）=x2﹣ax﹣2，由于g（x）的判别式△=a2+8＞0，故函数g（x）一定有两个零点，

设为x1和x2，且x1＜x2．

∵函数f（x）=x2﹣|x2﹣ax﹣2|=，故当x∈（﹣∞，x1）、（x2，+∞）时，

函数f（x）的图象是位于同一条直线上的两条射线，

当x∈（x1，x2）时，函数f（x）的图象是抛物线y=2x2﹣ax﹣2下凹的一部分，且各段连在一起．

由于f（x）在区间（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递增，∴a＞0且函数g（x）较小的零点x1=≥﹣1，即a+2≥，平方得a2+4a+4≥a2+8，得a≥1，同时由y=2x2﹣ax﹣2的对称轴为x=，若且﹣1≤≤2，可得﹣4≤a≤8．综上可得，1≤a≤8，故实a的取值范围为[1，8]，故选：A．

2．（2016?江西校级模拟）已知定义域为R的函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，且y=f（x+2）为偶函数，则关于x的不等式f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0的解集为（）

A．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）B．（﹣，2）C．（﹣∞，）∪（2，+∞）D．（，2）

【解答】解：∵定义域为R的函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，且y=f（x+2）为偶函数，

∴y=f（x+2）关于x=0对称，即函数f（x+2）在（0，+∞）上为减函数，由f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0得f（2x﹣1）＞f（x+1），即f（2x﹣3+2）＞f（x﹣1+2），即|2x﹣3|＜|x﹣1|，平方整理得3x2﹣10x+8＜0，

即＜x＜2，即不等式的解集为（，2），故选：D

3．（2016?四川模拟）设f（x）满足：①任意x∈R，有f（x）+f（2﹣x）=0；②当x≥1时，f（x）=|x﹣a|﹣1，（a ＞0），若x∈R，恒有f（x）＞f（x﹣m），则m的取值范围是（）

A．（0，+∞）B．（4，+∞）C．（3，+∞）D．（5，+∞）

【解答】解：∵任意x∈R，有f（x）+f（2﹣x）=0，∴f（2﹣x）=﹣f（x），则函数关于（1，0）点对称，

当x=1时，f（1）+f（2﹣1）=0，即2f（1）=0，则f（1）=0，∵当x≥1时，f（x）=|x﹣a|﹣1，∴f（1）=|1﹣a|﹣1=0，则|a﹣1|=1，则a﹣1=1或a﹣1=﹣1，则a=2或a=0，∵a＞0，∴a=2，即当x≥1时，f（x）=|x﹣2|﹣1

当x≤1时，﹣x≥﹣1，2﹣x≥1，即f（x）=﹣f（2﹣x）=﹣（|2﹣x﹣2|﹣1）=1﹣|x|，x≤1，

4．（2016?广安模拟）已知f（x）=32x﹣（k+1）3x+2，当x∈R时，f（x）恒为正值，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，2﹣1）C．（﹣1，2﹣1）D．（﹣2﹣1，2﹣1）

【解答】解：令3x=t （t＞0），则g（t）=t2﹣（k+1）t+2，若x∈R时，f（x）恒为正值，

则g（t）=t2﹣（k+1）t+2＞0对t＞0恒成立．∴①或②

解①得：﹣1＜k＜﹣1+；解②得：k≤﹣1．

综上，实数k的取值范围是（﹣∞，2﹣1）．故选：B．

5．（2016?通州区一模）若定义域均为D的三个函数f（x），g（x），h（x）满足条件：?x∈D，点（x，g（x））与点（x，h（x））都关于点（x，f（x））对称，则称h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”．已知g（x）=，

f（x）=3x+b，h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”，且h（x）≥g（x）恒成立，则实数b的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣]B．[﹣，]C．[﹣3，]D．[，+∞）

【解答】解：作出g（x）和f（x）的图象，若h（x）≥g（x）恒成立，则h（x）在直线f（x）的上方，

即g（x）在直线f（x）的下方，则直线f（x）的截距b＞0，且原点到直线y=3x+b的距离d≥1，

即d==≥1，即|b|≥，则b≥或b≤﹣（舍），即实数b的取值范围是[，+∞），

故选：D

6．（2016春?普宁市校级月考）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x﹣2），当x∈（1，3）时，f（x）=1+（x﹣2）2，则（）A．f（sin）＞f（sin）B．f（sin）＜f（cos）

则函数关于x=2对称，∴当x∈（1，2）时，函数单调递减，则x∈（2，3）时，函数单调递增，

即当x∈（0，1）时，函数单调递增，由f（x）=f（x+2）=f（2﹣x）=f（﹣x），即函数f（x）同时也是偶函数，

A．f（sin）＞f（sin）等价为f（）＞f（），∵当x∈（0，1）时，函数单调递增，∴不等式f（）＞f （），成立，故A正确，B．f（sin）＜f（cos）等价为f（）＜f（﹣）=f（），

∵当x∈（0，1）时，函数单调递增，∴不等式f（）＜f（），不成立，故B错误，

C．f（cos）＞f（cos）等价为f（）＞f（），∵当x∈（0，1）时，函数单调递增，∴不等式f（）＞f（），不成立，故C错误，D．f（tan）＜f（tan）等价为f（）＜f（﹣）=f（），则不等式不成立，故D

错误，故选：A．

7．（2015?南昌校级二模）设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f[f（x）﹣e x]=e+1（e是自然对数的底数），则f（ln2）的值等于（）A．1B．e+lC．3D．e+3

【解答】解：设t=f（x）﹣e x，

则f（x）=e x+t，则条件等价为f（t）=e+1，令x=t，则f（t）=e t+t=e+1，

∵函数f（x）为单调递增函数，∴函数为一对一函数，解得t=1，∴f（x）=e x+1，即f（ln2）=e ln2+1=2+1=3，

故选：C．

8．（2016春?温州期中）已知函数f（x）在R上满足f（﹣x）+f（x）=0，且x＞0时，f（x）=（|x+sinα|+|x+2sinα|）+sinα（﹣≤α≤）对任意的x∈R，都有f（x﹣3）≤f（x）恒成立，则实数α的取值范围为（）A．[0，π]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]

【解答】解：设t=sinα，则t∈[﹣1，1]；当x＞0时，f（x）=（|x+t|+|x+2t|）+t，

若t≥0，则当x＞0时，f（x）=x+3t，当x＜0时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（﹣x+3t）=x﹣3t，

由f（x﹣3）≤f（x）恒成立，可得y=f（x）的图象恒在y=f（x﹣3）的图象上方，

则sinα≥0；当t＜0时，当x≥0时，f（x）=，

由f（x）=x+3t，x≥﹣2t，得f（x）≥t；当﹣t＜x＜﹣2t时，f（x）=t；由f（x）=﹣x，0≤x≤﹣t，得f（x）≥t．

∴当x＞0时，f（x）min=t．∵函数f（x）为奇函数，∴当x＜0时，f（x）max=﹣t．∵对x∈R，都有f（x﹣3）≤f

（x），∴﹣3t﹣3t≤3，解得t≥﹣，综上可得sinα≥﹣，

解得﹣+2kπ≤α≤2kπ+，k∈Z．

又α∈[﹣，]，∴α∈[﹣，]．故选：D．

9．（2015?衡水校级模拟）已知函数f（x）和g（x）是两个定义在区间M上的函数，若对任意的x∈M，存在常数

x0∈M，使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0），且f（x）=g（x0，则称f（x）与g（x）在区间M上是“相似函数”，若f

（x）=2x2+ax+b与g（x）=x+在[1，]上是“相似函数”，则函数f（x）在区间[1，]上的最大值为（）

【解答】解：利用导数可知g（x）=x+在[1，]上的最小值为4，最大值为5，

对任意的x∈M，存在常数x0∈M，使得g（x）≥g（x0），则g（x0）=g（x）min=4，此时x0=2．

根据题意知f（x）min=f（2）=4，二次函数f（x）=2x2+ax+b的顶点坐标为（2，4），∴a=﹣8，b=12

∴f（x）=2（x﹣2）2+4，∴f（x）在[1，]上的最大值为f（x）max=f（1）=6故选C．

10．（2015?莆田校级模拟）设函数f（x）的定义域为A，若存在非零实数l使得对于任意x∈I（I?A），有x+l∈A，且f （x+l）≥f（x），则称f（x）为I上的l高调函数，如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣a2|﹣a2，且函数f（x）为R上的1高调函数，那么实数a的取值范围为（）

A．0＜a＜1B．﹣≤a≤C．﹣1≤a≤1D．﹣2≤a≤2

【解答】解：定义域为R的函数f（x）是奇函数，

当x≥0时，f（x）=|x﹣a2|﹣a2=图象如图，

∵f（x）为R上的1高调函数，当x＜0时，函数的最大值为a2，要满足f（x+l）≥f（x），

1大于等于区间长度3a2﹣（﹣a2），

∴1≥3a2﹣（﹣a2），∴﹣≤a≤

故选B

11．（2014?湖北）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣3x，则函数g（x）=f（x）﹣x+3的零点的集合为（）

A．{1，3}B．{﹣3，﹣1，1，3}C．{2﹣，1，3}D．{﹣2﹣，1，3}

【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣3x，

令x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）=x2+3x=﹣f（x）∴f（x）=﹣x2﹣3x，∴

∵g（x）=f（x）﹣x+3∴g（x）=

12．（2014?安徽模拟）已知f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，如果f（ax+1）≤f（x﹣2）在

上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，1]B．[﹣5，0]C．[﹣5，1]D．[﹣2，0]

【解答】解：由题意可得|ax+1|≤|x﹣2|对恒成立，得x﹣2≤ax+1≤2﹣x对恒成立，

从而且对恒成立，∴a≥﹣2且a≤0，即a∈[﹣2，0]，故选D．

13．（2014?濮阳二模）已知函数f（x+1）是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x1、x2，不等式（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0恒成立，则不等式f（1﹣x）＜0的解集为（）

A．（1，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，1）

【解答】解：由不等式（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0恒成立得，函数f（x）是定义在R上的减函数①．

又因为函数f（x+1）是定义在R上的奇函数，所以有函数f（x+1）过点（0，0）；

故函数f（x）过点（1，0）②．①②相结合得：x＞1时，f（x）＜0．故不等式f（1﹣x）＜0转化为1﹣x＞1?x＜0．故选C．

14．（2014?渭南二模）已知函数g（x）是R上的奇函数，且当x＜0时g（x）=﹣ln（1﹣x），函数

若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣2，1）B．

C．（﹣1，2）D．

【解答】解：∵奇函数g（x）满足当x＜0时，g（x）=﹣ln（1﹣x），

∴当x＞0时，g（﹣x）=﹣ln（1+x）=﹣g（x），

得当x＞0时，g（x）=﹣g（﹣x）=ln（1+x）∴f（x）的表达式为，

∵y=x3是（﹣∞，0）上的增函数，y=ln（1+x）是（0，+∞）上的增函数，

∴f（x）在其定义域上是增函数，由此可得：f（2﹣x2）＞f（x）等价于2﹣x2＞x，解之得﹣2＜x＜1故选A

15．（2014?张掖模拟）已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[0，2]时，f（x）=（x﹣1）2，如果g（x）=f（x）﹣log5|x ﹣1|，则函数y=g（x）的所有零点的个数是（）A．2B．4C．6D．8

【解答】解：由题意可得g（x）=f（x）﹣log5|x﹣1|，根据周期性画出函数f（x）=（x﹣1）2的图象

以及y=log5|x﹣1|的图象，根据y=log5|x﹣1|在（1，+∞）上单调递增函数，当x=6 时，log5|x﹣1|=1，

∴当x＞6时，y=log5|x﹣1|＞1，此时与函数y=f（x）无交点．再根据y=log5|x﹣1|的图象和f（x）的图象都关于直线x=1对称，结合图象可知有8个交点，则函数g（x）=f（x）﹣log5|x﹣1|的零点个数为8，故选D．

16．（2014?山东模拟）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，，则使的x的值是（）A．2n（n∈Z）B．2n﹣1（n∈Z）C．4n+1（n∈Z）D．4n﹣1（n∈Z）

【解答】解：∵f（x）是奇函数且f（x+2）=﹣f（x），

∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）∴函数f（x）的周期T=4．∵当0≤x≤1时，f（x）=x，又f（x）是奇函数，

∴当﹣1≤x≤0时，f（x）=x，令x=﹣解得：x=﹣1而函数f（x）是以4为周期的周期函数，

∴方程f（x）=﹣的x的值是：x=4k﹣1，k∈Z．故选D．

17．（2013?屯溪区校级模拟）已知函数f（x）=lg（a x﹣b x）+x中，常数a、b满足a＞1＞b＞0，且a=b+1，那么f （x）＞1的解集为（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（1，10）D．（10，+∞）

【解答】解：由a x﹣b x＞0即＞1解得x＞0，所以函数f（x）的定义域为（0，+∞），

因为a＞1＞b＞0，所以a x递增，﹣b x递增，所以t=a x﹣b x递增，又y=lgt递增，所以f（x）=lg（a x﹣b x）+x为增函数，

而f（1）=lg（a﹣b）+1=lg1+1=1，所以x＞1时f（x）＞1，故f（x）＞1的解集为（1，+∞）．故选B．18．（2013?北京校级一模）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈[1，3]时，f（x）=2﹣|x﹣2|，则（）

A．B．f（sin1）＞f（cos1）C．f（tan3）＜f（tan6）D．f（sin2）＜f（cos2）

【解答】解：设x∈[﹣1，1]，则x+2∈[1，3]∴f（x）=f（x+2）=2﹣|x+2﹣2|=2﹣|x|

即f（x）=∴=f（）﹣f（）=2﹣﹣2+=0

∴，排除A∵1＞sin1＞cos1＞0，f（x）在[0，1]上单调减∴f（sin1）＜f（cos1），排除B∵

﹣1＜tan6＜tan3＜0，f（x）在[﹣1，0]上单调增∴f（tan3）＞f（tan6），排除C故选D

19．（2013?泰安一模）设奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，f（﹣1）=﹣1．若函数f（x）≤t2﹣2at+1对所有的x∈[﹣

1，1]都成立，则当a∈[﹣1，1]时，t的取值范围是（）A．﹣2≤t≤2B．

C．t≤﹣2或t=0或t≥2D．

【解答】解：∵奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，f（﹣1）=﹣1∴x=1时，函数有最大值f（1）=1

若函数f（x）≤t2﹣2at+1对所有的x∈[﹣1，1]都成立，∴1≤t2﹣2at+1∴2at﹣t2≤0，

22

20．（2013?梅州一模）若不等式x2+2xy≤a（x2+y2）对于一切正数x，y恒成立，则实数a的最小值为（）A．2B．C．D．

【解答】解：∵x＞0，y＞0，∴x2+2xy≤a（x2+y2））?2xy≤（a﹣1）x2+ay2?（a﹣1）﹣2×+a≥0，

令t=（t＞0），f（t）=（a﹣1）t2﹣2t+a，依题意，即，解得a≥．∴实数a

的最小值为．故选D．

21．（2012?南溪县校级一模）已知函数是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么实数a的取

值范围是（）A．1≤a≤2B．a≤1或a≥2C．1＜a＜2D．a＜1或a＞2

【解答】解：根据题意，当x≥0时，f（x）=x2，易得f（x）为增函数，当x＜0时，f（x）=x3+a2﹣3a+2，也为增函数，

若f（x）在（﹣∞，+∞）上的增函数，必有02≥03+a2﹣3a+2，即0≥a2﹣3a+2，解可得1≤a≤2，故选A．22．（2012?沙坪坝区校级模拟）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（2﹣x）=2f（1），当x≥1时，

且x∈[﹣2，2]时，n≤f（x）≤m恒成立，则m﹣n的最小值是（）A．B．C．1D．2

【解答】解：∵当x≥1时，，∴f（1）=1+4=5，∴f（x）+f（2﹣x）=2f（1）=10，令x=0，

可得f（0）+f（2）=10，可得f（0）=6，f（﹣2）+f（4）=10，可得f（﹣2）=5，画出f（x）的草图：

f（x）在（0，2）上为减函数，f（x）在[﹣2，0]上是增函数，∴f（x）在x∈[﹣2，2]上最小值为：f（2）=4，

最大值为f（0）=6，∴m的最小值为6，n的最大值为4，∴m﹣n的最小值是6﹣4=2，故选D；

23．（2012?浉河区校级模拟）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x+x2，若存在正数a，b，使得当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[]，则a+b=（）

A．1B．C．D．

【解答】解：设x＞0，有﹣x＜0，则f（﹣x）=﹣2x+x2，

①、当a＜1＜b时，f（x）=2x﹣x2的最大值为1；得=1，即a=1，不合题意，舍去，

②、当a＜b＜1时，f（a）＜1，f（b）＜1且在[a，b]上单调增，而＞1，不合题意，舍去，

③、当1≤a＜b时，f（x）在[a，b]上单调减，可得，解可得a=1，b=，符合题意，

则a+b=；故选D．

24．（2012?城区校级模拟）?x∈R，函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x+2）=﹣f（x），当时，

那么在上方程f（x）=0的所有根的和是（）

A．3B．5C．7D．10

【解答】解：∵函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x+2）=﹣f（x），

∴函数是奇函数，且周期为2，且f（0）=0

即f（2）=f（0）=0，f（1）=f（3）=f（﹣1）=0

∴在上方程f（x）=0的所有根为﹣1、1、3，2，0

∴在上方程f（x）=0的所有根的和是5

故选A．