弹塑性本构关系的认识及其在钢筋混凝土中的应用浅谈_塑

弹塑性本构关系的认识及其在钢筋

混凝土结构中的应用浅谈

摘要：本文首先对弹塑性本构关系和钢筋混凝土材料的本构模型作了简要概述，然后结合上课所学知识和自己阅读的几篇文章，从材料的屈服准则、流动准则、硬化准则和加载卸载准则等四个方面详细阐述了弹塑性本构关系。最后，结合上述准则简要论述了混凝土这一常用材料在地震作用下的弹塑性本构关系。

关键词：弹塑性本构关系，钢筋混凝土，地震

Understanding of Elastoplastic Constitutive Relation and a Brife Talk of Its Aapplication to Reinforced Concrete Structure

Abstract：This paper firstly makes a brief overview about elastoplastic constitutive relation and reinforced concrete constitutive model. Then，elaborating the elastoplastic constitutive relation from the four aspects of material yield criterion，flow rule，hardening rule，loading and unloading criterion based on what I have learned in class and reading from a few articles. Lastly，a simply introduction on the elastoplastic constitutive of reinforced concrete under earthquake is demonstrated.

Keywords：elastoplastic constitutive relation; reinforced concrete structure; earthquake

1 引言

钢筋混凝土结构材料的本构关系对钢筋混凝土结构有限元分析结果有重大的影响，如果选用的本构关系不能很好地反映材料的各项力学性能，那么其它计算再精确也无法反映结构的实际受力特征。所谓材料的本构关系，主要是指描述材料力学性质的数学表达式。用什么样的表达式来描述材料受力后的变化规律呢？不同的学者根据材料的性质、受力条件和大小、试验方法以及不同的理论模型等因素综合考虑，建立了许多种钢筋混凝土材料的本构关系表达式。

材料的本构关系所基于的理论模型主要有：弹性理论、非线性弹性理论、弹塑性理论、粘弹性理论、粘弹塑性理论、断裂力学理论、损伤力学理论、内时理论等。迄今为止，由于钢筋混凝土材料的复杂因素，还没有一种理论模型被公认为可以完全描述钢筋混凝土材料的

本构关系。有些本构关系虽然能比较好地反映材料的应力应变关系，但是由于试验条件的不同，使得各表达式的结果具有很大的离散性。

本文基于钢筋混凝土材料的弹塑性本构模型，确定了地震作用下钢筋混凝土结构的本构模型。这里的弹塑性问题主要是不依赖于时间的弹塑性问题，弹塑性材料进入塑性的特征是当荷载卸去后存在不可恢复的永久变形，因而在涉及卸载的情况下，应力应变之间不再存在唯一的对应关系，这是区别于非线性弹性材料的基本属性。为了更有效地利用通用有限元软件，有必要了解塑性力学的基本法则、弹塑性有限元分析的基本原理[2]。

2 结构的弹塑性本构模型分析

2.1 弹塑性力学的基本准则

弹塑性理论提供了描述材料弹塑性发展的数学关系。在弹塑性理论中有三个重要的准则：屈服准则、流动准则、硬化准则和加载卸载准则[7]。

2.1.1 初始屈服准则

初始屈服准则决定了材料由弹性变形进入塑性变形的初始应力状态。对于初始各向同性材料，在一般应力状态下开始进入塑性变形的条件是：

),(000k F F σ= （2.1）

式中：σ表示应力张量，0k 是给定的材料参数。),(000k F F σ=的几何意义可以理解为应力空间的一个超曲面，此曲面称之为初始屈服面。通常采用的屈服条件有：

（1）V on-Mises 屈服准则

V on-Mises 屈服准则数学表达式可简化成：

0)(),(0000=-σ=σ=k f k F F （2.2）

其中：

)(3

131:2

1)(321200σ+σ+σ=σσ-σ=σ==σm m y I s k s s f 式中：yo σ为由单向拉伸试验所得的材料屈服强度；s 为偏斜应力张量；m σ为静水应力；I 为单位张量。且s 和等效应力σ有以下关系：

223

1:21J s s =σ= （2.3） 2J 为第二应力不变量，将上式代入（2.2）式，则有0y σ=σ，所以此V on-Mises 屈服准则的力学意义是：当等效应力σ等于材料的初始屈服应力yo σ时，材料开始进入塑性变形，几何意义是：在偏斜应力空间内，它代表一个以yo σ3/2为半径的超球面，即材料用偏斜应力张量表示的应力状态在超球面以内，材料是弹性的；当应力状态到达球面时，材料开始

进入塑性变形。

在三维主应力空间，V on-Mises 屈服准则表示为：

03

1])()()[(612

021*******=σ-σ-σ+σ-σ+σ-σy （2.4） 式中：1σ，2σ和3σ是三个主应力。该式的几何意义是：在三维主应力空间内，初始屈服面是以321σ=σ=σ为轴线的圆柱面。此面和过原点并垂直于直线321σ=σ=σ的π平面的交线，即屈服函数0F 在π平面上的轨迹是以yo σ为半径的圆周，如图2.1（a ）所示。而在03=σ的平面上屈服函数的轨迹是一椭圆，该椭圆的长半轴为yo σ2，短半轴为yo σ3/2，如图2.1（b ）所示。

（2）Tresca 屈服准则

对受有三个主应力1σ，2σ和3σ作用的固体，其屈服条件应满足下列方程：

])][()][()[(20213202322

0221=σ-σ-σσ-σ-σσ-σ-σy y y （2.5）

（a ）π平面上的屈服轨迹 （b ）03=σ平面上的屈服轨迹

图2.1 屈服轨迹

此式的力学意义是：当最大剪应力等于初始剪切屈服应力时，材料开始进入塑性变形。则可推出屈服准则：

3,2,1,0=σ=σ-σj i y j i （2.6）

几何上，（2.5）式表示一个在主应力空间内，以321σ=σ=σ为轴线并内接于Von-MISes 屈服轨迹的正六边形，如图2.1（a ）所示。同样，在03=σ的平面内，Tresea 屈服轨迹内接于V on-Mises 屈服轨迹的六边形，如图2.1（b ）。

比较以上屈服条件，为计算方便，本文中钢筋的有限元分析采用V on-Mises 屈服条件。

2.1.2 流动准则

流动法则用来规定材料进入塑性应变后的塑性应变增量在各个方向上的分量和应力分量以及应力增量之间的关系。V on-Mises 流动法则假设塑性应变增量可从塑性势导出，即

σ

??λ=εQ d d p （2.7） 其中：p d ε是塑性应变增量；λd 是正的待定有限量，它的具体数值与材料硬化法则有关；Q 是塑性势函数，一般说它是应力状态和塑性应变的函数。对于稳定的应变硬化材料（随着载荷增大，如果材料的应力增量击和应变增量σd 所做的功为正功，即0:>εσ=d d dW ，此类材料称为稳定材料），Q 通常取和后继屈服函数F 相同的形式，称之为和屈服函数相关联的塑性势。对于关联塑性情况，流动法则表示为：

f d F d d p σσ?λ=?λ=ε （2.8）

从微分学得知，σ??=?σ/F F 定义的向量正是沿着应力空间后继屈服面0=F 的法线方向，所以Von-Mises 流动法则又称为法向流动法则。

2.1.3 硬化法则

硬化法则是用来规定材料进入塑性变形后的后继屈服面函数（又称加载函数或加载曲面）在应力空间中变化的规则。一般来说，后继屈服函数可以采用以下形式：

0),(=σk F （2.9）

其中：k 是硬化参数，它依赖于变形的历史，通常是等效塑性应变了的函数。对于理想塑性材料，因无硬化效应，显然后继屈服函数和初始屈服函数相同，即

0),(),(00=σ=σk F k F （2.10）

对于硬化材料，与图2.2所示的不同硬化特征相对应，通常采用的硬化法则有：

（1）各向同性硬化法则

各向同性硬化法则规定，当材料进入塑性变形以后，加载曲面在各方向均匀的向外扩张，但其形状、中心及其在应力空间中的方位均保持不变。例如对于03=σ的情形，初始屈服轨迹和后继屈服轨迹如图2.3（a ）所示。如采用V on-Mises 屈服条件，则各向同性硬化的后继屈服函数可以表示为：

0),(=-=σk f k F （2.11）

其中：

)(3

1:212

p y k s s f εσ== 式中的y σ是现时的弹塑性应力，它是等效塑性应变p ε的函数，p ε的表达式为：

2/1):3

2(??εε=ε=εp p p p d d d （2.12）

)(p y εσ可从材料的单轴拉伸试验的εσ~曲线得到。定义

p y

p d d E εσ= （2.13）

为材料的塑性模量，又称之为硬化系数（见图 2.4）。它与弹性模量E 及切向模量)/(εσ=d d E E t t 的关系为

t

t p E E E E E -= （2.14） 需要指出，各向同性法则主要适用于单调加载情形。如果用于卸载情形，它只适用于反向屈服应力1y σ数值上等于应力反转点1r σ的材料。而通常材料是不具有这种性质的，因此

在塑性力学中还发展了其他的硬化法则。

图2.2 各种硬化塑性的特征

（a ）各向同性硬化 （b ）Prager 运动硬化 （c ）Zeigler 运动硬化

图2.3各种硬化法则示意图

图2.4 单轴拉伸情况下的弹塑性硬化系数

（2）运动硬化法则

此法则规定材料在进入塑性以后，加载曲面在应力空间作一刚体移动，但其形状、大小和方位均保持不变。后继屈服函数可表示为

0),,(0=ασk F （2.15）

其中：0k 即初始屈服条件；α是加载曲面的中心在应力空间内的移动张量，与材料的硬化特性以及变形的历史有关。根据α的具体规定的不同，运动硬化法则可以分为Prager 运动硬化法则和Zeigler 修正运动硬化法则。

2.1.4 加载、卸载准则

该准则用以判别从一塑性状态出发是继续塑性加载还是弹性卸载，这是计算中判定是否继续塑性变形以及决定采用弹塑性本构关系还是弹性本构关系所必需的。该准则可表述如下：

（1）若0=F 且0:>σ?σd f ，则继续进行塑性加载；

（2）若0=F 且0:<σ?σd f ，则由塑性变为弹性卸载；

（3）若0=F 且0:>σ?σd f ，则应区分下面两种情况，即

①对于理想弹塑性材料，此情况是塑性加载，因为在此条件下可以继续塑性流动； ②对于硬化材料，此情况是中性变载，即仍保持在塑性状态，但不发生新的塑性流动（0=εp d ）。

以上各式中的σ??=?σ/f f ，按不同材料特性而采用不同的屈服函数形式确定。对于理想塑性材料以及采用各向同性硬化法则的材料，则

s f =?σ （2.16）

对于采用运动硬化法则和混合硬化法则的材料，有

α-=?σs f （2.17）

3 钢筋混凝土结构材料弹塑性本构模型

3.1基本假设

当材料的应力点己处于屈服面上继续弹塑性加载时，需要应用弹一塑性增量的应力应变关系进行弹塑性行为的分析。建立本构模型时应遵循以下假设[9]：

（1）采用相关联的流动法则，即在塑性状态下塑性势面与材料的屈服面重合；

（2）采用Drucker-Prager 模型来描述混凝土的弹塑性本构模型；

（3）考虑混凝土和钢筋的屈服强度是塑性应变的函数；

（4）钢筋服从V on-Mises 屈服准则。

3.2 结构的弹塑性本构模型

首先建立增量形式的虚位移原理[2]。如果t t ?+时刻的应力σ?+σ和体积载荷F F ?+及边界载荷T T ?+满足平衡条件，则在满足几何协调条件的虚位移)(α?δ的总虚功等于零，即

0)()()(=δε?+-δ?+-δεσ?+σ???σ

V S t t V t dS T T udV F F （3.1） 将本构方程表达式代入上式，则可得

??????σ

σδε+δ+δεσ+σ-=δε?-δ?-δεεS t V t V t S V V ep dS T udV F d dS T udV F d D )():(0（3.2） 采用与Aitken 加速收敛方法相结合的常刚度迭代方案相应的胡克定律增量形式为

e t e t e t t p e t e t e t e t e

t e t e t t p e t D D D D D D D D D ε-+ε?-ε?-+ε?=ε-+ε?-ε?=σ??+?+):(::)(:):()(:00 （3.3）

其中：e t t e t e t D D D ?+,,0分别是其材料常数G E ,,ν在t t t t ?+,,0时刻数值时的弹性张量；e t ε是t 时刻的弹性应变张量。将上式代入有限元离散后的虚位移公式，则可得到用初始弹性刚度矩阵表示的有限元方程，其矩阵形式如下

dV D D D D D B Q K e V e t e t e t t e t e t p e t T e t e

∑?ε--ε?--ε?+?=α??+]):(:)(:[00 （3.4）

其中：e t K 0是结构初始时刻的弹性刚度矩阵，Q ?是不平衡力向量。它们的表达式分别为：

∑?∑??∑?σ-+=?=?+?+e Ve t T E S t t T Ve t

t T e Ve

e t T e t dV B dS T N dV F N

Q BdV

D B K )(00 （3.5）

由于p ε?ε?,都是待求的未知量，所以需要迭代求解。

3.3 地震作用下结构弹塑性分析

3.3.1 有限元方法及步骤

有限元法是以变分原理为基础的一种数值计算方法[2][8]。有限元法基本思想是将连续的求解区域离散为一组有限且按一定方式相互联结在一起的单元组合体。在每一个单元内用近似函数分片地表示求解域上待求的未知场。单元内的近似函数常由未知场函数或其导数在单元的各个结点的数值和其插值函数来表达。因此，未知场函数或其导数在各个结点上的数值就成为未知量，从而使一个连续无限自由度问题离散为有限自由度问题。求解出这些未知量后，就可通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值，从而得出整个求解域上的近似解。

上世纪60年代多位学者的研究证明了有限元法是基于变分原理的Ritz 法的另一种形式，从而使RitZ 法分析的所有理论都适用于有限元法。利用变分原理建立有限元方程和经典的RitZ 法主要区别是有限元法假设的近似函数不是在全求解域而是在单元上规定的，且事先不要求满足任何边界条件。从60年代后期开始，进一步利用加权余量法来确定单元特性和建立有限元求解方程。

所有的有限元分析过程基本一致，其主要步骤为：

（1）结构的离散化

结构的离散化是将被分析的结构用选定的单元划分为有限单元体，把单元的一些指定点作为单元的结点，以单元的集合来代替原结构。具体工作有：对结构用选定单元进行离散、建立坐标系、对单元和结点进行合理编号。

（2）确定位移模式

位移模式的确定是有限单元法分析的关键。在对单元进行特性分析时，必须对单元中位移分布作合理假设，常将单元中任一点位移用结点位移与坐标函数来表示，该坐标函数称为位移模式或位移函数。位移模式常采用多项式型式。

主要工作是建立矩阵方程：

e e N u δ= （3.1）

其中：e u 一单元中任意一点的位移列阵；

N 一形函数矩阵；

e δ一单元的节点位移列阵；

（3）单元特性分析

①利用几何方程将单元中任一点的应变用待定结点位移来表示，即建立如下矩阵方程：

e e e B LN Lu δ=δ==ε （3.2）

式中：ε一单元中任意一点的应变列阵；

L 一微分算子；

B 一形变矩阵。

②利用物理方程将单元中任一点的应力用待定结点位移来表示，即建立如下矩阵方程：

e e S DB D δ=δ=ε=σ （3.3）

式中：σ一单元中任意一点的应力列阵；

D 一与单元材料相关的弹性矩阵；

S 一应力矩阵。

③利用虚位移原理或最小势能原理建立单元刚度方程：

e eq

e e e p V K +=δ （3.4） 式中：?=

e V T e DBdV B K 一单元刚度矩阵；

e V 一单元节点力列阵；

e

eq P 一单元等效荷载列阵，与作用于单元上的外荷载相关。

④单元组装形成整体刚度方程

对单元进行组装建立结构的刚度方程： P K =δ （3.5）

式中：K 一结构整体刚度矩阵；

δ一结构整体位移列阵；

P 一结构综合等效节点荷载列阵。

⑤解方程组

对整体刚度方程进行求解，计算出各结点位移，再利用上面的几个方程，可计算出各单元出任一点的位移、应变及应力。

4 总结

在总结弹塑性理论和分析不同弹塑性本构模型优缺点基础上，确定了适合于钢筋混凝土结构体系的弹塑性本构关系。即采用Drucker-Prager 模型来描述混凝土的弹塑性本构模型；考虑混凝土和钢筋的屈服强度是塑性应变的函数；钢筋服从V on-Mises 屈服准则；在此基础上根据弹塑性理论推导了钢筋混凝土结构弹塑性增量本构模型。

参考文献

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