二元一次方程组培优提高

七年级 第13讲 二元一次方程组

【知识体系】

一、二元一次方程

1．含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程.

2．能使方程两边相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的解.

二、二元一次方程组

1．二元一次方程组：由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫二元一次方程组（linear system in two unknowns ）．

2．同时满足二元一次方程组中各个方程的解，?叫做这个二元一次方程组的解

三、基本思想方法

1．解方程组的基本思路是“消元”，?也就是把二元一次方程组化为一元一次方程．

2．基本的消元方法有：代入消元法与加减消元法.

【热身训练】

1．已知二元一次方程5x-y=7，用含x 的代数式表示y 为

，用含y?的代数式表示x 为 ．

2．如果1,2x y =-??=?

是方程组321,6ax by ax by +=-??-=?的解，那么可得关于a 、b 的一个二元一次方程组为________ ．

3．方程组4,2.

x y x y +=??-=?若两方程相加可得

；若两方程相减可得 ，所以方程组的解是_____________．

4．7x -6y =8y -7

x ，则x 与y 的比是_____________． 5．a+b=b+c=c+a=5，则a+b+c=____________．

6．用代入法解下列方程组：

（1）2275324

x y x y ?-=???+=? （2）32(21)53(21)233x y x y --=??-+=?

7．用适当的方法解下列方程组：

（1）7,35;x y x y -=??+=? （2）258,34 5.x y x y -=??-=?

8．小明在做作业时，不小心把墨水滴到了作业本上，?有一道方程组中的一个方程被盖住了

一个常数，这个方程组是

523

27

x y

x y

-=

?

?

--=

?

，怎么办？小明想了想，便翻看作业本答案，此

方程的解是

3

6

x

y

=

?

?

=

?

，他很快就补好了这个常数项，你能求出这个常数吗？

【典型例题】

1．阅读填空：对于方程组

3,

45

1,

45

x y x y

x y x y

+-

?

+=

??

?

+-

?-=-

??

不妨设

4

x y

+

=u，

5

x y

-

=v，则原方程组变

成以u，v为未知数的方程组是

________,

________,

?

?

?

解得

______,

______,

u

v

=

?

?

=

?

，从而求得原方程组的

解是

_____

_____

x

y

=

?

?

=

?

，这种解法称之为换元法．

2．解下列方程组：

（1）

2

2,

23

3

20;

2

x y

y

x

y

+

?

+=

??

?

?-=

??

（2）

3,

45

1.

45

x y x y

x y x y

+-

?

+=

??

?

+-

?-=-

??

3．已知2

2

x y

+

=

52

4

x y

+

=1，求代数式

9926

784

x y

x y

+-

-+

的值．

4．已知方程组???-=-=+②①

24 155by x y ax ，由于甲看错了方程①中的a ，得到方程组的解为

31x y =-??=-?；乙看错了方程②中的b ，得到方程组的解为????

==45y x 若按正确的a ，b 计算，则原方程组的解x 与y 的差即x-y 的值为多少？

5．已知,1437 ,15452=++=++z y x z y x 求z y x 24++的值．

【独立尝试】

1．方程组2,3213

4

54x y y x ?=-???+?=-??可以化简为（ ）

A ．23124520x y x y -=??+=?

B ．2324520x y x y +=??+=?

C ．2324520x y x y -=??-=?

D ．23124520x y x y +=??-=?

2．若方程组1x y ax by c

ì+=??í?+=??有唯一的一组解，那么a, b ，c 的值应满足（ ） A.1,1a c == B.1a b == C.a b 1 D.1,1a c =

3．方程2311x y x y --++-=的整数解的个数是（ ）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

4．若│3x+2y-4│与6（5x+7y-3）2互为相反数，则x 与y 的值是（ ）

A ．1

2.11x x B y y ==????=-=-??

C ．不存在

D ．无法求出 5．关于x ，y 的方程组232(1)10x y kx k y -=??++=?

的解互为相反数，则k 的值是（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11

6．若4x+3y+5=0，则3（8y-x ）-5（x+6y-2）的值等于________．

7．关于x ，y 的方程组???=+=+2

32343y mx y x 的解x ，y 的和等于1，则m 的值是

． 8．已知方程组),0(0

340254=/???=-+=+-xyz z y x z y x =z y x ::则 9．甲，乙两人共同解方程组51542ax y x by +=??-=-?，甲看错方程①中的a ，得到的解为31x y =-??=?

，? 而乙看错方程②中的b ，得到方程组的解54

x y =??=?，则a 2014+（-110b ）2013= . 10．已知方程组??

???=++=++=++50232z y x z y x z y x ，则代数式7x+8y+9z 的值为

． 11．解方程组：214551924321919215173(y )(x )(x )(y )?++-=????--+=??

①②

12．已知方程2)2()3(||4|n |3|n |||2=-+---m m y m x

n 是二元一次方程，求m+n 的值．

13．已知关于x ，y 的二元一次方程.025)2()1(=-+++-a y a x a 当a 取每一个值时就有

一个方程，而这些方程有一个公共解，请求出这个公共解．

【拓展提升】

1．已知n 是偶数，m 是奇数，方程组2002,29x y n nx y m -=??

+=?的解,x p y q =??=?是整数，那么（ ） A ．p ，q 都是偶数

B ．p 、q 都是奇数

C ．p 是偶数，q 是奇数

D ．p 是奇数，q 是偶数

2．已知有理数A ，B ，x ，y 满足=-+=-+)2(:)3( ,2:7)5(:)4(A yB B A xB A B A

,72 ,5:9=+y x 则x:y 等于（ ）

A. 2 : 1

B. 2 : 3

C. 1: 2

D. 3 : 2

3．已知满足m y x m y x 5212341132-=+-=-和的x ，y 也满足,7203m y x -=+那么m 的值为

4．已知三角形的三边长a ，b ，c 满足??

???=+-=+-=+-023023023b a c a c b c b a ，则该三角形是 三角形.

5．解方程组：?????????=+=+=+③②

①

311 611 111c a c

b b a

6．已知34567.5546710.5x y z m x y z m +++=??

+++=?①②，m z y x 109411+++求的值．

【挑战探索】

1．设x ，y 满足,62 ,19|3|3=+=-++y x y x y x 求x ，y 的值．

2．当k ，b 为何值时， 2 3(1) y kx b y k x =+-??=-?①

②有唯一解？没有解？有无穷多解？

【数学史话】

我国古代数学家刘徽注释《九章算术》说，“程，课程也．二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这里所谓“如物数程之”，是指有几个未知数就必须列出几个等式．一次方程组各未知数的系数用算筹表示时好比方阵，所以叫做方程．上述方程的概念，在世界上要数《九章算术》中的“方程”章最早出现．其中解方程组的方法，不但是我国古代数学中的伟大成就，而且是世界数学史上一份非常宝贵的遗产．这一成就进一步证明：中华民族是一个充满智慧和才干的伟大民族．下面的问题，你能解决吗？

一百馒头一百僧，大僧三个更无争；小僧三人分一个，大小和尚各几名？