二元一次方程组培优提高讲义

二元一次方程组

一、知识点

1、二元一次方程：

⑴定义：含两个未知数且未知项的最高次数是 的方程。即同时满足以下几个条件的方程就是二元一次方程：①含 未知数；②未知项的最高次数是 ；③分母不含 。

⑵使二元一次方程左右两边相等的两个未知数的值叫二元一次方程的 ； 2、二元一次方程组：

⑴同时满足以下条件的方程组就是二元一次方程组：①共含．．两个未知数；②未知项的最高次数是 ；③分母不含 。

⑵同时使 方程都成立的未知数的值叫二元一次方程组的解。无论是二元一次方程还是二元一次方程组的解都应该写成 的形式。

⑶二元一次方程组的解法：基本思路是 。① 消元法：将一个方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程，把二元消去一元，再求解一元一次方程；②＿＿＿＿消元法：适用于相同未知数的系数有相等或互为相反数的特点的方程组，首先观察出两个未知数的系数各自的特点，判断如何运用加减消去一个未知数；含分母、小数、括号等的方程组都应先化为最简形式后再用这两种方法去解。

⑷列方程解应用题的一般步骤是： ；关键是找出题目中的两个相等关系，列出方程组。 二、例题

例1 若{ EMBED Equation.3 |().,1325

2的值求是二元一次方程a y a x a =-+-

【类题训练】

1．已知是二元一次方程，则=_____=_____

2．若=1是关于的二元一次方程，则=_____；=_____. 3．如果是二元一次方程，那么的值是_____

例2、已知等式(2A －7B)x+(3A －8B )=8x+10，对一切实数x 都成立，求A 、B 的值。

例3、如果方程组无解，则a 为

A.6

B.－6

C.9

D.－9

例4、已知方程组，试确定的值，使方程组： （1）有一个解；（2）有无数解；（3）没有解

例5、二元一次方程有一个公共解,则m=______,n=_____;

例6、关于的方程，对于任何的值都有相同的解，试求它的解。例7、若方程组的解之和：x+y=－5，求k的值，并解此方程组.

例8、若关于x，y的二元一次方程组

31

33

x y a

x y

+=+

?

?

+=

?

的解满足2

x y

+＜，则a的取值范围为

______．

例9、若关于x、y的二元一次方程组的解x、y互为相反数，求m的值．

例11、若方程组的解是，求方程组的解。

例12、如果关于ｘ、ｙ的二元一次方程组的解是，试解方程组

例13、已知方程组由于甲看错了方程①中的得到方程组的解为

乙看错了方程②中的b得到方程组的解为若按正确的、b计算，

求原方程组的解．

例14、上杭教育服装厂要生产一批某种型号的学生服装，已知3米长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用600米长的这种布料生产，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套？共能生产多少套？

例15、某旅游商品经销店欲购进A、B两种纪念品，若用380元购进A种纪念品7件，B种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品10件，B种纪念品6件。

（1）求A、B两种纪念品的进价分别为多少？

（2）若该商店每销售1件A种纪念品可获利5元，每销售1件B种纪念品可获利7元，该商店准备用不超过900元购进A、B两种纪念品40件，且这两种纪念品全部售出候总获利不低于216元，问应该怎样进货，才能使总获利最大，最大为多少？

例16、奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任派学习委员小明为获奖同学买奖品，要求每人一件．小明到文具店看了商品后，决定奖品在钢笔和笔记本中选择．如果买4个笔记本和2支钢笔，则需86元；如果买3个笔记本和1支钢笔，则需57元．

（1）求购买每个笔记本和钢笔分别为多少元？

（2）售货员提示，买钢笔有优惠，具体方法是：如果买钢笔超过10支，那么超出部分可以享受8折优惠，若买(0)

x x 支钢笔需要花y元，请你求出y与x的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，小明决定买同一种奖品，数量超过10个，请帮小明判断买哪种奖品省钱．

例17、现有A、B、C三种型号的产品出售，若售A3件，B7件，C1件，共得315元；若售A4件，B10件，C1件，共得42元。问售出A、B、C各一件共得多少元？

例18、为了拉动内需，广东启动“家电下乡”活动。某家电公司销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱在启动活动前一个月共售出960台，启动活动后的第一个月销售给农户的Ⅰ型和Ⅱ型冰箱的销量分别比启动活动前一个月增长30%、25%，这两种型号的冰箱共售出1228台。

（1）在启动活动前的一个月，销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱分别为多少台？

（2）若Ⅰ型冰箱每台价格是2298元，Ⅱ型冰箱每台价格是1999元，根据“家电下乡”

的有关政策，政府按每台冰箱价格的13%给购买冰箱的农户补贴，问：启动活动后的第一个月销售给农户的1228台Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱，政府共补贴了多少元（结果保留2个有效数字）？

例19、为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A、B两类薄弱学校全部进行改造．根据预算，共需资金1575万元．改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元．

（1）改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元？

（2）若该县的A类学校不超过5所，则B类学校至少有多少所？

（3）我市计划今年对该县A、B两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造

资金不少于70万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所

10万元和15万元．请你通过计算求出有几种改造方案？

例20、、A、B、C、D、E五人到商店去买东西，每人都花费了整数元，他们一共花了56元。

A、B花费的差额（即两人所花钱的差的绝对值，下同）是19元，

B、C花费的差额是7元，

C、D花费的差额是5元，

D、E花费的差额是4元，

E、A花费的差额是11元。问：E花费了几元？为什么？

1、A，B花费的差额（即两人所花的钱的绝对值，下同）是19元，

2、B，C花费的差额是7元，那么A,C差距要么26元①，要么12元②

3、C，D花费的差额是5元，那么A,D差距要么31元③，21元④，17元⑤，7元⑥

4、D，E花费的差额是4元，那么A,E差距要么35元，要么27元，要么17元，要么25元，要么21元，要么13元，要么3元。要么11元

对应题目：5、E，A花费的差额是11元

所以有：6、A，B花费的差额（即两人所花的钱的绝对值，下同）是19元；A,C差距12元②；A,D差距7元；E，A花费的差额是11元

所以以B为原点画数轴，那么A在19,C在7，D在12，E在8

19+7+12+8=46与56差距10元，每人加2元就正好

所以E花费了8+2=10元

例21、某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A水果，8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，1千克C水果。已知A水果每千克2元，B水果每千克1.2元，C水果每千克10元。某天该商店销售这三种搭配水果共441.2元，其中A水果的销售额为116元，问C水果的销售额为多少元？

解：如图，设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别是x、y、z套．

则由题意得

2(2x+3y+2z)=116

8.8x+25.6y+21.2z=441.2

，

即

2x+3y+2z=58 ①

22x+64y+53z=1103 ②

由②-①×11得31（y+z）=465，即y+z=15

所以，共卖出C水果15千克，C水果的销售额为15×10=150（元）

答：C水果的销售额为150元．

例22、某人准备装修一套新宅，若甲、乙两个装修公司合作需6周完成，需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，需工钱4.8万元。若只选一个公司单独完成，从节约开始的角度考虑，该人是选甲公司还是选乙公司？请说明理由。

设:甲公司单独做X周完成,乙公司单独做X周完成

则:6*(1/X+1/Y)=1

4*1/X+9*1/Y=1

设:甲公司每周工资A万元,乙公司每周工资B万元

则:6(A+B)=5.2

4A+9B=4.8

解得:A=3/5万元,B=4/15万元

则:甲公司单独做需工资:10*3/5=6万元,

乙公司单独做需工资:15*4/15=4万元

所以:从节约资金角度考虑,韦武应选乙公司单独做.

例23、甲、乙分别自A、B两地同时相向步行，2小时后在中途相遇。相遇后，甲、乙步行速度都提高了1千米/小时。当甲到达B地后立即按原路向A地反行，当乙到达A地后也立即按原路向B地反行。甲、乙两人在第一次相遇后3小时36分钟又再次相遇，则A、B两地的距离是多少千米。

设A的速度为X，B的速度为Y，AB距离就是AB

2X+2Y=AB

3.6(X+1)+3.6(Y+1)=2AB

AB=36

例24、某次数学竞赛前60名获奖。原定一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人；现调为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人。调整后一等奖平均分数降低3分，二等奖平均分数降低2分，三等奖平均分数降低1分。如果原来二等奖比三等奖平均分数多7分，求调整后一等奖比二等奖平均分数多几分？

答案是5，过程：

设原来一，二，三等奖的平均分分别是a,b,c

则调整后分别是a-3,b-2,c-1

要求的是（a-3）-(b-2)=a-b-1

又可知b-c=7，即c=b-7

首先要明确一个问题，那就是不论获奖分数是否调整前60名的总分是不变的，故有：

5a+15b+40c=5(a-3)+15(b-2)+30(c-1)

化简得：

2c=a+b-20,把c=b-7代入，得：

a-b=6,故a-b-1=

假设一等奖，二等奖，三等奖原来的平均分分别是x,y,z，那么调整之后一二三等奖的平均分分别是x-3,y-2,z-1,

根据题目，我们知道y=z+7。

根据前六十名总分不变，我们得到：

5x+15y+40z=10(x-3)+20(y-2)+30(z-1)

整理之后得到：

用z=y-7代替z

就有x=y+6

调整后的一二等奖是x-3,y-2,

那么就有（x-3）－（y-2）＝x-y-1=y+6-y-1=5

三、巩固练习

1.二元一次方程有一个公共解,则m=______,n=_____;

2．已知,那么

3.已知二元一次方程组为，则______，_______.

4.若方程组的解与相等，则________.

5.有一个两位数，减去它各位数字之和的3倍，值为23，除以它各位数字之和，商是5，余数是1，则这样的两位数（）

A．不存在B．有惟一解C．有两个D．有无数解

6.4x+1=m(x－2)+n(x－5),则m、n的值是

A. B. C. D.

7.如果方程组无解，则a为

A.6

B.－6

C.9

D.－9

8.以方程组的解为坐标的点在平面直角坐标系中的位置是（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

9.若关于x y

，的方程组

2x y m

x my n

-=

?

?

+=

?

的解是

2

1

x

y

=

?

?

=

?

，则||

m n

-为（）

A．1 B．3 C．5 D．2

10.若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为

（A）（B）（C）（D）

11.已知代数式与是同类项，那么的值分别是（）

A．B．C．D．

13.在二元一次方程中，若x、y互为相反数，则x = ，y = ；

*④若是同类项，则=＿＿＿，＝＿＿＿。

*⑤若方程是关于、的二元一次方程，则=＿＿＿，＝＿＿＿。

14、若，则。

15、二元一次方程组的解是，则。

16、已知关于x、y的方程组的解的和是12，则。

17、买苹果和梨共50千克，其中苹果的重量是梨的2倍少8千克，求苹果和梨各买多少？若设买苹果x千克，买梨y千克，则列出的方程组应是（）

A、B、C、D、

18、一辆汽车从A地出发向东行驶，要经过路口B，在规定的某一时间内，若车速为60千米/

时，恰能超过B处2千米；若车速为50千米/时，就差3千米到达B处；设A、B间的距离为x千米，规定时间为y小时，则可列出的方程组是（）

A B C D

度为x千米/时，水流速度为y千米/时，则x、y的值为（）

A B C D

20、小强问叔叔多少岁了，叔叔说：“我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40

岁了。”则小强和叔叔的岁数分别是（）岁

A、8和20

B、16和28

C、15和27

D、9和21

21、计算题

（1）（2）

（3）（4）

（5）（6）

（7）（8）

22、已知ｍ是正整数，关于x、y的方程组有整数解，求ｍ2的值.

23、孔明同学在解方程组的过程中，错把看成了6，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为，又已知直线过点（3，1），则的正确值应该

24、某商场按定价销售某种商品时，每件可获利45元。若按定价的八五折销售该商品8件与

按定价降低35元销售该商品12件所获利润相等。则该商品进价、定价分别是多少？

25、某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个。应怎样分

配工人生产螺栓和螺母，使车间每天生产出的螺栓和螺母恰好配套（一个螺栓配2个螺母）？

26、现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的浓度为30％，乙种酒精的浓度为80％，今要得到浓

度为50％的酒精溶液50千克，问甲、乙两种酒精溶液各取多少？

27、小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路.假设他始终保持平路每分钟走60米，下坡路每分钟走80米，上坡路每分钟走40米，从家里到学校需10分钟，从学校到家里需15分钟.请问小华家离学校多远？

28．团体购买公园门票票价如下：

购票人数1～5051～100100人以上

13元11元9元

每人门票/

元

今有甲、乙两个旅行团，已知甲团人数少于50人，乙团人数不超过100人．若分别购票，两团共计应付门票费1 392元，若合在一起作为一个团体购票，总计应付门票费1 080元．

(1)请你判断乙团的人数是否也少于50人；

(2)甲、乙两个旅行团各有多少人?.

29、某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米

另收费.甲说：“我乘这种出租车走了11千米，付了17元”；乙说：“我乘这种出租车走了23千米，付了35元”.请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，每千米的车费是多少元？

30、食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮料共100瓶，问A、B两种饮料各生产了多少瓶？

瓶，其中甲种6元/瓶，乙种9元/瓶．

（1）如果购买这两种消毒液共用780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？

（2）该校准备再次

．．购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数是甲种瓶数的

2倍，且所需费用不多于

．．．1200元（不包括780元），求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？

32、在“家电下乡”活动期间，凡购买指定家用电器的农村居民均可得到该商品售价13%的

财政补贴.村民小李购买了一台A型洗衣机，小王购买了一台B型洗衣机，两人一共得到财政补贴351元，又知B型洗衣机售价比A型洗衣机售价多500元.求：

（1）A型洗衣机和B型洗衣机的售价各是多少元？

（2）小李和小王购买洗衣机除财政补贴外实际各付款多少元？

33、甲乙两地相距２０千米，Ａ从甲地向乙地方向前进，同时Ｂ从乙地向甲地方向前进，两小时后二人在途中相遇，相遇后Ａ就返回甲地，Ｂ仍向甲地前进，Ａ回到甲地时，Ｂ离甲地还有２千米，求Ａ、Ｂ二人的速度。

34、某班同学去18千米的北山郊游。只有一辆汽车，需分两组，甲组先乘车、乙组步行。车行至A 处，甲组下车步行，汽车返回接乙组，最后两组同时达到北山站。已知汽车速度是60千米/时，步行速度是4千米/时，求A 点距北山站的距离。

35、甲乙两地相距60千米，A 、B 两人骑自行车分别从甲乙两地相向而行，如果A 比B 先出

发半小时，B 每小时比A 多行2千米，那么相遇时他们所行的路程正好相等。求A 、B 两人骑自行车的速度。（只需列出方程即可）

36、为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A 、B 两类薄弱学校全部进行改造．根据预算，共需资金1575万元．改造一所A 类学校和两所B 类学校共需资金230万元；改造两所A 类学校和一所B 类学校共需资金205万元．

（1）改造一所A 类学校和一所B 类学校所需的资金分别是多少万元？ （2）若该县的A 类学校不超过5所，则B 类学校至少有多少所？

（3）我市计划今年对该县A 、B 两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承

担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A 、B 两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元．请你通过计算求出有几种改造方案？

．解：（1）设改造一所A 类学校和一所B 类学校所需的改造资金分别为a 万元和b 万元．依题意得：

2230

2205a b a b +=??

+=?

解之得60

a =??

答：改造一所A 类学校和一所B 类学校所需的改造资金分别为60万元和85万元．

（2）设该县有A 、B 两类学校分别为m 所和n 所．则 60851575m n +=

17315

1212

m n =-

+

∵A 类学校不超过5所

∴1731551215n -

+≤ ∴15n ≥

即：B 类学校至少有15所．

（3）设今年改造A 类学校x 所，则改造B 类学校为()6x -所，依题意得：

()()50706400

1015670x x x x +-???

+-??≤≥ 解之得14x ≤≤ ∵x 取整数 ∴1234x =，，，

即：共有4种方案．

37、星期天，小明和七名同学共8人去郊游，途中，他用20元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元钱刚好用完． (1)有几种购买方式？每种方式可乐和奶茶各多少杯？

(2)每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，有几种购买方式？ (1)设买可乐、奶茶分别为x 、y 杯，根据题意得 2x ＋3y ＝20(且x 、y 均为自然数) ∴x ＝≥0 解得y ≤

∴y ＝0，1，2，3，4，5，6．代入2x ＋3y ＝20 并检验得

所以有四种购买方式，每种方式可乐和奶茶的杯数分别为：(亦可直接列举法求得) 10，0；7，2；4，4；1，6．

(2)根据题意：每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，即y ≥2且x ＋y ≥8 由(1)可知，有二种购买方式．…