二次根式及其化简 公开课教案 教案
2．7 二次根式 第1课时 二次根式及其化简
1．了解二次根式的定义及最简二次根式；(重点) 2．运用二次根式有意义的条件解决相关问题．(难点)
一、情境导入
问题：(1)如图，在Rt △ABC 中，AC ＝3，BC ＝2，∠C ＝90°，那么AB 边的长是多少？(2)面积为S 的正方形的边长是多少？(3)要修建一个面积为6.28平方米的圆形水池，它的半径是多少米？(π取3.14)
上述结果有什么共同特征？
二、合作探究
探究点一：二次根式的相关概念 【类型一】 二次根式的定义
下列式子中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？
(1)2；(2)4；(3)3
3；(4)1x ＋y
；
(5)x ＋y (x≥0，y ≥0)；(6)3a 2
＋8；
(7)－x 2
－12.
解：(1)(2)(5)(6)是；(3)(4)(7)不是．
方法总结：在判断一个代数式是不是二次根式时，应该在原始形式的基础上进行判断，不能先化简再作判断，如本题4＝2，4是二次根式，但2不是二次根式．
【类型二】 二次根式有意义的条件
当x________，x ＋3＋
1
x ＋1
在实数范围内有意义． 解析：要使x ＋3＋1
x ＋1在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x ＋3≥0和分母
x ＋1≠0，解得x ≥－3且x≠－1.
方法总结：使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不
为零，二是偶次方根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为零．探究点二：二次根式的性质及化简
化简下列二次根式．
(1)48；(2)8a3b(a≥0，b≥0)；
(3)（－36）×169×（－9）.
解析：本题主要考查运用
ab＝a·b(a≥0，b≥0)及a2＝a(a≥0)进行化简．解：(1)48＝16×3＝16×3＝43；
(2)8a3b＝22·a2·2ab＝（2a）2·2ab＝2a2ab；
(3)（－36）×169×（－9）＝36×169×9＝6×13×3＝234.
方法总结：(1)若被开方数中含有负因数，则应先化成正因数，如(3)题．(2)将二次根式尽量化简，使被开方数(式)中不含能开得尽方的因数(因式)，即化为最简二次根式(后面学到)．
探究点三：最简二次根式
在二次根式8a，
c
9
，a2＋b2，a2
中，最简二次根式共有( ) A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：8a中有因数4；
c
9
中有分母9；a3中有因式a2.故最简二次根式只有a2＋b2.故选A.
方法总结：只需检验被开方数是否还有分母，是否还有能开得尽方的因数或因式．
三、板书设计
二次根式
??
?
??定义???形如a（a≥0）的式子
有意义的条件：a≥0
性质：（a）2＝a（a≥0），a2＝a（a≥0）
最简二次根式
本节经历从具体实例到一般规律的探究过程，运用类比的方法，得出实数运算律和运算法则，使学生清楚新旧知识的区别和联系，加深学生对运算法则的理解，能否根据问题的特点，选择合理、简便的算法，能否确认结果的合理性等等．
4．4一次函数的应用
第1课时确定一次函数的表达式
1．会确定正比例函数的表达式；(重点) 2．会确定一次函数的表达式．(重点)
一、情境导入
某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图．你能通过图象提供的信息求出y 与x 之间的关系式吗？你知道乙播种机参与播种的天数是多少呢？学习了本节的内容，你就知道了．
二、合作探究
探究点一：确定正比例函数的表达式
求正比例函数y ＝(m －4)m 2
－15的表达式．
解析：本题是利用正比例函数的定义来确定表达式的，即自变量的指数为1，系数不为0，这种类型简称为定义式．
解：由正比例函数的定义知m 2
－15＝1且m －4≠0，∴m ＝－4，∴y ＝－8x.
方法总结：利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为1，系数不为0. 探究点二：确定一次函数的表达式
【类型一】 根据给定的点确定一次函数的表达式
已知一次函数的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，求一次函数的表达式．
解析：先设一次函数的表达式为y ＝kx ＋b ，因为它的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，所以当x ＝0时，y ＝5；当x ＝2时，y ＝－5.由此可以得到两个关于k 、b 的方程，通过解方程即可求出待定系数k 和b 的值，再代回原设即可．
解：设一次函数的表达式为y ＝kx ＋b ，根据题意得，
∴?????5＝b ，－5＝2k ＋b.解得?
????k ＝－5，b ＝5.∴一次函数的表达式为y ＝－5x ＋5. 方法总结：“两点式”是求一次函数表达式的基本题型．二次函数y ＝kx ＋b 中有两个待定系数k 、b ，因而需要知道两个点的坐标才能确定函数的关系式．
【类型二】 根据图象确定一次函数的表达式
正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为A(4，3)，B 为一次函数的
图象与y 轴的交点，且OA ＝2OB.求正比例函数与一次函数的表达式．
解析：根据A(4，3)可以求出正比例函数表达式，利用勾股定理可以求出OA 的长，从而可以求出点B 的坐标，根据A 、B 两点的坐标可以求出一次函数的表达式．
解：设正比例函数的表达式为y 1＝k 1x ，一次函数的表达式为y 2＝k 2x ＋b.∵点A(4，3)是它们的交点，∴代入上述表达式中，得3＝4k 1，3＝4k 2＋b.∴k 1＝3
4，即正比例函数的表达
式为y ＝34x.∵OA ＝32＋42
＝5，且OA ＝2OB ，∴OB ＝52.∵点B 在y 轴的负半轴上，∴B 点的
坐标为(0，－52)．又∵点B 在一次函数y 2＝k 2x ＋b 的图象上，∴－5
2＝b ，代入3＝4k 2＋b 中，
得k 2＝118.∴一次函数的表达式为y 2＝118x －5
2
.
方法总结：根据图象确定一次函数的表达式的方法：从图象上选取两个已知点的坐标，
然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数，从而求出函数的表达式．
【类型三】 根据实际问题确定一次函数的表达式
某商店售货时，在进价的基础上加一定利润，其数量x 与售价y 的关系如下表所
示，请你根据表中所提供的信息，列出售价y(元)与数量x(千克)的函数关系式，并求出当数量是2.5
解析：从图表中可以看出售价由8＋0.4依次向下扩大到2倍、3倍、…… 解：由表中信息，得y ＝(8＋0.4)x ＝8.4x ，即售价y 与数量x 的函数关系式为y ＝8.4x.当x ＝2.5时，y ＝8.4×2.5＝21.所以数量是2.5千克时的售价是21元．
方法总结：解此类题要根据所给的条件建立数学模型，得出变化关系，并求出函数的表达式，根据函数的表达式作答．
三、板书设计
确定一次函数表达式????
?正比例函数y ＝kx （k≠0）一次函数y ＝kx ＋b （k≠0）
经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表达式，进一步使用数形结合的思想方法；经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓展学生的思维．
2．2 平方根 第1课时 算术平方根
1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；(重点) 2．根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根；(重点) 3．了解算术平方根的性质．(难点)
一、情境导入
上一节课我们做过：由两个边长为1的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边长
为a 的大正方形，那么有a 2
＝2，a ＝________，2是有理数，而a 是无理数．在前面我们学
过若x 2
＝a ，则a 叫做x 的平方，反过来x 叫做a 的什么呢？
二、合作探究
探究点一：算术平方根的概念
【类型一】 求一个数的算术平方根
求下列各数的算术平方根：
(1)64；(2)214
；(3)0.36；(4)412－402
.
解析：根据算术平方根的定义求非负数的算术平方根，只要找到一个非负数的平方等于这个非负数即可．
解：(1)∵82
＝64，∴64的算术平方根是8；
(2)∵(32)2＝94＝214，∴214的算术平方根是32；
(3)∵0.62
＝0.36，∴0.36的算术平方根是0.6；
(4)∵412
－402
＝81，又92
＝81，∴81＝9，而32
＝9，∴412
－402
的算术平方根是3.
方法总结：(1)求一个数的算术平方根时，首先要弄清是求哪个数的算术平方根，分清求81与81的算术平方根的不同意义，不要被表面现象迷惑．
(2)求一个非负数的算术平方根常借助平方运算，因此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用．
【类型二】 利用算术平方根的定义求值
3＋a 的算术平方根是5，求a 的值．
解析：先根据算术平方根的定义，求出3＋a 的值，再求a.
解：因为52
＝25，所以25的算术平方根是5，即3＋a ＝25，所以a ＝22. 方法总结：已知一个数的算术平方根，可以根据平方运算来解题．
探究点二：算术平方根的性质
【类型一】
解析：首先根据算术平方根的定义进行开方运算，再进行加减运算． 解：49＋9＋16－225＝7＋5－15＝－3.
方法总结：解题时容易出现如9＋16＝9＋16的错误．
【类型二】
已知x 3(y －2)2
＝0，求x －y 的值．
解析：算术平方根和完全平方式都具有非负性，即a ≥0，a 2
≥0，由几个非负数相加和为0，可得每一个非负数都为0，由此可求出x 和y 的值，进而求得答案．
解：由题意可得x －1＝0，y －2＝0，所以x ＝1，y ＝2.所以x －y ＝1－2＝－1. 方法总结：算术平方根、绝对值和完全平方式都具有非负性，即a ≥0，|a|≥0，a 2
≥0，当几个非负数的和为0时，各数均为0.
三、板书设计
算术平方根???概念：非负数a 的算术平方根记作
a 性质：双重非负性???a≥0，
a ≥0
让学生正确、深刻地理解算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化．概念的形成
过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很有帮助的．概念教学过程中要做到：讲清概念，加强训练，逐步深化．
4．4 一次函数的应用 第1课时 确定一次函数的表达式
1．会确定正比例函数的表达式；(重点)
2．会确定一次函数的表达式．(重点)
一、情境导入
某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图．你能通过图象提供的信息求出y 与x 之间的关系式吗？你知道乙播种机参与播种的天数是多少呢？学习了本节的内容，你就知道了．
二、合作探究
探究点一：确定正比例函数的表达式
求正比例函数y ＝(m －4)m 2
－15的表达式．
解析：本题是利用正比例函数的定义来确定表达式的，即自变量的指数为1，系数不为0，这种类型简称为定义式．
解：由正比例函数的定义知m 2
－15＝1且m －4≠0，∴m ＝－4，∴y ＝－8x.
方法总结：利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为1，系数不为0. 探究点二：确定一次函数的表达式
【类型一】 根据给定的点确定一次函数的表达式
已知一次函数的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，求一次函数的表达式．
解析：先设一次函数的表达式为y ＝kx ＋b ，因为它的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，所以当x ＝0时，y ＝5；当x ＝2时，y ＝－5.由此可以得到两个关于k 、b 的方程，通过解方程即可求出待定系数k 和b 的值，再代回原设即可．
解：设一次函数的表达式为y ＝kx ＋b ，根据题意得，
∴?????5＝b ，－5＝2k ＋b.解得?????k ＝－5，b ＝5.
∴一次函数的表达式为y ＝－5x ＋5. 方法总结：“两点式”是求一次函数表达式的基本题型．二次函数y ＝kx ＋b 中有两个待定系数k 、b ，因而需要知道两个点的坐标才能确定函数的关系式．
【类型二】 根据图象确定一次函数的表达式
正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为A(4，3)，B 为一次函数的
图象与y 轴的交点，且OA ＝2OB.求正比例函数与一次函数的表达式．
解析：根据A(4，3)可以求出正比例函数表达式，利用勾股定理可以求出OA 的长，从而可以求出点B 的坐标，根据A 、B 两点的坐标可以求出一次函数的表达式．
解：设正比例函数的表达式为y 1＝k 1x ，一次函数的表达式为y 2＝k 2x ＋b.∵点A(4，3)是它们的交点，∴代入上述表达式中，得3＝4k 1，3＝4k 2＋b.∴k 1＝3
4，即正比例函数的表达
式为y ＝34x.∵OA ＝32＋42
＝5，且OA ＝2OB ，∴OB ＝52.∵点B 在y 轴的负半轴上，∴B 点的
坐标为(0，－52)．又∵点B 在一次函数y 2＝k 2x ＋b 的图象上，∴－5
2＝b ，代入3＝4k 2＋b 中，
得k 2＝118.∴一次函数的表达式为y 2＝118x －5
2
.
方法总结：根据图象确定一次函数的表达式的方法：从图象上选取两个已知点的坐标，
然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数，从而求出函数的表达式．
【类型三】 根据实际问题确定一次函数的表达式
某商店售货时，在进价的基础上加一定利润，其数量x 与售价y 的关系如下表所
示，请你根据表中所提供的信息，列出售价y(元)与数量x(千克)的函数关系式，并求出当数量是2.5千克时的售价.
解析：从图表中可以看出售价由8＋0.4依次向下扩大到2倍、3倍、…… 解：由表中信息，得y ＝(8＋0.4)x ＝8.4x ，即售价y 与数量x 的函数关系式为y ＝8.4x.当x ＝2.5时，y ＝8.4×2.5＝21.所以数量是2.5千克时的售价是21元．
方法总结：解此类题要根据所给的条件建立数学模型，得出变化关系，并求出函数的表达式，根据函数的表达式作答．
三、板书设计
确定一次函数表达式?????正比例函数y ＝kx （k≠0）
一次函数y ＝kx ＋b （k≠0）
经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表达
式，进一步使用数形结合的思想方法；经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓展学生的思维．
二次根式的化简 教学设计.
二次根式的化简教学设计2 2008-01-21 （第1课时） 一、教学目标 1.掌握二次根式的性质 2.能够利用二次根式的性质化简二次根式 3.通过本节的学习渗透分类讨论的数学思想和方法 二、教学设计 对比、归纳、总结 三、重点和难点 1.重点：理解并掌握二次根式的性质 2.难点：理解式子中的可以取任意实数，并能根据字母的取值范围正确地化简有关的二次根式． 四、课时安排 1课时 五、教具学具准备 投影仪、胶片、多媒体 六、师生互动活动设计 复习对比，归纳整理，应用提高，以学生活动为主 七、教学步骤 （一）教学过程 【复习引入】 1．求值、、、… 求值、、、…
结论：当时，； 当时，． 2．求值、… 结论：当时，式子有意义，，对于，不能为负数． 3．求值、… 结论：当时，． 问：若根号内这个式子中的底数，根式还有意义吗？其值等于什么？ 例如，，其中－2与2互为相反数；，其中－3与3互为相反数；，其中与互为相反数． 【讲解新课】 提出问题：等于什么？引导学生讨论、猜测、联想，得到结论： 教师可结合学生的具体情况，将上面公式用最简练的语句表达，并反复提问中差学生，加深其印象，进一步提问：若时，能否等于，以增强学生的辨别能力，加强学生对公式的.理解和记忆． 例1 化简： （1）；（2）． 解：（略）． 注：可看作，把先写为； 可看作，把先写为． 例2 化简：． 分析：底数是非负数还是负数将直接影响结果，这时要注意条件，由条件，可得． ∴ ． 解：（略）． 例3 化简下列各式：
（1）（）；（2）（）； （3）（）；（4）（）． 解：（1）∵ ∴． ∴ ． （2）∵ ∴ ，即． ∴ ． （3）∵ ∴ ，即． ∴ ． （4）∵ ， ∵ ，即． ∴ ． 注：要从条件出发，判断根号下面式子的底数是非负数还是负数，再根据公式计算出结果，因此在解题过程中，也是先写出条件，后进行变形，判断底数的正、负． 在写解题步骤上，尽量完整，以减少失误，并训练学生的逻辑思维能力． （二）随堂练习 1．求值： （1）；（2）；（3）（）； （4）；（5）．
《二次根式化简》教学设计(宁 夏县级优课)
16.1 二次根式(2) 一、教材分析与处理 (一)教材的地位和作用：《二次根式》是人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级下册第十六章第一节.二次根式是在学习平方根基础上将具体数字抽象化，并且基于学习二次根式定义的基础上对二次根式的性质进行进一步的探究，本节课为学习二次根式的计算等知识做好了铺垫. (二)教学目标： 知识与技能目标： a ≥0）是一个非负数,掌握2=a （a ≥0）和a a =2， 并利用它们进行计算和化简． 过程与方法目标： （a ≥0）是 2=a （a ≥0）,运用结论解题；通 过具体数据的解答，探究（a ≥0），并利用这个结论解决具体问题． 情感与价值目标：通过本节课的学习培养学生准确计算和化简的严谨的学习精神，培养学生观察、分析、发现问题的能力，并且通过探究感受学习的乐趣和获得成果的成就感，进一步增强学生自主参与意识. ． (三)教学重点与难点: 1.重点： a ≥0）是一个非负数,掌握()()02 ≥=a a a 、a a =2,并利用它们进行计算和化简． 2.难点：引导学生自主探究推导得出()()02 ≥=a a a 、a a =2. 二、学生情况分析及对策 八年级学生已经学习了算数平方根，而且基本能够理解算数平方根的意义，并且能根据算数平方根进一步扩展探究二次根式的定义及二次根式有意义的条件，但是对于二次根式的意义及运算结果探究不深，而且有些同学不能深入理解二次根式的意义，这样学习本节课就产生了一定的困难.根据学生的实际情况和特点，我采取由特殊到一般，有简到难逐一探究、突破难点的教学方法进行本节课的教学. 三、教法与学法 1.教法：回顾旧知探究新知，教师设计情境，提出问题，引导学生通过观察，由具体到抽象，得到二次根式的性质，培养学生由特殊到一般的思想方法，先大胆猜想，再进一步探究，最终得到结论，并借助多媒体演示教学，增强课堂实例的直观性和启发性.
初中常见二次根式化简求值的九种技巧
常见二次根式化简求值的九种技巧 1.估值法 例题1：估计184 132+?的运算结果应在（ ） A . 5到6之间 B. 6到7之间 C. 7到8之间 D. 8到9之间 例题2：若将三个数3-，7，11表示在数轴上，则其中被如图所示的墨汁覆盖的数是 。 2.公式法 例题3：计算)3225()65(-?+ 3.拆项法 例题4：计算 )23)(36(23346++++ 提示：)23(3)36(23346+++=++ 4.换元法 例题5：已知12+= n ，求：424242422222-++--++--+-++n n n n n n n n 的值。 5.整体代入法 例题6：已知2 231-= x ，2231+=y ，求4-+x y y x 的值。
6.因式分解法 例题7：计算 15106232++++ 例题8：计算 y xy x x y y x +++2 （y x ≠） 7.配方法 例题9：若a, b 为实数，153553+-+-= a a b ，试求22-+-++b a a b b a a b 的值。 8.辅元法 例题10：已知3:2:1::=z y x （0>x ，0>y ，0>z ） 求 y x z x y x 2++++的值。 9.先判后算法 例题11：已知8-=+b a ，8=ab ，化简b a a a b b +并求值。 巧用被开方数非负性解决代数式化简求值问题
例题：设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(成立，且x ，y ，a 互不相等， 求222 23y xy x y xy x +--+的值 友情提示：本资料代表个人观点，如有帮助请下载，谢谢您的浏览！
二次根式混合化简计算题
二次根式混合化简计算题 4、，；5 745 屈4 422 1. . (5.48 6.27 4.15) , 3 yd时2,求代数式｛FP緒匚的值 5.已知: 1 2 3( 1■10)；7 . 10x . 10 1y .. 5 100z ?
的值. 17. 1 . 2 3、. 2 2 .5. x 3 .5 ab 0,b 4 .、、a 3b 6 ab a f 0,bf 0 1 3 5 ., 1 2 3 2 18.化简: 1 ..a 3b 5 a 0,b 0 19.. 把根号外的因式移到根号内: 2 .1 X 】1 20. 5； 2石 2.12 3 1
22. 7 4.3 7 4、. 3 35 23. .2 24. 2 1 "a 26.( 选 做） x. y 28.已知：x 3 /2 .3 2,y 2 1 . 3 2 25. —, Va a b /b 2 4 , 3xy2 3的值。 x y 2x y x y
29. 已知：a 1 .15，求a22的值。 a a 30. 已知：x, y为实数，且y p ?. x i ..^x 化简: y 3 ■, y2 8y 16。 31. v'x 3y 已知 x 3 x29 0,求 x-1 Y7! 的 值。 32 ( 1)—6 .45X(—4 48);(2) .(—64)X (—81); (3) ,1452—242; (4) 5b 2a 3能-3 33.化简： (1) 2700; (2) 202—162;
若最简二次根式3 4^1与1是同类二次根式，则 已知x ..2, y .2，则x3y 3 xy 已知x 则x2 2000 g .3 2 2001 已知：x, y为实数，且y p ,x 1 .1x3，化简: y2 8y 16。 已知A x29 的 值。 时, J 3x是二次根式. 时, ?、3 4x在实数范围内有意义. 比较大小: 3一 2 2.3 . ;.252242 计算: 3 . 5a 2 .10b 计算: 2 16b2c a2 当a= J3 时，贝U V15 a2__________ 若，;x :成立，则x满足-------------------------- 已知xy v 0，化简;比较大小: 1 2、7 1 4、3 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49.
二次根式的化简与计算
二次根式的化简与计算 【知识要点】 1．一般地，式子()0≥a a 叫做二次根式，这里的a 可以是数，也可以是代数式，它们都必须是非负数（即不小于0），a 的结果也是非负数． 2．二次根式的性质 （1） () ()02 ≥=a a a （2）()()()?? ? ??<-=>==000 02a a a a a a a （3）()0,0≥≥?=? b a b a b a （4） ()0,0>≥=b a b a b a 3．运算法则： （1）乘法运算：()0,0≥≥=?b a ab b a （2）除法运算： ()0,0>≥= b a b a b a 4．最简的二次根式： （1）被开方数因数是整数，因式是整式． （2）被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数． 5．分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化. 方法:①单项 a =来确定． ②两项二次根式：利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定． 如 : a 与a - 【经典例题】 例1．判断下列各式，是否是二次根式： ,12,4,,4,27,824233 +--a a a 2,21122 +?? ? ?? < -a a a
例2．计算下列各题： （1） () 2 7 （2）2 43??? ? ?? （3）() 2 23 （4）2 55??? ? ?? （5 （6 例4．把下列各式分母有理化 （1）12 1 （2） 2 33 （3） 12121 （4）50 3 51- 例5．化简 （1）121699?? （2）637? （3）221026- （4） ()()2512-?- 例6．计算 （1）??? ? ??-?32335 （2） ??? ? ??-?56215 （3）??? ? ??-?614123 （4）5433 1 12785??? -
《二次根式化简》教学设计1
16.1二次根式 第2课时 教学目标 知识与技能 1.理解(√a)2=a(a≥0)和2=a(a≥0),并利用它们进行计算和化简. 2.用具体数据结合算术平方根的意义推出(√a)2=a(a≥0)和探究2=a(a ≥0),会用这个结论解决具体问题. 3.了解代数式的概念. 过程与方法 在明确(√a)2=a(a≥0)和√a2=a(a≥0)的算理的过程中,感受数学的实用性. 情感态度与价值观 通过运用二次根式的性质化简的相关计算,解决一些实际问题,培养学生解决问题的能力. 教学重点与难点 【重点】掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.【难点】能运用二次根式的性质化简. 教学准备 【教师准备】教学所需的习题资料. 【学生准备】课前自学教材第3-4页的内容.
教学过程 一、新课导入 教师出示问题: 1.什么叫二次根式? 2.当a ≥0时,√a 叫什么?当a <0时,√a 有意义吗? 学生口答,老师点评. 通过前面的学习,我们知道了二次根式√a 具有双重非负性.今天我们主要 学习一些二次根式的其他性质. [设计意图] 复习旧知导入新知,让本节课自然过渡,为本节课学习奠定 了基础. 二、构建新知 1.二次根式的性质1:(√a )2=a (a ≥0) [过渡语] 我们先来探究性质1: (√a )2=a (a ≥0). 提问:你能解释下列式子的含义吗? (√4)2,(√)2,(√13)2 ,(√0)2. 学生口述,教师根据情况评价. (√4)2表示4的算术平方根的平方;(√)2表示2的算术平方根的平方;(√13)2 表示13的算术平方根的平方;(√0)2表示0的算术平方根的平方. 追问:根据算术平方根的意义填空,并说出得到结论的依据.
二次根式的运算知识讲解
二次根式的运算（提高）知识讲解 【学习目标】 1、理解并掌握二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根 式加减运算； 2、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘 除运算； 3、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算. 【要点梳理】 要点一、二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 要点诠释： （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 要点二、二次根式的乘法及积的算术平方根 1.乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变， 只把被开方数相乘. 要点诠释： (1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). (2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： ≥0，≥0，…..≥0）. (3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 2.积的算术平方根: （a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方 根的积. 要点诠释： (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分 解因数，把含有形式的a移到根号外面.
《二次根式化简》教学设计2
16.1.2二次根式化简 【教学目标】 1.知识与技能 （1）经历探索性质(a)2= a（a≥0）和2a=a（a≥0）的过程，并理解其意义； （2）会运用性质(a)2= a（a≥0）和2a= a（a≥0）进行二次根式的化简； （3）了解代数式的概念。 2.过程与方法 （1）从具体到抽象自主探究得到二次根式的性质，增强学生自主参与的意识。 （2）发展观察、归纳、概括等能力，发展有条理的思考能力以及语言表达能力。 3.情感态度和价值观 （1）通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识。 （2）在独立思考的同时，通过小组交流能够得到他人的认同并认同他人。 【教学重点】 理解二次根式的性质性质(a)2= a（a≥0）和2a=a（a≥0），并能用它们进行计算和化简。【教学难点】 引导学生自主探究推导出性质(a)2= a（a≥0）和2a=a（a≥0） 【教学方法】 引导学生通过观察，讨论，由具体到抽象，得出一般结论，并发现开平方运算与平方运算的互逆关系，培养学生由特殊到一般的思维方式。学生通过自学与小组合作学习相结合的方法探究推导并掌握二次根式的性质。 【课前准备】 教学课件，学案。 【课时安排】 1课时 【教学过程】 一、复习导入 【教师】上节课我们学习了二次根式的概念，了解了满足什么样的条件才能称为二次根式，现在，我们来复习一下吧。 课件展示复习题，学生快速回答。 【学生】形如a（a≥0）的式子叫做二次根式。
【教师】当a ≥0时，a 表示： ？ 【学生】a 的算术平方根，即当a ≥0时，a ≥0 【教师】同学们能回忆一下算数平方根的意义吗？ 学生讨论后师生共同回忆 二、新课教学 1.出示学习目标 （1）经历探索性质(a )2= a （a ≥0）和2a =a （a ≥0）的过程，并理解其意义； （2）会运用性质(a )2= a （a ≥0）和2a =a （a ≥0）进行二次根式的化简； （3）了解代数式的概念． 2．探究二次根式的性质1 【教师】之前我们学习了算术平方根，现在，大家根据算术平方根的意义填一下探究内容吧。 (4)2= ；(2)2 = ； (3 1 ) 2 = ； (0 )2 = 。 学生快速计算，请同学回答 【教师】大家的计算都很正确，现在，请大家思考一下，如果我们把被开方数换成a ，那么就会有得到什么结论呢？请同学们思考。 教师通过几何画板，借助数轴动态演示，帮助学生的到结论 请学生总结：(a )2= a （a ≥0） 【教师】这就是二次根式的第一个性质： (a )2= a （a ≥0） 解决问题：1.计算（1）：(3)2 ；（2）：(23)2 ． 2．探究二次根式性质2 【教师】接下来，我们来看第二个探究内容。 填空： 22= ；21.0= ； 2 32??? ??= ；20 = 。
二次根式化简的方法与技巧
二次根式化简的方法与技巧 所谓转化：解数学题的常用策略。常言道：“兵无常势，水无常形。”我们在解千变万化的数学题时，常常思维受阻，怎么办？使用转化策略，换个角度思考，往往能够打破僵局，迅速找到解题的途径。二次根式也不例外，约分、合并是化简二次根式的两个重要手段，所以我们在化简二次根式时应想办法把题目转化为能够约分和和能够合并的同类根式。现举例说明一些常见二次根式的转化策略。 一、巧用公式法 例1计算b a b a b a b a b a +-+-+-2 分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为a 与b 成立，且分式也成立，故有a ＞0，b ＞0，()0≠-b a 而同时公式：()b a -2=a 2-2ab +b 2，a 2-2 b =()b a +()b a -，能够协助我们将b ab a +-2和b a -变形，所以我们应掌握好公式能够使一些问题从复杂到简单。 解：原式=()b a b a --2+()() b a b a b a +-+=()b a -+() b a -=2a -2b 二、适当配方法： 例2．计算：3216 3223-+--+ 分析：本题主要应该从已知式子入手发现特点，∵分母含有1+32-其分子必有含1+32-的因式，于是能够发现3+22=()221+，且() 21363+=+，通过因式分解，分子所含的1+32-的因式就出来了。
解：原式= ()()32163223-++-+=()()=-++-+3212132121+2 三、准确设元化简法： 例3：化简53262++ 分析：本例主要说明让数字根式转化成字母的代替数字化简法，通过化简替代，使其变为简单的运算，再使用有理数四则运算法则的化简分式的方法化简，例如：a =2，c =5，,3b =6=ab ，正好与分子吻合。对于分子，我们发现222c b a =+所以0222=-+c b a ，于是在分子上可加0222=-+c b a ，所以可能能使分子也有望化为含有c b a ++因式的积，这样便于约分化简。 解：设,2a =,3b =c =5则262=ab 且0222=-+c b a 所以： 原式=()()()5322222222-+=-+=++-+++=+-+=++-++=++c b a c b a c b a c b a bc a c b a c b a c b a ab c b a ab 四、拆项变形法： 例4，计算()()76655 627++++ 分析：本例通过度析仍然要想到，把分子化成与分母含有相同因式的分式。通过约分化简，如转化成： b a ab b a 11+=+再化简，便可知其答案。 解：原式==()()()()()()()() 76657676656576657665+++++++=+++++ 576756761651 -=-+-=+++ 五、整体倒数法： 例5、计算()()13251335++++
二次根式的化简与计算
二次根式的化简与计算
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二次根式 【知识要点】 1．一般地，式子()0≥a a 叫做二次根式，这里的a 可以是数，也可以是代数式，它们都必须是非负数(即不小于0),a 的结果也是非负数. 2.二次根式的性质 （１)()()02≥=a a a （2）() ()() ?????<-=>==00002a a a a a a a (3）()0,0≥≥?=?b a b a b a (4）()0,0>≥=b a b a b a 3.运算法则： （１）乘法运算：()0,0≥≥=?b a ab b a (2)除法运算：()0,0>≥=b a b a b a 【化简以及分母有理化】 外移：2||a b a b = 内移:a b ， 当0a >时,2a b a b = 当0a <时,2a b a b =- 4．最简的二次根式： （１）被开方数因数是整数,因式是整式. （２)被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数． 5．分母有理化 定义:把分母中的根号化去，叫做分母有理化.
方法:①单项二次根式:利用a a a ?=来确定. ②两项二次根式：利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定. 如: a b +与a b -，a b a b +-与, a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。 a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。 例题. 化简：(1)3227a b = ； （2)32418a a ?= ． 例题32 27= . 2 3649y x ＝ ; 同类二次根式 (1)定义: 几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类 二次根式。 (2)判断方法: 注意以下三点： ①都是二次根式,即根指数都是2； ②必须先化成最简二次根式； ③被开方数相同. 【重难点解析】 1．化简二次根式：尽量把根号里的数写成几个数的平方的形式。 如:21223=?= 23 21832=?＝ 32 25052=?＝ 52 2.根号里的数比较大时，使用短除法把这个数分解成质数的幂的形式。 如29482379=??= 2379?，24202553=?＝ 253? ３．根号内有字母或代数式，观察它们所能分解出来的最小偶次数。如: 542 x x x x x =?=、()()()3232111x x x x x x +=++=()()11x x x x ++ 4．单项的分母有理化,可以直接分子分母同时乘以分母再约分。 如：11333333?==? 、 2223233233823233 ?====??
二次根式混合化简计算题
二次根式混合化简计算题 1. 2484554+-+ 2. 233232 6-- 3. 21 4 181 22 -+- 4. 3)154276485(÷+- 5.已知： 的值。求代数式22,211881-+- +++-+-=x y y x x y y x x x y 6 )(102 1 32531 -??； 7 z y x 10010101??-． 8. 521312321?÷； 9. )(b a b b a 1223÷?． (() 2 771+--
16. 已知：24 20-=x ，求221x x +的值． 17. ()1 ()2 ()(() 30,0a b -≥≥ ())40,0a b ()5()6?÷ ? 18. 化简： ())10,0a b ≥≥ ()2 ()3a 19.. 把根号外的因式移到根号内： ()1.-()(2.1x -
20. ( 231 ?++ ? 22. (() 2 771+-- 23. ((((2 2 2 2 1111- 24. 22 - 26. (选做
28. 已知：x y ==3243223 2x xy x y x y x y -++的值。 29. 已知：11a a +=221 a a +的值。 30. 已知：,x y 为实数，且13y x -+ ，化简：3y - 31. 已知()1 -1 -039 32 2y x x x y x ，求 =+-+-的值。 32（1）－645×（－448）； （2）（－64）×（－81）； （3）1452 －242 ； （4）3c 2ab 5c 2÷325b 2a
二次根式混合化简计算题
二次根式混合化简计算题 1. 2484554+-+ 2. 2332326-- 3. 21418122 -+- 4. 3)154276485(÷+- 5.已知： 的值。求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y 6 )(102132531-??； 7 z y x 10010101??-． 8. 521312321?÷； 9. )(b a b b a 1223÷?． (()2 771+--
16. 已知：2420-= x ，求221x x +的值． 17. ()1()2 ()(() 30,0a b -≥≥ ())40,0a b ()5()6?÷ ? 18. 化简： ())10,0a b ≥≥ ()2 ()3a 19.. 把根号外的因式移到根号内： ()1.-()(2.1x - 20.
(231 ?++ ? 22. (()2771+-- 23. ((((2222 1111- 24. 22 - 26. (选做 28. 已知：x y ==32432232x xy x y x y x y -++的值。
29. 已知：11a a + =221a a +的值。 30. 已知：,x y 为实数，且13y x -+ ，化简：3y - 31. 已知()1 -1-039322y x x x y x ，求=+-+-的值。 32（1）－645×（－448）； （2）（－64）×（－81）； （3）1452－242； （4）3c 2ab 5c 2÷325b 2a 33. 化简： （1）2700； （2）202－162； （3） 1681； （4）8a 2b c 2 ．
二次根式的化简与计算的策略与方法
二次根式的化简与计算的策略与方法 二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法： ①先将式中的二次根式适当化简 ②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式（， ） ③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算． ④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项． ⑤运算结果一般要化成最简二次根式． 化简二次根式的常用技巧与方法 二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，下面通过具体的实例进行分类解析． 1．公式法 【例1】计算①；② 【解】①原式 ②原式 【解后评注】以上解法运用了“完全平方公式”和“平方差公式”，从而使计算较为简便．2．观察特征法 【例2】计算： 【方法导引】若直接运用根式的性质去计算，须要进行两次分母有理化，计算相当麻烦，观察原式中的分子与分母，可以发现，分母中的各项都乘以，即得分子，于是可以简解如下： 【解】原式．
【例3】把下列各式的分母有理化． （1）；（2）（） 【方法导引】①式分母中有两个因式，将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子将有三个因式相等，计算将很繁，观察分母中的两个因式如果相加即得分子，这就启示我们可以用如下解法： 【解】①原式 【方法导引】②式可以直接有理化分母，再化简．但是，不难发现②式分子中的系数若为“1”，那么原式的值就等于“1”了！因此，②可以解答如下： 【解】②原式 3．运用配方法 【例4】化简 【解】原式 【解后评注】注意这时是算术根，开方后必须是非负数，显然不能等于“” 4．平方法 【例5】化简 【解】∵
最新二次根式的化简与计算
二次根式的化简与计算 1 【知识要点】 2 1．定义：一般地，式子()0≥a a 叫做二次根式，这里的a 可以是数，也可以是代数 3 式，它们都必须是非负数（即不小于0），a 的结果也是非负数． 4 2．二次根式的性质 5 （1） () ()02 ≥=a a a 6 （2）() ()()?? ? ??<-=>==000 02a a a a a a a 7 （3）()0,0≥≥?=?b a b a b a 8 （4） ()0,0>≥=b a b a b a 9 3．运算法则： 10 （1）乘法运算：()0,0≥≥=?b a ab b a 11 （2）除法运算： ()0,0>≥= b a b a b a 12 4．最简的二次根式： 13 （1）被开方数因数是整数，因式是整式． 14 （2）被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数． 15 5．分母有理化 16 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化. 17 方法:①单项 a =来确定． 18
②两项二次根式：利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定． 19 如: a b +与a b -，a b a b +-与， 20 a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。 21 练习： 22 1．判断下列各式,是二次根式有_________________. 23 ,12,4,,4,27,824233+--a a a 2,21122+??? ? ? <-a a a 24 2．下列各组二次根式中是同类二次根式的是（ ） 25 A ． B ． C ． D ． 26 3. 与最简二次根式是同类二次根式，则m=______． 27 28 4.若1＜x ＜2，则的值为（ ） 29 A ．2x ﹣4 B ．﹣2 C ．4﹣2x D ．2 30 5．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ 的结果是（ ） 31 32 A ．﹣2a+b B ．2a ﹣b C ．﹣b D ．b 33 6．若式子有意义，则x 的取值范围为（ ） 34 A ．x ≥2 B ．x ≠3 C ．x ≥2或x ≠3 D ．x ≥2且x ≠3 35
二次根式的化简(含字母)教学设计
《16.1二次根式化简》教学设计 姜杰 本节课教学内容“二次根式”是湘教版八年级下册第四章第l 节第一课时。主要内容是学习二次根式的定义和性质，重点是对二次根式的性质的理解及应用2. 难点是性质的区别与联系.本节课是一节新授课。在备课时我就按照目标让学生明白、过程让学生经历、结论让学生讨论、规律让学生总结的指导原则进行认真备课，尤其对例题与练习题也进行了精心的挑选，按照由易到难由简入繁的顺序安排，并且认真制作了课件，便于学生对重点内容的理解和难点的解决.在实际授课中，通过以下步骤让学生认识、理解、并掌握本节知识：（1）让学生回顾了算术平方根与平方根的概念，得出二次根式的定义后又复习了算术平方根具有双重非负性；（2）通过练习掌握如何判断一个式子是否是二次根式的条件，掌握二次根式在实数范围内有意义的条件；（3）通过练习让学生得出二次根式的两个性质，体会从特殊到一般的思维过程，进而掌握公式的一般推导方法。在整个学习过程中，突出引导学生自己得出结论，特别是二次根式的两个性质，学生自己就初步得出了结论，培养了学生总结规律的能力。 16.1二次根式 教学目的： 1、使学生理解二次根式的意义 2、理解和应用二次根式的性质a 0≥()0≥a 和()()02≥=a a a 及掌握二次根式 的化简. 3、掌握用解一元二次不等式的方法求二次根式的被开方数中字母的取值范围; 4、培养学生观察、分析、归纳、概括的能力。 教学重点：理解二次根式的意义及其性质 教学难点：难点是理解性质及掌握二次根式 的化简. 教具：多媒体课件 教学过程： 一、复习： 请回答下列问题 二次根式的性质 求下列各数的算术平方根的平方值，并说出这些值与原来的各数有什么关系？ 5.0,9 4,0,2,4 问：如果用字母a 表示数，上述结论是否成立？成立的条件是什么？ 答：如字母,0≥a 那么()a a =2， 我们得到 二次根式的基本性质 (1) ()()02≥=a a a 请判断下列各式是否成立？ 2a 2a
二次根式加减法教学设计
二次根式的加减法 【学习目标】 1、熟练进行二次根式的化简。 2、了解同类二次根式的概念，会识别同类二次根式。 3、会利用二次根式的加减运算法则进行计算。 教学重难点及突破 重点：二次根式加减法运算。 难点：1、同类二次根式的概念及其判断方法 * 2、熟练进行二次根式加减法的运算。 突破：二次根式加减法运算的关键在于二次根式化简，在讲解过程中引入几个整式加减法的运算。 教学方法：启发引导，讲练结合为主，自主探究 教学准备： 教师准备：多媒体课件精选二次根式的加减的例题。 学生准备：复习最简二次根式，预习二次根式的加减运算法则。 教学步骤 （一）、明确目标: 。 学习二次根式化简的目的是为了能将一些最终能化为同类二次根式项相合并，从而达到化繁为简的目的，本节课就是研究二次根式的加减法．（二）、整体感知: 同类二次根式的概念应分二层含义去理解（1）化简后（2）被开方数还相同．通过正确理解二次根式加减法的法则来准确地实施二次根式加减法的运算，应特别注意合并同类二次根式时仅将它们的系数相加减，根式一定要保持不变，并可对比整式的加减法则以增加对合并同类二次根式的理解，增强综合运算的能力． 教学设计： 一、复习回顾最简二次根式、整式加减法等知识，引入二次根式加减法 1、如何判断一个二次根式是否是最简二次根式
2与可以化简吗 （学生回答） ) A、判断是否为最简二次根式的两条标准： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中所有因数或因式的幂的指数都小于2。 B可以化简 3、什么是同类项 （） 4、如何进行整式的加减运算 （课件出示练习题让学生计算）（计算17题1、2小题） " 5、计算：（1）2x-3x+5x （2） 22 23 a b ba ab +- （教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．） （教师提出问题）二次根式的加减运算与整式的加减运算有什么相似之处这就是今天要探讨的问题——二次根式的加减运算 二、引出同类二次根式并让学生进行判断 1、自学课本第10—11页内容，完成下面的题目： A、什么是同类二次根式 B、判断是否同类二次根式时应注意什么 （学生回答）：几个二次根式化成_______________后，如果它们的 ________相同，那么这几个二次根式称为同类二次根式。 > 判断是否同类二次根式注意问题： （1）被开方数相同。 （2）二次根式不能再化简。 （3）与二次根式的系数无关 （学生练习）
二次根式的化简教学设计
二次根式的化简教学设计 (第1课时) 一、教学目标 1.把握二次根式的性质 2.能够利用二次根式的性质化简二次根式 3.通过本节的学习渗透分类讨论的数学思想和方法 二、教学设计 对比、归纳、总结 三、重点和难点 1.重点:理解并把握二次根式的性质 2.难点:理解式子中的可以取任意实数,并能根据字母的取值范围正确地化简有关的二次根式. 四、课时安排 1课时 五、师生互动活动设计 复习对比,归纳整理,应用提高,以学生活动为主 六、教学步骤 (一)教学过程 复习引入 1.求值、、、… 求值、、、… 结论:当时,
当时, . 2.求值、… 结论:当时,式子有意义, ,对于, 不能为负数. 3.求值、… 结论:当时, . 问:若根号内这个式子中的底数,根式还有意义吗?其值等于什么? 例如, ,其中-2与2互为相反数; ,其中-3与3互为相反数; ,其中与互为相反数. 讲解新课 提出问题: 等于什么?引导学生讨论、猜测、联想,得到结论: 教师可结合学生的具体情况,将上面公式用最简练的语句表达,并反复提问中差学生,加深其印象,进一步提问:若时, 能否等于,以增强学生的辨别能力,加强学生对公式的理解和记忆. 例1 化简: (1) ;(2) . 解:(略). 注: 可看作,把先写为; 可看作,把先写为 . 例2 化简: . 分析:底数是非负数还是负数将直接影响结果,这时要注重条件,由条件,可得 . ∴ . 解:(略). 例3 化简下列各式:
(1) ( );(2) ( ); (3) ( );(4) ( ). 解:(1)∵ ∴ . ∴ . (2)∵ ∴ ,即 . ∴ . (3)∵ ∴ ,即 . ∴ . (4)∵ , ∵ ,即 . ∴ . 注:要从条件出发,判定根号下面式子的底数是非负数还是负数,再根据公式计算出结果,因此在解题过程中,也是先写出条件,后进行变形,判定底数的正、负. 在写解题步骤上,尽量完整,以减少失误,并练习学生的逻辑思维能力. (二)随堂练习 1.求值:
初中常见二次根式化简求值的九种技巧
初中常见二次根式化简求值的九种技巧 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
常见二次根式化简求值的九种技巧 1.估值法 例题1：估计184 132+?的运算结果应在（ ） A . 5到6之间 B. 6到7之间 C. 7到8之间 D. 8到9之间 例题2：若将三个数3-，7，11表示在数轴上，则其中被如图所示的墨汁覆盖的数是 。 2.公式法 例题3：计算)3225()65(-?+ 3.拆项法 例题4：计算)23)(36(2 3346++++ 提示： )23(3)36(23346+++=++ 4.换元法 例题5：已知12+=n ，求： 424242422222-++--++--+-++n n n n n n n n 的值。 5.整体代入法
例题6：已知2231-= x ，2231+=y ，求4-+x y y x 的值。 6.因式分解法 例题7：计算 15106232++++ 例题8：计算 y xy x x y y x +++2 （y x ≠） 7.配方法 例题9：若a, b 为实数，153553+-+-=a a b ，试求22-+-++b a a b b a a b 的值。 8.辅元法 例题10：已知3:2:1::=z y x （0>x ，0>y ，0>z ） 求y x z x y x 2++++的值。
9.先判后算法 例题11：已知8-=+b a ，8=ab ，化简b a a a b b +并求值。 巧用被开方数非负性解决代数式化简求值问题 例题：设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(成立，且x ，y ，a 互不相等， 求222 23y xy x y xy x +--+的值
二次根式运算和化简超级经典
二次根式运算和化简(超级经典)
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二次根式的运算 【知识梳理】 1、 当0≥a 时，称a 为二次根式，显然0≥a 。 2、 二次根式具有如下性质： （1）() ()02≥=a a a ； （2）?? ?<-≥==时；，当时，，当002a a a a a a （3）()00≥≥?=b a b a ab ，； （4）()00>≥=b a b a b a ，。 3、二次根式的运算法则如下： （1）()()0≥±=±c c b a c b c a ； （2）()()0≥=a a a n n 。 4、设Q m d c b a ∈，，，，，且m 不是完全平方数，则当且仅当d b c a ==，时， m d c m b a +=+。 5、二次根式是代数式中应掌握的非常复杂的内容，其运算常用到换元、拆项相消、分解相约等方法，还应注意运用乘法公式、分母有理化等技巧，最后的结果一定要化成最简二次根式的形式。 6、最简二次根式与同类二次根式 （1）一个根式经过化简后满足： 被开方数的指数与根指数互质； 被开方数的每一个因式的指数都小于根指数； 被开方数不含分母。 适合上述这些条件的根式叫做最简根式。 （2）几个根式化成最简根式后，如果被开方数都相同，根指数也都相同，那么这几个根式叫做同类根式。
【例题精讲】 【例1】已知254245222+-----=x x x x y ，则=+22y x ___________________。 【巩固一】若y x ，为有理数，且42112=+-+-y x x ，则xy 的值为___________。 【巩固二】已知200911+-+ -=x x y ，则=+y x _______________________。 【拓展】若m 适合关系y x y x m y x m y x --?+-= -++--+19919932253， 求m 的值。 【例2】当b a 2<时，化简二次根式a b ab a b a a 2 2442+--。 【巩固】 1、化简()2 232144--+-x x x 的结果是__________________。
二次根式化简教学设计
《16.1 二次根式的化简》教学设计 一、内容及内容分析： 1.内容：二次根式的性质，代数式的概念。 2.内容解析： 《二次根式的化简》是人教版八年级数学下册的内容，本节课的内容是学生在学习二次根式概念的基础上，结合二次根式的概念和算术平方根的概念，通过观察、归纳和思考得到二次根式的两个基本性质。对于二次根式的性质，教材没有直接从算术平方根的意义得到，而是考虑学生的年龄特征，先通过“探究”栏目中给出四个具体问题，让学生根据算术平方根的意义，就具体数字进行分析得出结果，再分析这些结果的共同特征，由特殊到一般地归纳出结论。 二、教学目标分析 1.知识与技能： ①经历探索性质 和 的过程，并理解其意义； ②会运用性质 和 进行二次根式的化简； ③了解代数式的概念。 2.过程与方法：发展观察、归纳、概括等能力，发展有条理的思考能力以及语言表达能力。 3.情感态度与价值观：通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识。 三、学情分析 学生已经学习了“整式”“算术平方根”“二次根式的概念”等知识，已经具备了学习二次根式性质的知识基础和心理基础，二次根式的性质是二次根式化简和运算的重要基础，学生根据二次根式的概念和算术平方根的意义，由特殊到一般地得出二次根式的性质后，重在能灵活运用二次根式的性质进行二次根式的化简和解决一些综合性较强的问题，对于八年级下学期学生而言，推理意识相对较强，基于以上考虑，本节课的指导思想是充分发挥学生在学习中的主体作用，从“问题提出——细心观察——合作探究——归纳总结——学会应用”的过程中主动参与、积极探索。由于学生初次学习二次根式的性质，对二次根式性质的灵活运用存在一定的困难，为了突破这一难点教师精心挑选练习题，按照由易到难分层次让学生在练习中进一步掌握二次根式的性质，从而克服学习的困难，真正“学会”，为后续的学习打下坚定的基础。 教学重点：理解二次根式的性质。 教学难点：灵活运用二次根式的性质。 教学方法：分组学习，合作探究，引导式教学 教具：微课、多媒体课件 四、教学过程： （一）情景引入 在课前精心制作一段有关这节课学习内容的微课，用《二次根式的化简》微课创设情境，导入新课。 师生活动：师生一起观看微课。 2=a a a （≥0)2 =a a a （≥0)