等式与方程1
等式与方程（第一课时）
上课时间：2月7日总课时：1
学习内容：第1～2页例1、例2、试一试、练一练，练习一1～3题。
学习目标：
1、理解并掌握等式与方程的意义，体会方程与等式间的关系，对
于等式与方程能做出正确的判断，会列方程表示事物之间简单的数量
关系。
2、在观察、分析、比较、抽象、概括和操作交流中，经历将实际
问题抽象成等式与方程的过程，积累将现实问题数学化的体验。
3、在活动中，培养良好的习惯，获得成功的体验，进一步树立学
好数学的信心，激发学习数学的兴趣。
教学重点：理解等式的性质，理解方程的意义
教学难点：利用等式性质和方程的意义列出方程。
教学过程：
一、自学展示
1.预习第1～2页例1、例2、试一试、练一练，练习一1～3题。
2、出示天平，提问：知道这是什么吗？你知道它是按照什么原理制造的吗？
3、如果天平左边的物体重50克，右边的放多少克才能保持天平的平衡的呢？
4、谁来说说什么叫等式、什么叫方程？等式与方程之间有什么关系？
二、自主探究
学习引导(一) 出示例1图
1、你是怎样用等式表示天平两边物体的质量关系的？说说你是怎样想
的？
2、等式的左边、右边分别指的是哪一部分？等式有什么特征？
能说说什么样的式子叫做等式吗？
学习引导(二) 出示例2图
1、靠左边的两幅图天平往一边下垂说明什么？
你是用怎样的式子表示天平两边物体的质量关系的？
2、小组讨论：如果让你把这四个式子分类，应分为几类？为什么？
3、交流：谁能准确地说出什么叫等式、什么叫方程吗？
等式与方程有什么关系？
4、谁会用集合圈来表示等式与方程的关系？
5、怎样判断一个式子是不是等式？是不是方程？
三、交流展示
1、交流“试一试”的完成情况。
指出：像500÷2=x,20-12=x虽然也是方程，但在列方程时应尽量避免这样x单独在等号左边或右边的情况。
2、交流“练一练”的完成情况。
四、精讲点拨
（2）讨论：等式与方程有什么关系？
小组讨论。
指出：方程一定是等式，但等式不一定是方程。
方程是特殊的等式。他们的关系可以用集合圈表示。
五，运用提升完成练习一第1、2、3三题。
六、总结
本节课我收获了：
我存在的困惑：
七．达标作业《补充习题》第1页
八．板书设计
方程
50＋50＝100 x＋50>100 x＋50＝150
X＋50<200 x＋x＝200
六年级数学等式与方程练习题
小学六年级数学《等式与方程》练习题 一、填一填 １、妈妈给明明a元，明明买了m个笔记本，还剩b元,每个笔记本元? ２、一块长方形花坛的面积是120平方米,长x米,宽米? ３、三年级植树68棵,六年级比三年级多植x棵,那么68＋x表示。 ４、甲乙两人分别从两地相向而行，七小时后相遇，甲每小时行x千米，乙每小时行y千米，两地相距千米． ５、当x=时，（６０－５x=0） 二、判断。对的在括里面打“√”，错的在括号里面打“×”。 １、含有未知数的式子叫方程。（） ２、x=9是方程。（） ３、方程一定是等式。 ４、a是自然数则2a+1一定是奇数。（） ５、５与６的平方和写作（５＋６）２。（） ６、m的２倍与n的差写成式子是2m－n，这个式子是方程。（） ７、x+x=x2。（） ８、72－5x=47的解是５。（） ９、一项工程，甲队单独做需要m小时，乙队单独做需要n小时，如果两队合作，完成任务需要的时间是７小时，那么（1/m+1/n）t=1。（） 三、选择。将正确答案的序号填在括号里。 １、M2表示（）。 Ａ、m的2倍。Ｂ、2个m相乘。Ｃ、m+m ２、下面的式子中（）是方程。 Ａ、6x－1 B、3x+8﹥20 C、81－X=72 ３、X的1/2比36的2/3少10列出的方程是（）。 Ａ、1/2x－36×2/3Ｂ、36×2/3+10=1/2X C、1/2X+10=36×2/3 ４、甲数是a，比乙数的２倍多b，表示乙数的式子是（）。 Ａ、(a+b)÷2 B、(a－b) ÷2 C、2/a－b 四、解方程。 X/5=25% 3x+2/3x=14 5(x+2)=4(x+9) 1/18+1/5x=1/4×2/9 五、列方程解文字题。 １、有一个数，它的1.5倍与34的和得109，这个数是多少？ ２、一个数的５倍是８的1.5倍，求这个数。 ３、一个数的7/10比15的2/3多12求这个数。 六、解决问题。 １、六年级三个班共有51人，一班的人数是二班的3/4，三班的人数是二班的4/5,这三个班里各有多少人？ ２、水果商店原来有水果1500千克，其中苹果占总数的25%后来又购进一些苹果，这时苹果占水果总数的40%,后来又购进多少千克苹果？ 1 / 1
等式与方程(精品教案)
等式与方程（精品教案） 教学内容：教科书第1-2页的例1、例2，试一试和练一练及练习一的1～3题。教学目标： 1．理解并掌握等式和方程的意义，体会方程与等式间的关系。会列方程表示事物之间简单的数量关系。 2．在观察、分析、比较、抽象、概括和操作交流中，经历将现实问题抽象成等式与方程的过程，积累将现实问题数学化的活动经验。 3．有机结合地方教育资源、我国在方程史上的贡献等内容渗透健康生活方式，爱家乡、爱祖国的数学文化等积极情感，增强民族认同感。 教学重点 经历从现实问题情境中抽象出方程的过程，理解方程的本质。 教学难点 会用方程表示事物之间简单的数量关系。 教学准备：例1、例2挂图，实物投影仪 教学过程 一、认识等式 1．谈话：同学们，今天老师给大家带来了一位朋友，它叫（天平）。 （结合课件演示）小明在天平的两边放上砝码，天平（平衡了）。你能用式子表示天平左右两边物体的质量关系吗？（50＋50＝100）还可以怎样表示？ （50×2＝100） 2．揭示：像这样左右两边相等的式子，我们把它叫做等式。 提问：这两个等式左边表示的是什么？右边呢？ 它们之间是（相等的）关系。 3．提问：小明从天平的左边拿走了一只砝码，这时候还能用等式表示两边物体的质量关系吗？那该怎样表示左右两边物体的质量关系呢？ （50＜100，100＞50） 【设计意图：从学生熟悉的天平平衡的直观情境出发，经历从自然语言描述事件到数学语言描述的过程，体会等号左边的算式和右边的数表示两个相等的量，它们的地位是均等的，突破原有等号作为表示运算结果时出现的符号的认识。又通过对不平衡的情境的数学化表达，丰富对数量之间关系的认识。】
(完整版)等式的基本性质练习题三
《等式的性质》拓展练习1 1．（1）如果105-3=x ，那么=x 3 ，其依据是 ； （2）如果)0(53 2≠=m mx ，那么=x ，这是根据等式的性质 ，将等式两边 ； （3）由763=+x ，得到31= x 是依据 ； （4）由42 1-3=x ，得到3=x 是依据 ； 2．若3 14-=x ，则=x ． 3．方程325-32+=x x 变形为532 32+=+x x 的错误是 ． 4．下列运用等式性质对等式进行变形，正确的是（ ） A ．若7-3y x =+，则11-7y x =+ B ．若,6 1-31- x 则2-=x C ．若4-0.25=x ，则1-=x D ．若77-=x ，则1-=x 5．由y x =2-变为636)2-3+=+y x （，运算过程中所用的等式性质及其顺序是（ )． A ．先用性质2，再用性质1 B ．只用性质1 C ．先用性质1，再用性质2 D ．只用性质2 6．从等式10a =5b 能不能得到等式a =2b ？为什么？能不能从a =2b 得到10a =5b ?为什么？ 7．星期天，七年级一班全体同学到水上公园划船游玩，如果减少一条船，那么每条船正好坐9名同学；如果增加一条船，那么每条船正好坐6名同学．如果设划船的同学为x 人，你能列出方程吗？ 8．某城市按以下规定收取水费：每户用水如果不超过60吨，按每吨0.8元收费；如果超过60吨，超过部分按每吨1.2元收费，已知某用户4月份的水费平均每吨0.88元，那么4月份这一用户应交水费多少元？（只要求列出方程） 参考答案
1．（1）15，等式的性质1；（2）152m ，2，同乘32m ；（3）先运用等式的性质1，再运用等式的性质2；（4）先运用等式的性质2，再运用等式的性质1． 2．112 - 【解析】两边除以－4，计算11(4)312÷-=-． 3．两边所加的式子不同【解析】左边加5加2x ，右边加5减2x ． 4．D 【解析】A ．x ＋3＝y －7，x ＋3＋4＝y －7＋4，即x ＋7＝y －3． B ．1111,(3)(3)3636x x ??-=-?-=-? ???，即12x =-． C ．0.25x ＝－4，4×0.25x ＝（－4）×4，即x ＝－16． 5．A 6．解：能得到a ＝2b ，根据等式的性质2；不能从a ＝2b 得到 105a b =，因为当a ＝0，或b ＝0时，等式不成立． 【点拨】等式105a b =两边同乘以ab ，可得a ＝2b ;从a ＝2b 得到105a b =，等式两边必须同除以ab ，这时必须考虑a ＝0，或b ＝0的情况． 7．解：1196 x x +=-． 8．解：设4月份这一用户用了x 吨水，则这一用户每吨收1.2元水费的吨数是（x －60）， 根据题意，得方程60×0.8＋1.2×（x －60）＝0.88x ． 【点拨】由题意，可知该用户4月份的用水超过60吨，所以该用户的水费分为两个部分：一部分是按0.8元收取的，另一部分是按1.2收取的，其平均水费为0.88元由此可得等量关系．
参数方程的概念(教学设计)
曲线的参数方程（孙雷） 教材人民教育出版社高中数学选修4-4第二讲第一节 授课教师孙雷 教学目标 1、理解曲线参数方程的概念，能选取适当的参数建立参数方程； 2、通过对圆和直线的参数方程的研究，了解某些参数的几何意义和物理意义； 3、初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题，在问题解决的过程中， 形成数学抽象思维能力，初步体验参数的基本思想。 教学重点 曲线参数方程的概念。 教学难点 曲线参数方程的探求。 教学过程 （一）曲线的参数方程概念的引入 引例： 当两个齿轮接触时，蓝色齿轮会带动红色齿轮转动，当两个齿轮没有接触时，蓝齿轮要带动红色齿轮转动，有一种方法是加入一个新的齿轮，使之与红蓝两个齿轮同时接触。 (上述过程让学生感受中间变量的作用，为参数方程中的参变量的引出作铺垫。) 思考1： 若齿轮A、B、C的半径相等，他们转动时的角速度分别是x、y、t，方向忽略不计 (1) 第一组图中，A与B角速度之间的关系是_______________； (2) 第二组图中，A与C角速度之间的关系是_______________； B与C角速度之间的关系是________________； 思考2： 思考： 若齿轮A、B、C的半径分别为4、1、2，他们转动时的角速度分别是x、y、t，方向忽略不计 (1) 第一组图中，它们角速度之间的关系是_________________；
(2) 第二组图中，它们角速度之间的关系是_________________； 引导学生建立平面直角坐标系，把实际问题抽象到数学问题，并加以解决 （1、通过生活中的实例，引发学生研究的兴趣；2、通过引例明确学习参数方程的现实意义；3、通过对问题的解决，使学生体会到仅仅运用一种方程来研究往往难以获得满意的结果，从而了解学习曲线的参数方程的必要性；4、通过具体的问题，让学生找到解决问题的途径，为研究圆的参数方程作准备。） （二）曲线的参数方程 例1、圆的参数方程的推导 （1）一般的，设⊙O 的圆心为原点，半径为r ，0OP 所在 直线为x 轴，如图，以0OP 为始边绕着点O 按逆时针方向绕原 点以匀角速度ω作圆周运动，则质点P 的坐标与时刻t 的关系 该如何建立呢？（其中r 与ω为常数，t 为变数） 结合图形，由任意角三角函数的定义可知： ),0[sin cos +∞∈? ??==t t r y t r x ωω t 为参数 ① （2）点P 的角速度为ω，运动所用的时间为t ，则角位移t ωθ=，那么方程组①可以改写为何种形式？ 结合匀速圆周运动的物理意义可得：),0[sin cos +∞∈? ??==θθθr y r x θ为参数 ② （在引例的基础上，把原先具体的数据一般化，为圆的参数方程概念的形成作准备，同时也培养了学生数学抽象思维能力） （3）方程①、②是否是圆心在原点，半径为r 的圆方程？为什么？ 由上述推导过程可知：对于⊙O 上的每一个点),(y x P 都存在变数t （或θ）的值，使t r x ωcos =，t r y ωsin =（或θsin r y =，θcos r x =）都成立。 对于变数t （或θ）的每一个允许值，由方程组所确定的点),(y x P 都在圆上； （1、对曲线的方程以及方程的曲线的定义进行必要的复习；2、学生从曲线的方程以及方程的曲线的定义出发，可以说明以上由变数t （或θ）建立起来的方程是圆的方程；） （4）若要表示一个完整的圆，则t 与θ的最小的取值范围是什么呢？ )2,0[s i n c o s ωπωω∈???==t t r y t r x ， )2,0[s i n c o s πθθθ∈???==r y r x （5）圆的参数方程及参数的定义 我们把方程①（或②）叫做⊙O 的参数方程，变数t （或θ）叫做参数。 （6）圆的参数方程的理解与认识 （ⅰ）参数方程)2,0[sin 3cos 3πθθθ∈???==y x 与]2,0[sin 3cos 3πθθ θ∈???==y x 是否表示同一曲线？为什么？ （ⅱ）根据下列要求，分别写出圆心在原点、半径为r 的圆的部分圆弧的参数方程： ①在y 轴左侧的半圆（不包括y 轴上的点）；
等式的基本性质
方程的基本性质 一、教材分析 等式的基本性质是学生在刚刚认识了等式与方程的基础上进行教学的。它是系统学习方程的开始，其核心思想是构建等量关系的数学模型。本节课的学习是学生在实验的基础上，掌握等式的两个基本性质，引导学生通过比较，发现规律，并为今后运用等式的基本性质解方程打基础。培养学生数学思维能力。 二、教学目标： 知识与技能：理解并能用语言表述等式的基本性质，能用等式的基本性质解决简单问题。 过程与方法：在用算式表示实验结果、讨论、归纳等中，经历探索等式基本性质的过程。 情感态度价值观：积极参与数学活动，体验探索等式基本性质过程的挑战性和数学结论的确定性。 三、教学重点是：引导学生探索发现等式的基本性质，利用等式的基本性质解决简单问题。 教学难点是抽象归纳出等式的基本性质。 四、教学程序（分三部分教学） （一）联系实际，激趣引入 首先激发探究兴趣：提出问题：“同学们，你用天平做过游戏吗？”这节课我们就利用天平一起来探索天平游戏中所包含的数学知识。” （二）自主探索，合作交流 学习等式的基本性质1 1、具体情境，感受天平平衡 利用多媒体依次天平图的各个操作。让学生通过观察，用语言来描述发现，与同桌交流。这样由具体演示到抽象概括，使学生记忆深刻，充分体现了学生为主体，教师为主导的原则。 图1、图2的教学模式：先让学生观察，问：你发现了什么？然后提问：怎样变换，能使天平仍然保持平衡呢？待学生思考片刻，再进一步提问：往两边各放1个杯子，天平会发生什么变化？生口答，验证。接下去，继续提问：如果两边各
放上2个茶杯，天平还会保持平衡吗？两边各放上同样的一把茶壶呢？生答，再一一演示验证。 图3、图4的教学模式和前面一样。 板书如下： 2、总结抽象，认识规律 通过上面的观察，先用一句话归纳图1和图2的内容。（1、等式的两边都加上或减去相同的数，等式不变。）再以第一句话为基础归纳出图3和图4的内容。（2、等式的两边都乘或除以相同的数（0除外）等式不变。） 教师指出这是等式的一个非常重要的性质。板书：等式的基本性质 （三）巩固练习，深化认识 练习题的设计，低起点，小台阶，循序渐进，符合学生接受知识的特点，培养了学生的灵活性，使学生获得成功的满足感。 1、根据图（1）在下面每幅图的括号里填上适当的符号或数字，使天平平衡。 2、课堂作业。(当堂完成) 填一填。（a、b均不为0） （1）如果x+a=b,那么x+a－a=b○ （2）如果x－a=b,那么x－a+a=b○ （3）如果ax=b,那么a x÷a=b○ （4）如果x÷a =b,那么x÷a×a=b○ 3、拓展训练。 五、最后，关注学生的学习体会和感受，提出：通过本节课的学习你有什么体会？
(完整word版)五年级下册数学同步练习1.1等式与方程_苏教版.docx
1.1 认识等式与方程 班级： ___________姓名： ___________得分： ___________ 一、选择题 (每小题 6 分，共 30 分 ) 1.下面哪一个是等式？（）。 A.3+3=5 B.35÷7=5 C.0.20+2 D.56+12>40 2.下面哪一个是方程？（） A.12-7=5 B.2y=200 C.3a<100 D.3x+5x 3.m 的 5 倍比 32 少多少？（） A.5m-32 B.32-5m C.32m-5 D.32-5 4.甲数是 a，乙数是甲数的 5 倍，乙数比甲数多（）。 A.5a B.4a C.6a D.4 5.正方形的边长是 a 米，周长是（）。 A.4a B.a×a C.2a 二、辨一辨（对的打“√”，错的打“×” ）(每小题5分，共30分) 6.n × 5＋ 9=5n＋ 9（） 7. 某种电脑降价x 元后是 4999 元，这种电脑原来的价格为（ x＋ 4999）元。（） 8. 方程是等式，等式也是方程。（） 9. 方程一定是等式，等式不一定是方程。（） 10. 因为 5+X 中含有未知数X，所以这个式子是方程。（） 11. ɑ的3 倍与 3ɑ相等。（） 三、看图列方程。( 每小 10 分，共 30 分 ) 12. 杨树： 柳树： 13.每天修x米， 14.男生：24人 女生： 多3 人 x 三、判断下列各式是不是方程？对的打“√” ，错的打“×”( 每小 2 分，共 10 分 )
15.3-2=1（） 16. 3x+2y=7（） 17.2x-1=1（） 18.6x+6（） 19.x+5>8（） 参考答案 1.B. 【解析】此题考查等式的定义。 A.3+3=5 虽然用了等于号，但是式子是错误的。 C.0.20+2 只是个式子，不是等式。 D.56+12>40 不是等式，因为用的是大于号。故答案选 B.35÷7=5 2.B 【解析】此题考查方程的定义。 A.12-7=5是等式，不是方程，因为没有未知数。 C.3a<100 虽然有未知数，但是不是等式。 D.3x+5x 虽然有未知数，但是不是等式。故答案选B 3.B 【解析】此题考查用字母表示数。m 的 5 倍比 32 少多少。只有 A 和 B 两个选项，才表示的是 a 的 5 倍。但是， A 选项表示的是 m 的 5 倍比 32 多多少。故答案选B 4.B 【解析】此题考查根据题意列方程。甲数是a，乙数是甲数的 5 倍，乙数比甲数多（）。 A.5a B.4a C.6a D.4 甲数是 a，乙数就是 5a，二者之差就是5a-a=4a。故答案选 B 5.A 【解析】此题考查用字母表示数。正方形的边长是 a 米，周长是（）正方形的周长是边长的 4 倍，就是 4a 。故答案选 A 【解析】此题考查用字母表示数。n× 5 可以简写成 5n。故答案为 5n+9。因此是对的。 【解析】此题考察根据题意列方程。某种电脑降价x 元后是 4999 元，这种电脑原来的价格为（ x＋ 4999）元。故答案为 x＋ 4999 。 8.× 【解析】考查方程和等式的区别。“方程是等式，等式也是方程。”前半句是对的，但是后半 句是错误的。等式不一定都是方程，还需要加上有未知数这个条件。故答案为×。 9.√ 【解析】此题考查方程和等式的区别。“方程一定是等式，等式不一定是方程。”方程的定义就是“含有未知数的等式是方程”所以方程一定是等式，但是等式不一定是方程，如3+2=5是等式，但是不是方程。所以说法正确。故答案为√ 10.× 【解析】此题考查方程的定义。5+X 虽然含有未知数，但是它不是等式。所以，不是方程。
数学五年级下册5.5 认识方程(1)练习卷
数学五年级下册5.5 认识方程（1）练习卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 同学们，经过一段时间的学习，你一定长进不少，让我们好好检验一下自己吧！ 一、选择题 1 . 下列式子中是方程的是（） A．x＋8B．5x＋2＝9C．4x－8＞0 2 . 下图中的数量关系，不能用方程（）表示。 A．510÷x=3B．3x=510C．x+x+x=510D．x÷3=510 3 . 当a=1.2，b=2.5，c=3时，3a﹣b+1.4c的值是（） A．3.5B．4.5C．5.3D．，5.4 二、填空题 4 . 如果x÷5=5，那么x÷5×5=5________。 5 . 等式两边同时乘以或除以一个相同的数（除数不能为0），所得结果仍然是等式．这是_____的性质． 6 . x+3，5x-2＞9，6×5=30，8x-5x=3中（__________）是等式，（__________）是方程。 7 . 解方程 6x＝7.5 x＝________ 8 . 商场上午卖出电视机10台，下午又卖了7台，每台电视机A元。全天共卖电视机一共收入（______）元，上午比下午卖电视机少收入（______）元。
9 . 给小式子找家。 ①②③④ ⑤⑥⑦⑧ 10 . 书馆有一些故事书，借给五年级三个班，每个班24本，还剩5本，图书馆原有故事书____本。 三、解答题 11 . 如下图所示，一架天平左边托盘中放一个20克的木块和一个未知质量(用x表示)的木块，右边托盘中放 一个100克的砝码，当天平平衡时，请用一个等式表示出来. 12 . 一本童话故事8元，一本连环画6元，买a本童话故事和b本连环画，一共需要多少元？ 13 . 用方程表示下面的数量关系。 （1）把30平均分成份，每份是5。 （2）百合花有朵，玫瑰花的朵数是百合花的3倍，百合花与玫瑰花共24朵。 （3）清漪湖每年产鲫鱼和鲤鱼28000千克，其中鲫鱼9500千克，鲤鱼千克。
参数方程的概念
参数方程的概念 参数方程的概念： 一般地，在给定的平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t 的函数且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么这个方程组称为这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数t称为参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 参数方程和普通方程的互化： 在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．否则，互化就是不等价的。 （1）参数方程化为普通方程的过程就是消参过程，常见方法有三种： ①代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数； ②三角法：利用三角恒等式消去参数； ③整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去． (2)普通方程化为参数方程需要引入参数． 如：①直线的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程 ②在普通方程xy=1中，令可以化为参数方程 关于参数的几点说明： (1)参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数． (2)同一曲线选取参数不同，曲线参数方程形式也不同． (3)在实际问题中要确定参数的取值范围． 参数方程的几种常用方法：
方法1参数方程与普通方程的互化：将曲线的参数方程化为普通方程的方法应视题目的特点而定，要选择恰当的方法消参，并要注意由于消参后引起的范围限制消失而造成的增解问题．常用的消参技巧有加减消参，代人消参，平方消参等． 方法2求曲线的参数方程：求曲线的参数方程或应用曲线的参数方程，要熟记曲线参数方程的形式及参数的意义． 方法3参数方程问题的解决方法：解决参数方程的一个基本思路是将其转化为普通方程，然后利用在直角坐标系下解决问题的方式进行解题． 方法4利用圆的渐开线的参数方程求点：利用参数方程求解点时只需将参数代入方程就可求得。 方法5求圆的摆线的参数方程：根据圆的摆线的参数方程的表达式 ，可知只需求出其中的r，也就是说，摆线的参数方程由圆的半径唯一确定，因此只需把点代人参数方程求出r值再代人参数方程的表达式． 柱坐标系与球坐标系 柱坐标系的定义： 建立空间直角坐标系Oxyz，设P（x，y，z）是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，Q点的极坐标为（ρ，θ），则P的位置可用有序数组（ρ，θ，z）表示，（ρ，θ，z）叫做点P的柱坐标。 （1）柱坐标转化为直角坐标： （2）直角坐标转化为柱坐标：。 球坐标系的定义： 建立空间直角坐标系Oxyz，设P（x，y，z）是空间任意一点，记|OP|=r，OP与Oz轴正向所夹的角为j，点P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ，则P的位置可用有序数组（r，j，θ）表示，（r，j，θ）叫做点P的球坐标。
等式的基本性质1
《7.1等式的基本性质》教学设计 学习目标： 1、 经历探索等式性质的过程，理解等式的基本性质； 2、 会用文字语言和符号语言叙述等式的两条基本性质； 3、 会用等式的两条性质将等式变形；能对变形说明理由。 温故知新 什么叫代数式？每人举出一个代数式的例子。 （设计意图：先复习这一概念，目的是引出等式的定义，让学生明确，以便探索其性质） 一、趣味游戏，新知初探（放松心情，一起步入数学世界） 1、 师生共同完成一个演示实验，用等式描述这一实验。 2、 天平平衡的实验演示，用含字母的等式描述这一实验。 3、 “交流与发现”问题（1）（2）（3） 思考：能否从中发现规律，再用自己的语言叙述你发现的规律． （设计意图：由演示实验开始，让学生初步感受等式的性质1，并激起探索发现的兴趣，然后再到问题（1）、（2）、（3），进一步加强直观感受，最后将性质1形成文字语文和符号语言，从而体验由特殊到一般的过程。） 二、学案引导，自主学习（让自己做学习的主人） 自学课本152页等式基本性质1下面的内容，完成： （1）一袋巧克力糖的售价是 a 元，买c 袋巧克力糖花 元，一盒果冻的售价是b 元，买c 盒果冻要花 元钱。 （2）如果一袋巧克力糖与一盒果冻的售价相同（即a=b ），那么买c 袋巧克力糖和买c 盒果冻所需要的钱相等吗？用式子表示为 。若两者分别都买 c 1 袋所需要的钱还相等吗？用式子表示为 。 （3）等式基本性质2： 符号语言叙述：
文字语言叙述： （4）应用等式基本性质2应注意什么问题？ （设计意图：类比性质1，对于性质2的发现比较容易，但关键是点拔出易问题：（1）除数不能为0；（2）等式两边也可以除以一个整式，但此整式的值一定不能为0；） 小试牛刀：回答下列问题： （1）从等式 a=b 能不能得到等式a+3=b+3?为什么？ （2）从等式 a=b 能不能得到等式2 2b a ?为什么？ （3）从等式x+5=y+5 能不能得到等式x=y?为什么？ （4）从等式－2x=2y 能不能得到等式x=－y?为什么？ （5）从 3ac=4a 能不能得到等式 3c=4 ？为什么? （设计意图：本组练习让学生对等式的基本性质从感性认识上升到初步运用的层面上。易错的是第（5）题，学生对“除数不能为零”这一条件的不会运用，只是知道。） 三、精讲点拔，质疑解惑 例1、在下列各题的横线上填上适当的整式，使等式成立，并说明根据的等式的哪一条基本性质以及是怎样变形的？ （1）如果2x-5=3，那么2x=3+ ； (2) 如果－x=1,那么x= 。 思考：怎样确定用等式的哪一个性质？ （设计意图：此例题不只是让学生会用等式的基本性质，而且会将这两个性质区分开，因此设计了这样一个问题，让学生去思考。） 四、应用迁移，巩固提高（学得不错，相信你一定能做对） 1、 已知等式a=b ,判断各下列等式是否成立？
参数方程的概念
曲线的参数方程 1．参数方程的概念 (1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个 变数t 的函数：? ????x ＝f (t ) y ＝g (t )①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y ) 都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． (2)参数的意义：参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数． 2．参数方程与普通方程的区别与联系 (1)区别：普通方程F (x ，y )＝0，直接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有x ，y 两个变量；参数方程??? ? ?x ＝f (t )y ＝g (t ) (t 为参数)间接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关 系，它含有三个变量t ，x ，y ，其中x 和y 都是参数t 的函数． (2)联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一个变量的值；参数方程中自变量也只有一个，而且给定参数t 的一个值，就可以求出唯一对应的x ，y 的值． 这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程． 1．下列方程中可以看作参数方程的是( ) A ．x －y －t ＝0 B ．x 2 ＋y 2 －2ax －9＝0 C.?????x 2 ＝t 2 y ＝2t －1 D ．?????x ＝sin θ y ＝cos θ 解析：选D.对于A ：虽然含有参数t ，但它表示的是直线系方程，直接给出了x ，y 之间的关系，是普通方程；对于B ：虽然含有参数a ，但它表示的图象方程也是普通方程；对于C ：x 2 ＝t 2 不能把x 表示成参数t 的函数，也不是参数方程，只有D 选项满足参数方程的定义． 2．点M (2，y 0)在曲线C ：??? ? ?x ＝2t y ＝t 2 －1 ，(t 为参数)上，则y 0＝________． 解析：将M (2，y 0)代入参数方程得?????2＝2t y 0＝t 2 －1， 解得? ????t ＝1 y 0＝0.
等式与方程
第一单元课题：等式与方程 教学目标： 1.理解并掌握等式和方程的意义，体会方程与等式的关系，能正确区分等式和方程。 2.在观察、分析、比较、抽象、概括和操作交流中，经历将现实问题抽象成等式与方程的过程，积累将现实问题数学化的体验。 教学重点：明确方程与等式的关系，理解方程一定是等式，但等式不一定是方程。教学难点：理解方程的意义，知道“含有未知数的等式是方程”。 教学准备：课件，天平 教学过程： 一、谈话导入 1.（出示天平实物）谈话：这是天平，谁能简单介绍一下它？ 师作简单介绍：天平可以称出物体的质量。这是天平的左右两个盘，这是指针。当天平的指针指着中间，表示天平左右两盘的物体的质量相等，也叫做天平平衡。天平的哪一边下垂，就说明这一边物体的质量多，反之，这一边物体的质量就少。 2.揭题：今天我们利用天平来学习一些数学知识。（板书课题） 二、交流共享 1.教学例1。 （1）出示教材第一页例1天平平衡的情境图，谈话：你能看图写出一个等式吗？ 学生思考后独立填写。
指名回答，教师板书：50+50=100。 提问：你是怎样想的？ 指名学生口答：天平的一端放一个50克的鸡蛋和一个50克砝码，另一端放一个100克砝码，天平平衡，说明两边的质量相等，可以用等式来表示。 （2）教师小结：含有等号的式子叫做等式。它表示等号两边的数值是相等的。 2.教学例2。 （1）课件出示教材例2的四幅图。 学生独立思考后填写。 完成后在小组内交流，集体反馈。 教师板书：x+50>100 x+50=150 x+50<200 2x=200 教师小结：天平哪一边下垂，就说明那一边物体的质量大，另一边物体的质量就小；天平平衡说明两边的质量相等。算式中的x都是未知数。 （2）探究方程的意义。 提问：把这四道算式分成两类，可以怎样分？ 先独立思考，再小组交流，并说说分类的依据。 指名学生交流分法，学生可能会按照是否是等式把它们分为两类。 教师小结：有两个是等式，两个不是等式；两个等式都含有未知数。像x+50=150、2x=200这样的式子，就是我们今天要学习的方程，请同学们把这两个方程读一读。 提问：这两个式子有什么共同的特点？你能说一说什么样的式子是方程吗？
北师大四年级 第五单元认识方程(自学概念)
第五单元认识方程 一、用字母表示数 用字母可以表示数、数量关系、运算律，可以简洁明了地表示数量关系的一般规律，为研究和解决实际问题带来了很大方便。 如：五年级共有学生140人，其中女生有a人，那么男生有（140 - a ）人。 一车水果共有100箱，其中桔子有x箱，那么苹果有（100 - x）箱。 二、方程 等式的定义：表示相等关系的式子叫做等式。 方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。 a)要保证一个式子是方程，必须同时满足：（1）必须是等式；（2）必须含有未知数。 b)方程式等式，但等式不一定是方程。 三、解方程 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 例：x=3能使方程x+1=4的左右两边相等，所以x=3就是方程x+1=4。 2x5=10是等式单不含未知数，不是方程。 4x-3没有等号，不是方程。 3m+4＜8属于不等式，也不是方程。 四、解方程的书写格式 a)解方程前，先写一个“解”字，“解”后面加一个“：”。 b)在解方程过程中，一般要每一行写一个方程。通常情况下，要把未知数写在等式的左边。 c)上下方程（同原方程）的等号要对齐。 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。（根据四则运算关联之间的联系作为依据） 如：解方程：x-3=5 解方程：2x-3=5 解：x-3+3=5+3 解: 2x-3+3=5+3 x=8 2x=8 2x÷2=8÷2 x=4 五、等式的性质 性质1：等式的左右两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。 性质2：等式的左右两边同时乘以（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立。 如：a = b →a+8 = b+8 ；a-10=b-10；3a=3b；a÷5=b÷5。 4+3=7 →4+3+2=7+2 。1.5x4=6 →1.5x4x3=6x3。1.5x4=6 →1.5x4÷5=6÷5 六、方程的简单应用 列方程解应用题的意义 列方程解应用题就是用字母表示实际问题里的某个未知数(如x、a、b)，根据灯亮关系列出含有未知数的等式，即方程，然后求解，从而得到应用题的正确答案。 七、利用方程的性质解方程 运算步骤 方程的左右两边同时加上（或减去）同一个数，方程的解不变。 方程的左右两边同时乘以（或除以）同一个不为0的数，方程的解不变。 利用等式的性质解含有两步、三步运算的方程 解含有两步、三步运算的方程，可根据等式的性质，先把原方程转化为只有一步运算的方程，再求出方程的解。 等式性质方程例题： x+3.2=4.5 x÷4.2=6 解：1.5x÷1.5=0.3÷1.5 解：3x+25-25=55-25 解：x+3.2-3.2=4.5-3.2 解：x÷4.2X4.2=6X4.2 X=0.2 x=0.2 3x+25=55 x=1.3 x=25.2 3x÷3=30÷3 X=10
认识等式和方程教学设计
认识等式和方程教学设计 教学目标 1．理解并掌握等式和方程的意义，体会方程与等式间的关系。会列方程表示事物之间简单的数量关系。 2．在观察、分析、比较、抽象、概括和操作交流中，经历将现实问题抽象成等式与方程的过程，积累将现实问题数学化的活动经验。 3．有机结合地方教育资源、我国在方程史上的贡献等内容渗透健康生活方式，爱家乡、爱祖国的数学文化等积极情感，增强民族认同感。 教学重点 经历从现实问题情境中抽象出方程的过程，理解方程的本质。 教学难点 会用方程表示事物之间简单的数量关系。 教学过程 课前谈话：同学们，你们玩过跷跷板吗？在玩的过程中会出现哪些情况？ 上课： 一、认识等式 1．谈话：同学们，在实际生活当中，有很多现象和跷跷板是一样的。今天老师给大家带来了一位朋友，它叫（天平）。 （1）天平处于平衡状态，表示天平左右两边物体的质量相等。 （2）在天平的左边放上20和30的两个物体，让学生说出此时天平（不平衡了）。表示天平左边比右边重了。你能用式子表示天平左右两边物体的质量关系吗？（20＋30＝50） 2．揭示：像这样左右两边相等的式子，我们把它叫做等式。（板书：等式） 等式有个明显特征：=，它表示左右两边是相等的关系。 二、认识方程 1．用含用未知数的式子表示质量关系 （1）认识未知数 如果两个物体中一个不知道它的质量，现在又如何用式子表示左右两边物体的质量关系呢？ 指出：真不简单！同学们能想到用字母来表示这个物体的质量。这些字母表示的数咱们事先不知道，这样的数我们把它叫做未知数。（板书：未知数）感悟：人类能够将未知数用一定的字母表示，并且让未知数平等地参与运算经历了漫长的过程。 【课件演示，播放录音】 现在，我们可以用20+X=50来表示两边的数量关系。（纸条① 20+X=50）（2）如果指针偏向左边，说明什么？现在你能用式子表示两边的数量关系吗？（纸条② 20 +X＞50）这个式子表示两边不相等。＜ （3）出示指针偏向右边，那这又如何表示呢？这个式子也表示两边不相等。 （4）现在在天平两边有这情况，请你用式子表示它们左右两边的数量关系。 （学生在作业纸上完成。） 汇报：（依次贴出：③50×2=100 ④50+2χ＞ 180 ⑤ 80<2χ ⑥ 3χ=180 ⑦100+20<100+50 ⑧100+χ=3×50）
简易方程第一课时等式与方程培训资料
简易方程第一课时等 式与方程
第一单元 简易方程教案 第一课时 等式与方程 教学目标： 1、认识等式，以具体的实例引导学生通过自主的探索活动，初步理解等式的 特征。 2、通过观察比较，使学生认识含有未知数的等式是方程，感受等式与方程的 共同点与区别，体会方程是特殊的等式。 教学重点：理解等式的性质，理解方程的意义。 教学难点：利用等式性质和方程的意义列出方程。 教学过程 一、引出等式 1、直接写出得数：20+15= 12+17= 8+14= 41+19= 2、教学例1， 你会用等式表示天平两边物体的质量关系吗？ 50+50=100 （板书） 说说你是怎样想的？ （1）指出等式的左边，等式的右边等概念。 （2）等式有什么特征？（等式的左边和右边结果相等：等式用等号连接）
能说说什么样的式子叫做等式吗？（左右两边相等的式子叫做等式） 二、引出方程 1、教学例 2 出示例2图 天平往哪一边下垂说明什么？（哪一边物体的质量多，想一想跷跷板） 你能用式子表示天平两边物体的质量关系吗？ 学生独立完成填写，集体汇报。 板书： x+50>100 X+50<200 x+50=150 x+x=200 如果让你把这四个式子分类，应分为几类？为什么？ 指出：左右两边相等的式子叫做等式，而这些等式与前面所看到的等式又有什么不同？（等式中含有未知数） 知道像x+50=100,x+x=100这样的等式叫什么吗？（方程） 说说什么是方程？你觉得这句话里哪两个词比较重要？（含有未知数、等式） 三、等式与方程的区别 1、讨论：等式与方程有什么关系？ 小组讨论20+15= 35 12+17= 29 8+14= 22 41+19= 60 x+50=150 x+x=200 2、结论 指出：方程一定是等式，但等式不一定是方程。
(新)高中数学第二章参数方程2_1参数方程的概念课后训练北师大版选修4-41
参数方程的概念 练习 1点P (3，b ) 在曲线1,21 x y t ??=?=--??上，则b 的值为( )． A ．－5 B ．3 C ．5或－3 D ．－5或3 2曲线21,43 x t y t ?=+?=-?(t 为参数)与x 轴的交点坐标是( )． A ．(1,4) B ．25,016?? ??? C ．(1，－3) D ．25,016??± ??? 3动点M 做匀速直线运动，它在x 轴和y 轴方向的分速度分别为3 m/s 和4 m/s ，直角坐标系的长度单位是1 m ，点M 的起始位置在点M 0(2,1)处，则点M 的轨迹的参数方程是 ( )． A ．3,4x t y t =??=? (t 为参数，t ≥0) B ．23,14x t y t =+??=+?(t 为参数，t ≥0) C ．2,x t y t =??=? (t 为参数，t ≥0) D ．32,4x t y t =+??=+?(t 为参数，t≥0) 4参数方程2,sin 21 tan tan x y θθθ?=????=-?? (θ为参数)所表示的曲线是( )． A ．直线 B ．抛物线 C ．椭圆 D ．双曲线 5“由方程(),()x f t y g t =??=?所确定的点P (x ，y )都在曲线C 上”是“方程(),()x f t y g t =??=? 是曲线C 的参数方程”的________条件． 6点E (x ，y )在曲线15cos ,25sin x y θθ=+?? =+?(θ为参数)上，则x 2＋y 2的最大值与最小值分别为________． 7已知曲线C 的参数方程是23,21x t y t =??=+? (t 为参数)． (1)判断点M 1(0,1)，M 2(5,4)与曲线C 的位置关系； (2)已知点M 3(6，a )在曲线C 上，求a 的值． 8已知点P (x ，y )是圆x 2＋y 2－6x －4y ＋12＝0上的动点，求 (1)x ＋y 的最值； (2)点P 到直线x ＋y －1＝0的距离d 的最值．
等式与方程
等式与方程 教学内容：教材第1—2页的例1、例2以及相应的“试一试”“练一练”，练习一第1—3题。教学目标： 1．让学生理解并掌握等式和方程的意义，体会方程与等式间的关系。对于等式和方程能做出正确的判断，会列方程表示事物之间简单的数量关系。 2．让学生在观察、分析、比较、抽象、概括和操作交流中，经历将现实问题抽象成等式与方程的过程，积累将现实问题数学化的体验。 3．在活动中，培养学生良好的习惯，让学生获得成功的体验，进一步树立学好数学的信心，激发学习数学的兴趣。 教学重点： 理解并掌握方程的意义，并会列方程表示数量关系。 教学难点： 经历将现实问题抽象成等式与方程的过程。 教学准备：挂图。 教学过程： 一、复习引入。 1．提问：小明在天平的两边放上砝码，你能用式子表示天平左右两边物体的质量关系吗？50+50=100 2.指出：含有等号的式子叫做等式，它表示等号两边的数值是相等的。 3．提问：小明从天平的左边拿走了一直砝码，这时候还能用等式表示两边物体的质量关系吗？那该怎样表示左右两边物体的质量关系呢？ 二、认识方程 1．用含有未知数的式子表示质量关系 （1）提问：小明准备在天平的左边放一个物体。如果把这个物体放下来，可能会出现哪些情况呢？怎样用式子表示这里左右两边物体的质量关系呢? (2)感悟：人类能够将未知数用一定的字母表示，并且让未知数；平等地参与运算经历了漫长的方程。 （700多年前，我国数学家李冶发明了“天元术”，他用“天元”表示未知数。后来数学家们又用各种符号表示未知数。1637年，法国数学家笛卡尔最早用X表示未知数。这种表示方法逐渐成为人们的习惯。 （3）三幅图中，天平两边物体的质量关系就可以怎样表示？ （4）表达：（放下物体后）为了使天平达到平衡，小明利用砝码进行了各种调整，请你也用关系式表示天平两边物体的质量关系。 让学生看课本例2。 学生在书上独立填写，用式子表示天平两边的质量关系。 2.分类、比较，揭示方程的意义 （1）讨论分类依据 现在黑板上8个式子，你能将这些式子分分类吗？先自己想一想，再和同桌再讨论一下。
等式与方程1
等式与方程（第一课时） 上课时间：2月7日总课时：1 学习内容：第1～2页例1、例2、试一试、练一练，练习一1～3题。 学习目标： 1、理解并掌握等式与方程的意义，体会方程与等式间的关系，对 于等式与方程能做出正确的判断，会列方程表示事物之间简单的数量 关系。 2、在观察、分析、比较、抽象、概括和操作交流中，经历将实际 问题抽象成等式与方程的过程，积累将现实问题数学化的体验。 3、在活动中，培养良好的习惯，获得成功的体验，进一步树立学 好数学的信心，激发学习数学的兴趣。 教学重点：理解等式的性质，理解方程的意义 教学难点：利用等式性质和方程的意义列出方程。 教学过程： 一、自学展示 1.预习第1～2页例1、例2、试一试、练一练，练习一1～3题。 2、出示天平，提问：知道这是什么吗？你知道它是按照什么原理制造的吗？ 3、如果天平左边的物体重50克，右边的放多少克才能保持天平的平衡的呢？ 4、谁来说说什么叫等式、什么叫方程？等式与方程之间有什么关系？ 二、自主探究 学习引导(一) 出示例1图 1、你是怎样用等式表示天平两边物体的质量关系的？说说你是怎样想 的？ 2、等式的左边、右边分别指的是哪一部分？等式有什么特征？ 能说说什么样的式子叫做等式吗？ 学习引导(二) 出示例2图 1、靠左边的两幅图天平往一边下垂说明什么？ 你是用怎样的式子表示天平两边物体的质量关系的？ 2、小组讨论：如果让你把这四个式子分类，应分为几类？为什么？ 3、交流：谁能准确地说出什么叫等式、什么叫方程吗？ 等式与方程有什么关系？ 4、谁会用集合圈来表示等式与方程的关系？ 5、怎样判断一个式子是不是等式？是不是方程？ 三、交流展示 1、交流“试一试”的完成情况。
认识方程_教案教学设计
认识方程 教学目标： 1．知识目标：理解等式和方程的意义，体会方程与等式之间的关系，会用方程表示简单情境中的等量关系。 2．能力目标：在自主探索与合作交流中，经历将现实问题抽象成等式与方程的过程，积累将现实世界中的等量关系数学化、符号化的活动经验。 3．情感目标：在丰富的问题情境中感受生活中大量存在的等量关系，体会方程是刻画现实世界中等量关系的数学模型，初步体验方程思想。 教学重点：理解并掌握方程的含义，会列方程表示简单的数量关系。 教学难点：用方程的思想刻画简单情境中的等量关系。 教学准备：多媒体课件、学习材料纸、分类纸条 教学过程 一、认识等式 出示天平图。 1．提问：小明在天平的两边放上砝码，你能用式子表示天平左右两边物体的质量关系吗？ 2．揭示：像这样左右两边相等的式子，我们把它叫做等式。 3．提问：小明从天平的左边拿走了一只砝码，这时候还能用等式表示两边物体的质量关系吗？那该怎样表示左右两边物体的质量
关系呢？ 二、认识方程 1．用含用未知数的式子表示质量关系 ⑴提问：小明准备在天平的左边放一个物体。如果把把这个物体放下来，可能会出现哪些情况呢？怎样用式子表示这里左右两边物体的质量关系呢？ ⑵感悟：人类能够将未知数用一定的字母表示，并且让未知数平等地参与运算经历了漫长的过程。 【播放录音：700多年前，我国数学家李冶发明了“天元术”，他用“天元”表示未知数。后来数学家们又用各种符号表示未知数。1637年，法国数学家笛卡尔最早用x表示未知数。这种表示方法逐渐成为人们的习惯。】 ⑶交流：三幅图中，天平两边物体的质量关系就可以怎样表示？ ⑷表达：（放下物体后）为了使天平达到平衡，小明利用砝码进行了各种调整，请你也用关系式表示天平两边物体的质量关系。 学生在学习材料纸上完成并汇报交流。 2．分类、比较，揭示方程的意义 ⑴讨论分类依据 现在黑板上8个式子，你能将这些式子分分类吗？先自己想一想，再和同桌再讨论一下。 ⑵动手操作 讨论结束后，从信封里拿出8张写着式子的纸条，按照你们的想