2021年吉林省普通高中学业水平考试数学试题

2021年吉林省普通高中学业水平考试

数学试题

一?选择题：(本大题共15小题，每小题的四个选项中，只有一项是正确的，第1-10小题每小题3分，第11-15小题4分，共50分)

1. 已知集合{}1,0,1,2A =-，{}2,1,2B =-，则A B =（ ）

A. {}1

B. {}2

C. {}1,2

D.

2,0,1,2

2. 函数5()log (1)f x x =-的定义域是( ) A. (,1)(1,)-∞?+∞

B. [0,1)

C. [1,)+∞

D.

(1,)+∞

3. 函数()1,1

3,1x x f x x x +≤?=?-+>?

则()()4f f =（ ）

A. 0

B. -2

C. 2

D. 6

4. 将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数为6”的概率是（ ）. A.

1

3

B.

14

C.

15

D.

16

5. sin

cos

4

4

π

π

的值为（ ）

A.

12

B.

2

C.

4

D.

6. 已知直线l 过点(0,7)，且与直线42y x =-+平行，则直线l 的方程为（ ） A. 47y x =--

B. 47y x =-

C. 47y x =+

D.

47y x =-+

7. 已知向量(1,2)a =，(,1)b x =-若a b ⊥，则实数x 的值为（ ） A. -2

B. 2

C. -1

D. 1

8. 已知函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：

在下列区间中，函数()f x 必有零点的区间为（ ）. A. （1，2）

B. （2，3）

C. （3，4）

D. （4，5）

9. 已知直线:1l y x =+和圆22:1C x y +=，则直线l 和圆C 的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切

C. 相离

D. 不能确

定

10. 下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）. A. 1

()3

x

y =

B. 3log y x =

C. 1y x

=

D.

cos y x =

11. 下列命题正确的是( )

A. 一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行

B. 平行于同一个平面的两条直线平行

C. 与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面

D. 平面外两条平行直线中的一条与这个平面平行，则另一条也与这个平面平行 12. 已知一组数据如图所示，则这组数据

中位数是（ ）

A. 27.5

B. 28.5

C. 27

D. 28

13. 若(2,0)x ∈-，则(2)x x +的最小值是（ ） A. 2-

B. 32

-

C. 1-

D. 12

-

14. 偶函数()f x 在区间[]

2,1--上单调递减，则函数()f x 在区间[]1,2上（ ）

的

A. 单调递增，且有最小值(1)f

B. 单调递增，且有最大值(1)f

C. 单调递减，且有最小值(2)f

D. 单调递减，且有最大值(2)f

15. 已知函数sin()4π

y x =-的图象为C ，为了得到函数1sin()34

πy x =-的图象，只要把C 上所有的点（ ）

A. 横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变

B. 横坐标缩短到原来的1/3，纵坐标

不变

C. 纵坐标伸长到原来3倍，横坐标不变

D. 纵坐标缩短到原来的1/3

，横

坐标不变

二?填空题(本大题共4小题，每小题5分共20分)

16. 函数1

3cos 2

6y x π??=-

???的最小正周期为________．

17. .已知等差数列{}n a 中，11a =，35a =，则公差d =________，5a =________.

18. 在学校组织的一次知识竞赛中，某班学生考试成绩的频率分布直方图如图所示，若低于60分的有12人，则该班学生人数是____________

19. 已知扇形圆心角为

6π

，弧长为23

π，则该扇形的面积为 _________ 三?解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分，解答应写出文字说明?证明过程和演算步骤)

20. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222b c a bc +=+. （1）求角A 的大小； （2

）若a =

1b =，求角B

大小.

的

21. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为1DD ?1

CC 中点.

（1）求证：1AC BD ⊥； （2）求证：//AE 平面1BFD .

22. 已知数列{}n a 满足13()n n a a n N *

+=∈，且26a =． （1）求1a 及n a ．

（2）设2n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n S ．

23. 已知圆22:8120C x y y +-+=，直线:20l ax y a ++=. （1）当a 为何值时，直线与圆C 相切.

（2）当直线与圆C 相交于A 、B

两点，且AB =时，求直线的方程.

24. 已知函数()()

2

*

2N f x ax x c a c =++∈、满足：① ()15f =；② ()6211f <<.

（1）求a ，c 的值；

（2）若对任意的实数13,22x ??∈????

，都有()21f x mx -≤成立，求实数m 的取值范围. 2021年吉林省普通高中学业水平考试

数学试题

一?选择题：(本大题共15小题，每小题的四个选项中，只有一项是正确的，第1-10小题每小题3分，第11-15小题4分，共50分)

的

1. 已知集合{}1,0,1,2A =-，{}2,1,2B =-，则A B =（ ）

A. {}1

B. {}2

C. {}1,2

D.

2,0,1,2

【答案】C 【解析】 【分析】

利用集合的交运算即可求解.

【详解】集合{}1,0,1,2A =-，{}2,1,2B =-， 则A

B ={}1,2.

故选：C

2. 函数5()log (1)f x x =-的定义域是( ) A. (,1)(1,)-∞?+∞ B. [0,1)

C. [1,)+∞

D. (1,)+∞

【答案】D 【解析】 分析】

根据对数的真数部分大于0，列出不等式解出即可. 【详解】要使函数有意义需满足10x ->，解得1x >， 即函数的定义域为(1,)+∞， 故选：D .

【点睛】本题主要考查了对数函数的定义域，属于基础题.

3. 函数()1,13,1

x x f x x x +≤?=?-+>?则()()4f f =（ ）

A. 0

B. -2

C. 2

D. 6

【答案】A 【解析】 【分析】

根据分段函数解析式，代入即可求解.

【

【详解】由()1,13,1x x f x x x +≤?=?-+>?

，

则()()()41110f

f f =-=-+=.

故选：A

4. 将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数为6”的概率是（ ）. A.

1

3

B.

14

C.

15

D.

16

【答案】D 【解析】

试题分析：抛一枚质地均匀的硬币，有6种结果，每种结果等可能出现，正面向上的点数为6的情况只有一种，即可求．解：抛掷一枚质地均匀的硬币，有6种结果，每种结果等可能出现，出现“正面向上的点数为6”的情况只有一种，故所求概率为1

6

,故选D. 考点：古典概率

点评：本题主要考查了古典概率中的等可能事件的概率的求解，如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=m:n ．属基础题 5. sin

cos

4

4

π

π

的值为（ ）

A.

12

B.

2

C.

4

D.

【答案】A 【解析】 【分析】

利用二倍角公式求解即可. 【详解】sin cos

4

4π

π

11sin 222

π==； 故选：A.

6. 已知直线l 过点(0,7)，且与直线42y x =-+平行，则直线l 的方程为（ ） A. 47y x =--

B. 47y x =-

C. 47y x =+

D.

47y x =-+

【答案】D 【解析】 【分析】

根据直线平行的斜率关系可得直线的斜率，再结合点斜式即可得解. 【详解】因为与直线42y x =-+平行，所以斜率相等，即4k =-； 过点(0,7)，则由点斜式可知直线方程为74y x -=-， 即直线l 的方程为47y x =-+， 故选：D.

【点睛】本题考查了直线位置关系与斜率关系，点斜式求直线方程，属于基础题. 7. 已知向量(1,2)a =，(,1)b x =-若a b ⊥，则实数x 的值为（ ） A. -2 B. 2

C. -1

D. 1

【答案】B 【解析】 【分析】

根据向量垂直的坐标表示计算可得结果. 【详解】因为a b ⊥，所以0a b ?=， 所以20x -=，即2x =. 故选：B

8. 已知函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：

在下列区间中，函数()f x 必有零点的区间为（ ）. A. （1，2） B. （2，3）

C. （3，4）

D. （4，5）

【答案】B 【解析】

解：根据零点的概念可知，当x=2,x=3时，函数值出现异号，因此零点在该区间，选B 9. 已知直线:1l y x =+和圆22:1C x y +=，则直线l 和圆C 的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确

定 【答案】A 【解析】 【分析】

利用圆心()0,0到直线的距离与半径比较大小，即可判断. 【详解】圆2

2

:1C x y +=的圆心()0,0，半径1r =，

则圆心()0,0到直线:1l y x =+的距离为

12

d r ==

<=， 所以直线l 和圆C 的位置关系为相交， 故选：A

10. 下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）. A. 1()3

x

y =

B. 3log y x =

C. 1y x

=

D.

cos y x =

【答案】B 【解析】

试题分析：根据初等函数的图象，可得函数在区间（0，1）上的单调性，从而可得结论．解：由题意，A 的底数大于0小于1、C 是图象在一、三象限的单调减函数、D 是余弦函数，，在（0，+∞）上不单调，B 的底数大于1，在（0，+∞）上单调增，故在区间（0，1）上是增函数,故选B 考点：函数

单调性

点评：本题考查函数的单调性，掌握初等函数的图象与性质是关键． 11. 下列命题正确的是( )

A. 一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行

B. 平行于同一个平面的两条直线平行

C. 与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面

D. 平面外两条平行直线中的一条与这个平面平行，则另一条也与这个平面平行 【答案】D 【解析】

A 错误；平行于平面的直线，和这个平面内的直线平行或异面；

B 错误；平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面；

C 错误；与两个相交平面的交线平行的直线也可能在其中一个平面内；

D 正确；设//,,,//;a b a b a ααα??故a 做一平面β，,c βα?=则//,//a c a b 又，

//.b c ∴又,.//.b c b ααα???故选D

12. 已知一组数据如图所示，则这组数据的中位数是（ ）

A. 27.5

B. 28.5

C. 27

D. 28

【答案】A 【解析】 【分析】

将茎叶图中的数据按照从小到大的顺序排列，根据中位数的定义计算可得.

【详解】将茎叶图中的数据按照从小到大的顺序排列为：

16,17,19,22,25,27,28,30,30,32,36,40，

所以这组数据的中位数是2728

27.52

+=. 故选：A.

【点睛】关键点点睛：理解茎叶图，掌握中位数的定义是本题的解题关键. 13. 若(2,0)x ∈-，则(2)x x +的最小值是（ ） A. 2- B. 32

-

C. 1-

D. 12

-

【答案】C 【解析】

【分析】

利用二次函数的单调性求最值即可. 【详解】由题意得：

令()()2

2(2)211f x x x x x x =+=+=+-， 则函数的对称轴为：1x =-， 又(2,0)x ∈-，

所以函数()f x 先减后增，

当1x =-时，函数()f x 取最小值， 则()()2

11111f -=-+-=-， 所以(2)x x +的最小值是1-； 故选：C.

14. 偶函数()f x 在区间[]

2,1--上单调递减，则函数()f x 在区间[]1,2上（ ） A. 单调递增，且有最小值(1)f B. 单调递增，且有最大值(1)f C. 单调递减，且有最小值(2)f D. 单调递减，且有最大值(2)f

【答案】A 【解析】 【分析】

根据偶函数图象的特点可知()f x 在区间[]1,2上单调递增，即可得出最值. 【详解】因为()f x 是偶函数，()f x 在区间[]

2,1--上单调递减， 所以函数()f x 在区间[]1,2上单调递增，

所以()f x 在区间[]1,2上最小值为(1)f ，最大值为(2)f ， 故选：A

15. 已知函数sin()4π

y x =-的图象为C ，为了得到函数1sin()34

πy x =-的图象，只要把C 上所有的点（ ）

A. 横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变

B. 横坐标缩短到原来的1/3，纵坐标不

变

C. 纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变

D. 纵坐标缩短到原来的1/3，横坐标

不变 【答案】A 【解析】 【分析】

根据三角函数的伸缩变换可得到答案.

【详解】将sin()4

πy x =-图像上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，即可得

1sin()34

π

y x =-的图象，

故选：A.

二?填空题(本大题共4小题，每小题5分共20分)

16. 函数1

3cos 2

6y x π??=- ???的最小正周期为________

．

【答案】4π 【解析】 【分析】

直接利用三角函数的周期公式求解即可 【详解】解：函数1

3cos 2

6y x π??=-

???的最小正周期为

241

2

T π

π

=

= 故答案为：4π

【点睛】此题考查余弦型函数的周期，属于基础题.

17. .已知等差数列{}n a 中，11a =，35a =，则公差d =________，5a =________. 【答案】 (1). 2 (2). 9 【解析】 【分析】

利用等差数列的通项公式即可求解.

【详解】等差数列{}n a 中，11a =，35a =， 则公差31

22

a a d -=

=， 所以514189a a d =+=+=. 故答案为：2；9

18. 在学校组织的一次知识竞赛中，某班学生考试成绩的频率分布直方图如图所示，若低于60分的有12人，则该班学生人数是____________

【答案】40 【解析】 【分析】

先利用频率分布直方图得到低于60分的学生的频率，再利用

12

0.3

即可得出答案. 【详解】由频率分布直方图可得低于60分的学生的频率为：()0.0050.01200.3+?=， 则该班学生人数是12

400.3

=. 故答案为：40. 19. 已知扇形的圆心角为6π

，弧长为23

π，则该扇形的面积为 _________ 【答案】4

π3

【解析】 【分析】

由扇形的弧长和圆心角可得半径，再由S 扇形=

1

2

lr 计算即可得解.

【详解】由扇形的圆心角为6π，弧长为23

π，可得扇形半径为

2346

π

π=.

从而有扇形面积为：124

4π233

π??=. 故答案为4

π3

.

【点睛】(1)本题主要考查扇形的弧长、圆心角和面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) l r α= S 扇形=1

2

lr ，其中l 代表弧长, r 代表圆的半径，

属于基础题.

三?解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分，解答应写出文字说明?证明过程和演算步骤)

20. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222b c a bc +=+. （1）求角A 的大小； （2

）若a =

1b =，求角B 的大小.

【答案】（1）3

A π=；（2）6

B π

=

.

【解析】 【分析】

（1）根据余弦定理计算可得结果； （2）根据正弦定理计算可得结果.

【详解】（1）∵222b c a bc +=+，∴222b c a bc +-=，

∴2221cos 222

b c a bc A bc bc +-===，

∵A 是ABC 的内角，∴3

A π=.

（2）∵

sin sin a b A B

=，

1

sin sin

3

B =

，∴1

sin 2

B =， ∵b a <，∴B A <，

又因为0B π<<，所以6

B π

=

.

【点睛】关键点点睛：在三角形中，根据正弦值求角时，由边的大小关系确定角是解题关键. 21. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为1DD ?1CC 的中点.

（1）求证：1AC BD ⊥； （2）求证：//AE 平面1BFD .

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】

（1）连结BD ，证出1AC D D ⊥，AC BD ⊥，利用线面垂直

判定定理可得AC ⊥平面

1BDD ，进而可得1AC BD ⊥.

（2）连结EF ，证出//AE BF ，再利用线面平行的判定定理即可证明. 【详解】证明：（1）连结BD ，由正方体1111ABCD A B C D -得，

1D D ⊥平面ABCD .又AC ?平面ABCD ，1AC D D ∴⊥

又四边形ABCD

正方形，∴AC BD ⊥，

而1D D BD D ?=，∴AC ⊥平面1BDD ， 又1BD ?平面1BDD ，∴1AC BD ⊥

.

的

（2）连结EF ，由E ?F 分别为1111ABCD A B C D -?

1111ABCD A B C D -的中点得，//EF AB 且EF AB =

∴四边形ABFE 是平行四边形，∴//AE BF

又AE ?平面1BFD ，BF ?平面1BFD ，∴//AE 平面1BFD .

22. 已知数列{}n a 满足13()n n a a n N *

+=∈，且26a =．

（1）求1a 及n a ．

（2）设2n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n S ．

【答案】（1）2，1

23n n a -=?；（2）321n n S n =--.

【解析】 【分析】

（1）根据题意知数列是等比数列，代入公式得到答案. （2）先把{}n b 表示出来，利用分组求和法得到答案

【详解】解：（1）因为13()n n a a n N *+=∈，26a =所以数列{}n a 是以首项为2，公比为3

的等比数列，所以数列1

23n n a -=?； （2）1

2232n n n b a -=-=?-

123n n S b b b b =++++=01212(3333)2n n -?+++

+-

=132()213

n

n -?--321n n =--.

【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和分组求和法，是数列的常考题型

.

.

23. 已知圆22:8120C x y y +-+=，直线:20l ax y a ++=. （1）当a 为何值时，直线与圆C 相切.

（2）当直线与圆C 相交于A 、B

两点，且AB =时，求直线的方程. 【答案】（1）3

4

a =-；（2）20x y -+=或7140x y -+=. 【解析】 【分析】

（1）将圆C 的方程化为标准形式，得出圆C 的圆心坐标和半径长，利用圆心到直线的距离等于半径，可计算出实数a 的值；

（2）利用弦长的一半、半径长和弦心距满足勾股定理可求得弦心距，利用点到直线的距离公式可求得实数a 的值，进而可得出直线l 的方程.

【详解】（1）圆C 的标准方程为()2

244x y +-=，圆心C 的坐标为()0,4，半径长为2，

当直线l 与圆C

2=，解得3

4a =-；

（2）由题意知，圆心C 到直线l

的距离为d ==

由点到直线的距离公式可得d =

=整理得2870a a ++=，解得1a =-或7-.

因此，直线l 的方程为20x y -+=或7140x y -+=.

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查利用直线与圆相切求参数以及根据弦长求直线方程，解答的核心就是圆心到直线的距离的计算，考查计算能力，属于中等题. 24. 已知函数()()

2

*

2N f x ax x c a c =++∈、满足：① ()15f =；② ()6211f <<.

（1）求a ，c 的值；

（2）若对任意的实数13,22x ??

∈????

，都有()21f x mx -≤成立，求实数m 的取值范围.

【答案】（1）1a =，2c =；（2）9

4

m ≥. 【解析】 【分析】

（1）把条件①()15f =；②()6211f <<，代入到()f x 中求出a c 、即可； （2）不等式()21f x mx -≤恒成立，设()()()2

2212g x f x mx x m x =-=+-+

则分()2112

m --≤，()2112

m --

>两种情况讨论，

只需()max 329

3124g x g m ??==-≤ ???

即可.

【详解】（1）∵ ()(

)2

*

N

2,f x ax x c a c =++∈，

满足(1)5f =， 可得25a c ++=， 即3a c +=， ∵6(2)11f <<， ∴64411a c <++<， 即644311a a <++-<， ∴134a -<<， ∴14

33

a -

<<， ∵*,N a c ∈， ∴ 1a =，2c =；

（2）由（1）得()2

22f x x x =++，

设()()()2

2212g x f x mx x m x =-=+-+，

①当()2112

m --

≤，

即2m ≤时，

()max 329324g x g m ??==- ???，

故只需

29

314m -≤， 解得25

12

m ≥，与2m ≤不合，舍去；

②当()2112

m --

>，

即2m >时，()max 113

24

g x g m ??==-

???， 故只需

13

14m -≤， 解得9

4m ≥，又2m >，

故94

m ≥

综上，m 的取值范围为9

4

m ≥. 【点睛】方法点睛：

不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.