弹簧质量系统瞬态响应分析

弹簧质量系统瞬态响应分析

一、弹簧系统研究的背景、研究的目的和意义及国内外研究趋势分析

1.1 弹簧质量系统提出的背景、研究的目的和意义

弹簧作为储能元件，在减振器机械缓冲器等方面得到越来越广泛的应用。而由螺旋弹簧与质量块组成的螺旋弹簧系统可以说几乎在任何机电仪器和设备中都有它的存在。作为一常用零部件，其各项性能指标，尤其是其强度指标，直接或间接地影响整机的性能和工作质量。因此对螺旋弹簧质量系统的机械性解响应及其强度分析受到了国内外专家，学者和工程技术人员的普遍重视。载荷下弹簧质量系统的瞬态响应，这个问题具有广泛的意义和实际应用价值。

1.2 弹簧质量系统在国内外同一研究领域的现状与趋势分析

关于载荷作用下弹簧质量系统的工作和文献很多,大多数问题都是围绕着,螺旋弹簧质量系统在承受静载荷或低频周期性载荷的情况下进行分析的。其结论主要适用于对螺旋弹簧质量系统的静强度分析和固定载荷下的可靠性。实验结果和经验表明,造成弹簧失效的一个主要原因是:当它承受突加载荷时,产生的冲激响应。在冲激载荷下,弹簧失效数目很多,往往经静强度分析或固定载荷分析的结论是可靠的,而实际情况是不可靠的。所以激载荷下的可靠性设计就不得不被提出来了。但这方面文献非常少,实验数据也不多。

就弹簧质量系统在57火炮输弹系统的应用而言，螺旋弹簧失效主要是冲激失效,对这个问题的研究,美国、俄罗斯的水平较高,它们的主要工作是从提高材料性能上大量的实验进行的。其寿命指标可达

2000次,我国的现有水平较差,平均寿命在500一1000次之间,所以,对输弹系统进行寿命估计,找出问题,具有很大的应用价值和经济价值。

二、一维单自由度弹簧质量系统固有频率理论推导

2.1无阻尼弹簧质量系统的自由振动

如图1 所示，就是本文要讨论的单自由度无阻尼系统。

该系统有质量为m 的重物（惯性元件）和刚度为k的弹簧（弹性元件）组成。假设不考虑重物的尺寸效应，可以用一个简单质点来表示这一类重物。为了描述图示系统位置，采用如图 1 所示的单轴坐标系。坐标原点选取在质点静平衡位置，用x 表示质点在任意时刻处于坐标系中的坐标，以向下的方向为正。在此系统运动过程中，x 是时间t 的函数，可以称为质点的位移函数。由于只需要一个空间坐标x，就可以完全确定图中质点任意时刻的位置，因此可以认为该系统就是单自由度系统。不考虑阻尼的情形下，系统将在初始条件激励下，围绕静平衡点做无阻尼自由振动。

2.2 振动方程的建立方法

2.2.1 用牛顿第二定律法建立微分方程

牛顿第二定律又称运动定律，即物体动量的改变与施加的力量成正比。对于图示系统，定义质点的静平衡位置为坐标原点，则质点与

坐标原点O 的距离为x，可得作用在质点上的弹簧力为

fs= - k（x + ξs）（1）

式中，ξs= mg / k表示弹簧在重物作用下的静伸长（力的作用），符号表示力fs

的方向始终与（x + ξs）的方向相反，其作用是始终试图恢复弹簧的原长，一般称为弹性恢复力。又由牛顿第二定律有

mg + fs= mx″（2）

上两式运算结果得

m x″+ kx = 0 （3）

式（3）就是图1 所示单自由度无阻尼系统的自由振动微分方程，其是一个二阶线性常系数齐次微分方程。为了使得图 1 所示系统产生自由振动，需要有一个初始激励，或者说系统应该有一个非零的初始状态。初始激励，也就是初始扰动，通常由t = 0 时刻的位移和速度来表示，即为

x(0) =x o x(o)′=x o′

2.2.2用能量法建立系统微分方程

对于本文讨论的假设情形无阻尼状态，那么可以认为是不存在能量耗散，也不会对外提供额外能量，那么系统的机械能是守恒的。机械能守恒的数学表达式为

T max= U max (4)

式中，T max为系统动能最大值；U max为系统势能最大值；等式含义即是系统的动能最大值等于势能的最大值。在此还有另一种表达方式

T + U = 常数（5）

求导后有

d/d t(T+U) = 0 （7）

根据图 1 的弹簧质量体系，若把坐标原点选在质点的静平衡位置，选择质点m 的任意时刻坐标为x，可以求得任意时刻系统动能为

T =1/2mx2

假定系统在静平衡的位置作为势能零点，对于质点m 处于x 位时刻的系统势能为

U =1/2kx2

把T 和U 代入（7）可得：

(m x″+kx)x′= 0 （8）

考虑到x′不可能恒为零，可得m x″+kx = 0即获得和式（3）相同的微分方程。因此，可以得出结论，即使使用方法的不同，不影响同一系统具有相同的运动微分方程。

3 运动微分方程的求解

通过上边的微分方程建立，可知同一系统的运动微分方程具有唯一形式，下边将对此微分方程进行求解。

3.1 振动微分方程的求解与振动特性分析

这是一个常系数微分方程，可以直接解出。假设方程（3）具有如下形式的特解

x（t）= Ceλt，代入式（13）得（mλ2+k）Ceλt= 0

由于系统的振动位移不恒等于零，因此可得mλ2+k = 0，此式即为式

（3）的特征方程。解方程易得

λ= ±iω

此式中i =(-1)1/2，ω=(k/m)1/2。由特征根可以得到式（3）的通解为x（t）= C1e iω t+C2e-iω t（9）

此式即为质点任意时刻的运动轨迹方程的复数表达方式，式中C1和C2均为待定常数。为了更清楚看出运动的特点，可以用欧拉公式进行转化，以三角函数来表示运动的轨迹。根据欧拉公式代入式（9）并整理有[4]x（t）=（C1+ C2）cos（ωt）+（i C1- C2）sin（ωt），由C1和C2均为待定常数，而且C1和C2必须为一对共轭复数，进一步整理得

x（t）= C cos（ωt）+D sin（ωt）（10）

式中，C 和D 均为待定常数，进一步三角变化得

x（t）= Asin（ωt+φ）（11）

式中的A 和φ均为由初始条件确定的待定常数。此时可以看出，本文讨论的质量体系的运动方式为一个以 A 为振幅，以ω为固有频率，以φ为初始相位的无阻尼简谐振动。其中ω=（k/m）1/2即为简谐振动的固有频率。必须强调，以上计算都是以忽略弹簧自身质量作为基础的。

2.3.2 考虑弹簧自身质量情况下的固有频率计算

一般的理论力学考虑中，弹簧自身质量都是不予考虑的。但是在实际工程中，大型弹簧的实际质量很大，在固有频率的计算中，忽略弹簧自身质量之后的影响非常大，因此有必要给出考虑弹簧自身质

量之下的弹簧质量系统固有频率的计算结果，并和理想状况下的固有频率进行对比。方程的建立，使用能量法。如图 2 所示，可设弹簧长度为l，单位长度的质量为ρ，坐标原点选在系统静平衡处，当弹簧端点的位移是x 的时候，静平衡时刻距离固定支点端距离为s 处，弹簧位移为sx / l，此处的质量为ρds。

此时可知，弹簧的动能为

则系统的总动能为

而系统的总势能为

根据式（7）

以及微分方程求解如文中第3

节计算得考虑了弹簧质量情况下的弹簧质量系统的固有频率

三、多弹簧系统下应用有限元对固有频率推导及推广

3.1有限元单元法的基本思路

弹性力学解法的问题弹性力学解法的问题在于：不论是应力函数解法数解法、扭转函数解法、挠曲函数解法、还是基于最小势能原还是基于最小势能原理的瑞利－李兹等方法，其困难在于如何给出一个在全求解区给出一个在全求解区域上均成立的试探函数。

在有限单元法里在有限单元法里，这个问题通过定义分片插值的位移或应力函数得到了巧妙的解决。对于任意单元对于任意单元(i,j,m)以结点位移以结点位移(u,u ,u )为待定系数，可以给出该单元的插值函数：

线性代数方程组的求解在数学上是极其容易的。也就是说有限元法通过单元离散和最小势能原理小势能原理，避开了微分方程直接求避微分方程直接求解在数学上的困难，把定解条件下的微分方程组的

求解巧妙地转化为线性方程组的运算，实现了任何复杂弹性力学问题轻易分析计算。

3.2有限元单元法求解问题的的基本步骤

(1)建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。

(2) 区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作，这部分工作量比较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外，还要表示节点的位置

坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。

（ 3）确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插值条件的插值函数作为单元基函数。有限元方法中的基函数是在单元中选取的，由于各单元具有规则的几何形状，在选取基函数时可遵循一定的法则。

(4) 单元分析：将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近；再将近似函数代入积分方程，并对单元区域进行积分，可获得含有待定系数(即单元中各节点的参数值)的代数方程组，称为单元有限元方程。

(5) 总体合成：在得出单元有限元方程之后，将区域中所有单元有限元方程按一定法则进行累加，形成总体有限元方程。

(6) 边界条件的处理：一般边界条件有三种形式，分为本质边界条件(狄里克雷边界条件)、自然边界条件(黎曼边界条件)、混合边界条件(柯西边界条件)。对于自然边界条件，一般在积分表达式中可自动得到满足。对于本质边界条件和混合边界条件，需按一定法则对总体有限元方程进行修正满足。

(7) 解有限元方程：根据边界条件修正的总体有限元方程组，是含所有待定未知量的封闭方程组，采用适当的数值计算方法求解，可求得各节点的函数值。

3.3求解计算结果的整理和有限元法后处理