与焦半径相关的圆锥曲线的解题技巧
焦半径、焦点弦、焦点三角形的巧妙应用
提示：会推导、会运用，可以简化运算
（一）焦半径
有两种计算方式：根据离心率、坐标；根据离心率、焦准距、倾斜角。 1）焦半径 根据离心率、坐标计算，焦半径的代数形式
椭圆： （图1） （图2）
F1、F2为椭圆的焦点，椭圆的一点A （x ，y ），A 与F1、F2的线段AF1、AF2叫做焦半径，分别设为r1、r2，根据椭圆第二定义有：
2111'()''AF r a e r AA e x e a ex AA AA c ==?=?=+?=+ 左焦半径
2222'()''AF r a e r AA e x e a ex AA AA c
==?=?=-?=- 右焦半径
椭圆的焦半径：左加右减。
长轴在y 轴上可以比照，易得上减下加。左边下边都为负，不足都要加。 双曲线：
（图3）
（图4）
双曲线为双支，焦半径可能在一支上，也可能在两支上。在一支上时，称之为内焦半径，通常也叫焦半径。在两支上叫外焦半径。
以焦点在左支上为例，推导左焦半径公式。设内焦半径AF1为r1，根据双曲线第二定义有：
2111'(''''')()''F A r a e r AA e AA A A e x e a ex AA AA c ==?=?=-=--?=--
同理，右支2
211'()''F A r a e r AA e x e a ex AA AA c
=
=?=?=-?=-+ 双曲线焦半径，与椭圆有两点相反，左减右加，半长轴取反。
实轴在y 轴上，可以比照，易得上加下减。联想特征：左边下边都为负，要减一起减。 可以从图形上理解，双曲线的左半支相当于抛物线的右半支。 以左焦点为起点的外焦半径，根据双曲线第二定义有：
2
122'(""')()''F B r a e r BB e BB B B e x e a ex BB BB c
==?=?=+?=+?=+
同理，以右焦点为起点的外焦半径公式：
2222'()''F B r a e r BB e x e a ex BB BB c
==?=?=-+?=-
双曲线外焦半径，与椭圆相同。不作要求，高考中未见。 抛物线：
抛物线2
2(0)y px p =>，C(x,y)为抛物线上的一点，焦半径|CF|=|x|+
2
p
。 例1 （2000年高考（理工）22题）已知梯形ABCD 中，|AB|=2|CD|，点E 分有向线段AC 所成的比为λ ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点。当23
34
λ≤≤ ，求双曲线的离心率的取值范围。
解析：
这是一道高考压轴题，难度较大。
建立坐标系，给出A 、B 坐标，由|AB|=2|CD|和对称性可知C 的坐标为（
,2
c
h ），h 为梯形的高。由定比分点公式可求出E 的坐标，而E 、C 都在双曲线上，代入双曲线方程。这是常规处理方式，很费事。 常规解法见 。
这里用焦半径概念求解。根据向量知识或定比分点公式，先求出E 、C 的横坐标，再求焦半径AE 、AC ，这样，只用处理λ 和c 的关系，关系简单纯粹。 AE= E ex a -- ，AC= C ex a +，EC=AC-AE=()2C E e x x a ++，()2E C E ex a AE EC e x x a
λ--=
=++ 将(2)212(1)E c c c x λλλλ-+?
-+==++ ，2C c x = 代入上式，则
(2)2(1)(2)[]222(1)c e a c c e a λλλλλ-+--+=-++++ 即2
22(2)
1
2132(1)
21(2)11[]222(1)
e e e λλλλλλλλ-+--++=?==-+-+--+++。再由2334λ≤≤，得到
3341λ≤
≤-，372101λ
≤-+≤-710e ≤≤。
2）焦半径 根据离心率、焦准距、倾斜角计算，焦半径的统一公式 长焦半径r=
1cos ep e θ- ，短焦半径r=1cos ep
e θ
+。
根据图象判断，如椭圆的左上支，椭圆的右下支，就是长焦半径，无需记忆。 同样，双曲线、抛物线也是根据图象判断长短。
外焦半径，只有双曲线才有，比较复杂，且高考中，暂未发现此类题目，只简单介绍。
（图5） （图6）
内外焦半径推导如下：
椭圆的左半边、双曲线右支、开口向右的抛物线的内分焦半径推导：
111cos 1cos AF AF AF AF ep
e AF AA AA A M MA p AF e θθ
====?=++- （*） 椭圆的右半边、双曲线左支、开口向左的抛物线的内分焦半径推导：
111cos 1cos BF BF BF BF ep
e BF BB BB NB NB p BF e θθ
====?=--+ BF 也可根据AF 直接写出，θ 为线段与正方向的夹角，这时θ为θ+π。 外分焦半径，仅双曲线拥有，这里以从左焦点伸向右支为例(不作要求)：
11cos cos 1
AF AF AF ep
e AF AA AM A M AF p e θθ===?=--- P 叫焦准距，p=2b c
（椭圆、双曲线） 。
例2 （2012 江苏高考19题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>
的左右焦点分别为F1（-c ，0），F2（c ，0）。已知（1，e ）和（e ，3
2
）都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率。 （1） 求椭圆的方程；
（2） 设A ，B 是椭圆上位于X 轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2、BF1交
于点P 。
（i ） 若6
，求直线AF1的斜率； （ii ）
求证PF1+PF2是定值。
解析：这道题压轴题，很难，据闻得分率很低。
（1）代入两已知点易求得a 、b 的值；
（2）的（i ）按通法应设出AF1、BF2方程，分别与椭圆方程联立，得出AF1、BF2的长。可设x=my-1或x=my+1。（ii ）一看就知可能要用平面几何的平行线性质。 显然用焦半径的统一公式或者焦半径的代数形式能简化运算。
解：（1）将两已知点代入椭圆方程有222
2222222222
224
21111
233
14411e a b a b a a b a b e a b a b a b ??-+=+=???=???
?????=????-+=+=???? 所以椭圆方程是2
212
x y += 。 （2）解一：焦半径的统一形式 （i ）设∠AF1X=θ，则
2121222
2cos ,,1cos 1cos 1cos ep ep e p AF BF AF BF e e e θθθθ==-==-+- ，
又22
221(),12c b e p a c ===== ，代入上式解得
cos θθ==（舍） 所以AF1的斜率
=tan 2
θ= 。 解二：焦半径的代数形式
设A(x1,y1)、B （x2，y2），∠AF1X=θ， 则AF1=a+ex1，BF2=a-ex2
。
121212()2
AF BF a ex a ex x x -=+--=
?+=又AF1∥BF2，所以
12122112
11
23()40x x x x x x a ex a ex +-=?+--=+- 。
联立则得2
1112(6401x x x x +-+-=?=
=（舍）
所以1
1
1
1
1
cos
x
a ex
θ
+
+
===
+
因为A、B在X轴上方，且AF1＞BF2，所以k＞0，
即
k=tan
2
θ===。
（ii）111111
1
211212
F P AF F P AF AF F B
F P
PB BF F B AF BF AF BF
?
=?=?=
++
222222
2
121212
F P BF F P BF AF F B
F P
AP AF F A AF BF AF BF
?
=?=?=
++
，所以
1122121212 12
121212
(2)(2)2
2
AF F B AF F B AF a BF a AF F B AF BF
F P F P a
AF BF AF BF AF BF
?+??-+-??+===-
+++
解一：焦半径的统一形式
将
12
,
1cos1cos
ep ep
AF BF
e e
θθ
==
-+
代入上式得：
22
2
12
2
2
1cos1cos
2222
2 1cos1cos
ep ep
c b b
e e
F P F P a a ep a a
ep ep a c a
e e
θθ
θθ
??
-+
+=-=-=-?=-==
+
-+
解二：焦半径的代数形式
AF1=a+ex1，BF2=a-ex2
，由前知道
12
11
,
22
x x
==
。将
2
a e
==一起代入，
则AF1·BF2=
3
4
，AF1+BF2=
2
，所以
12
3
2*
4
32
F P F P
+==
解三：向量方法
设A(x1,y1)、B(x2,y2)、P(x0,y0)，
121122211221211221 (,)(,)()
AF BF x c y x c y x y x y c y y x y x y y y ?+-?-=+?-=+A
F2的方程1
1
(1)
1
y
y x
x
=-
-
，BF1的方程2
2
(1)
1
y
y x
x
=+
+
，
解得y0=
121221121212
2y y y y
x y x y y y y y =-+++。
又
00
122121221
,,,1y y PF PF AF a ex BF a ex BF y AF y ===-=+ ， 所以PF1+PF2=
0000000012212121212121
()()()()y y y y y y y y
BF AF a ex a ex a e x x y y y y y y y y ?+?=?++?-=++?-? 将y0
值代入，则有0000212121()()22
y y y y a e x x a e y y y y ++?-?=+==
。 注：
1、也可以把BF2迁移为F1A1，然后用参数方程来解。或者迁移后用通法解决。
2、要指明k ＞0或者说明k ＞0的理由。
3、应能根据题设条件知道，P 点实际上在另一个椭圆上。按此求解，可把问题转化为12,F P PB AP PF λλ== 。然后设出A （x1，y1）
、B （x2，y2）、P （x ，y ），求出x1、y1、x2、y2用x 、y 表示的表达式，然后代入椭圆方程整理可得到22
19188
x y += 4、这道题的（ii ）可以直接算出，因为AF1、BF2已经求出，所以AF2、BF1都能求出，进而可以求得PF1、PF2的长度。 （二）焦点弦
焦点弦长=两个焦半径的和。 1）根据离心率e 和坐标，代数形式
特别地，抛物线2
2(0)y px p =>，焦点弦长=|x1|+|x2|+p 。 2）根据离心率、焦准距和倾斜角 ，统一形式 AB=
2221cos 1cos 1cos ep ep ep
e e e θθθ
+=
-+- 通径，过焦点且垂直于长轴或实轴的弦称为通径。
令θ=90°，则得椭圆、双曲线的通径为2ep=2
2b a
，抛物线的通径为2p 。
特别地，抛物线的焦点弦长=
22sin p
θ
例3
过双曲线
22193x y -= 的右焦点作一倾斜角为3
π 的直线l ，求l 被双曲线截得的弦长。 解析：
这个弦长，与一般的弦长有所不同，那就是过焦点。当然可以把它当成普通的弦长来处理：直线方程与双曲线联立，检验△后，用韦达定理的固定套路来解决。L=2221|12|1(12)412k x x k x x x x +-=++- 。
也可以用直线的参数方程代入双曲线方程，然后|t1-t2|就是所求的线段长。
这里用焦点弦的弦长公式计算：e=2222233
,32
c a b a b p c a a c c +===-== ，
由直线l 的倾斜角知道，这是一种内分弦，焦点弦长L=
22
21cos ep
e θ
-。 L=222
233
2*
*
23231cos 2311(*)
ep e θ==-- 。 这种处理，比联立方程简单多了。
也可以不区分内分弦、外分弦，统一用含绝对值的公式即可。 （三）焦点三角形
推导如下：
椭圆的焦点三角形（上左图）
∠F1PF2=θ，F1F2=2c ，由余弦定理得 ：
2221212122cos F F PF PF PF PF θ=+-??
到了这里，对上式的变形非常重要，即把2212PF PF +配成2
1212()2PF PF PF PF +-?。
22221212121212122cos ()22cos F F PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF θθ=+-??=+-?-??即解得2
2
2
121222(1cos )(2)(2)1cos b PF PF a c PF PF θθ
+?=-??=+，
所以三角形面积=2212112sin sin tan 221cos 2
b PF PF b θ
θθθ??=?
?=+ 双曲线的焦点三角形（上右图） ∠F1PF2=θ，F1F2=2c ，由余弦定理得 ：
2221212122cos F F PF PF PF PF θ=+-??
到了这里，对上式的变形非常重要，即把2212PF PF +配成2
1212()2PF PF PF PF +-?。
22221212121212122cos ()22cos F F PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF θθ=+-??=-+?-??即解得2
2
2
121222(1cos )(2)(2)1cos b PF PF c a PF PF θθ
-?=-??=-，
所以三角形面积=2212112sin sin cot 221cos 2
b PF PF b θ
θθθ??=?
?=- 。 面积公式中的半角易当成整个角。
例4 （2004湖北高考）已知椭圆
22
1169
x y += 的左右焦点分别是F1、F2，点P 在椭圆上，若P 、F1、F2是直角三角形的顶点，则点P 到X 轴的距离为( )。
A.
95 B. 7 C. 94 D. 94
或7
解析：
求高，用2倍三角形的面积除以底边长即可得到。 这里的直角顶点显然不是确定的，要分类讨论。
若F1、F2是直角顶点，显然高为半通径=
29
4
b a = 。若点P 是直角顶点，θ=90°，面积=
2tan
2
b θ
=9。又面积=
122c h ch ??== ，所以。答案是D 。
如果不记得面积公式，但知道用余弦定理，并知道配成（PF1+PF2）的平方，也能求出。
例5 （2007年高考全国Ⅰ卷21题）如图，已知椭圆22
132
x y +=的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于B,D 两点，过F2的直线交椭圆于A,C 两点，且AC ⊥BD ，交点为P 。
（I ） 设P 点坐标为(x0,y0)，证明：22
00132
x y +
< （II ）
求四边形面积的最小值。
解析： 压轴题，（II ）难度较大。
（I ）P 在F1F2为直径的圆上，因此易证结论。 （II ）解法一：常规解法
BD 不会平行于x 轴和y 轴，可设BD 斜率为K ，写出直线方程，与椭圆方程联立，根据韦达定理和弦长公式得出BD 的表达式。因为AC ，BD 有交点，且互相垂直，所以直接把k 替换成
1
k
-就是AC 的表达式。 解法二：焦点弦方程
由已知条件知，22,213
b e p
c =
=== 。设DB 倾斜角为θ，则AC 的倾斜角为90θ?+。 222222
222,1cos 1cos (90)1sin ep ep ep
DB AC e e e θθθ
=
==--?++ ，所以 1
2
DB ·AC=2222222222
2224961cos 1sin 1cos 1sin 25()
2
ep ep e p e e e e θθθθ?≥=-+--- 用焦半径的统一形式或代数形式，都可以避开斜率是否存在的讨论。 练习：
1、 已知椭圆22
21(1)x y a a
+=> 的两个焦点为F1、F2，P 为椭圆上一点，且1260F PF ∠=? ，
则|PF1||PF2|的值为( )。
A. 1
B.
13 C. 43 D. 23
2、已知椭圆的中心在原点，F1、F2为左右焦点，P 为椭圆上一点，且
12111
2||||
PF
PF PF PF ?=-
，
△F1PF2，准线方程为x=3
±
，求椭圆的标准方程。 注意：演算后会得到两个方程，但有个方程的F1PF2的角度最大为60°，不合要求舍弃。
标准方程：22
14
x y += ，22143
x y +=（舍弃）。
3、（2014湖北）已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且∠F1PF2=
3
π
,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_________。 解析：
这道题告诉我们，不是所有与焦点有关的题目，用焦半径公式都方便。 设椭圆的长轴是2a ，双曲线实轴为2a ’，共同焦距为2c 。
不妨设F1P>F2P ，由题意知，F1P+F2P=2a ，F1P-F2P=2a ’，所以F1P=a+a ’,F2P=a-a ’。 在△F1PF2中，由余弦定理得：
222222*********cos (2)(')(')2(')(')cos 60F F F P F P F P F P F PF c a a a a a a a a =+-?∠?=++--+-?
整
理
并
应
用
柯
西
定
理
得
：
2222222222121212
'1313111
3'40()3()44()(1)()3a a a a c c c e e e e e e +-=?+=?+=?++≥
+
所以222121************()()(1)33e e e e e e +≤++=?+≤
。
圆锥曲线的统一焦半径公式在解题中的应用
圆锥曲线的统一焦半径公式 在解题中的应用 宜昌二中 黄群星 我们在解决有关直线与圆锥曲线的关系问题时，经常会用到焦半径公式。解决这类问题，我们可以用到的公式有：平面上两点之间的距离公式，弦长公式，三种圆锥曲线的焦半径公式，和圆锥曲线的统一焦半径公式。最后一个公式往往被大家忽视，现在我想专门谈谈这个公式的使用。 一．在椭圆中的运用： 例1：已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>> 的离心率为2 ，过右焦点F 且斜率为k （>0）的直 线与C 相交与A,B 两点，若3AF FB =,求k 的值。 解法一：∵ 2 e = ∴12b a = 设椭圆的方程为22 221,4x y b b += 右焦点为,0)， 设直线的方程为my x =，设1122(,),(,)A x y B x y 222440x y b my x ?+-=?? =? ?222 (4)0m y b ?++-= ∵3AF FB =1122,)3(,)x y x y ?--=123y y ?=-① 122 (4)y y m -+=+ ② 2 122(4) b y y m -?=+ ③ 将①带入②得 1224y y m ?=????=-?+? ∴2221222 94(4)m b b y y m m --?==++212m ?= k>0, ∴m>0, ∴2 m k ==解法二; 由题意得3AF FB = =cos 3θ?=
∴sin tan 3 k θθ= ==即 评述：解法二应用了圆锥曲线的统一焦半径公式，从而大大简化了解题的过程。那么，在什么情况下可以用这个公式呢？ 先看这个公式的结构：1cos ep PF e θ = ±，其中，e 是离心率，P 为焦准距，θ是过焦点 的直线的倾斜角，正是由于倾斜角的存在，使得这个公式在解决有关过焦点的直线的斜率和倾斜角的问题时相当便捷，而且，公式是根据圆锥曲线的统一定义推导出来，对椭圆，双曲线和抛物线都适用，这是它的一大优越之处。 二．在双曲线中的运用： 例2：双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12,l l ，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12,l l 于A,B 两点，已知,,OA AB OB 成等差数列，且,BF FA 同向 ① 求双曲线的离心率 ② 设直线AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程。 解：① 如图 ∵FA=b,OF=c, ∴OA=a ,∵OF 平分角∠AOB ∴OA AF OB BF = 设FB=mb,OB=m a ,则有2AB OA OB =+ 即12(1)2b m b a ma e a +=+? =∴= ② 设直线AB 的倾斜角为θ , cos b c θ= = ∴ 41c o s 1c o s e p e p e e θθ+=+- 4p p += 2 a P c c ?=-= 有∵ 6,3c a c b a ===∴= ∴ 双曲线的方程为 2 2 1369 x y -= 评述：双曲线的焦半径公式PF =a ex ±，由于正负号和绝对值符号的存在，使得这个公式在运用起来又很多不方便，而统一焦半径公式正好巧妙的解决了这一问题。 三．在抛物线中的使用： 例3：平面上一点P 到点F （1,0）的距离与它到直线x=3的距离之和为4， ① 求点P 的轨迹方程
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式 湖北省天门中学 薛德斌 一、圆锥曲线的极坐标方程 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹． 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θ ρcos 1e ep -=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆； 当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线； 当e=1时，方程表示开口向右的抛物线. 二、圆锥曲线的焦半径公式 设F 为椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P 为椭圆(双曲线的右支、抛物线)上任一点，则 ∵PQ e PF =，∴)cos (p PF e PF +=θ，其中FH p =，=θ〈x 轴，FP 〉 ∴焦半径θ cos 1e ep PF -=． 当P 在双曲线的左支上时，θcos 1e ep PF +- =. 推论：若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，则有 ep NF MF 211=+.
三、圆锥曲线的焦点弦长 若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ， 1、椭圆中，c b c c a p 2 2=-=，θ θπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=. 2、双曲线中， 若M 、N 在双曲线同一支上，θ θπθ2222 cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=； 若M 、N 在双曲线不同支上，2 222 cos 2cos 1cos 1a c ab e ep e ep MN -=--+-=θθθ. 3、抛物线中，θ θπθ2sin 2)cos(1cos 1p p p MN =--+-=. 四、直角坐标系中的焦半径公式 设P （x,y ）是圆锥曲线上的点， 1、若1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，则ex a PF +=1，ex a PF -=2； 2、若1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点， 当点P 在双曲线右支上时，a ex PF +=1，a ex PF -=2； 当点P 在双曲线左支上时，ex a PF --=1，ex a PF -=2； 3、若F 是抛物线的焦点，2p x PF + =.
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式 湖北省天门中学薛德斌 一、圆锥曲线的极坐标方程 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e的点的轨迹． 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F作相应准线的垂线，垂足为K，以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系． ep 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：. 1ecos 其中p是定点F到定直线的距离，p＞0． 当0＜e＜1时，方程表示椭圆； 当e＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线； 当e=1时，方程表示开口向右的抛物线. 二、圆锥曲线的焦半径公式 设F为椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P为椭圆(双曲线的右支、抛物线)上任一点，则 ∵PF e PQ，∴PF e(PF cos p)，其中p FH，〈x轴，FP〉∴焦半径PF ep ． 1ecos 当P在双曲线的左支上时，PF ep 1ecos . 推论：若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，则有 112 . MF NF ep
2 cos 2 . c 2 2 2 三、圆锥曲线的焦点弦长 若圆锥曲线的弦 MN 经过焦点 F ， a 2 b 2 ep ep 2ab 2 1、椭圆中， p ， MN c c 1 ecos 1 ecos( ) a 2 c 2、双曲线中， ep ep 2ab 2 若 M 、N 在双曲线同一支上， MN ； 1 ecos 1 ecos( ) a 2 c 2 cos ep ep 2ab 2 若 M 、N 在双曲线不同支上， MN . 1 ecos 1 ecos c 2 cos a 2 3、抛物线中， MN p p 2p . 1 cos 1 cos( ) sin 四、直角坐标系中的焦半径公式 设 P （x,y ）是圆锥曲线上的点， 1、若 F 、F 分别是椭圆的左、右焦点，则 PF 1 2 1 a ex ，PF 2 a ex ； 2、若 F 、 F 分别是双曲线的左、右焦点， 1 2 当点 P 在双曲线右支上时， PF 1 ex a ， PF 2 ex a ； 当点 P 在双曲线左支上时， PF 1 a ex ， PF 2 a ex ； 3、若 F 是抛物线的焦点， PF x p . 2
焦半径公式
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左准线为l，左右焦点分别为F1、F2，抛物线C2以F2为焦点，l为准线，点P是C1、C2的一个公共点，则 F1F2/PF1-PF1/PF2= 设点P的横坐标为m， 则由焦半径公式，PF1=a+em，PF2=a-em， 因为点P又在以F2为焦点，l为准线的抛物线上，l的方程为x=-a2/c； 所以，P到l的距离d=m-(-a2/c)=m+a2/c 抛物线满足：抛物线上的点到焦点的距离=到准线的距离； 所以d=PF2 即：m+a2/c=a-em 得：m=a2(c-a)/c(a+c) 所以，em=a(c-a)/(a+c) 所以，PF1=a+em=2ac/(a+c)，PF2=2a2/(a+c) 所以，F1F2/PF1=(a+c)/a，PF1/PF2=c/a； F1F2/PF1-PF1/PF2=(a+c)/a-c/a=1； 椭圆的焦半径公式
设M（xo，y0）是椭圆x^2/a^2+ y^2/b^2=1（a>b>0）的一点，r1和 r2分别是点M与点F1(-c，0)，F2(c，0)的距离，那么(左焦半径)r1=a+ex0，(右焦半径)r2=a -ex0，其中e是离心率。 推导：r1/∣MN1∣= r2/∣MN2∣=e 可得：r1= e∣MN1∣= e（a^2/ c+x0）= a+ex0，r2= e∣MN2∣= e（a^2/ c-x0）= a-ex0。 同理：∣MF1∣= a+ex0，∣MF2∣= a-ex0。 编辑本段双曲线的焦半径公式 双曲线的焦半径及其应用： 1：定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。 2．已知双曲线标准方程x^2/a^2-y^2/b^2=1 点P(x,y)在左支上 │PF1│=-(ex+a) ；│PF2│=-(ex-a) 点P(x,y)在右支上 │PF1│=ex+a ；│PF2│=ex-a 编辑本段抛物线的焦半径公式 抛物线r=x+p/2 通径:圆锥曲线（除圆）中，过焦点并垂直于轴的弦 双曲线和椭圆的通径是2b^2/a焦准距为a^2/c-c 抛物线的通径是2p 抛物线y^2=2px (p>0)，C(Xo，Yo)为抛物线上的一点，焦半径|CF|=Xo+p/2.
圆锥曲线焦半径
设A 11(,)x y 椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数（焦准距倒数的2倍） 11112||||ep AF BF +=22a b = 椭圆中（A 点靠下，过2F 类似）21||cos b AF a c θ=+，2 1||cos b BF a c θ =-，θ为焦点弦的倾斜角. 椭圆焦半径公式：2111||[()]a AF e x ex a c =--=+；2 211||()a AF e x a ex c =-=- 双曲线的焦点弦同支（异支）的两个焦半径倒数之和（之差的绝对值）为常数（焦准距倒数的2倍） AB 同支11112||||ep AF BF +=22a b = AB 异支11112||||||ep AF BF -=22a b = 双曲线中（A 点靠下，过2F 类似）同左支21||cos b AF a c θ=-，2 1||cos b BF a c θ =+， θ为焦点弦的倾斜角；异支（B 点在右支）21|||cos |b AF c a θ=+,2 1|||cos |b BF c a θ=- 双曲线焦半径公式：11||||AF a ex =+，21||||AF a ex =- A 在左支：2111||()a AF e x a ex c =--=--；2 211||()a AF e x a ex c =-=-。 A 在右支：2111||[()]a AF e x ex a c =--=+；2 211||()a AF e x ex a c =-=- 抛物线的焦点弦（A 点靠下）的两个焦半径倒数之和为常数（焦准距倒数的2倍） 111122|||| ep p AF BF +==||1cos p AF θ=- ，||1cos p BF θ=+ 抛物线焦半径公式：1||2p AF x =+
焦半径公式的证明
焦半径公式的证明 【寻根】椭圆的根在哪里？自然想到椭圆的定义：到两定点F1，F2（|F1F2|=2c）距离之和为定值2a（2a>2c）的动点轨迹（图形）. 这里，从椭圆的“根上”找到了两个参数c和a. 第一个参数c，就确定了椭圆的位置；再加上另一个参数a，就确定了椭圆的形状和大小.比较它们的“身份”来，c比a更“显贵”. 遗憾的是，在椭圆的方程里，却看不到c的踪影，故有人开玩笑地说：椭圆方程有“忘本”之嫌. 为了“正本”，我们回到椭圆的焦点处，寻找c，并寻找关于c的“题根”. 一、用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式 数学题的题根不等同数学教学的根基，数学教学的根基是数学概念，如椭圆教学的根基是椭圆的定义.但是在具体数学解题时，不一定每次都是从定义出发，而是从由数学定义引出来的某些已知结论（定理或公式）出发，如解答椭圆问题时，经常从椭圆的方程出发. 【例1】已知点P（x，y）是椭圆上任意一点，F1（-c,0）和F2(c,0)是椭圆的两个焦 点.求证：|PF1|=a+；|PF2|=a -. 【分析】可用距离公式先将|PF1|和|PF2|分别表示出来.然后利用椭圆的方程“消y”即可. 【解答】由两点间距离公式，可知 |PF1|= (1) 从椭圆方程解出 (2) 代（2）于（1）并化简，得
|PF1|=(-a≤x≤a) 同理有|PF2|=(-a≤x≤a) 【说明】通过例1，得出了椭圆的焦半径公式 r1=a+ex r2=a-ex (e=) 从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点P（x,y）横坐标的一次函数. r1是x的增函数，r2是x的减函数，它们都有最大值a+c,最小值a-c.从焦半径公式，还可得椭圆的对称性质（关于x,y轴，关于原点）. 二、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径 用椭圆方程推导焦半径公式，虽然过程简便，但容易使人误解，以为焦半径公式的成立是以椭圆方程为其依赖的.为了看清焦半径公式的基础性，我们考虑从椭圆定义直接导出公式来. 椭圆的焦半径公式，是椭圆“坐标化”后的产物,按椭圆定义，对焦半径直接用距离公式即可. 【例2】P (x,y)是平面上的一点，P到两定点F1（-c，0），F2（c，0）的距离的和为2a（a>c>0）.试用x，y的解析式来表示r1=|PF1|和r2=|PF2|. 【分析】问题是求r1=f（x）和r2=g（x）.先可视x为参数列出关于r1和r2的方程组，然后从中得出r1和r2. 【解答】依题意，有方程组 ②-③得 代①于④并整理得r1-r2=⑤ 联立①，⑤得 【说明】椭圆的焦半径公式可由椭圆的定义直接导出，对椭圆的方程有自己的独立性.由于公式中含c而无b，其基础性显然. 三、焦半径公式与准线的关系
焦半径公式
如图，F 为圆锥曲线的焦点，l 为相应于焦点F 的圆锥曲线的准线，过点F 作准线l 的垂线，垂足为k ，令||FK p =，M 为圆锥曲线上任意一点，MN l ⊥于 N ，FH MN ⊥于H ，设xFM θ∠=，依圆锥曲线的统一定义有 || || MF e MN =⑴，又||||||||||co ||s MN NH MH FK MH p MF θ=±=±=+，代入(1)有 ||cos || MF e p MF θ =+，1|c |os ep MF e θ = -⑵。 若直线MF 交圆锥曲线于另一点M '，同理可证|cos |1ep M F e θ '= +⑶，由此还可推出过焦点F 的弦长为222||||||1cos 1cos 1cos ep ep ep MM MF M F e e e θθθ''=+=+= -+-⑷，两焦半径的比为||1cos ||1cos MF e M F e θθ+='-⑸。 例1：过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F ，作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别 为p 、q ，则11 p q +=4a 。 例2：已知椭圆长轴长为6， 焦距为过椭圆的左焦点1F 作直线交椭圆于M 、 N 两点，设21(0)F F M ααπ∠=≤≤，当α=566 ππ 或时，||MN 等于椭圆短轴长。 例3：过双曲线2 2 12 y x -=的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若实数λ使 得||AB λ=的直线l 恰有3条，则λ= 4 。 例4：过椭圆的一个焦点作一条与长轴夹角为30?的弦AB ，若||AB 恰好等于焦点到准线距离的2倍， 则此椭圆的离心率为2 3 。 例5：1F 、2F 分别是椭圆2212 x y +=的左、右焦点，过1F 作倾斜角为4π 的直线与椭圆交于P 、Q 两点， 求2F PQ 的面积。 解：首先求出边PQ 的长度，它是过焦点1F 的弦，其倾斜角 4π ，2a =，1b =，1c =， 故2|2 |PQ == - 而2F 到直线PQ 的距离为12sin ||4 F F π =2F PQ 的面积为14 23。 例6：过椭圆22 1 3x y +=的右焦点2F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，若22||:|2|AF BF =，则左焦点1F 到 直线 l 的距离d 。 例7：过双曲线222222b x a y a b -= P 、Q 两点，若OP OQ ⊥，||4PQ =，则双曲线的方程为2233x y -=。 解：设直线PQ 的倾斜角为θ，则tan θ= 23 sin 8 θ=，又设直线PQ 的方程为)y x c =-，11() ,P x y ，22(),Q x y ，OP OQ ⊥，1212 0x x y y ∴+=，即1212 0)()x x x c x c --=，化简得2121238()30c x x x x c +--=⑴，将直线方程代入双曲线方程，整理得22222222()()356350a b x a cx a c a b --++=，将上述方程的根与系数的关系代入⑴化简整理得2 2 3b a =⑵，由弦长公式④得2 22222 24|||/8| 5343ab b a ab b c =?-=-⑶，将⑵代入⑶化简，即得21a =，从而23b =，故所求双曲线方程为2233x y -=。
圆锥曲线的焦半径(角度式)
圆锥曲线的焦半径——角度式 一 椭圆的焦半径 设P 是椭圆22 221x y a b +=（0a b >>）上任意一点，F 为它的一个焦点，则 PFO θ∠=，则2 cos b PF a c θ = - 上述公式定义PFO θ∠=，P 是椭圆上的点，F 是焦点，O 为原点，主要优点是焦点在左右上下均适用，无需再单独讨论 证明：设PF m =，另一个焦点为F '，则PF FF FP ''=- 两边平方得：2 2 2 2PF FF FF FP FP '''=-?+ 即：222(2)44cos a m c cm m θ-=++ 得：2 cos b PF a c θ =- 1 过椭圆22 143 x y +=的右焦点F 任作一直线交椭圆于A 、B 两点，若AF BF += AF BF λ，则λ的值为 2 （2002全国理）设椭圆22 221x y a b +=（0a b >>）的一个焦点F ，过F 作一条直 线交椭圆于P 、Q 两点，求证：11 PF QF +为定值，并求这个定值 结论：椭圆的焦点弦所在的焦半径的倒数和为定值，即 2112a AF BF b +=
3（2007重庆理）在椭圆22 221x y a b +=（0a b >>）上任取三个不同的点1P ，2P ，3P ， 使122223321PF P P F P P F P ∠=∠=∠，2F 为右焦点，证明12 2232111 PF P F P F ++为定值，并求此定值 结论：若过F 作n 条夹角相等的射线交椭圆于1P ，2P ， ，n P ，则 21 211 1n na PF P F P F b +++ = 4 F 是椭圆2 212 x y +=的右焦点，由F 引出两条相互垂直的直线a ，b ，直线a 与 椭圆交于点A 、C ，直线b 与椭圆交于B 、D ，若1FA r =，2FB r =， 3FC r =， 4 FD r =，则下列结论一定成立的是（ ） A 1234 r r r r +++=1234r r r r +++=C 1234 1111r r r r +++=12341111 r r r r +++=5 F 是椭圆22 143 x y +=的右焦点，过点F 作一条与坐标轴不垂直的直线交椭圆于 A 、 B ，线段AB 的中垂线l 交x 轴于点M ，则AB FM 的值为 6（2010辽宁理）设椭圆C ：22 221x y a b +=（0a b >>）的左焦点为F ，过点F 的 直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，2AF FB =
圆锥曲线的极坐标方程焦半径公式焦点弦公式
圆锥曲线的极坐标方程 极坐标处理二次曲线问题教案 知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹． 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θ ρcos 1e ep -=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆； 当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线； 当e=1时，方程表示开口向右的抛物线. 引论（1）若 1+cos ep e ρθ = 则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若1-sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线
当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线 （3）1+sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编 （1）二次曲线基本量之间的互求 例1.确定方程10 53cos ρθ = -表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。 解法一：31025333 1cos 1cos 55 ρθθ? ==-- 31053 e P ∴==， 2332555851015103383c a c a a b a c c c ???===??????∴????????-===?????? 2225155( )()882 b ∴=-= 31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，25 54 长轴长，短轴长 解法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为0，因此只需 令0θ=，右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。根据左右顶点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴。 点睛，解法一采用待定系数法比较常规，解法二利用极坐标的定义， 简洁而有力，充分体现了极坐标处理问题的优势。下面的弦长问
2020年焦半径公式的证明
作者：旧在几 作品编号：2254487796631145587263GF24000022 时间：2020.12.13 焦半径公式的证明 【寻根】椭圆的根在哪里？自然想到椭圆的定义：到两定点F1，F2（|F1F2|=2c）距离之和为定值2a（2a>2c）的动点轨迹（图形）. 这里，从椭圆的“根上”找到了两个参数c和a. 第一个参数c，就确定了椭圆的位置；再加上另一个参数a，就确定了椭圆的形状和大小.比较它们的“身份”来，c比a更“显贵”. 遗憾的是，在椭圆的方程里，却看不到c的踪影，故有人开玩笑地说：椭圆方程有“忘本”之嫌. 为了“正本”，我们回到椭圆的焦点处，寻找c，并寻找关于c的“题根”. 一、用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式 数学题的题根不等同数学教学的根基，数学教学的根基是数学概念，如椭圆教学的根基是椭圆的定义.但是在具体数学解题时，不一定每次都是从定义出发，而是从由数学定义引出来的某些已知结论（定理或公式）出发，如解答椭圆问题时，经常从椭圆的方程出发. 【例1】已知点P（x，y）是椭圆上任意一点，F1（-c,0）和F2(c,0) 是椭圆的两个焦点.求证：|PF1|=a+；|PF2|=a -.
【分析】可用距离公式先将|PF1|和|PF2|分别表示出来.然后利用椭圆的方程 “消y”即可. 【解答】由两点间距离公式，可知 |PF1|= (1) 从椭圆方程解出 (2) 代（2）于（1）并化简，得 |PF1|=(-a≤x≤a) 同理有|PF2|=(-a≤x≤a) 【说明】通过例1，得出了椭圆的焦半径公式 r1=a+ex r2=a-ex (e=) 从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点P（x,y）横坐标的一次函数. r1是x的增函数，r2是x的减函数，它们都有最大值a+c,最小值a-c.从焦半径公式，还可得椭圆的对称性质（关于x,y轴，关于原点）. 二、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径 用椭圆方程推导焦半径公式，虽然过程简便，但容易使人误解，以为焦半径公式的成立是以椭圆方程为其依赖的.为了看清焦半径公式的基础性，我们考虑从椭圆定义直接导出公式来. 椭圆的焦半径公式，是椭圆“坐标化”后的产物,按椭圆定义，对焦半径直接用距离公式即可. 【例2】P (x,y)是平面上的一点，P到两定点F1（-c，0），F2（c，0）的距离的和为2a（a>c>0）.试用x，y的解析式来表示r1=|PF1|和r2=|PF2|.
与焦半径相关的圆锥曲线的解题技巧
焦半径、焦点弦、焦点三角形的巧妙应用 提示：会推导、会运用，可以简化运算 （一）焦半径 有两种计算方式：根据离心率、坐标；根据离心率、焦准距、倾斜角。 1）焦半径 根据离心率、坐标计算，焦半径的代数形式 椭圆： （图1） （图2） F1、F2为椭圆的焦点，椭圆的一点A （x ，y ），A 与F1、F2的线段AF1、AF2叫做焦半径，分别设为r1、r2，根据椭圆第二定义有： 2111'()''AF r a e r AA e x e a ex AA AA c ==?=?=+?=+ 左焦半径 2222'()''AF r a e r AA e x e a ex AA AA c ==?=?=-?=- 右焦半径 椭圆的焦半径：左加右减。 长轴在y 轴上可以比照，易得上减下加。左边下边都为负，不足都要加。 双曲线： （图3） （图4）
双曲线为双支，焦半径可能在一支上，也可能在两支上。在一支上时，称之为内焦半径，通常也叫焦半径。在两支上叫外焦半径。 以焦点在左支上为例，推导左焦半径公式。设内焦半径AF1为r1，根据双曲线第二定义有： 2111'(''''')()''F A r a e r AA e AA A A e x e a ex AA AA c ==?=?=-=--?=-- 同理，右支2 211'()''F A r a e r AA e x e a ex AA AA c = =?=?=-?=-+ 双曲线焦半径，与椭圆有两点相反，左减右加，半长轴取反。 实轴在y 轴上，可以比照，易得上加下减。联想特征：左边下边都为负，要减一起减。 可以从图形上理解，双曲线的左半支相当于抛物线的右半支。 以左焦点为起点的外焦半径，根据双曲线第二定义有： 2 122'(""')()''F B r a e r BB e BB B B e x e a ex BB BB c ==?=?=+?=+?=+ 同理，以右焦点为起点的外焦半径公式： 2222'()''F B r a e r BB e x e a ex BB BB c ==?=?=-+?=- 双曲线外焦半径，与椭圆相同。不作要求，高考中未见。 抛物线： 抛物线2 2(0)y px p =>，C(x,y)为抛物线上的一点，焦半径|CF|=|x|+ 2 p 。 例1 （2000年高考（理工）22题）已知梯形ABCD 中，|AB|=2|CD|，点E 分有向线段AC 所成的比为λ ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点。当23 34 λ≤≤ ，求双曲线的离心率的取值范围。 解析：
圆锥曲线的极坐标方程焦半径公式焦点弦公式
圆锥曲线的极坐标方程焦半径公式焦点弦公式 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
圆锥曲线的极坐标方程 极坐标处理二次曲线问题教案 知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．？ 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系．？ 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：θ ρcos 1e ep -=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；？ 当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线； 当e=1时，方程表示开口向右的抛物线. 引论（1）若 1+cos ep e ρθ = 则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线
（2 ）若1-sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线 （3）1+sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编 （1）二次曲线基本量之间的互求 例1.确定方程10 53cos ρθ = -表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。 解法一：31025333 1cos 1cos 55 ρθθ? ==-- 解法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为0，因此只需令0θ=， 右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。根据左右顶点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴。 点睛，解法一采用待定系数法比较常规，解法二利用极坐标的定义，简洁而有 力，充分体现了极坐标处理问题的优势。下面的弦长问题的解决使极坐标处理的优势显的淋漓尽致。 （2）圆锥曲线弦长问题 若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，
(完整版)椭圆焦半径公式及应用
椭圆焦半径公式及应用 . 椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。 一、公式的推导 设P（，）是椭圆上的任意一点，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆，求证，。 证法1： 。 因为，所以 ∴ 又因为，所以 ∴， 证法2：设P到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知 ，又，所以，而 。 ∴，。 二、公式的应用 例1 椭圆上三个不同的点A（）、B（）、C（）到焦点F（4，0）的距离成等差数列，求的值。
解：在已知椭圆中，右准线方程为，设A、B、C到右准线的距离为，则、、。 ∵，，，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。 ∴，即，。 评析：涉及椭圆上点到焦点的距离问题，一般采用焦半径公式求解，即利用焦半径公式可求出A、B、C三点到焦点的距离，再利用等差数列的性质即可求出的值。 例2 设为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上。已知P、、是一个直角三角形的三个顶点，且，求的值。 解：由椭圆方程可知a=3，b=2，并求得，离心率。 由椭圆的对称性，不妨设P（，）（）是椭圆上的一点，则由题意知应为左焦半径，应为右焦半径。 由焦半径公式，得，。 （1）若∠为直角，则，即 ，解得，故。 （2）若∠为直角，则，即 = ，解得，故。
评析：当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离时，常利用焦半径公式把问题转化，此例就利用焦半径公式成功地求出值。 例3 已知椭圆C：，为其两个焦点，问能否在椭圆C 上找一点M，使点M到左准线的距离|MN|是与的等比中项。若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。 解：设存在点M（），使，由已知得a=2，，c=1，左准线为x=－4，则，即 ＋48=0，解得，或。 因此，点M不存在。 评析：在涉及到椭圆上的点与其焦点的距离时，如果直接用两点间距离公式，运算将非常复杂，而选用焦半径公式可使运算简
圆锥曲线的焦半径(角度式)
-> 7圆锥曲线的焦半径一角度式 一椭圆的焦半径 设P是椭圆务+条“ S心。）上任意-点，F为它的-个焦点，则 ■ 2 乙PFO = e,则 |PF| = ------ a-ccQsO 上述公式定义ZPFO = &, P是椭圆上的点，F是焦点，0为原点，主要优点是焦点在左右上下均适用，无需再单独讨论 证明：设PF另一个焦点为F,则PF = FF-FP 两边平方得：戸戶2=丽'-2両?帀+帀2 即：（2a — ///）" = 4c" + 4cni cos & + nr 得：叶— a-ccos0 1过椭圆手+宁】的右焦点F任作-直线交椭圆于A、B衲点,若的+阿= A AF BE .则＞1的值为 2（2002全国理）设椭圆壬+ ^1 （心心0）的-个焦点八过F作-条直 线交椭圆于P、。两点，求证：网+肉为定值，并求这个定值结论:椭圆的焦点弦所在的焦半径的倒数和为定值,即尙+侖=寻
3< 2007 M庆理）在椭圆4 + 21 = 1 （a>h>0）上任取三个不同的点时，P 「a~ Ir ■ 使= = 笃牛耳为右焦点，证明丽+丽+两为定值, 并求此定值 结论^若过F作"条夹角相等的射线交椭圆于L …，吒，则 na 4 F是椭圆+ + r=l的右焦点，山F引出两条相互垂直的直线b,直线"与乙 椭圆交于点A、C ,直线b与椭圆交于3、D ,若FA =/]f FC FD=i则下列结论一定成立的是（ B zj + 坊 +Zj+r, =4血 D - + - + - + - = 472 片「2 「3 「4 F是椭圆手+牛]的右焦点，过点F作-条与坐标轴不垂直的直线交椭圆于八B,线段A〃的中垂细如轴于点M,则緡的值为 6伽。辽宇理）设椭圆C： 5 +壬"5">0）的左焦点为F,过点F的 直线与椭圆C相交于A, 3两点，直线/的倾斜角为60° ,乔=2丽
圆锥曲线的焦半径公式
圆锥曲线的焦半径公式 圆锥曲线上任意一点到焦点的距离叫做圆锥曲线关于该点的焦半径。利用圆锥曲线的第二定义很容易得到圆锥曲线的焦半径公式。 1.椭圆的焦半径公式 (1)若P(x 0,y )为椭圆2 2 x a +2 2 y b =1(a>b>0)上任意一点，F 1 、F 2 分别为椭圆的左、右焦点，则 1 PF=a+e x0, 2 PF=a-e x . (2) 若P(x 0,y )为椭圆2 2 y a +2 2 x b =1(a>b>0)上任意一点，F 2 、F 1 分别为椭圆的上、下焦点，则 1 PF=a+e y0, 2 PF=a-e y . 2.双曲线的焦半径公式 (1)若P(x 0,y )为双曲线2 2 x a -2 2 y b =1(a>0，b>0)上任意一点，F 1 、F 2 分别为双曲线的左、右焦点，则
①当点P 在双曲线的左支上时，1PF =-e x 0-a,2PF = -e x 0+a. ②当点P 在双曲线的右支上时，1PF =e x 0+a,2PF = e x 0-a. (2)若P(x 0,y 0)为双曲线22y a -2 2x b =1(a>0，b>0)上任意一点， F 2、 F 1分别为双曲线的上、下焦点，则 ①当点P 在双曲线的下支上时，1PF =-e y 0-a,2PF = -ey 0+a. ②当点P 在双曲线的上支上时，1PF =ey 0+a,2PF = ey 0-a. 3.抛物线的焦半径公式 (1)若P(x 0,y 0)为抛物线y 2=2px(p>0)上任意一点，则PF = x 0+2 p (2) 若P(x 0,y 0)为抛物线y 2=-2px(p>0)上任意一点，则PF = -x 0+2p (3) 若P(x 0,y 0)为抛物线x 2=2py(p>0)上任意一点，则PF = y 0+2p (4)若P(x 0,y 0)为抛物线x 2=-2py(p>0)上任意一点，则PF = -y 0+2p 不能，请说明理由.(答案：点P 不存在)
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
圆锥曲线的极坐标方程 知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹． 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θ ρcos 1e ep -=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆； 当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线； 当e=1时，方程表示开口向右的抛物线. 引论（1）若 1+cos ep e ρθ = 则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若1-sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线
（3）1+sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编 （1）二次曲线基本量之间的互求 例1.确定方程10 53cos ρθ = -表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。 解法一：31025333 1cos 1cos 55 ρθθ? ==-- 31053 e P ∴==， 2332555851015103383c a c a a b a c c c ???===??????∴????????-===?????? 2225155( )()882 b ∴=-= 31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，25 54 长轴长，短轴长 解法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为0，因此只需 令0θ=，右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。根据左右顶点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴。 点睛，解法一采用待定系数法比较常规，解法二利用极坐标的定义， 简洁而有力，充分体现了极坐标处理问题的优势。下面的弦长问题的解决使极坐标处理的优势显的淋漓尽致。 （2）圆锥曲线弦长问题
坐标表示的焦半径公式
一．坐标表示的焦半径公式 1、椭圆（一类） 由代入整理得 , 同理， 可以假想点P在y轴右边，且x>0 帮助，显然总有符合椭圆定义。公式常见应用： （1）椭圆上点到焦点最远距离a+c,最近距离a-c （2）椭圆上三点A,B,C，若成等差数列，则到同一个焦点的焦半径也成等差数列。 （3）定义直线为椭圆的左右准线。 由焦半径公式，椭圆上任意一点P(x,y) 到对应焦点和对应准线的距离之比总等于离心率e. 2. 双曲线 由代入整理得 , 由双曲线上点 , 若点P在右支上，同理， .总有 . 若点P在左支上，同理， .总有 . 公示的应用： （1）若双曲线上同一支上的三点A,B,C，有成等差数列，则它们到同一个焦点的焦半径也成等差数列。 （2）定义直线为双曲线的左右准线。
由焦半径公式，双曲线上任意一点 P(x,y) 到对应焦点和对应准线的距离之比总等于离心率e. 3.抛物线 公式的应用：抛物线上三点A,B,C， 若，则。 二．圆锥曲线统一定义及方向角表示的焦半径公式 1、统一定义：平面上到定点F与定直线l 距离之比等于 常数e的点轨迹。若0
圆锥曲线焦半径的应用
圆锥曲线焦半径的应用 1．过抛物线C ：22(0)y px p => 的焦点F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点．若6AF =， 3BF =，则p 的值为_____ 2．过抛物线2:C y x =的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角 4 θπ≥，且点A 在x 轴上方，则||AF 的取值范围为 A ．1(,1]4 B ．1(,)4+∞ C ．1(,)2+∞ D ．1 (,14+ 3.已知抛物线x y 42=，F 为抛物线的焦点，过F 的直线l 与抛物线交于B A ,两点，若 ||||BF AF >且5||=AB ，则||BF = 4．已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，A 、B 为抛物线上两点，若=3，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为（ ） A ．8 B ．4 C ．2 D ． 5.P 为两曲线的一个公共点,且|PF|=5,则双曲线的实轴长为 ( ) A.1 B.2 C.-3 D.6 【解析】选B.抛物线y 2=8x 的焦点F(2,0),由题知:设点P(x 0,y 0), 则|PF|=x 0-(-2)=5,x 0=3,代入y 2=8x 得y 0=±2,P(3,±2). 又双曲线的焦点为F 1(-2,0),F 2(2,0).所以由双曲线的定义知: 2a=|PF 1|-|PF 2|=-=7-5=2. 6．设1F ，2F 是双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若126PF PF a +=，且12PF F △的最小内角的大小为30?，则双曲线C 的渐近线方程是（ ） A ．0x = B 0y ±= C ．20x y ±= D ．20x y ±= 【答案】B
椭圆焦半径公式及应用
椭圆焦半径公式及应用 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-
椭圆焦半径公式及应用 . 椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。 一、公式的推导 设P（，）是椭圆上的任意一点，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆，求证，。 证法1： 。 因为，所以 ∴ 又因为，所以 ∴， 证法2：设P到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知 ，又，所以，而 。 ∴，。 二、公式的应用 例1 椭圆上三个不同的点A（）、B（）、C（）到焦点F（4，0）的距离成等差数列，求的值。
解：在已知椭圆中，右准线方程为，设A、B、C到右准线的距离为，则、、。 ∵，，，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。 ∴，即，。 评析：涉及椭圆上点到焦点的距离问题，一般采用焦半径公式求解，即利用焦半径公式可求出A、B、C三点到焦点的距离，再利用等差数列的性质即可求出的值。 例2 设为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上。已知P、、 是一个直角三角形的三个顶点，且，求的值。 解：由椭圆方程可知a=3，b=2，并求得，离心率。 由椭圆的对称性，不妨设P（，）（）是椭圆上的一点，则由题意知应为左焦半径，应为右焦半径。 由焦半径公式，得，。 （1）若∠为直角，则，即 ，解得，故。 （2）若∠为直角，则，即 = ，解得，故。 评析：当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离时，常利用焦半径公式把问题转化，此例就利用焦半径公式成功地求出值。