小学奥数之完全平方数及应用(一)(含详细解析)

1. 学习完全平方数的性质；

2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程

3. 掌握完全平方数的综合运用。

一、完全平方数常用性质 1.主要性质

1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。

2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。

4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。

2.性质

性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9． 性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．

性质3：自然数N 为完全平方数?自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数

出现的次数都是偶数次，所以，如果p 是质数，n 是自然数，N 是完全平方数，且21|n p N -，则2|n p N ．

性质4：完全平方数的个位是6?它的十位是奇数．

性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位

是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．

性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．

3.一些重要的推论

1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。

2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。

3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。

4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。

5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。

6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。

7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。

知识点拨

教学目标

5-4-4.完全平方数及应用（一）

3.重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+-

模块一、完全平方数计算及判断

【例 1】 已知：1234567654321×49是一个完全平方数，求它是谁的平方? 【考点】完全平方数计算及判断 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 我们不易直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：121＝211；

12321＝2111；1234321＝21111……，于是，我们归纳为1234…n …4321=2(1111)n 个1

，所以，1234567654321：

11111112；则，1234567654321×49=11111112×72=77777772．所以，题中原式乘积为7777777的平方．

【答案】7777777

【例 2】 1234567654321(1234567654321)?++++++++++++是 的平方． 【考点】完全平方数计算及判断 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】祖冲之杯

【解析】 212345676543211111111=，212345676543217++++++++++++=，

原式22(11111117)7777777=?=．

【答案】7777777

【例 3】 已知自然数n 满足：12!除以n 得到一个完全平方数，则n 的最小值是 。 【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，6年级，第9题

【解析】 （法1）先将12！分解质因数：105212!235711=????，由于12!除以n 得到一个完全平方数，那么这

个完全平方数是12!的约数，那么最大可以为1042235??，所以n 最小为104212!2353711÷??=??231=。

（法2）12!除以n 得到一个完全平方数，12!的质因数分解式中3、7、11的幂次是奇数，所以n 的最小值是3711231??=。

【答案】231

【例 4】 有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数． 【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 平方数的末尾只能是0，1，4，5，6，9，因为111，444，555，666，999都不是完全平方数，所以所

求的数最小是4位数．考察1111，1444……可以知道14443838=?，所以满足条件的最小正整数是1444．

【答案】1444

【例 5】 A 是由2002个“4”组成的多位数，即20024

444

4个，A 是不是某个自然数B 的平方？如果是，写出B ；如果

不是，请说明理由．

【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 略

【答案】220024

2002444

421111A ==?个个1

．如果A 是某个自然数的平方，则20021111个1

也应是某个自然数的平方，

并且是某个奇数的平方．由奇数的平方除以4的余数是1知，奇数的平方减1应是4的倍数，

例题精讲

而200220011111111110-=个1

个1

不是4的倍数，矛盾，所以A 不是某个自然数的平方．

【巩固】 A 是由2008个“4”组成的多位数，即44

42008个4

，A 是不是某个自然数B 的平方？如果是，写出B ；如果

不是，请说明理由．

【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 略

【答案】不是．244

42111A ==?2008个1

2008个4

假设A 是某个自然数的平方，则1112008个1

也应是某个自然数的平方，并且是

某个奇数的平方．由奇数的平方除以4的余数是1知，奇数的平方减1应是4的倍数，而11111110

-=2008个1

2007个1

不是4的倍数，与假设矛盾．所以A 不是某个自然数的平方．

【例 6】 计算11112004个1

－222

21002个2

=A ×

A ，求A ． 【考点】完全平方数计算及判断 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 此题的显著特征是式子都含有1111n 个1

，从而找出突破口.

11112004个1

－222

21002个2

=11111002个1

000

01002个0

－11111002个1

=11111002个1

×（1000

01002个0

-1） =11111002个1

×（999

91002个9

）

=11111002个1

×（11111002个1

×3×3）=2A

所以，A ＝33331002个3

.

【答案】33331002个3

【例 7】 ①220044

20038

444

488889A =个个，求A 为多少?

②求是否存在一个完全平方数，它的数字和为2005？

【考点】完全平方数计算及判断 【难度】4星 【题型】解答

【解析】 ① 本题直接求解有点难度，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：

注意到有20044

20038

444

4888

89个个可以看成4

8

444

4888

89n 个n-1个，其中n ＝2004；

寻找规律：当n =1时，有2497=；

当n =2时，有2448967=；

当n =3时，有2444889667= ……

于是，类推有20044

20038444

488889个个=220036

66667个

方法二：下面给出严格计算： 20044

20038444

488889个个=4

444

4000

02004个2004个0

+20048888个8

+1；

则4

444

4000

02004个2004个0

+20048888个8

+1＝11112004个1

×（4×0

1000

02004个+8）+1

＝11112004个1

×［4×（9

999

92004个+1）+8］+1 ＝11112004个1

×［4×（9

999

92004个）+12］+1

＝2(1111)2004个1

×36+12×11112004个1

+1

＝2(1111)2004个1

×36+2×（6×11112004个1

）+1

＝22(666

661)(66667)+=2004个62003个6

② 由①知4

444

4888

89 n 个n-1个8

＝266667n-1个6

，于是数字和为(4n +8n -8+9)=12n +1；令12n +1=2005

解得n =167，所以4

444

4888

89 167个166个8

=266667166个6

。所以存在这样的数，是4

444

4888

89 167个166个8

【答案】（1）220036666

67个,（2）4

444

4888

89 167个166个8

=266667166个6

模块二、平方数特征 （1） 平方数的尾数特征

【例 8】 下面是一个算式：112123123412345123456+?+??+???+????+?????，这个算式的得数能

否是某个数的平方？ 【考点】平方数特征之平方数的尾数特征 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】华杯赛

【解析】 判断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少．平方数的个位数只能是0，1，4，5，

6，9，而2，3，7，8不可能是平方数的个位数． 这个算式的前二项之和为3，中间二项之和的个位数为0，后面二项中每项都有因子2和5，个位数一定是0，因此，这个0算式得数的个位数是3，不可能是某个数的平方．

【答案】不是

【例 9】 一个数与它自身的乘积称为这个数的平方．各位数字互不相同且各位数字的平方和等于49的四位数

共有________个． 【考点】平方数特征之平方数的尾数特征 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，5年级，第10题

【解析】 4914925=+++，1,2,3,5全排列共有24个。

【答案】24

【例 10】 用1～9这9个数字各一次，组成一个两位完全平方数，一个三位完全平方数，一个四位完全平方数．那

么，其中的四位完全平方数最小是 ． 【考点】平方数特征之平方数的尾数特征 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级，复试，11题

【解析】 四位完全平方数≥1234＞352＝1225，所以至少是362＝1296．当四位完全平方数是1296时，另两个平方

数的个位只能分别为4,5，个位为5的平方数的十位只能是2，但数字2在1296中已经使用．当四位完全平方数是372＝1369时，另两个平方数的个位只能分别为4,5，个位为5的平方数的十位一样只能是2，还剩下7,8，而784恰好为282．所以，其中的四位完全平方数最小是1369．

【答案】1369

【例 11】 称能表示成1+2+3+…+K 的形式的自然数为三角数，有一个四位数N ，它既是三角数，又是完全平方

数，N= 。 【考点】平方数特征之平方数的尾数特征 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】走美杯，初赛，六年级，第14题

【解析】 N =k ×(1+k)/2=m^2，4位数的话 2000<=k ×(k+1)<20000, 45<=k<=140，k=2n n*(2n+1)=N 。

n 与2n+1 互质 ，所以要均为平方数。平方数末尾149650。满足要求的是4950。 23<=n<=70 发现没有：k=2n-1， n ×(2n-1)=N 同上，满足要求是1650找到25 所以 k=49， N=1225， m=35。

【答案】1225

（2） 奇数个约数——指数是偶数

【例 12】 在224?=，339?=，4416?=，5525?=，6636?=，……等这些算是中，4，9，16，25，36，……

叫做完全平方数。那么，不超过2007的最大的完全平方数是_________。

【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，复赛，第4题，5分 【解析】 45×45=2025；44×44=1936，所以最大的是1936. 【答案】1936

【例 13】 写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数． 【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400

严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身) 如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数． 由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数? 18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630

之间的完全平方数为

192,202,212,222,232,242,252．

即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625．

【答案】361,400,441,484,529,576,625

【例 14】 1016与正整数a 的乘积是一个完全平方数，则a 的最小值是________． 【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】2星 【题型】填空

【解析】 先将1016分解质因数：310162127=?，由于1016a ?是一个完全平方数，所以至少为422127?，故a

最小为2127254?=．

【答案】254

【巩固】 已知3528a 恰是自然数b 的平方数，a 的最小值是 。 【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】2星 【题型】填空

【解析】 3223528237=??，要使3528a 是某个自然数的平方，必须使3528a 各个不同质因数的个数为偶数，由

于其中质因子3和7各有2个，质因子2有3个，所以a 为2可以使3528a 是完全平方数，故a 至少为2．

【答案】2

【例 15】 从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？ 【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 完全平方数，其所有质因数必定成对出现．

而327223266=?=??，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，

由于2313119222008232322048??=<

【答案】31

【例 16】 已知自然数n 满足：12!除以n 得到一个完全平方数，则n 的最小值是 。 【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，6年级

【解析】 （法1）先将12！分解质因数：105212!235711=????，由于12!除以n 得到一个完全平方数，那么这

个完全平方数是12!的约数，那么最大可以为1042235??，所以n 最小为104212!2353711÷??=??231=。

（法2）12!除以n 得到一个完全平方数，12!的质因数分解式中3、7、11的幂次是奇数，所以n 的最小值是3711231??=。

【答案】231

【例 17】 有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值

为 ． 【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】4星 【题型】填空

【解析】 考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧：一般

是设中间的数，这样前后的数关于中间的数是对称的．

设中间数是x ,则它们的和为5x , 中间三数的和为3x ．5x 是平方数，设2255x a =?,则25x a =，2231535x a a ==??是立方数，

所以2a 至少含有3和5的质因数各2个, 即2a 至少是225,中间的数至少是1125，那么这五个数中最小数的最小值为1123．

【答案】1123

【例 18】 求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以5后是5次方数． 【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】4星 【题型】解答

【解析】 为使所求的数最小，这个数不能有除2、3、5之外的质因子．设这个数分解质因数之后为235a b c ??，

由于它乘以2以后是完全平方数，即1235a b c +??是完全平方数，则(1)a +、b 、c 都是2的倍数； 同理可知a 、(1)b +、c 是3的倍数，a 、b 、(1)c +是5的倍数．

所以，a 是3和5的倍数，且除以2余1；b 是2和5的倍数，且除以3余2；c 是2和3的倍数，且除以5余4．可以求得a 、b 、c 的最小值分别为15、20、24，所以这样的自然数最小为152024235??．

【答案】152024235??

【例 19】 三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”．问：所有小

于2008的美妙数的最大公约数是多少？ 【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】华杯赛

【解析】 60345=??是一个美妙数，因此美妙数的最大公约数不会大于60．任何三个连续正整数，必有一个能

为3整除，所以，任何美妙数必有因子3．若中间的数是偶数，它又是完全平方数，必定能为4整除；若中间的数是奇数，则第一和第三个数是偶数，所以任何美妙数必有因子4．另外，由于完全平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9，若其个位是0和5，则中间的数能被5整除；若其个位是1和6，则第一个数能被5整除；若其个位是4和9，则第三个数能被5整除．所以，任何美妙数必有因子5．由于3，4，5的最小公倍数是60，所以任何美妙数必有因子60，故所有美妙数的最大公约数至少是60．综合上面分析，所有美妙数的最大公约数既不能大于60，又至少是60，所以，只能是60．

【答案】60

【例 20】 考虑下列32个数：1!，2!，3!，……，32!，请你去掉其中的一个数，使得其余各数的乘积为一个完

全平方数，划去的那个数是 ． 【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 设这32个数的乘积为A ．

2221!2!3!32!(1!)2(3!)4(31!)32A =???

?=????

??

2216(1!3!31!)(2432)(1!3!31!)216!=???????=?????，

所以，只要划去16!这个数，即可使得其余各数的乘积为一个完全平方数． 另外，由于16!1615!=?，而16也是完全平方数，所以划去15!也满足题意．

【答案】16!或15!，答案不唯一

【例 21】 一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？ 【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 设该数为1212n a a a n p p p ??

?，那么它的平方就是1222212n a a a n p p p ??

?，

因此()()()1221212139n a a a +?+??+=．

由于39139313=?=?，

⑴所以，1213a +=，22113a +=，可得11a =，26a =； 故该数的约数个数为()()116114+?+=个；

⑵或者，12139a +=，可得119a =，那么该数的约数个数为19120+=个． 所以这个数的约数个数为14个或者20个．

【答案】14个或者20个

【例 22】 有一个不等于0的自然数，它的12是一个立方数，它的13

是一个平方数，则这个数最小是 ． 【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，二试，第9题，5分

【解析】 设为23a b c （c 为不含质因子2，3的整数），则它的

1

2

是123a c -是立方数，所以1a -是3的倍数，b 是3的倍数，另外它的1

3

即123a b c -是一个平方数，所以a 是偶数，b 是奇数，符合以上两个条件的a 的最小

值为4，b 的最小值为3，这个数最小为432．

【答案】432

（3） 平方数的整除特性

【例 23】 三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”。问所有的小

于2008的“美妙数”的最大公约数是多少？

【考点】平方数特征之平方数的整除特性 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】华杯赛，决赛，第11题，10分

【解析】

①任何三个连续正整数，必有一个能为3整除．所以，任何“美妙数”必有因子3． ②若三个连续正整数中间的数是偶数，它又是完全平方数，必定能为4整除；若中间的数是奇数，则第一和第三个数是偶数，所以任何“美妙数”必有因子4．

③完全平方数的个位只能是1、4、5、6、9和0，若其个位是5和0，则中间的数必能被5整除，若其个位是1和6，则第一个数必能被5整除，若其个位是4和9，则第三个数必能被5整除．所以，任何“美妙数”必有因子5．

④上述说明“美妙数”都有因子3、4、和5，也就有因子60，即所有的美妙数的最大公约数至少是60．60=3×4×5是一个“美妙数”，美妙数的最大公约至多是60．所有的美妙数的最大公约数既不能大于60，又至少是60，只能是60。

【答案】60

【例 24】 证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数。 【考点】平方数特征之平方数的整除特性 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 略

【答案】由于奇数的平方是奇数，偶数的平方为偶数，而奇数的平方除以4余1，偶数的平方能被4整除．现在

这些数都是奇数，它们除以4的余数都是3，所以不可能为完全平方数．

【例 25】 记(123)(43)S n k =????++，这里3n ≥．当k 在1至100之间取正整数值时，有 个不同

的k ，使得S 是一个正整数的平方． 【考点】平方数特征之平方数的整除特性 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】少年数学智力冬令营

【解析】 一个平方数除以4的余数是0或1．当4n ≥时，S 除以4余3，所以S 不是平方数；当3n =时，

49S k =+，当k 在1至100之间时，S 在13至409之间，其中只有8个平方数是奇数：25，27，29，

211，213，215，217，219，其中每1个平方数对应1个k ，所以答案为8．

【答案】8

【例 26】 能够找到这样的四个正整数，使得它们中任意两个数的积与2002的和都是完全平方数吗？若能够，

请举出一例；若不能够，请说明理由． 【考点】平方数特征之平方数的整除特性 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 略

【答案】因为偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1，因此任一正整数的平方2n 被4除余0或1．

假设存在四个正整数1234n n n n 、、、，使得22002(1234)i j n n m i j i j +==≠，，

，，，．又2002被4除余2，故i j n n 被4除余2或3．

若1234n n n n 、、、中有两个偶数，如12n n 、是偶数，那么12n n 是4的倍数，2002i j n n +被4除余2，，所以不可能是完全平方数；

因此1234n n n n 、、、中至多只有一个偶数，至少有三个奇数．设123n n n 、、为奇数，4n 为偶数，那么123n n n 、、被4除余1或3，所以123n n n 、、中至少有两个数余数相同．如12n n 、被4除余数相同，同为

1或3，那么

12n n 被4除余1，所以122002n n +被4除余3，不是完全平方数；

综上，2002i j n n +不可能全是完全平方数．

【例 27】 1351991???

?的末三位数是多少？

【考点】平方数特征之平方数的整除特性 【难度】5星 【题型】解答

【解析】 首先，仅考虑后三位数字，所求的数目相当于135991???

?的平方再乘以993995997999???的末三

位．而993995997999993999995997???=???

()()()()99300099399500099539930009939950002985=-?-?=-?-，

其末三位为715105?=；然后来看前者．它是一个奇数的平方，设其为()2

5k (k 为奇数)，由于

()

()2

2252525251k k k ==+-，而奇数的平方除以8余1，所以21k -是8的倍数，则()2251k -是200

的倍数，设()

2251200k m -=，则()()

2

252525125200k k m =+-=+，所以它与105的乘积

()

()2

510525200105210002625k m m ?=+?=+，所以不论m 的值是多少，所求的末三位都是625．

【答案】625

【例 28】 求所有的质数P ，使得241p +与261p +也是质数．

【考点】平方数特征之平方数的整除特性 【难度】5星 【题型】解答

【解析】 如果5p =，则241101p +=，261151p +=都是质数，所以5符合题意．如果P 不等于5，那么P 除以

5的余数为1、2、3或者4，2p 除以5的余数即等于21、22、23或者24除以5的余数，即1、4、9或者16除以5的余数，只有1和4两种情况．如果2p 除以5的余数为1，那么241p +除以5的余数等于4115?+=除以5的余数，

为0，即此时241p +被5整除，而241p +大于5，所以此时241p +不是质数；如果2p 除以5的余数为4，同理可知261p +不是质数，所以P 不等于5，241p +与261p +至少有一个不是质数，所以只有5p =满足条件．

【答案】5

【例 29】 古时候有两位贩卖家畜的商人把他们共有一群牛卖掉，每头牛买得的钱数正好等于牛的头数。他们把

所得的钱买回了一群羊，每只羊10文钱，钱的零头又买了一只小羊。他们平分了这些羊，结果第一个人多得了一只大羊，第二人得到了那只小羊。为了公平，第一个人应补给第二个人____文钱。 【考点】平方数特征之平方数的整除特性 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】走美杯，四年级，初赛，第15题

【解析】 根据题意，设每头牛的价钱为10a+b （a 、b 不同为0，a 、b 为自然数），因为题目中明显给出“每头

牛卖的钱数正好等于牛的头数”可知买牛人所得到钱数为：()2

2210a+b 10020a ab b =++，由题意得这

个总数的十位数字必为奇数否则不会达到“平分这些羊，并且一个人得到一只大羊，第二个人得到了那只小羊”，而210020a ab +的十位必为偶数，所以只要看2b 的值，尝试得到只有16和36满足条件，所以小羊的价格应该为6，那么第一个人应该补给第二个人：()1062=2-÷（文）

【答案】2文钱