平面向量的基本定理及坐标运算] · [提高] · [知识点+典型例题]

平面向量的基本定理

及坐标运算

知识讲解

一、平面向量的基本定理

1.平面向量基本定理：如果1e 和2e 是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任

一向量a ，存在唯一的一对实数1a ，2a ，使a =1122a e a e +．

2.基底：我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作

{}1

2

,e e ．11

22

a e a e

+叫做向量a 关于基底{}

12,e e 的分解式．

注：①定理中1e ，2e 是两个不共线向量；

②a 是平面内的任一向量，且实数对1a ，2a 是惟一的； ③平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底．

3.平面向量基本定理的证明：

在平面内任取一点O ，作11OE e =，22OE e =，OA a =． 由于1e 与2e 不平行，可以进行如下作图：

过点A 作2OE 的平行（或重合）直线，交直线1OE 于点M ， 过点A 作1OE 的平行（或重合）直线，交直线2OE 于点N ， 于是依据平行向量基本定理，存在两个唯一的实数1a 和2a 分别有11OM a e =，22ON a e =， 所以1122a OA OM ON a e a e ==+=+

证明表示的唯一性：如果存在另对实数x ，y 使12OA xe ye =+，则112212a e a e xe ye +=+， 即1122()()0x a e y a e -+-=，由于1e 与2e 不平行，如果1x a -与2y a -中有一个不等于0， 不妨设20y a -≠，则1

212

x a e e y a -=-

-，

由平行向量基本定理，得1e 与2e 平行，这与假设矛盾，因此10x a -=，20y a -=，即1x a =，2y a =．

4‘证明A ，B ，P 三点共线或点在线上的方法：

已知A 、B 是直线l 上的任意两点，O 是l 外一点，则对直线l 上任意一点P ，存在实数t ，使OP 关于基底{}

,OA OB 的分解式为(1)OP t OA tOB =-+ ……①，并且满足①式的点

P 一定在l 上．

证明：设点P 在直线l 上，则由平行向量定理知，存在实数t ，使AP t AB

=()t OB OA =-，

∴(1)OP OA AP OA tOB tOA t OA tOB =+=+-=-+

设点P 满足等式(1)OP t OA tOB =-+，则AP t AB =，即P 在l 上． 其中①式可称为直线l 的向量参数方程式

5.向量AB 的中点的向量表达式：点M 是AB 的中点，则1()2

OM OA OB =+．可推广到

OAB ?中，若M 为边AB 中点，则有1

()2

OM OA OB =+存在．

二、向量的正交分解与向量的直角坐标运算：

1.向量的直角坐标：如果基底的两个基向量1e ，2e 互相垂直，则称这个基底为正交基底．在

正交基底下分解向量，叫做正交分解．

向量的坐标表示：在直角坐标系中，一点A 的位置被点A 的位置向量OA 所唯一确定．设

点A 的坐标为(,)x y ，由平面向量基本定理，有12(,)OA xe ye x y =+=，即点A 的位置向量OA 的坐标(,)x y ，也就是点A 的坐标；反之，点A 的坐标也是点A 相对于坐标原点的位置向量OA 的坐标．

3.

设12(,)a a a =，12(,)b b b =，则

①1122(,)a b a b a b +=++；②1122(,)a b a b a b -=--；③1212(,)(,)a a a a a λλλλ== 注：① 两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；

② 数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．

4.坐标含义：若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则向量2121(,)AB OB OA x x y y =-=--；即：一个向

量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标．

5.用平面向量坐标表示向量共线条件：

设12(,)a a a =，12(,)b b b =，则12210a b a b -=就是两个向量平行的条件．

若向量b 不平行于坐标轴，即10b ≠，20b ≠，则两个向量平行的条件是，相应坐标成比例．

典型例题

一．选择题（共1小题）

1．（2017秋?辽源期末）若向量=（2，3），=（4，6），则=（）A．（﹣2，﹣3）B．（2，﹣3）C．（2，3） D．（﹣2，3）

【解答】解：根据题意，向量=（2，3），=（4，6），

则=﹣=（﹣2，﹣3）；

故选：A．

二．填空题（共3小题）

2．（2018?泸州模拟）已知平面向量，满足||=1，||=2，|﹣|=，则在方向上的投影是．

【解答】解：∵||=1，||=2，|﹣|=，

∴||2+||2﹣2?=3，

解得?=1，

∴在方向上的投影是=，

故答案为：

3．（2018?齐齐哈尔二模）已知向量=（2，5），=（﹣5，t），若⊥，则（+）?（﹣2）=﹣29．

【解答】解：向量=（2，5），=（﹣5，t），

若⊥，则?=2×（﹣5）+5t=0，解可得t=2，

则=（2，5），=（﹣5，2），