复变函数论文(DOC)

复变函数论文

《复变函数与积分变换》与《信号系统》的相互联系和运用

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《复变函数与积分变换》与《信号系统》的相互联系和运用

摘录：随着现代科学技术理论的发展，学课间的联系越来越紧密，通过相互协助，使复杂的问题能够利用较简单的方法方便，快捷的解决。由于复变函数与积分变换的运算是实变函数运算的一种延伸，且由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了“留数”的概念，以及Taylor级数展开，Laplace变换和Fourier变换之后而使其显得更为重要，因此学习复变函数与积分变换对学习信号与系统具有很大的促进作用。文章主要介绍了：1，Fourier变换是怎样在信号系统的频域分析中进行运用的；2，怎样利用复变函数中的“留数定理”对Laplace反变换进行计算； 3，复变函数中的Z变换是怎样解决信号系统中离散信号与系统复频域问题分析的；4，复变函数与积分变换中的各种运算是怎样通过信号系统中的MATLAB来实现的。

关键词：留数，Laplace变换，Z变换， Fourier变换，Taylor级数，MATLAB。

1，Fourier变换是怎样在信号系统的频域分析中进行运用的；

当对一个信号系统进行分析和研究时，首先应该知道该信号系统的数学模型，即建立该信号系统的数学表达式，例如：根据Fourier 级数的理论，连续时间周期信号的频域分析的数学表达式即为无限项

虚指数序列的线性叠加；而且信号的Fourier 变换建立了信号的时域与频域之间的一一对应的关系，并揭示了其在时域域频域之间的内在联系，因此为信号和系统的分析提供了一种新的方法和途径。

例1：已知描述某稳定的连续时间LTI 系统的微分方程为

''''()3()2()2()3(),y t y t y t x t x t ++=+

系统的输入激励3()()t x t e u t -=，求该系统的零状态响应()zs y t 。

解：由于输入激励()x t 的频谱函数为

1

()3

x j j ωω=

+， 根据微分方程可得到该系统的频率响应为

2

2()32()3

()()3()2(1)(2)

j j H j j j j j ωωωωωωω++=

=++++， 故该系统的零状态响应()zs y t 的频谱函数()zs Y j ω为

2()3

()()()(1)(2)(3)

zs j Y j X j H j j j j ωωωωωωω+==

+++，

将()zs Y j ω表达式用部分分式法展开，得

13

122()23

zs Y j j j j ωωωω-

=++

++， 由Fourier 反变换，可得系统()zs y t 的零状态响应为

2313

()()()22

t t t zs y t e e e u t ---=+-

例2：已知某连续时间LTI 系统的输入激励()()t x t e u t -=，零状态 响应2()()()t t zs y t e u t e u t --=+，求该系统的频率响应()H jw 和单位冲 激响应()h t 。

解：对()x t 和()zs y t 分别进行Fourier 变换，得

1

()1X jw jw

=

+， 1132()12(1)(2)zs jw

Y jw jw jw jw jw +=

+=

++++ 由于 ()

()()zs Y jw H jw X jw =

， 故 1

()22H jw jw

=-

+， 对()H jw 进行Fourier 反变换，即得系统的单位冲激响应h(t)，

2()2()()t h t t e u t δ-=-

分析：由上述例题可知，对连续时间LTI 系统零状态响应的时域求解，如果利用冲激响应与输入信号的卷积的方法，则较为复杂（过于复杂，上述例题未做解析），则在有限的时间内不能作出很好的作答，难于解出；而利用上述方法，对连续时间LTI 系统零状态响应的频域求解，将时域的卷积运算转换成频域的乘积运算，再通过Fourier 反变换求其时域的解比在其时域的直接求解较为清晰，简捷，因此使用Fourier 变换进行信号系统的频域分析比较方便，实用。

推广：Fourier 变换不仅在信号系统领域的运用比较广泛，而且在其他领域的运用也比较多，例如电路分析中的单位脉冲函数，，振动力学，电工学，无线电技术，自动控制理论，无源静电场内电势的边值问题等，Fourier 变换都占有很重要的地位。 2， 怎样利用留数定理对Laplace 反变换进行计算；

由于信号的时域表示和S 域表示是一一对应的，当由信号的的Laplace 变换X （s ）求解信号的时域表示x(t),即为Laplace 反变换，

在信号系统中计算Laplace 反变换的方法主要是留数法和部分分式展开法，前者根据Laplace 反变换的定义入手，利用复变函数中的留数定理得到时域信号，后者是将S 域表示式分解成许多简单的表示式之和，然后分别得到原时域信号。

（1）留数的定义：设Zo 为f(z)的孤立奇点，那么f(z)在Zo 的留数Res[f(z),Zo]=C-1=

1

()2c

f z dz

i

π?,其中C 为去心邻域

0Z Zo R <-<内的任意一条正向简单闭曲线。如果Z=∞ 为f(z)的孤

立奇点，那么f(z)在Z=∞ 的留数Res[f(z), ∞ ]= 1

()2C f z dz i π-

?,其中C 为R 内绕原点的任意一条正向简单闭曲线。

（2）留数定理：设函数f(z)在区域D 内除有限个孤立奇点1z ，

2z ，…n z 外处处解析，C 为D 内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，

那么1

()2Re [(),]n

k k c

f z dz i s f z Z π==∑?，这个定理把求沿封闭曲线C 的积分，

转化为求被积函数在C 中的各孤立奇点处的留数。

（3）根据留数的定义及留数定理对Laplace 反变换的计算可以

直接从其定义，即1

()()()2j L

st j x t X s X s e ds j σσ

π+∞-∞

←?

→=?，上式为一复变积

分，积分路径是s 平面上平行于虚轴的直线0C σσ=>。为了应用留数定理，必须补上一个半径充分大的圆弧，使圆弧与直线构成闭合围线，用围线积分来代替线积分。由Jordan （约当）引理，若满足条件

lim

()0s R X s =??→∞

=，则1

lim

()0,0R st R C X s e ds t →∞

=>?

，2

lim

()0,0R st R C X s e ds t →∞

=

，因

此Laplace 反变换积分等于围线积分乘以

12j

π，即1

1

1()()[()()],0

22R j c j st

st st j c j C x t X s e ds X s e ds X s e ds t j j

σσ

ππ+∞+∞

-∞

-∞

==

+>??

?

或

2

1[()()],02R c j st st c j C X s e ds X s e ds t j

π+∞

-∞

+

?

，由留数定理，复平面上任意闭合

围线积分等于围线内被积函数所有极点的留数之和。举例如下:

例（1）：已知信号

x(t)的Laplace 变换为

2

2

(),Re{}0(3)(1)

s X s s s s s +=

>++,试用留数法求x(t). 解：X （s ）具有两个单极点120,3P P =-和一个二阶极点31P =-.则分别求出相应极点的留数为

02

22Re {()}(3)(1)3

st st

s s s s X s e s

e

s s s ==+==

++，332

3

2

1Re {()}(3)

(3)(1)

12

st st t

s s s s X s e s e e s s s -=-=-+=+=++，

211

1

1213Re {()}(1)()(21)!(3)

24

st st

st

t t s s s d

d s s X s

e s X s e e

te e ds

ds s s --=-=-=-+=

+==---+所以: x(t)= 32113()312

24t t t e te e u t ---??

+

-- ???.即得解

例（2）：利用留数法对信号22

(),Re{}1(1)(2)s

se X s s s s -=>-++,进行

Laplace 反变换，求x(t).

解：由Jordan 引理，02t ≤<范围内，Laplace 反变换可表示为

2(2)(2)

2

21()[],2(1)(2)(1)(2)R s t s t c j c j c se se x t ds ds j

s s s s π--+∞

-∞

=

+++++?

? 由于围线内无极点，所以x(t)=0.当2t ≥时，Laplace 反变换可

表示为

由于

X （s ）有一个单极点

P1=-1和一个

1(2)(2)2

221

1()[]Re [()],2(1)(2)(1)(2)R s t s t c j st

s pk c j c k se se x t ds ds s X s e j

s s s s π--+∞

=-∞

==

+=++++∑?

?二重极点

P2=-2,其相应的留数为

2(2)

12

1

Re [()](2)

s st

st

t s s se s X s e e e s ---=-=-==-+, 22(2)2(2)

22

1

2Re [()][(1)()][]32(3)

st st st

t t s s s d

d s s X s

e s X s e e e te ds

ds s s ----=-=-=-+=

+=

=-++,所以:(2)2(2)2(2)()[32](2)t t t x t e e te u t ------=--+-.即得解。

例3：已知信号x(t)的Laplace 变换为2

2

(),Re{}143

s X s s s s +=>-++，利用部分分式法求Laplace 反变换。

解：X （s ）为有理真分式，极点均为一阶，因此有

12222

()43(1)(3)13

k k s s X s s s s s s s ++=

==+

++++++，

11

1

21

(1)()

3

2s s s k s X s s =-=-+=+==+，23

3

2

1

(3)()1

2

s s s k s X s s =-=-+=+=

=

+，故Laplace 反变换为311

()()()22t t x t e u t e u t --=+。

分析：从以上可以典型例题看出：运用复变函数与积分变换中的留数及其应用对求解信号系统中Laplace 反变换的计算具有很大的帮助，能够很好的解决信号系统中有关Laplace 变换的问题，与部分分式法相比，虽然比较复杂，但留数法适用的范围却比较广，能够更好的辅助信号系统的学习，对信号系统有很大的促进作用。

推广：Laplace 变换除了在信号系统中有很好的应用外，其在力学系统，无线电技术，电学系统，自动控制系统，可靠性系统，随

机服务系统也有很多的运用，在学科的建立中起着重要作用。 3， Z 变换是怎样解决信号系统中离散信号与系统复频域分析问题

的；

由于Z 变换是傅立叶变换的推广，其可运用于求解差分方程，也可有效的对线性非时变系统进行分析，序列Z 变换在离散时间信号与系统分析中也起着非常重要的作用，与Laplace 变换类似，Z 变换是离散时间信号与系统分析的一个强有力的工具，离散时间LTI 系统的系统函数是Z 域描述离散系统的重要特征参数，是离散系统分析和设计的基础，因此运用复变函数与积分变换的Z 变换及其性质可以很好的解决离散信号与系统的复频域分析问题。

(1)Z 变换的基本概念：定义x(n)是一序列，称X （z ）=()n

n x n z +∞

-=-∞∑是x(n)的Z 变换，式中z 是一个复变量，它所在的复平面称为z 平面，在z 平面上使级数收敛的z 的取值定义的一个区间称为收敛域

（Roc ）.如果x(n)的z 变换为X （z ）,则记作x(n) z

←?

→X(z). （2）Z 变换具有的一些重要性质：线性特性，时移性质，序列卷积特性，指数加权特性，Z 域微分特性，求和特性，初值特性，终值特性。可列表为

按照复变函数洛朗级数的理论，X （z ）的逆Z 变换可以由公式：

11

()()2n c x n X z z dz j π-=

?求出 ，式中c 是X （Z ）收敛域中的一条逆时针

闭合曲线。

（3）利用Z 变换对离散时间LTI 系统的系统函数和响应的分析；

例1：已知某离散时间LTI 系统的差分方程为

[]3[1]2[2]3[][1],0y k y k y k x k x k k +-+-=--≥，求系统函数H （z ）和单位

脉冲响应h[k].

解：因为系统函数是系统零状态响应的Z 变换与激励的Z 变换之比，故在求解H （Z ）的过程中都设系统初始状态为零，对差分方程两边取Z 变换，得:

121()3()2()(3)()zs zs zs Y z z Y z z Y z z X z ---++=-, 1

12

()3()()132zs Y z z H z X z z z

----==++, 将H （Z ）展开成部分分式之和

11

47

()112H z z z ---=

+++，

由此有: []4(1)[]7(2)[]k k h k u k u k =--+-

例2：已知描述某离散时间LTI 系统的差分方程为y[k]-5y[k-1]+6y[k-2]=2x[k]-x[k-1],

其

初

始

状

态

y[-1]=1,y[-2]=0,激励信号x[k]=u[k],由Z 域求系统零输入响应

[]zi y k ，零状态响应[]zs y k 和完全响应y[k].

解：对差分方程两边Z 变换，得

1211()5{()1}6{()}(2)()Y z z Y z z Y z z z X z -----+++=-,

求解上面的代数方程得系统完全响应的Z 域表示式为

11

1212

562()()156156z z Y z X z z z z z

--------=+-+-+， 上式中第一项为零输入响应[]zi Y k 的Z 域表示式，第二项为零状态响应[]zs Y k 的Z 域表示式。由于

1

1

[][]()1z

x k u k X z z -=←?→=

-， 所以： 1

1122()(1)(156)

zs z Y z z z z -----=--+。

将()zi Y z 和()zs Y z 展开成部分分式，得

11

94

()1312zi Y z z z --=

---， 111

7.560.5

()13121zs Y z z z z

---=-+---， 对()zi Y z 和()zs Y z 进行Z 反变换，即可求出系统零输入响应和零状态响应分别为

[]9342,0k k zi Y k k =?-?≥， [](7.53620.5)[]k k zs Y k u k =?-?+。

系统的完全响应为：[][][]16.531020.5,0k k zi zs y k y k y k k =+=?-?+≥

分析：从以上典型例题中可以看出离散时间LTI 系统的Z 域分析是利用复变函数与积分变换Z 变换把描述离散时间LTI 系统的时域差分方程变换成Z 域的代数方程，而后解此代数方程，再经Z 反变换求得系统响应的一种方法，而且运用复变函数与积分变换中的Z 变换可以使信号系统中离散信号与系统的复频域分析的一些解题的过程简单而又直接，并使计算量减小，促进了对离散时间信号与系统的复频域分析。

推广：Z 变换不仅对信号系统中离散时间信号的复频域分析有较大的促进作用，其在

4， 复变函数与积分变换中的各种运算是怎样通过信号系统中的

MATLAB 来实现的；

由于MATLAB 是一种具有强大数值计算，分析和图形处理功能的科学计算语言，应用领域比较广泛，尤其在信号处理方面运用的较多；而且信号的各种运算实际上是函数自变量的运算，因此复变函数与积分变换中的一些运算完全可以转化成信号的形式通过MATLAB 来实

现。

(1) 复数和复矩阵的生成

在MATLAB 中，复数单位为)1(-==sqrt j i ，其值在工作空间中都显示为i 0000.10+。 1， 复数的生成

复数可由i b a z *+=语句生成，也可简写成bi a z +=。另一种生成复数的语句是)exp(theta i r z **=，也可简写成)exp(i theta r z *=，其中

theta 为复数辐角的弧度值，r 为复数的模。

2，创建复矩阵：一般创建复矩阵的方法有两种，即（1）如同一般的矩阵一样输入矩阵，例：)]33exp(23),6exp(9,32,53[i i i i A ***+-*+=（2）可将实、虚矩阵分开创建，再写成和的形式，例：

)2,3(rand re =；

)2,3(rand im =；

im i re com *+=

]

5466.07271.05681.02897.07027.05341.08385.03420.03704.03412.03093.06602.0[i i

i i

i

i com ++++++=

注意:实、虚矩阵要大小相同。 (2) 复数的运算

1．复数的实部和虚部

复数的实部和虚部的提取可由函数real 和imag 实现。

调用形式:)(x real ??

→返回复数x 的实部,)(x imag ??→返回复数

x 的虚部。

2．共轭复数

复数的共轭可由函数conj 实现。

调用形式:)(x conj ??

→ 返回复数x 的共轭复数 3．复数的模和辐角

复数的模和辐角的求解由功能函数abs 和angle 实现。

调用形式:)(x abs ??→复数x 的模,)(x angle ??→ 复数x 的辐角

例：求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角 （1）

i 231

+ （2）i i i --131 （3）i

i i 2)52)(43(-+ （4）i i i +-2184

由MATLAB 输入如下：

]21^48^,2/)52()43(),1/(3/1),23/(1[i i i i i i i i i i a +*--*=--+=

=a

i i

i i

0000.30000.10000.135000.35000.25000.11538.02308.0-----

)(a real

=ans

0.2308 1.5000 –3.5000 1.0000

)(a imag

=ans

–0.1538 –2.5000 –13.0000 –3.0000

)(a conj

=ans 0.2308+0.1538i 1.5000+2.5000i 3.5000+13.0000i

1.0000+3.0000i

)(a abs

=ans 0.2774

2.9155 1

3.4629 3.1623

)(a angle

=ans –0.5880 –1.0304 –1.8228 -1.2490

4．复数的乘除法

复数的乘除法运算由“/”和“*”实现。 例：复数的乘除法用MATLAB 表示。 )3/exp(4i pi x *= =x i 4641.30000.2- )5/exp(3i pi y *= =y i 7634.14271.2- )5/exp(31i pi y **= =1y i 7634.14271.2+ y x /

=ans i 5423.02181.1- 1/y x

=ans I 3260.11394.0- 5．复数的平方根

复数的平方根运算由函数sprt 实现。

调用形式:)(x sprt ??→ 返回复数x 的平方根值

6．复数的幂运算

复数的幂运算的形式为n x ^，结果返回复数x 的n 次幂。

例：求下列各式的值 )6/1()^1(-

=ans 0.8660+0.5000 i

7．复数的指数和对数运算

复数的指数和对数运算分别由函数exp 和log 实现。

调用形式:)exp(x ??→ 返回复数x 的以e 为底的指数值 )log(x ??

→返回复数x 的以e 为底的对数值 (3) Taylor 级数展开；

函数)(x f 在0x x =点的Taylor 级数开展为：

+-''+-'+-+=!3/)0)(0(!2/)0)(0()0)(0(0)(3^2^x x x f x x x f x x x f x x f 其

在MATLAB 中可由函数taylor 来实现。

taylor 泰勒级数展开：

)(f taylor 返回f 函数的五次幂多项式近似。此功能函数可有3个

附加参数。

),(n f taylor

??→ 返回1-n 次幂多项式。 ),(a f taylor ??

→ 返回a 点附近的幂多项式近似。 ),(x r taylor ??

→ 使用独立变量代替函数)(f findsym 。 例1：求下列函数在指定点的泰勒开展式 （1）10,/12-=z z （2）4/0,pi z tgz =； MATLAB 实现为： )1,2^/1(-x taylor

5)^1(64)^1(53)^1(42)^1(323+*++*++*++*+*+x x x x x

taylor

x

)4/

),

(tan(pi

ans

=

)^

4/1

2

(

4/1

2

(

3/8

x

x

pi

pi

)^

2

1pi

2/1

x

*

+

*

*

+

3

*

-

-

+3/

*

10

-

*

+

*

x*

pi

(pi

-

-

4/1

*

+

*

x

)^

5

)^

(

4/1

4

15

64

/

例2：

/)

taylor

x

(sin(x

)

10

,

ans8^

=

x

x*

x

1x

6/1

+

-

*

*

-

*

+

^

5040

^

/1

362880

/1

6

4

2

/1

^

120

上述展开式说明0

x是此函数的伪奇点！

=

由于这里的taylor展开式运算实质上是符号运算，因此在MATLAB 中执行此命令前应先定义符号变量

syms,，否则MATLAB将给出出

z

x

错信息！

(4) Laplace变换及其逆变换

1．Laplace变换

L=：返回以默认独立变量T对符号函数F的Laplace laplace

(F

)

变换。函数返回默认为s的函数。如果

F

F=，则Laplace函数返回t的函数

(s

)

L=。其中定义L为对t的积分

L

)(t

s

t

s

=。

*

-

L*

F

,0

inf)

(t

exp(

),

int(

)

)(

(t

F

laplace等价于L=：以t代替s的Laplace变换。),

laplace

)

(t

,

F

F

x

t

*

=。

t

-

L*

)(inf

,0

)

x

exp(

),

int(

(

)

F

L=：以z代替s的Laplace变换（相对于w的积分）。

w

laplace

(z

,

)

,

F

laplace等价于

w

,

)

,

(z

inf),0),exp()(int()(w z w F z L *-*=。

例：syms astwx

)5^(x laplace

=ans 6^/120s

))(exp(s a paplace

* =ans )/(1a t -

)),(sin(t x w laplace

* =ans )2^2^/(w t w +

),),((t w w x cons laplace *

=ans )2^2^/(x t t +

)),2/3(^(t sym x laplace

=ans )2/5(^/)2/1(^4/3t pi *

))))((((''x F sym diff laplace =ans )0(),),((F s s x x F laplace

-* 2．Laplace 逆变换

)(L ilaplace F =

返回以默认独立变量s 的数量符号L 的Laplace 变换，默认返回t 的函数。如果

)(t L L =，则ilaplace 返回x 的函数)(x F F =。)

(x F 定义为对s 的积分

inf)inf,,),exp()(int()(*+*-**=i c i c s t s s L t F ；其

中c 为选定实数，使得)(s L 的所有奇点都在直线c s =的左侧。

),(y L ilaplace F = 以y 代替默认的t 的函数，且有),(y L ilaplace 等价

于

inf)inf,,),exp()(int()(*+*-**=i c i c s y s y L y F 。这里y 是个数量符号。

),,(x y L ilaplace F = 以

x 代替t 的函数，),,(x y L ilaplace 等价于

inf)inf,,),exp()(int()(*+*-**=i c i c y y x y L y F ，

对y 取积分。

例：y x w t s syms ))1/(1(-s ilaplace =ans )exp(t

))12^/(1(+t ilaplace

=ans )sin(x

ilaplace ))),2/5((?(x sym t -

=ans )2/3(^*)2/1(^/3/4x pi

ilaplace ),),2^2^/((x y w y y +

=ans cos )*(x w

ilaplace(),,),),),(((x s s x x F laplace

sym '' =ans F()x

(5) Fourier 变换及其逆变换

1. Fourier 积分变换

F=fourier(f) ??

→返回以默认独立变量x 对符号函数f 的Fourier 变换，默认返回w 的函数。如果)(w f f =，则fourier 函数

返回t 的函数F=F(t)。定义F(w )int(f(x )*exp(inf),inf,,),**--x x w i 为对x 的积分。

=F fourier (),v f ??→以v 代替默认值w 的

Fourier 变换，

且有fourier (),v f 等价于F ()v = int inf)inf,,),**exp(*)((--x x v i x f 。

fourier ),,(v u f ??

→以v 代替x 且对u 积分，且有fourier ),,(v u f ＜=＞F （v ）= int inf)inf,,),**exp(*)((--u u v i u f 。

例：syms t v w x

fourier （1/t ）

=ans ))()((**w Heaviside w Heaviside pi i -- ),),2?(exp(t x x

fourier - =ans )2?*4/1exp(*)2/1(?t i

p - fourier )),)((*)(exp(v t Heaviside

sym t ''- =ans 1/)*1(v i +

fourier ),)),)((((w x x F sym diff ''

=ans ),),((**w x x F fourier w i

2.Fourier 逆变换

)(F ifourier f =??

→返回以默认独立变量w 对符号函数F 的Fourier 逆变换，默认返回x 的函数Fourier 逆变换应用于返回x 的函数，即由F=F )(w 推出)(x f f =。如果F=F )(x ，则ifourier 函数返回

t

的函数

)

(t f f =。定义

inf)inf,,),**exp(*)(int(*)*2/(1)(-=w x w i w F pi x f ，对w 的积分。

),(u F ifourier f =??

→ 以u 代替x 的函数，且有ifourier ),(u F

等价于inf)inf,,,**exp(*)(int(*)*2/(1)(-=w u w i w F pi u f 对w 积分。

),,(u v F ifourier f =??

→以v 代替w 的Fourier 逆变换，且有),,(u v F ifourier ＜=＞inf)inf,,**exp(*)(int(*)*2/(1)(-=v u v i v F pi u f ，积分

针对v 。

例：

syms

t u w x

))((*)*3exp(*(''-w Heaviside sym w w ifourier

=ans

2)?*3/(/2/1t i pi -

u w

ifourier ),2?1/(1(+ =ans

)*)exp(*2/1)(*)exp(*2/1u Heaviside u u Heaviside u -=-

ifourier(v/(1+w )2∧,u) ans

i/(1+w )2∧*Dirac(1,u)

ifourier(sym(′fourier(f(x),x,w) ′),w,x) ans=f(x)

分析：从上述中可以看出，复变函数与积分变换中的一些运算利用MATLAB 来实现，可以使问题具有规范，简洁，灵活的特点，大大简化了问题的求解过程，使实际应用中一些较为复杂的数学问题简单化。 参考文献：

1，胡光锐，信号与系统，上海交通大学出版社。