圆周运动习题及答案

C．ω＝是b开始滑动的临界角速度

D．当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg a

《圆周运动》练习（二）

1.如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是()

A．b一定比a先开始滑动

B．a、b所受的摩擦力始终相等

kg

2l

2kg

3l

2．如图所示，一质量为M的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大环上质量为m的小环(可视为质点)，从大环的最高处由静止滑下．重力加速度大小为g.当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为()

A．Mg－5mg B．Mg＋mg

C．Mg＋5mg D．Mg＋10mg

3．如图所示的曲线是某个质点在恒力作用下的一段运动轨迹．质点从M点出发经P点到达N点，已知弧长MP大于弧长PN，质点由M点运动到P点与从P点运动到N点所用的时间相等．则下列说法中正确的是()

A．质点从M到N过程中速度大小保持不变

B．质点在这两段时间内的速度变化量大小相等，方向相同

C．质点在这两段时间内的速度变化量大小不相等，但方向相同

D．质点在M、N间的运动不是匀变速运动

4．如图所示，质量相同的钢球①、②分别放在A、B盘的边缘，A、B两盘的半径之比为2∶1，a、b 分别是与A盘、B盘同轴的轮，a、b轮半径之比为1∶2.当a、b两轮在同一皮带带动下匀速转动时，钢球①、②受到的向心力大小之比为()

A．2∶1B．4∶1

C．1∶4D．8∶1

5．利用双线可以稳固小球在竖直平面内做圆周运动而不易偏离竖直面，如图所示，

用两根长为L的细线系一质量为m的小球，两线上端系于水平横杆上的A、B两

点，A、B两点相距也为L，若小球恰能在竖直面内做完整的圆周运动，则小球运

动到最低点时，每根线承受的张力为()

A．23mg B．3mg

73mg

2

C．2.5mg D.

2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于(1)当钉子在x＝l的P点时，小球经过最低点时细绳恰好不被拉断，求细绳能承受的最大拉力；6．如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离

3

2

滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10m/s2.则ω的最大值是()

A.5rad/s

B.3rad/s

C．1.0rad/s D．0.5rad/s

7.如图所示，在竖直平面内有xOy坐标系，长为l的不可伸长细绳，一端固定在A点，A点的坐标为(0，l

2)，另一端系一质量为m的小球．现在x坐标轴上(x>0)固定一个小钉，拉小球使细绳绷直并呈水平位

置，再让小球从静止释放，当细绳碰到钉子以后，小球可以绕钉子在竖直平面内做圆周运动．

5

4

(2)为使小球释放后能绕钉子在竖直平面内做圆周运动，而细绳又不被拉断，求钉子所在位置的范围．

8.如图所示，一小物块自平台上以速度v

水平抛出，刚好落在邻近一倾角为α＝53°的粗糙斜面AB顶端，

并恰好沿该斜面下滑，已知斜面顶端与平台的高度差h＝0.032m，小物块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，A点离B点所在平面的高度H＝1.2m．有一半径为R的光滑圆轨道与斜面AB在B点相切连接，已知cos53°＝0.6，sin53°＝0.8，g取10m/s2.求：

(1)小物块水平抛出的初速度v

是多少；

(2)若小物块能够通过圆轨道最高点，圆轨道半径R的最大值．

9.如图所示为某游乐场内水上滑梯轨道示意图，整个轨道在同一竖直平面内，表面粗糙的A B段轨道与四分之一光滑圆弧轨道BC在B点水平相切．点A距水面的高度为H，圆弧轨道BC的半径为R，圆心

v＝3m/s.若小球能在板面内做圆周运动，倾角α的值应在什么范围内(取重力加速度g＝10m/s2)?

O恰在水面．一质量为m的游客(视为质点)可从轨道AB的任意位置滑下，不计空气阻力．

(1)若游客从A点由静止开始滑下，到B点时沿切线方向滑离轨道落在水面D点，OD＝2R，求游客滑到B点时的速度v B大小及运动过程轨道摩擦力对其所做的功W f；

(2)某游客从AB段某处滑下，恰好停在B点，又因受到微小扰动，继续沿圆弧轨道滑到P点后滑离轨道，求P点离水面的高度h.(提示：在圆周运动过程中任一点，质点所

v2

受的向心力与其速率的关系为F向＝m R)

10．如图所示，一块足够大的光滑平板放置在水平面上，能绕水平固定轴MN调节其与水平面的倾角．板

上一根长为l＝0.6m的轻细绳，它的一端系住一质量为m的小球P，另一端固定在板上的O点．当平板的倾角固定为α时，先将轻绳平行于水平轴MN拉直，然后给小球一沿着平板并与轻绳垂直的初速度0

11．半径为R的水平圆盘绕过圆心O的竖直轴匀速转动，A为圆盘边缘上一点．在O的正上方有一个可视为质点的小球以初速度v水平抛出时，半径OA方向恰好与v的方向相同，如图所示．若小球与圆盘只碰一次，且落在A点，重力加速度为g，则小球抛出时距O的高度h＝________，圆盘转动的角速度大小ω＝________.

a a

12．一长 l ＝0.80 m 的轻绳一端固定在 O 点，另一端连接一质量 m ＝0.10 k g 的小球，悬点 O 距离水平

地面的高度 H ＝1.00 m ．开始时小球处于 A 点，此时轻绳拉直处于水平方向上，如图所示．让小球从静

止释放，当小球运动到 B 点时，轻绳碰到悬点 O 正下方一个固定的钉子 P 时立刻断裂．不计轻绳断裂

的能量损失，取重力加速度 g ＝10 m/s 2.求：

(1)当小球运动到 B 点时的速度大小；

(2)绳断裂后球从 B 点抛出并落在水平地面上的 C 点，求 C 点与 B 点之间的水平距离；

(3)若 OP ＝0.6 m ，轻绳碰到钉子 P 时绳中拉力达到所能承受的最大拉力断裂，求轻绳能承受的最大拉

力．

答案

1. 答案

AC

解析 小木块 a 、b 做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即 f ＝mω2R.当角速度增加时，静摩擦力增

大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块 a ：f a ＝mω2l ，当 f a ＝kmg 时，kmg ＝mω2l ，ωa

＝

kg ，所以 b 先达到最大静摩 b b 当 ω＝ 2kg 时，a 没有滑动，则 f a ＝mω2l ＝ kmg ，选 时 b 刚开始滑动，选项 C 正确；当 ω＝ 解析 设大环半径为 R ，质量为 m 的小环下滑过程中遵守机械能守恒定律，所以 m v 2＝mg ·2R.小环滑 到大环的最低点时的速度为 v ＝2 gR ，根据牛顿第二定律得 F N －mg ＝ R 速度公式 v ＝ωr 得：ωa ＝ ，共轴的点，角速度相等，两个钢球的角速度分别与共轴轮子的角速度相等， 则ω1＝ .根据向心加速度 a ＝rω2，则 1＝ ，由 F ＝ma 得 1＝ ，故 D 正确，A 、B 、C 错误． 解析 小球恰好过最高点时有：mg ＝m 1 所 2 2 1

l ；对木块 b ：f b ＝mω2· 2l ，当 f b ＝kmg 时，kmg ＝mω2· 2l ，ωb ＝ kg 2l 擦力，选项 A 正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则 f a ＝mω2l ，f b ＝mω2·2l ，f a

项 D 错误．

2. 答案 C

1 2

m v 2 ，所以在最低点时大环对小 m v 2 环的支持力 F N ＝mg ＋ R ＝5mg .根据牛顿第三定律知，小环对大环的压力 F N ′＝F N ＝5mg ，方向向下．对

大环，据平衡条件，轻杆对大环的拉力 T ＝Mg ＋F N ′＝Mg ＋5mg .根据牛顿第三定律，大环对轻杆拉力

的大小为 T ′＝T ＝Mg ＋5mg ，故选项 C 正确，选项 A 、B 、D 错误．

3. 答案 B

解析 由题图知，质点在恒力作用下做一般曲线运动，不同地方弯曲程度不同，即曲率半径不同， 以

速度大小在变，所以 A 错误；因是在恒力作用下运动，根据牛顿第二定律 F ＝ma ，所以加速度不变，

根据 Δv ＝a Δt 可得在相同时间内速度的变化量相同，故 B 正确，C 错误；因加速度不变，故质点做匀

变速运动，所以 D 错误．

4. 答案 D

解析 皮带传送，边缘上的点线速度大小相等，所以v a ＝v b ，因为 a 轮、b 轮半径之比为 1∶2，根据线

ω 2 b 1 ω 2 a 8 F 8 2

1 a

2 1 F 2 1 5. 答案 A

v 2 R 解得 v 1＝ 3

gL ① 根据动能定理得：

1 1 mg · 3L ＝2m v 2－2m v 2②

由牛顿第二定律得： 3T －mg ＝m

v 2 2 ③ 3 L

联立①②③得，T ＝2 3mg

故 A 正确，B 、C 、D 错误．

6. 答案 C

解析 当小物体转动到最低点时为临界点，由牛顿第二定律知，μmg cos 30°－mg sin 30°＝mω2r

解析 (1)当钉子在 x ＝ 5 ( )2＋x 2 ＋R 1)＝ 1 v 2 R 2 联立解得 x ′＝ l

因此钉子所在位置的范围为 l ≤x ≤ l.

答案 (1)7mg (2) l ≤x ≤ l 由于物块恰好沿斜面下滑，则 tan 53°＝v y (3 分) 则由向心力公式得：N ＋mg ＝m (2 分) R ≤ m ，即 R 最大值为 m ．(2 分) 答案 (1)0.6 m/s (2) m 9. 答案 (1) 2gR －(mgH －2mgR )

(2) R

v sin 53° 2 解得 ω＝1.0 rad/s ，故选项 C 正确．

7. 审题突破 (1)由数学知识求出小球做圆周运动的轨道半径，由机械能守恒定律求出小球到达最低点

时的速度，然后由牛顿第二定律求出绳子的拉力． (2)由牛顿第二定律求出小球到达最高点的速度，由

机械能守恒定律求出钉子的位置，然后确定钉子位置范围． 4 l 的 P 点时，小球绕钉子转动的半径为：R 1＝l －

小球由静止到最低点的过程中机械能守恒：

l 1 mg (2 2m v 2

l 2

在最低点细绳承受的拉力最大，有：F －mg ＝m 1

R 1

联立求得最大拉力 F ＝7mg .

(2)小球绕钉子做圆周运动恰好到达最高点时，有：

v 2 mg ＝m 2 l 1 运动中机械能守恒：mg (2－R 2)＝2m v 2 l 钉子所在位置为 x ′＝ (l －R 2)2－(2)2

7 6 7 5 6 4 7 5 6 4

8. 解析 (1)小物块自平台做平抛运动，由平抛运动知识得：y ＝ 2gh ＝ 2×10×0.032 m /s ＝0.8 m/s(2 分)

v 0 得 v 0＝0.6 m/s.(2 分)

(2)设小物块过圆轨道最高点的速度为 v ，受到圆轨道的压力为 N .

v 2 R

μmgH cos 53° 1 1 由动能定理得：mg (H ＋h )－ －mg (R ＋Rcos 53°)＝2m v 2－2m v 0(5

分)

小物块能过圆轨道最高点，必有 N ≥0(1 分)

联立以上各式并代入数据得：

8 8 21 21

8 21

2 3

解析 (1)游客从 B 点做平抛运动，有

R ＝ gt 2② v ＝ 2gR ③ P mg co s θ－N ＝m ⑦ cos θ＝ ⑨ 由⑥⑦⑧⑨式解得 h ＝ R ⑩ 2m v 1 解析 小球做平抛运动，在竖直方向：h ＝ gt 2① α＝ ① 0联立①②解得：sin α＝ ＝

＝ . 2v 2 R 2 2 T 1 0 v 2R ＝v B t ① 1 2

由①②式得

B

从 A 到 B ，根据动能定理，有

1 mg (H －R)＋W f ＝2m v B －0④

由③④式得

W f ＝－(mgH －2mgR )⑤

(2)设 OP 与 OB 间夹角为 θ，游客在 P 点时的速度为 v P ，受到的支持力为 N ，从 B 到 P 由机械能守恒定 律，有

1 mg (R －Rcos θ)＝2m v P －0⑥

过 P 点时，根据向心力公式，有

v 2 R

N ＝0⑧

h R 2 3

10. 答案 α≤30°

解析 小球在板面上运动时受绳子拉力、板面弹力、重力的作用．在垂直板面方向上合力为0，重力在

沿板面方向的分量为 mg sin α，小球在最高点时，由绳子的拉力和重力分力的合力提供向心力： ＋mg sin l

研究小球从释放到最高点的过程，据动能定理：

1 1 －mgl sin α＝2m v 2－2m v 2②

若恰好通过最高点绳子拉力 F T ＝0，

v 2 32 1 3gl 3×10×0.6 2

故 α 最大值为 30°，可知若小球能在板面内做圆周运动，倾角 α 的值应满足 α≤30°.

gR 2 2n π 11. 答案 (n ＝1,2,3，…)

1 2

22v y ＝H －l ＝ gt 2 由②④两式得 ω＝ (n ＝1,2,3，…)

2 g

在水平方向 R ＝v t ②

gR 2 由①②两式可得 h ＝ ③

小球落在 A 点的过程中，OA 转过的角度 θ＝2n π＝ωt

(n ＝1,2,3，…)④

2n πv R

12. 答案 (1)4 m/s (2)0.80 m (3)9 N

解析 (1)设小球运动到 B 点时的速度大小为 v B ，由机械能守恒定律得 1 2m v B ＝mgl

解得小球运动到 B 点时的速度大小 v B ＝ 2gl ＝4 m/s

(2)小球从 B 点做平抛运动，由运动学规律得

x ＝v B t 1 2

解得 C 点与 B 点之间的水平距离

x ＝v B

2(H －l )＝0.80 m (3)若轻绳碰到钉子时，轻绳拉力恰好达到最大值 F m ，由牛顿定律得

v 2 F m －mg ＝m r B

r ＝l －OP

由以上各式解得 F m ＝9 N