郑州大学655数学分析和915高等代数2018年考研真题试题考研参考书

2019郑州大学655数学分析和915高等代数2018考

研真题试题考研参考书

《2019郑州大学考研655数学分析和915高等代数考研复习指导》（收录郑大考研真题答案）由郑大考研尚研教育联合郑州大学优秀研究生经过半年时间共同合作整理编写而成。郑大各专业考研复习指导，包含郑大考研分数线、报录比、考研大纲、导师信息等，内容紧凑权威细致，编排结构科学合理，为参加2019郑州大学考研的考生量身定做的必备专业课资料。

《2019郑州大学考研655数学分析和915高等代数复习》参考书目：

《数学分析》复旦大学数学系欧阳光中等编，高教出版社（2007年4月第三版）《数学分析》马建国编，科学出版社（2011年6月版）

《高等代数》北京大学数学系王萼芳等编，高教出版社（2013年8月第四版）适用科目：

专业：070101★▲基础数学、070102▲计算数学、070103概率论与数理统计、070104应用数学、070105运筹学与控制论、071400统计学

说明：☆表示该专业为国家级重点学科，▲表示该专业是省重点学科，★表示该专业有博士点。

※专业课初试考试科目：

③655数学分析

④915高等代数

内容详情

本书包括了以下几个部分内容：

Part1-考试重难点：

1、郑州大学《数学分析》老师上课讲义（欧阳光中第三版）

2、郑州大学《数学分析》考研笔记

3、郑州大学《高等代数》老师上课讲义（电子版）

4、郑州大学《高等代数》考研总复习重难点习题精讲

5、郑州大学《数学分析》期末考试试题及答案（18份）

6、郑州大学《高等代数》期末考试试题和答案（4份）

7、郑州大学《高等代数》考研内部习题集

8、郑州大学《数学分析》考研内部习题集

9、《数学分析》选讲（郑大数序系。卜春霞编写）（电子版）

10、《高等代数》选讲（郑大数序系。陈铁生编写）（电子版）

Part2-郑州大学历年考研真题与部分答案：

汇编郑州大学考研专业课考试科目的数学分析1997——2018年考研真题+高等代数考研1996-2018年试题考研真题试卷，并配备数学分析2002——2018年和高等代数考研2002-2018年真题答案，方便考生检查自身的掌握情况及不足之处，并借此巩固记忆加深理解，培养应试技巧与解题能力。

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郑大尚研学堂温馨提示：郑大考研专业课自主命题，所以历年真题的重要性不言而喻，郑大师兄建议19届的学弟学妹，可以在二轮三轮的时候（10月份），进行研究真题，掌握历年真题的技巧以及命题思路定会让你考研事半功倍。

2009西安交通大学高等代数考研真题

西安交通大学2009年攻读硕士学位研究生入学考试试题科目代码：818 科目名称：高等代数一（20分）计算行列式： 000 00 0000 00000n D αβαβαβαβαβαβαβαβ +++=+ + 二（20分）已知12(0,1,0),(3,2,2)T T αα==-，是线性方程组 1231231 2321341x x x x x x ax bx cx d -+=-??++=??++=? 的两个解，求此方程组的全部解．三（20）当t 取什么值时，下面二次型是正定的： 222123123121323(,,)42106f x x x x x x tx x x x x x =+++++ 四（15分）设3阶实对称矩阵A 有特征值1231,1λλλ=-==，A 的属于特征值-1的特征向量1(0,1,1)T ξ=，矩阵32B A A E =-+，其中E 为3阶单位阵（下同），问：（1） 1ξ是否为B 的特征向量？求B 的所有特征值和特征向量；（2）求矩阵B ．五（15分）设，1200000,,,,00,,,00a c x W a a b c R W y x y z R c b z z ????????????????=∈=∈???????????????????????? （1）求12W W +；（2）记12W W W =+，试求空间3W 使得33()M R W W =⊕（其中3()M R 为实数域上3阶矩阵全体），并说明理由．六（15分）设向量组12,,,r ααα线性无关，而12,,,,,r αααβγ线性相关．证明：

要么β与γ中至少有一个可被12,,,r ααα线性表出，要么12,,,,r αααβ与12,,,,r αααγ等价．七（15分）设A 为(1)n n ?+阶常数矩阵，X 为(1)n n +?阶未知数矩阵．试证明矩阵方程AX E =有解的充要条件为()r A n =．八（10）若12,αα是数域F 上的二维线性空间2()V F 的基，σ和τ是2()V F 上的线性变换，且满足 112212121212,,(),()σαβσαβτααββτααββ==+=+-=- 试证：στ=．九（10）设A 和B 是两个n 阶实正交矩阵，并且det()det()A B =-．证明 ()r A B n +<．十（10分）证明A 可与一个对角矩阵相似的充要条件是：对于A 的任意特征值i λ，方程组 2()0i E A X λ-=与()0i E A X λ-= 是同解的，其中11(,,,)n n X x x x =．需要更多试题请https://www.360docs.net/doc/5a9752340.html,/exam.taoba -//maths :http 高等代数试题分数分布：行列式：20分（1）；线性方程组：35分（2）；矩阵：15分（1）；二次型：20分（1）；线性空间：15分（1）；欧几里得空间：10分（1）线性变换：35分（3）

2018年暨南大学高等代数考研真题

2018年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 **************************************************************************************** 学科、专业名称：数学学科、基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论专业研究方向：各方向考试科目名称：高等代数考试科目代码：810 考试科目: 高等代数共 4 页,第 1 页考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分一、填空题（将题目的正确答案填写在答题纸上。共10小题，每小题3分，共30分。） 1、设A 为3阶矩阵, 13=A , 求1*(3)5--A A = 。 2、当实数=t 时，多项式32x tx ++有重根。 3、λ取值时，齐次线性方程组1231231232402(2)00λλλ--+=??+-+=??+-=?x x x x x x x x x 有非零解。 4、实二次型22212312313(,,)2==+-+T f x x x X AX x ax x bx x (0)b >，其中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12，则a = ，b = 。 5、矩阵方程12133424????= ? ?????X , 那么X = 。 6、已知向量()10,0,1α=，211,,022α??= ???，311,,022α??=- ???是欧氏空间3R 的一组标准正交基,则向量()2,2,1β=在这组基下的坐标为。

考试科目: 高等代数共 4 页,第 1 页考试科目: 高等代数共 4 页,第 2 页 7、已知矩阵,A B 均可逆，00B X A ??= ???，则1X -= 。 8、4阶方阵2222022200220002?? ? ? ? ???的Jordan 标准形是。 9、在欧氏空间3R 中，已知()2,1,1α=--，()1,2,1β=-，则α与β的夹角为（内积按通常的定义）。 10、设三维线性空间V 上的线性变换σ在基321,,εεε下的矩阵为221011021-?? ?- ? ?-??，则σ在基213,,εεε下的矩阵为。

2020年数学分析高等代数考研试题参考解答

安徽大学2008年高等代数考研试题参考解答北京大学1996年数学分析考研试题参考解答北京大学1997年数学分析考研试题参考解答北京大学1998年数学分析考研试题参考解答北京大学2015年数学分析考研试题参考解答北京大学2016年高等代数与解析几何考研试题参考解答北京大学2016年数学分析考研试题参考解答北京大学2020年高等代数考研试题参考解答北京大学2020年数学分析考研试题参考解答北京师范大学2006年数学分析与高等代数考研试题参考解答北京师范大学2020年数学分析考研试题参考解答大连理工大学2020年数学分析考研试题参考解答赣南师范学院2012年数学分析考研试题参考解答各大高校考研试题参考解答目录2020/04/29版各大高校考研试题参考解答目录2020/06/21版各大高校数学分析高等代数考研试题参考解答目录2020/06/04广州大学2013年高等代数考研试题参考解答广州大学2013年数学分析考研试题参考解答国防科技大学2003年实变函数考研试题参考解答国防科技大学2004年实变函数考研试题参考解答国防科技大学2005年实变函数考研试题参考解答国防科技大学2006年实变函数考研试题参考解答国防科技大学2007年实变函数考研试题参考解答国防科技大学2008年实变函数考研试题参考解答国防科技大学2009年实变函数考研试题参考解答国防科技大学2010年实变函数考研试题参考解答国防科技大学2011年实变函数考研试题参考解答国防科技大学2012年实变函数考研试题参考解答国防科技大学2013年实变函数考研试题参考解答国防科技大学2014年实变函数考研试题参考解答国防科技大学2015年实变函数考研试题参考解答国防科技大学2016年实变函数考研试题参考解答国防科技大学2017年实变函数考研试题参考解答国防科技大学2018年实变函数考研试题参考解答哈尔滨工程大学2011年数学分析考研试题参考解答

高等代数考研习题精选

《高等代数》试题库一、选择题 1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（）。 A ．零多项式 B ．零次多项式 C ．本原多项式 D ．不可约多项式 2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （）。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．以下命题不正确的是（）。 A .若()|(),()|()f x g x f x g x 则； B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域； C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式； D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式 4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的()条件。 A .充分 B .充分必要 C .必要 D ．既不充分也不必要 5．下列对于多项式的结论不正确的是（）。 A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f = B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ± C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈?，有)()()(x h x g x f D .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f 6．对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号,则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置,则行列式反号”有()。 A .甲成立,乙不成立； B .甲不成立,乙成立； C .甲,乙均成立； D ．甲,乙均不成立 7．下面论述中,错误的是()。 A .奇数次实系数多项式必有实根； B .代数基本定理适用于复数域；

高等代数考研真题第一章多项式

第一章多项式 1、（清华２000—20分）试求7次多项式()f x ，使()1f x +能被4 (1)X -整除,而()1f x -能被4 (1)X +整除。 2、（南航2001—20分）（1）设x 2-2px+2∣x 4+3x 2 +px+q ，求p,q 之值。（2）设f(x)，g(x)，h(x)∈R[x]，而满足以下等式（x 2 +1)h(x)+(x -1) f(x)+ (x -2) g(x)=0 （x 2 +1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=0 证明：x 2+1∣f(x)，x 2 +1∣g(x) 3、（北邮2002—12分）证明：x d -1∣x n -1的充分必要条件是d ∣n （这里里记号d ∣n 表示正整数d 整除正整数n ）。 4、、（北邮2003—15分）设在数域P 上的多项式g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)，f(x),已知g 1(x)∣f(x)， g 2(x)∣f(x)， g 3(x)∣f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由：（1）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)两两互素，则一定有g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)∣f(x) （2）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)互素，则一定有g 1(x)g 2(x)g 3(x)∣f(x) 5、（北师大2003—25分）一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。证明P 是素数当且仅当任取正整数a ，b 若p ∣ab 则p ∣a 或p ∣b 。 6、（大连理工2003—12分）证明：次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项式的方幂主充分必要条件是，对任意的多项式g(x)，h(x) ，由f(x)∣g(x) h(x)可以推出f(x)∣g(x)，或者对某一正整数m ，f(x)∣h m (x)。 7、（厦门2004—16分）设f(x)，g(x)是有理数域上的多项式，且f(x)在有理数域上不可约。若存在数α使得f(α)=g(α)=0，则f(x)∣g(x)。 8、（南航2004—30分）（1）设f(x)=x 7+2x 6 -6x 5-8 x 4 +19x 3+9x 2-22x+8，g(x)=x 2 +x -2，将f(x)表示成g(x)的方幂和，即将f(x)表示成 f(x)=C k (x)g(x)k + C k-1(x)g(x)k-1 + … + C 1(x)g(x)+C 0(x) 其中次（C i (x)）<次（g(x)）或C i (x)=0，i=0,1, …,k。（15分）（2）设d(x)=( f(x)，g(x))，f(x)∣g(x)和g(x)∣h(x)。证明：f(x)g(x)∣d(x)h(x)。（15分） 9、（北京化工大2005—20分）设f 1(x)≠0，f 2(x)，g 1(x)，g 2(x)是多项式，且g 1(x)g 2(x)∣f 1(x) f 2(x)，证明：若f 1(x)∣g 1(x), 则g 2(x)∣f 2(x)。

856高等代数考研真题答案09

、2009年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案及评分标准科目代码： 856 科目名称：高等代数一. （20分）证明下列命题： (1). （10分）设()d x ,()f x ,()g x 都是数域P 上的多项式。如果()|()d x f x ， ()|()d x g x ，且()d x 为()f x 与()g x 的一个组合，证明：()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式。 (2). （10分）)(x f 是数域F 上次数大于零的多项式，0,≠∈c F c 则 )()(x f c x f ≠-. 证明：(1).由题意，存在多项式(),()u x v x , 使()()()()()d x u x f x v x g x =+.（4分）如果()|()h x f x ，()|()h x g x ,那么()|()h x d x .（8分）又由于()|()d x f x ，()|()d x g x , 所以()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式。（10分） (2).如果()()f x c f x -=, 那么(0)()(2)f f c f c === .（3分）考虑()()(0)g x f x f =-.（6分）显然，()()g x f x ?=?, 并且()0,1,2,g nc n == . ()g x 有无限多个根，这是不可能的。（10分）二.（15分）已知行列式3 07437516 78 9435 2-= D . 求24232221A A A A +++，其中ij A 是元素ij a 的代数余子式。解：考虑行列式253411 11 15734703 C -= ，按它的第二行展开。（5分）由于C 和D 除了第二行外均相同，故21222324C A A A A =+++，（10分）而计算可得

2017年中科院高等代数考研试题

中国科学院大学 2017年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：高等代数考生须知： 1.本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟； 2.所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 ———————————————————————————————————————— 1.(15分)证明:实系数多项式f (x )对所有实数x 均有f (x ) 0,求证f (x )可以写成两实系数多项式的平方和[g (x )]2+[h (x )] 2. 2.(15分)f i ;i =1; ;m;m

(完整)2018年暨南大学高等代数考研真题.docx

2018 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 **************************************************************************************** 学科、专业名称：数学学科、基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论专业研究方向：各方向考试科目名称：高等代数考试科目代码： 810 考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分一、填空题（将题目的正确答案填写在答题纸上。共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。） 1、设 A 为 3 阶矩阵 , A 1 , 求 (3A) 1 5A * = 。 3 2、当实数 t 时，多项式 x 3 tx 2有重根。 x 1 2x 2 4x 3 0 3、取值时，齐次线性方程组 2x 1 (2 ) x 2 x 3 0 有非零解。 x 1 x 2 x 3 0 4、实二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) X T AX x 12 ax 22 2x 32 bx 1 x 3 (b 0) ，其中二次型的矩阵 A 的特征值之和为 1，特征值之积为 -12 ，则 a = ， b = 。 1 2 1 3 。 5、矩阵方程 X 4 2 , 那么 X 3 4 6、已知向量 1 0,0,1 ， 2 1 , 1 ,0 ， 3 1 , 1 ,0 是欧氏空间 R 3 的一 2 2 2 2 组标准正交基 , 则向量 2,2,1 在这组基下的坐标为。

考试科目 : 高等代数共 4 页 ,第 1 页 7、已知矩阵 A , B 均可逆， X B ，则 X 1 。 A 0 2 2 2 2 0 2 2 2 8、4 阶方阵的 Jordan 标准形是。 0 0 2 2 0 0 0 2 9、在欧氏空间 R 3 中，已知 2, 1,1 ， 1, 2,1 ，则与的夹角为（内积按通常的定义）。 2 2 1 10、设三维线性空间 V 上的线性变换在基 1, 2 , 3 下的矩阵为 0 1 1 ，则在 2 1 基 2 , 1 , 3 下的矩阵为。

2014年浙江大学高等代数考研真题

2014年浙江大学研究生入学考试高等代数试题 1. 00n n E A E ??= ???，{}2()n L B M R AB BA =∈=。证明L 为2()n M R 的子空间并计算其维数。 2. 00n n E A E ??= ???，请问A 是否可对角化并给出理由。若A 可对角化为C ，给出可逆矩阵P ，使得1P AP C -=. 3.方阵A 的特征多项式为32()(2)(3)f λλλ=-+，请给出A 所有可能的Jordan 标准型。 4. 1η，2η，3η为0AX =的基础解系，A 为3行5列实矩阵。求证：存在5R 的一组基，其包含123ηηη++，123ηηη-+，12324ηηη++。 5．X ，Y 分别为m n ?和n m ?矩阵，n YX E =，m A E XY =+，证明A 相似于对角矩阵。 6. A 为n 阶线性空间V 的线性变换，1λ，2λ，…，m λ为A 的不同特征值，i V λ为其特征子空间。证明：对任意V 的子空间W ，有1()()m W W V W V λλ=?⊕???⊕?. 7.矩阵A ，B 均为m n ?矩阵，0AX =与0BX =同解，求证A 、B 等价。若A 、B 等价，是否有0AX =与0BX =同解？证明或举反例否定。 8.证明：A 正定的充分必要条件是存在方阵i B （1,2,,i n =???），i B 中至少有一个非退化，使得1n T i i i A B B ==∑。 9.定义ψ为[0,1]到n 阶方阵全体组成的欧式空间的连续映射，使得(0)ψ为第一类正交矩阵，(1)ψ为第二类正交矩阵。证明：存在0(0,1)T ∈，使得0()T ψ退化。 10.设g ，h 为复数域C 上n 维线性空间V 的线性变换，gh hg =。求证g ，h 有公共的特征向量。若不是在复数域C 上而是在实数域R 上，则结论是否成立？若成立，给出理由；不成立举出反例。对试题有任何疑问，或者需要更多浙江大学或数学系的考研资料，可以进一步与我讨论。QQ ：334216522。

高等代数考研真题__第一章_多项式

第一章多项式 1、（清华２000—20分）试求7次多项式()f x ，使()1f x +能被4(1)X ?整除,而()1f x ?能被4(1)X +整除。 2、（南航2001—20分）（1）设x 2?2px+2∣x 4+3x 2+px+q ，求p,q 之值。（2）设f(x)，g(x)，h(x)∈R[x]，而满足以下等式（x 2+1)h(x)+(x ?1)f(x)+(x ?2)g(x)=0 （x 2+1)h(x)+(x+1)f(x)+(x+2)g(x)=0 证明：x 2+1∣f(x)，x 2+1∣g(x) 3、（北邮2002—12分）证明：x d ?1∣x n ?1的充分必要条件是d ∣n （这里里记号d ∣n 表示正整数d 整除正整数n ）。 4、、（北邮2003—15分）设在数域P 上的多项式g 1(x)，g 2(x )，g 3(x )，f(x),已知g 1(x)∣f(x)，g 2(x)∣f(x)，g 3(x)∣f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由：（1）如果g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)两两互素，则一定有g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)∣f(x) （2）如果g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)互素，则一定有g 1(x)g 2(x)g 3(x)∣f(x) 5、（北师大2003—25分）一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。证明P 是素数当且仅当任取正整数a，b 若p∣ab 则p∣a 或p∣b。 6、（大连理工2003—12分）证明：次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项式的方幂主充分必要条件是，对任意的多项式g(x)，h(x)，由f(x)∣g(x)h(x)可以推出f(x)∣g(x)，或者对某一正整数m ，f(x)∣h m (x)。 7、（厦门2004—16分）设f(x)，g(x)是有理数域上的多项式，且f(x)在有理数域上不可约。若存在数α使得f(α)=g(α)=0，则f(x)∣g(x)。 8、（南航2004—30分）（1）设f(x)=x 7+2x 6?6x 5?8x 4+19x 3+9x 2?22x+8，g(x)=x 2 +x ?2，将f(x)表示成g(x)的方幂和，即将f(x)表示成 f(x)=C k (x)g(x)k +C k-1(x)g(x)k-1+…+C 1(x)g(x)+C 0(x) 其中次（C i (x)）<次（g(x)）或C i (x)=0，i=0,1,…,k。（15分）（2）设d(x)=(f(x)，g(x))，f(x)∣g(x)和g(x)∣h(x)。证明：f(x)g(x)∣d(x)h(x)。（15分）9、（北京化工大2005—20分）设f 1(x)≠0，f 2(x)，g 1(x)，g 2(x)是多项式，且g 1(x)g 2(x)∣f 1(x)f 2(x)，证明：若f 1(x)∣g 1(x),则g 2(x)∣f 2(x)。

《高等代数》考研北京大学配套2021考研真题库

《高等代数》考研北京大学配套2021考研真题库第一部分名校考研真题第1章多项式一、判断题 1．设Q是有理数域，则P＝{α＋βi|α，β∈Q}也是数域，其中．（）[南京大学研] 【答案】对查看答案【解析】首先0，1∈P，故P非空；其次令a＝α1＋β1i，b＝α2＋β2i其中α1，α2，β1，β2为有理数，故 a±b＝（α1＋β1i）±（α2＋β2i）＝（α1±α2）＋（β1±β2）i∈P ab＝（α1＋β1i）（α2＋β2i）＝（α1α2－β1β2）＋（α1β2＋α2β1）i∈P 又令c＝α3＋β3i，d＝α4＋β4i，其中α3，α4，β3，β4为有理数且d≠0，即α4≠0，β4≠0，有综上所述得P为数域． 2．设f（x）是数域P上的多项式，a∈P，如果a是f（x）的三阶导数f?（x）的k 重根（k≥1）并且f（a）＝0，则a是f（x）的k＋3重根．（）[南京大学研] 【答案】错查看答案

【解析】反例是f（x）＝（x－a）k＋3＋（x－a）2，这里f（a）＝0，并且f?（x）＝（k＋3）（k＋2）（k＋1）（x－a）k满足a是f（x）的三阶导数f?（x）的k重根（k≥1）． 3．设f（x）＝x4＋4x－3，则f（x）在有理数域上不可约．（）[南京大学研] 【答案】对查看答案【解析】令x＝y＋1，则f（y）＝y4＋4y3＋6y2＋8y＋2，故由艾森斯坦因判别法知，它在有理数域上不可约．二、计算题 1．f（x）＝x3＋6x2＋3px＋8，试确定p的值，使f（x）有重根，并求其根．[清华大学研] 解：f′（x）＝3（x2＋4x＋p）．且（f（x），f′（x））≠1，则（1）当p＝4时，有（f（x），f′（x））＝x2＋4x＋4 所以x＋2是f（x）的三重因式，即f（x）（x＋2）3，这时f（x）的三个根为－2，－2，－2．（2）若p≠4，则继续辗转相除，即

上海大学高等代数历年考研真题

2000上海大学高等代数 (一) 计算行列式:a c c c b a c c b b a c b b b a ????????? (二) 把二次型414332214321),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=用非退化线性替换化成平方和. (三) B A ,分别为m n ?和m n ?矩阵, n I 表示n n ?单位矩阵.证明: m n ?阶矩阵0n A I X B ?? = ??? 可逆当且仅当BA 可逆，可逆时求出X 的逆. (四) 设12,n e e e ???是n 维线性空间n V 的一组基，对任意n 个向量 12,n a a a ???n V ∈，证明：存在唯一的线性变换A ，使得(),1,2 i i A e a i n == ?? (五) 设A 是n 维线性空间V 的线性变换，求证：1(0)V AV A -=⊕当且仅当若12,r a a a ???为AV 的一组基则12,r Aa Aa Aa ???是2()A V 的一组基. (六) 设A 为2级实方阵，适合21001A -??= ?-??，求证：A 相似于0110-?? ??? . (七) 已知,f g 均为线性空间V 上线性变换，满足22,f f g g ==试证：（1）f 与g 有相同的值域?,fg g gf f ==. （2）f 与g 有相同的核?,fg f gf g ==. 2001上海大学高等代数

（一）计算行列式：231 212 1 2 3 n n n x a a a a x a a a a x a a a a x （二）设A 为3阶非零方阵，且20A =. （1）求证：存在123,,a a a ，123,,b b b ，()121233a A a b b b a ?? ?= ? ??? （2）求方程组0AX =的基础解系. （三）用正交的线性替换化二次行 222 1231231323(,,)3244f x x x x x x x x x x =++--为标准形（四）设A 为n m ?阶实矩阵，且()()r A m n m =≥.若'2'()AA aAA =，求证 'm AA aE =. （五）设A 是n （n 为奇数）维线性空间V 上线性变换，若10,0n n A A -≠=求证：存在a V ∈，使2 211 ,,,,n n n a A a A a Aa A a A a A a a ---++++ 为V 的一组基，并求A 在此组基下的矩阵. （六）设A 是欧式空间V 上的对称变换.求证：对任意0a ≠，都有 ()0,0a Aa a ≠. （八）若A 是正交阵，且A -特征值为1的重数是S ，求证：(1)s A =-（A 为A 的行列式）.