钟表上的追及问题

20！=2432902008Y7664X000，请问X-Y=?多谢回复！

解：5*10*15*20*2=30000 => X=0

此数能被99整除 =＞2+43+29+02+8Y+76+64是99的倍数 =＞ Y=1

钟表上的追及问题

一个n(n ≥2)位正整数M 中的相邻的一个、两个、...(n-1)个数码组成的数叫的片段数(

新课标提倡，数学走进生活，教科书中出现了与日常生活密切相关的钟表问题。例如：在3点和4点之间的哪个时刻，钟表的时针与分针：（1）重合；（2）成平角；（3）成直角。许多同学面对此题，束手无策，不知如何解决。实际上，因为分针旋转的速度快，时针旋转的速度慢，而旋转的方向却是一致的。因此上面这类问题也可看做追及问题。通常有以下两种解法：

一. 格数法

钟表面的外周长被分为60个“分格”，时针1小时走5个分格，所以时针一分钟转112

分格，分针一分钟转1

个分格。因此可以利用时针与分针旋转的“分格”数来解决这个问题。

解析（1）设3点x 分时，时针与分针重合，则分针走x 个分格，时针走

个分格。因为在3点这一时刻，

时针在分针前15分格处，所以当分针与时针在3点与4点之间重合时，分针比时针多走15个分格，于是得方程

x x -=1215，解得x =16411

。

所以3点16

411

分时，时针与分针重合。

（2）设3点x 分时，时针与分针成平角。因为在3点这一时刻，时针在分针前15分格处，而在3点到4点

之间，时针与分针成一平角时，分针在时针前30分格处，此时分针比时针多走了45分格，于是得方程x x

-=12

45，解得x =491

。

所以3点49

111

分时，时针与分针成平角。

（3）设3点x 分时，时针与分针成直角。此时分针在时针前15分格处，所以在3点到4点之间，时针与分

针成直角时，分针比时针多走了30分格，于是得方程x x -

=12

30，解得x =32811。所以3点328

分时，时针与分针成直角。

二. 度数法

对钟表而言，时针12小时旋转一圈，分针1小时旋转一圈，转过的角度都是360°，所以时针1分钟转过的

角度是0.5°，分针1分钟转过的角度是6°。故也可以利用时针与分针转过的度数来解决这道题。

解析（1）设3点x 分时，时针与分针重合，则时针旋转的角度是0.5x °，分针旋转的角度是6x °。整3点时，时针与分针的夹角是90°，当两针重合时，分针比时针多转了90°，于是得方程60590x x -=.，解得

x =16

411

。

（2）设3点x 分时，时针与分针成平角。此时分针比时针多转了90°+180°=270°，于是得方程

605270x x -=.，解得x =49

。（3）设3点x 分时，时针与分针成直角。此时分针比时针多转了9090180?+?=?，于是得方程605180x x -=.，解得x =32

。练一练

1. 钟表上9点到10点之间，什么时刻时针与分针重合？

2. 钟表上5点到6点之间，什么时刻时针与分针互相垂直？

3. 钟表上3点到4点之间，什么时刻时针与分针成40°的角？

4. 钟表上2点到3点之间，什么时刻时针与分针成一直线？（参考答案：1. 9点49

111

分； 2. 5点43

711

或5点10

1011

分；

3. 3点9111

分或3点23

分； 4. 2点43711分。）

时钟指针重合问题的公式

根据钟表的构造我们知道，一个圆周被分为12个大格，每一个大格代表1小时；同时每一个大格

又分为5个小格，即一个圆周被分为60个小格，每一个小格代表1分钟。这样对应到角度问题上即为一个大格对应36 0°/12=30 °；一个小格对应360°/60=6°。现在我们把12点方向作为角的始边，把两指针在某一时刻时针所指方向作为角的终边，则m 时n 分这个时刻时针所成的角为30（m+n/60）度，分针所成的角为6n 度，而这两个角度的差即为两指针的夹角。若用α表示此时两指针夹的度数，则α=30（m+n/60）-6n 。考虑到两针的相对位置有前有后，为保证所求的角恒为正且不失解，我们给出下面的关系式：

α=|30（m+n/60）-6n|=|30m-11n/2|。

这就是计算某一时刻两指针所夹角的公式，例如：求5时40分两指针所夹的角。把m =5，n =4代入上式，得α=|150-220|=70（度）

利用这个公式还可计算何时两指针重合问题和两指针成任意角问题。因为两指针重合时，他们所夹的角为0，即公式中的α为0，再把时数代入就可求出n 。例如：求3时多少分两指针重合。解：把α=0，m=3代入公式得：0=|30*3-11n/2|，解得n=180/11，即3时180/11分两指针重合。又如：求1点多少分两指针成直角。解：把α=90°，m=1代入公式得：90=|30*1-11n/2|解得n=240/11。（另一解为n=600/11）

上述公式也可写为|30m+0.5n-6n|。因为时针1小时转过30度，1分钟转过0.5度，分针1分钟转过6度.

时钟问题是研究钟面上时针和分针关系的问题。钟面的一周分为60格。当分针走60格时，时针正好走5格，所以时针的速度是分针的5÷60=1／12，分针每走60÷（1－5／60）=65+5／11（分），于时针重合一次，时钟问题变化多端，也存在着不少学问。这里列出一个基本的公式：在初始时刻需追赶的格数÷（1－1／12）=追及时间（分钟），其中，1－1／12为每分钟分针比时针多走的格数。

时钟问题解法与算法公式

发表时间：2009-08-28 编辑：Jakie 来源：培优教育

编者按：时钟问题属于行程问题中的追及问题。钟面上按“时”分为12大格，按“分”分为60小格。

解题关键：时钟问题属于行程问题中的追及问题。钟面上按“时”分为12大格，按“分”分为60小格。每小时，时

针走1大格合5小格，分针走12大格合60小格，时针的转速是分针的，两针速度差是分针的速度的，分针每小

时可追及。

1、二点到三点钟之间，分针与时针什么时候重合？

分析：两点钟的时候，分针指向12，时针指向2，分针在时针后5×2＝10（小格）。而分针每分钟可追及1－＝

（小格），要两针重合，分针必须追上10小格，这样所需要时间应为（10÷）分钟。

解：（5×2）÷（1－）＝10÷＝10（分）

答：2点10分时，两针重合。

30×2÷（6-0.5）

=60÷5.5

=120/11

=10又10/11分

即2时10又10/11分分针和时针重合

追问

我要解释

回答

这是另一种追击问题

追击时间=路程差÷速度差

分针每分钟走6度，时针每分钟走0.5度

2时整分针与时针相差30×2=60度

在三点与四点钟之间,时针和分针什么时候重合,什么时候成一条直线?

这个就是一个追击问题呗

分针的速度是时针速度的12倍

又时针的速度是30度/小时（即0.5度/分），则分针的速度是360度/小时（即6度/分）

则重合时（6-0.5）t1=90,

解得t1=180/11,所以在大约3点17分的时候重合

成直线时（6-0.5）t2=90+180

解得t2=540/11，所以在大约3点49分的时候成一条直线

分针每分行6度，时针每分行0.5度，以12时为0度，3点钟时时针在90度，分针为0度，设需要x分钟重合，根据追及问题得方程：

6x=0.5x+90

5.5x=90

x=180/11=16又11分之4

即分针在3点16又11分之4分的时候与时针重合

分针和时针在一条直线上有2种情况:

第一种情况:重合

分针和时针在3点整时相差15个小格

分针每分钟追时针11/12个小格(分针前进1小格,时针前进5÷60＝1/12小格)

那么分针追上时针需要:15÷（11/12）＝180/11（分）＝16又4/11（分）

在3点与4点之间，3点16又4/11分时分针与时针在一条直线上（化成代分数可以让你知道大概的重合时间，所以这种题化成代分数较好）

第二种情况：分针超前时针180度

分针和时针在3点整时相差15个小格

分针要超前时针180度，也就是要超前30个小格

分针要追时针：15＋30＝45（格）

一共需要：45÷（11/12）＝540/11（分）＝49又1/11（分）

在3点与4点之间，3点49又1/11分时分针与时针在一条直线上

2、在4点钟至5点钟之间，分针和时针在什么时候在同一条直线上？

分析：分针与时针成一条直线时，两针之间相差30小格。在4点钟的时候，分针指向12，时针指向4，分针在时针后5×4＝20（小格）。因分针比时针速度快，要成直线，分针必须追上时针（20小格）并超过时针（30小格）后，才能成一条直线。因此，需追及（20＋30）小格。

解：（5×4＋30）÷（1－1/12）＝50÷＝54（分）

答：在4点54分时，分针和时针在同一条直线上。

3、在一点到二点之间，分针什么时候与时针构成直角？

分析：分针与时针成直角，相差15小格（或在前或在后），一点时分针在时针后5×1＝5小格，在成直角，分针必须追及并超过时针，才能构成直角。所以分针需追及（5×1＋15）小格或追及（5×1＋45）小格。

解：（5×1＋15）÷（1－1/12）＝20÷11/12＝21（分）

或（5×1＋45）÷（1－1/12）＝50÷11/12＝54（分）

答：在1点21分和1点54分时，两针都成直角。

4、星期天，小明在室内阳光下看书，看书之前，小明看了一眼挂钟，发现时针与分针正好处在一条直线上。看完书之后，巧得很，时针与分针又恰好在同一条直线上。看书期间，小明听到挂钟一共敲过三下。（每整点，是几点敲几下；半点敲一下）请你算一算小明从几点开始看书？看到几点结束的？

分析：连半点敲声在内，一共敲了三下，说明小明看书的时间是在中午12点以后。12点以后时针与分针：

第一次成一条直线时刻是：（0＋30）÷（1－1/12）＝30÷11/12＝32（分）

即12点32分。

第二次成一条直线时刻是：（5×1＋30）÷（1－1/12）＝35÷11/12＝38（分）

即1点38分。

第三次成一条直线的时刻是：（5×2＋30）÷（1－1/12）＝40÷11/12＝43（分）

即2点43分。

如果从12点32分开始，到1点38分，只敲2下，到2点43分，就共敲5下（不合题意）

如果从1点38分开始到2点43分，共敲3下。因此，小明应从1点38分开始看书，到2点43分时结束的。5、一只挂钟，每小时慢5分钟，标准时间中午12点时，把钟与标准时间对准。现在是标准时间下午5点30分，问，再经过多长时间，该挂钟才能走到5点30分？

分析：1、这钟每小时慢5分钟，也就是当标准钟走60分时，这挂钟只能走60－5＝55（分），即速度是标准钟速度的＝。

2、因每小时慢5分，标准钟从中午12点走到下午5点30分时，此挂钟共慢了5×（17－12）＝27（分），也就是此挂钟要差27分才到5点30分。

比较分数大小的若干方法与技巧

比较分数大小问题是初中数学竞赛的一类常见问题，现介绍几种常用解法，以供同学们学习参考。一、巧加数字

例1. （1992年第九届“缙云杯”初中数学邀请赛试题）把-

---1991199291921992199392

，，，四个分数从小到大排列是____________ 解：将每个分数都加上1，可得：

-+=-+=1991199211199291921192， -

+=19921993111993，-+=929311

93 所以

11993119921931

92<<< 所以-<-<-<-1992199319911992929391

二、巧减数字

例2. （1996年第七届“希望杯”全国数学邀请赛初二试题）设a b c d ====19961995199519951996199619951996199519961995

1996

，，，，则下列不等式关系中成立的是

（）

A. a>b>c>d

B. c>a>d>b

C. d>b>c>a

D. a>c>d>b

解：设每个分数都减去1，可得

a b -=-=1199600001995119950000

1996，

c d -=

-=1199500011995119959999

1996

，

显然a>c>d>b 故选D

例3. （1995年第六届“希望杯”全国数学邀请赛初二培训题）设a b ==199419951993

1994

，，则a 、b 的大小有（） A. a>b

B. a

C. a=b

D. a b ≤

解：因为199419951994199519942

=? 1993199419931995

19951994=?? =

-+?()()

199411994119951994

=-?1994119951994

2 所以

199319941994

1995

< 即a>b 故应选A

四、巧除数字

例4. （1997年《中小学数学》（北京）数学奥林匹克初一综合练习题）若a b c =

==1995199519961996199619961997199719971997

19981998

，，，则（）

A. a

B. b

C. c

D. a

解：用1除以a ，得

1199619961995199519961000119951000119961995111995

a ==??==+ 同理：

1111996111

1997

b c =+=+， 111a b c

>> 所以a b c << 故应选A

例5. （第二届“华罗庚金杯”少年邀请赛试题）比较

1111111和1111

11111

的大小。解：因为

1111111111101111101

111

=?+=+ 111111111111110111111011111

=?+=+ 因为

11111

1111

> 即

111111111111

1111> 所以11111111111

11111

六、巧求差法例6. 同例2 解：因为a c -=

->1996199519951996

1995

0，所以a c >

因为d b -=

->1996199519951996

1996

0，所以d b >

又因为c d -=

?+-?+=->1995101996199519961019951996199619951995

1996

044 所以c d >

综合以上可得a c d b >>> 故选D

七、巧求商法

例7. （2000年“鲁中杯”绍兴四市、县初中数学联赛试题）已知A B C =

??=??=??199819992000200119982000199920011998200119992000

，，，则有（）

A. A>B>C

B. C>B>A

C. B>A>C

D. B>C>A

解：因为A B =

<1999200012

所以A B <，同理可求得B C < 所以C B A >>，故选B

八、巧代换法

例8. （江苏省泰州市初中数学竞赛试题）已知：A B =

-=-1997199819961997199619971995

1996

，，比较A 、B 的大小。解：设1997=a ，则

A a a a a a a =

+--=+1111() B a a a a a a =

----=-1211

1()

因为a a a a ()()+>->110 所以A

一元一次不等式解题技巧大放送

解一元一次不等式，教材中介绍的是基本方法，但题目千变万化，遇到每一个题目要善于观察所给不等式的特

点，结合其他知识，灵活巧妙地变通解题步骤，才可收到事半功倍的效果。 1、巧去括号

例1 解不等式

1x 23

841x 213443+>??????-??? ?

分析：因为

43=?，所以先去中括号比先去小括号简便。解：先去中括号，得

1x 2

641x 21+>-- 两边同时减去1x 21+，得4

17x -<。

2、巧添括号

例2 解不等式

17)17x (4151)17x (31x 321x +->??

????----

分析：不等式两边都有（x －17），因此我们不是去括号，而是添括号，将各项整理出（x －17）。解：原不等式可化为：

0)17x (41

)17x (31)17x (321)17x (>--??

????----

- 即0)17x (4

)17x (3821)17x (>---?-

- 17x 017x 0)17x (41341<<->-??? ?

--∴，，

3、巧用分式基本性质例3 解不等式

.02

.4x 5.05.1x 22.06.0x 3+-

-<-。分析：直接去分母较繁，若先用分式的基本性质，可以使化小数为整数和去分母一次到位。解：由分式的基本性质，得

.010)

2.4x (105.02)5.1x 2(22.05)6.0x 3(5?+?-

?-?

4、巧化分母为1 例4 解不等式

5.702

.0x

202.05.601.0x 64--<-- 分析：此题按常规应先利用分数的基本性质将不等式中的小数化为整数，然后按步骤求解。但我们发现

x 100102

.0x

202.0)x 64(10001.0x 6415.65.7-=--=--=+-，，。巧妙地去掉分母，从而简化了解题过程。

解：原式可化为5.7x 10015.6)x 64(100--<--。移项合并，得400500-<-，即5

x >。

5、巧凑整例5 解不等式

374513x 953x 432x 2->

-+-++。分析：观察各项未知数的系数和常数项，注意到2934595432=+++，19

45135332=+++-，因此把各项拆开移项凑整，比直接去分母简便。解：原不等式可化为

x 3

974513x 5153x 5432x 32->-+-++。移项合并，得1x 2>。所以2

x >。

6、巧组合例6 解不等式

x 243x 85x 35x ++

->++-。分析：注意到左边的第一项和右边的第二项中的分母有公约数3，左边的第二项和右边的第一项的分母有公约

数4，移项局部通分化简，可简化解题过程。解：移项通分，得8

x 6x 293x 215x 3--->

---。化简，得

11x 918x ->

-。去分母，得99x 9144x 8->-。解得45x -<。

7、巧变形例7 解不等式

)3x (4

3)2x (31)1x (21---<-+-。解：原不等式可化为

0143x 132x 121x

??+-+??? ??+-+??? ??+- 即

x 31x 21x <+++++ 0)1x (413

121<+??

??++∴ 04

13121>++

01x <+∴，即1x -<。

“……”的运算技巧

在初中数学竞赛的有理数运算中，经常碰到含省略号“……”的有理数计算问题，不少同学对这种题型的计算感到无所适从，本文说明：可通过观察寻找规律，问题即迎刃而解，下面举例说明。

1. 分组结合

例1. 计算：12345678920042005+-++-++--+…

解：原式=+-++-+++-+()()()1234562002200320042005…

=++++=

?++=()(3620012005667320012

2005670339…）

2. 化积约分例2. 计算：1121131141119112022222-

???-?? ???-?? ???-?? ???-?? ?

?… 解：原式=

?????232831543601939920

2222… =

????????=?

=1232234318192019192021201221

202140… 另解：由a b a b a b 2

-=+-()()，知

1111112

=+?? ???-?? ??

?n n n 所以，原式=+?

???+??

???+?? ???-?? ??

??11211311411191120112…

11311411191120-?? ???-?

? ???-?? ???-?? ??

?… =??????? ??????????? ???=

?=32435

420192120122334181919202121202140……

3. 用奇偶性

例3. 计算：()()()123420052006---… 解：原式=---()()()1111003

…

=-=-()11

1003

例4. 计算：()()()()

-+-+-++-1111232004

…

解：原式=-+-++-+111111…

4. 去绝对值相消

例5. 计算：

1211312120061

2005-+-++-

… 解：原式=-

+-++-11212131200512006

… =-

200620052006

5. 裂项相消

例6. 计算：

112123134120052006?+?+?++?… 解：原式=-

+-+-++-11212131314120051

2006

… =-

200620052006

6. 逆序相加

例7. 计算：1232006++++…

解：设S =++++12320061…() 则S =++++20062005200412…()

由（1）+（2），得

2200720072007200720062006

S =+++=?…

故S =2013021

例8. 计算：

1214341636561

20063200620052006++?? ???+++?? ???+++++?? ??

?…… 解：设S =

++?? ???+++?? ???+++++?? ??

?121434163656120063200620052006 (1)

则有S =

++?? ???+++?? ???+++++?? ??

?123414563616200520062003

200612006…… （2）由（1）+（2），得

2123100310031004

S =++++=

?…

所以S =251753

7. 错位相减

例9. 计算：2222

232006

++++…

解：设S =++++2222

232006

(1)

则有2222

2006

2007S =++++…

（2）

由（2）-（1），得2222007

S S -=-

即S =-222007

8. 整体换元例10. 计算：112131200512131412006-

---?

???++++?? ??

?-…·…

112131200612131412005----?

? ???++++?? ??

?…·… 解：设A =-

---112131

2005

… B =

++++1213141

2005

… 则原式=+

???--?? ??

?A B A B 1200612006 =+

-+=

----+++++=

AB A AB B A B 2006200620061121312005121314120052006

12006……

9. 逐级降次

例11. 计算：222222

2005

2006----+…

解：原式=----+2

22222006

200520042…

=----+==+=221222226

2005200422

()………

10. 用运算律

例12. 已知：1231

1212

++++=++…n n n n ()()，那么246222+++…+502= __________。

解：原式=?+?+?++?()()()()1222232252222…

=?+++=???+?+=2122541

625251225122100

2222()

()()…

11. 公式运用

例13. 计算：1234200520062

-+-++-…

解：原式=-++-+++-+()()()()()()121234342005200620052006…

=-++++=-

+?=-()()37114011340111033

2013021…

12. 凑整求和

例14. 计算：192993999499998999999999999999999++++++…

解：原式=-+-+-+-+-()()()()()201300140001500001100000000001…

=+++++-=-=1000000000090000000080000000700000020910987654320910987654311

…

练习：

1. 计算：123456782005200620072008+--++--+++--…

2. 计算：

112123134199100?+?+?++?… 3. 计算：1199521995319953989

1995

++++… 答案：

1. -2008

100

3. 3989

乘法公式的用法

本文向同学们介绍乘法公式的一些常见用法。一、套用

这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。

例1. 计算：()()

53532222

x y x y +-

解：原式()()

=-=-5325922

44x y x y

二、连用

连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。

例2. 计算：()()()()

111124

-+++a a a a

解：原式()()()

=-++111224

a a a

()(

)=-+=-111448

a a a

例3. 计算：()()32513251x y z x y z +-+-+-- 解：原式()()[]()()[]

=-++--+25312531y z x y z x

()()

=--+=-+---253149252061

y z x y x z yz x

三、逆用

学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。

例4. 计算：()()5785782

a b c a b c +---+

解：原式()()[]()()[]

=+-+-++---+578578578578a b c a b c a b c a b c

()=-=-101416140160a b c ab ac

四、变用

题目变形后运用公式解题。

例5. 计算：()()x y z x y z +-++26 解：原式()[]()[]=++-+++x y z z

x y z z 2424

()()

=++-=+-+++x y z z x y z xy xz yz

241224422

五、活用

把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：

()()()()(

)

()()122232442

222

....a b ab a b a b ab a b a b a b a b

a b a b ab

+-=+-+=+++-=++--=

灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养学生综合运用知识的能力。例6. 已知a b ab -==45，，求a b 2

+的值。解：()a b a b ab 222

2242526+=-+=+?=

例7. 计算：()()a b c d b c d a ++-+++-2

解：原式()()

[]

()()[]=++-++--b c a d b c a d 2

()()

[

]

=++-=++++-222224422

2222b c a d a b c d bc ad

例8. 已知实数x 、y 、z 满足x y z xy y +==+-592，，那么x y z ++=23（）解：由两个完全平方公式得：()()[]

ab a b a b =+--1

22 从而 ()[]

z x y y 2

59=

--+- ()()

()

--+-=-+-=--+=--25414

529696932

222

y y y y y y y ()∴∴，∴∴z y z y x x y z 22

30032

2322308

+-====++=+?+=

钟表上的追及问题

钟表上的追及问题例如：在3点和4点之间的哪个时刻，钟表的时针与分针：（1）重合；（2）成平角；（3）成直角。解析：分针旋转的速度快，时针旋转的速度慢，而旋转的方向却是一致的。因此上面这类问题也可看做追及问题。通常有以下两种解法：一. 格数法钟表面的外周长被分为60个“分格”，时针1小时走5个分格，所以时针一分钟转 1 12 分格，分针一分钟转1个分格。因此可以利用时针与分针旋转的“分格”数来解决这个问题。解析（1）设3点x分时，时针与分针重合。则分针走x个分格，时针走 x 12 个分格。因为在3点这一时刻，时针在分针前15分格处，所以当分针与时针在3点与4点之间重合时，分针比时针多走15个分格，于是得方程x x -= 12 15，解得x=16 4 11 。所以3点164 11 分时，时针与分针重合。（2）设3点x分时，时针与分针成平角。因为在3点这一时刻，时针在分针前15分格处，而在3点到4点之间，时针与分针成一平角时，分针在时针前30分格处，此时分针比时针多走了45分格，于是得方程x x -= 12 45，解得x=49 1 11 。所以3点491 11 分时，时针与分针成平角。（3）设3点x分时，时针与分针成直角。此时分针在时针前15分格处，所以在3点到4点之间，时针与分针成直角时，分针比时针多走了 30分格，于是得方程x x -= 12 30，解得x=32 8 11 。所以3点32 8 11 分时，时针与分针成直角。二. 度数法对钟表而言，时针12小时旋转一圈，分针1小时旋转一圈，转过的角度都是360°，所以时针1分钟转过的角度是0.5°，分针1分钟转过的角度是6°。故也可以利用时针与分针转过的度数来解决这道题。解析（1）设3点x分时，时针与分针重合，则时针旋转的角度是0.5x°，分针旋转的角度是6x°。整3点时，时针与分针的夹角是90°，当两针重合时，分针比时针多转了90°，于是得方程 60590 x x -= .，解得x=164 11 。（2）设3点x分时，时针与分针成平角。此时分针比时针多转了90°+180°=270°，于是得方程 605270 x x -= .，解得x=491 11 。（3）设3点x分时，时针与分针成直角。此时分针比时针多转了9090180 ?+?=?，于是得方程 605180 x x -= .，解得x=328 11 。

钟表问题(一)

钟面上的数学问题（一）【问题1】3时多少分时，时针与分针重合？想：这个问题实际上就是行程问题中的追及问题，3时分针指着12，时针指着3。分针与时针相距5×3＝15小格。分针每分钟走1小格，时针每分钟走1 12 小格。要使分针与时针重合，分针要比时针多走15小格。根据追及问题中的追及时间=路程差÷速度差列式即可。解：15÷（1－1 12）=16 4 11 （分）答：3时164 11 分时，时针与分针重合。【试一试】 1、某钟面的指针指在2点整，再过多少分钟时针和分针第一次重合？ 2、钟面上8点整，再过多少分钟时针与分针首次重合？【问题2】在7点与8点之间，时针与分针在什么时刻相互垂直？想：7点时分针指向12，时针指向7，分针在时针后面5×7＝35（格）。时针与分针垂直，即时针与分针相差15格，在7点与8点之间，有两种情况：（1）顺时针方向看，分针在时针后面15格。从7点开始，分针要比时针多走35-15=20（格）；（2）顺时针方向看，分针在时针前面15格。从7点开始，分针要比时针多走35＋15＝50（格）。解：（35－15）÷（1－1 12）=21 9 11 （分）

（35＋15）÷（1－1 12）=54 6 11 （分）答：在7点219 11分和54 6 11 分时，时针与分针相互垂直。【试一试】 1、在10点与11点之间，钟面上时针和分针在什么时侯相互垂直？ 2、在3点与4点之间，钟面上时针和分针在什么时侯相互垂直？【问题3】在3点与4点之间，时针和分针在什么时候反向成一直线？想：3点时分针指向12，时针指向3，分针在时针后面5×3＝15（格）。时针与分针反向成一直线，即时针与分针成180°角。从3点开始，分针要比时针多走15＋30=45小格。解：（15＋30）÷（1－1 12）=49 1 11 （分）答：3点491 11 分，时针和分针反向成一直线。【试一试】 1、6时以后，分针与时针再一次反向成一直线是在什么时候？ 2、钟面上9点整，再过多少分钟两指针反向成一直线？

奥数：时钟问题.学生版(精编版)

1．行程问题中时钟的标准制定； 2．时钟的时针与分针的追及与相遇问题的判断及计算； 3．时钟的周期问题 . 时钟问题知识点说明时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及或相遇问题，不过这里的两个“人” 分别是时钟的分针和时针。我们通常把研究时钟上时针和分针的问题称为时钟问题，其中包括时钟的快慢，时钟的周期，时钟上时针与分针所成的角度等等。时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。对于正常的时钟，具体为：整个钟面为360度，上面有12个大格，每个大格为30度；60个小格，每个小格为6度。分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度时针速度：每分钟走112 小格，每分钟走0.5度注意：但是在许多时钟问题中，往往我们会遇到各种“怪钟”，或者是“坏了的钟”，它们的时针和分针每分钟走的度数会与常规的时钟不同，这就需要我们要学会对不同的问题进行独立的知识点拨教学目标时钟问题

分析。要把时钟问题当做行程问题来看，分针快，时针慢，所以分针与时针的问题，就是他们之间的追及问题。另外，在解时钟的快慢问题中，要学会十字交叉法。例如：时钟问题需要记住标准的钟，时针与分针从一次重合到下一次重合，所需时间为 5 65 11 分。模块一、时针与分针的追及与相遇问题【例 1】当时钟表示1点45分时，时针和分针所成的钝角是多少度？【巩固】在16点16分这个时刻，钟表盘面上时针和分针的夹角是____度. 【例 2】有一座时钟现在显示10时整．那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针与时针第二次重合? 【巩固】钟表的时针与分针在4点多少分第一次重合？例题精讲

钟表上地追及问题

20！=2432902008Y7664X000，请问X-Y=?多谢回复！解：5*10*15*20*2=30000 => X=0 此数能被99整除 =＞2+43+29+02+8Y+76+64是99的倍数 =＞ Y=1 钟表上的追及问题一个n(n ≥2)位正整数M 中的相邻的一个、两个、...(n-1)个数码组成的数叫的片段数( 新课标提倡，数学走进生活，教科书中出现了与日常生活密切相关的钟表问题。例如：在3点和4点之间的哪个时刻，钟表的时针与分针：（1）重合；（2）成平角；（3）成直角。许多同学面对此题，束手无策，不知如何解决。实际上，因为分针旋转的速度快，时针旋转的速度慢，而旋转的方向却是一致的。因此上面这类问题也可看做追及问题。通常有以下两种解法：一. 格数法钟表面的外周长被分为60个“分格”，时针1小时走5个分格，所以时针一分钟转112 分格，分针一分钟转1 个分格。因此可以利用时针与分针旋转的“分格”数来解决这个问题。解析（1）设3点x 分时，时针与分针重合，则分针走x 个分格，时针走 x 12 个分格。因为在3点这一时刻，时针在分针前15分格处，所以当分针与时针在3点与4点之间重合时，分针比时针多走15个分格，于是得方程 x x -=1215，解得x =16411 。所以3点16 411 分时，时针与分针重合。（2）设3点x 分时，时针与分针成平角。因为在3点这一时刻，时针在分针前15分格处，而在3点到4点之间，时针与分针成一平角时，分针在时针前30分格处，此时分针比时针多走了45分格，于是得方程x x -=12 45，解得x =491 11 。所以3点49 111 分时，时针与分针成平角。（3）设3点x 分时，时针与分针成直角。此时分针在时针前15分格处，所以在3点到4点之间，时针与分针成直角时，分针比时针多走了30分格，于是得方程x x -=12 30，解得x =328 11。所以3点328 11 分时，时针与分针成直角。二. 度数法对钟表而言，时针12小时旋转一圈，分针1小时旋转一圈，转过的角度都是360°，所以时针1分钟转过的角度是0.5°，分针1分钟转过的角度是6°。故也可以利用时针与分针转过的度数来解决这道题。解析（1）设3点x 分时，时针与分针重合，则时针旋转的角度是0.5x °，分针旋转的角度是6x °。整3点时，时针与分针的夹角是90°，当两针重合时，分针比时针多转了90°，于是得方程60590x x -=.，解得

时钟及追及问题

在一点到二点之间，分针什么时候与时针构成直角? 解：当时针分针重合，即分针追上时针时，需要时间30/(11/2)=60/11，此后，当路程差为90度时，构成直角，90/(11/2)=180/11；当路程差为270度时，构成直角，270/(11/2)=540/11. 因此，共需要60/11+180/11=240/11分钟，或60/11+540/11=600/11分钟。 2.现在是10点整，请问再过多长时间，时针与分针将第一次在一条直线上？解：分针一分钟走6度，时针一分钟走1/2度，则分针时针的速度差为11/2，10点时分针时针路程差为60度，当分针时针第一次在一条直线上时分针时针的路程差为180度。即在运动过程中，时针分针的路程差又增加120度，因此，用时120/(11/2)=240/11 3.在钟面上，如果知道X时Y分，输入一个公式就能得出此时时针与分针夹角的度数。请问这个公式怎么得来？钟面上分12大格60小格。每1大格均为360除以12等于30度。每过一分钟分针走6度，时针走0.5度，能追5.5度。公式可这样得来：X时时，夹角为30X度。Y分，也就是分针追了时针5.5Y度。可用：整点时的度数30X减去追了的度数5.5Y。如果减得的差是负数，则取绝对值，也就是直接把负号去掉，因为度数为非负数。因为时针与分针一般有两个夹角，一个小于180度，一个大于180度，(180度时只有一个夹角)因此公式可表示为：|30X-5.5Y|或360-|30X-5.5Y|度。||为绝对值符号。如1：40分，可代入得：3 0×1-5.5×40=-190则为190度，另一个小于180度的夹角为：170度。如：2：10，可代入得：60-55=5

钟表上的追及问题

钟表上的追及问题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

钟表上的追及问题例如：在3点和4点之间的哪个时刻，钟表的时针与分针：（1）重合；（2）成平角；（3）成直角。解析：分针旋转的速度快，时针旋转的速度慢，而旋转的方向却是一致的。因此上面这类问题也可看做追及问题。通常有以下两种解法：一. 格数法钟表面的外周长被分为60个“分格”，时针1小时走5个分格，所以时针一分钟转 1 12 分格，分针一分钟转1个分格。因此可以利用时针与分针旋转的“分格”数来解决这个问题。解析（1）设3点x分时，时针与分针重合。则分针走x个分格，时针走 x 12 个分格。因为在3点这一时刻，时针在分针前15分格处，所以当分针与时针在3点与4点之间重合时，分针比时针多走15个分格，于是得方程x x -= 12 15，解得x=16 4 11 。所以3点16 4 11 分时，时针与分针重合。（2）设3点x分时，时针与分针成平角。因为在3点这一时刻，时针在分针前15分格处，而在3点到4点之间，时针与分针成一平角时，分针在时针前30分格处，此时分针比时针多走了45分格，于是得方程 x x -= 12 45，解得x=49 1 11 。所以3点49 1 11 分时，时针与分针成平角。（3）设3点x分时，时针与分针成直角。此时分针在时针前15分格处，所以在3点到4点之间，时针与分针成直角时，分针比时针多走了30分格，于是得方程x x -= 12 30，解得x=32 8 11 。所以3点32 8 11 分时，时针与分针成直角。二. 度数法对钟表而言，时针12小时旋转一圈，分针1小时旋转一圈，转过的角度都是360°，所以时针1分钟转过的角度是°，分针1分钟转过的角度是6°。故也可以利用时针与分针转过的度数来解决这道题。解析（1）设3点x分时，时针与分针重合，则时针旋转的角度是°，分针旋转的角度是6x°。整3点时，时针与分针的夹角是90°，当两针重合时，分针比时针多转了90°，于是得方程60590 x x -= .，解得x=164 11 。（2）设3点x分时，时针与分针成平角。此时分针比时针多转了90°+180°=270°，于是得方程605270 x x -= .，解得x=491 11 。

常见的时钟问题练习

常见的时钟问题练习 1、从时针指向4开始，再经过多少分钟，时针正好和分针重合? 2、4时与5时之间，什么时刻时钟的分针和时针成一直线? 3、有一个挂钟，每小时敲一次钟，几点钟就敲几下，钟敲6下，5秒钟敲完，钟敲12下，几秒钟可敲完? 4、当钟面上4时10分时，时针与分针的夹角是多少度? 5、求7时与8时之间，时针与分针的夹角是多少度? 6、一昼夜快3分的时钟，今天下午4时调拨到几点几分，才能于明天上午8时指向正确的时刻? 7、8时到9时之间，在什么时刻时针与分针的夹角是60度? 8、张奶奶家的闹钟每小时快2分(准确的钟分针每小时走一圈，而这个钟的分针每小时走一圈多2格)。昨晚21：00，她把闹钟与北京时间对准了，同时把钟拨到今天早晨6：00闹铃，张姐姐听到闹铃声响比北京时间今天早晨6：00提前了多少小时? 9、在7时和8时之间，什么时刻与分针成直角? 10、某人有一只手表，比家里闹钟时间每小时快30秒，而闹钟却比标准时间每小时慢30秒。此人手表一昼夜与标准时间相差多少秒?

11、5时以后的什么时刻，时针和分针在“4”字两边并且与“4”字等距离? 12、一只钟的时针和分针每65分钟重合一次，这只针一天慢或快几分? 13、有甲乙两只钟表，甲表8时15分时，乙表8时31分。甲表比标准时间每9小时快3分，乙表比标准时间每7小时慢5分。至少要经过几小时，两种表的指针指在同一时刻? 14、某种表在7月29日零点比标准时间慢4分半，它一直走到8月5号上午7时，比标准时间快3分。那么，这只钟所指的正确的时刻是几月几日几时? 15、3时以后的某一时刻，时针与分针的位置，恰好与6时以后(不超过7时)的某一时针的位置相互交换。这6时后的某一时刻是多少? 16、现在是3时整，再过多少时间，分针第一次在时针和“12”字之间并与它们等距离? 17、小芳和小明一起在外做游戏。下午5时多，小芳的妈妈喊小芳回家，小芳发现手表上两针的夹角刚好是900(两人回家时间都没有超过6时)。算一算，小明比小芳晚回家多长时间? 18、下午放学回家，小明做作业，开始时看见钟面上分针略超过时针，完成作业时发现分针和时针恰好互换了位

《钟表问题》

钟表问题华图教育梁维维钟表问题是时间问题中的一类，这类题型更贴近生活实际，在行测考试数学运算中比较容易出现，也是大家应知应会的题型，要掌握钟表问题的快速解法，大家首先要掌握钟表问题的基础知识。 ? 钟表问题常识：（1）钟表一圈分成了12格，则时针每小时转一格，分针每小时转12格。（2）时针一昼夜转两圈，一小时转 121圈；分针一昼夜转24圈，一小时转一圈。钟表上每两格之间为?30，时针分针成某个角度一般都有对称的两种情况。 ? 钟表问题主要有基础钟表问题、钟表追及问题以及快慢坏表问题这三种，对于这三种题型大家要清楚以下知识点：基础钟表问题，需要大家知道“时针一昼夜转两圈，一小时转12 1圈；分针一昼夜转24圈，一小时转一圈”等常识，同时结合画图或者备用手表做道具，轻松得到答案；钟表追及问题要知道公式：12 110÷=T T ，并学会找静态时间0T ；快慢坏表问题本质是比例问题，大家必须抓住“标准比”，按比例计算。下面我们以一些例题来了解下这些问题到底是以什么样的形式出现的。【例1】（2008-吉林甲-7）四点半钟后，时针与分针第一次成直线的时刻为： A. 4点40分 B. 4点45又114分 C. 4点54又116分 D. 4点57分【解析】四点半时，时针和分针所成角度为45度，时针与分针第一次成直线即时针和分针所成角度为180度，说明分针要比时针多走135度，一分钟分针比时针多走 5.5度，所以需要11 6245.5135=÷分钟，即4点54又116分时时针与分针第一次成直线，正确答案为C 选项。【例2】（2013-浙江A 卷-52）3点19分时，时钟上的时针与分针所构成的锐角为几度？ A. 14度 B. 14.5度 C. 15度 D. 15.5度【解析】表盘上两个数字之间的夹角（1格）是360÷12=30°。因此3点19分时，时针和分针

五年级数学时钟相遇与追及问题(含答案)

时钟追及与相遇问题知识框架时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及或相遇问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。我们通常把研究时钟上时针和分针的问题称为时钟问题，其中包括时钟的快慢，时钟的周期，时钟上时针与分针所成的角度等等。时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。对于正常的时钟，具体为：整个钟面为360度，上面有12个大格，每个大格为30度；60个小格，每个小格为6度。分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度时针速度：每分钟走 1 12 小格，每分钟走0.5度注意：但是在许多时钟问题中，往往我们会遇到各种“怪钟”，或者是“坏了的钟”，它们的时针和分针每分钟走的度数会与常规的时钟不同，这就需要我们要学会对不同的问题进行独立的分析。要把时钟问题当做行程问题来看，分针快，时针慢，所以分针与时针的问题，就是他们之间的追及问题。另外，在解时钟的快慢问题中，要学会十字交叉法。例如：时钟问题需要记住标准的钟，时针与分针从一次重合到下一次重合，所需时间为 5 65 11 分。例题精讲【例 1】当时钟表示1点45分时，时针和分针所成的钝角是多少度？【考点】行程问题之时钟问题【难度】☆☆【题型】解答【解析】142.5度【答案】142.5度【巩固】在16点16分这个时刻，钟表盘面上时针和分针的夹角是____度. 【考点】行程问题之时钟问题【难度】☆☆【题型】填空【解析】16点的时候夹角为120度，每分钟，分针转6度，时针转0.5度，16：16的时候夹角为120-6×16+0.5×16=32度. 【答案】32度【例 2】在一段时间里，时针、分钟、秒针转动的圈数之和恰好是1466圈，那么这段时间有秒。

行程问题之钟表问题.docx

行程冋题之钟表冋题钟面行程问题是研究钟面上的时针和分针关系的问题，常见的有两种： (1)研究时针、分针成一定角度的问题，包括重合、成一条直线、成直角或成一定角度； (2)研究有关时间误差的问题. 在钟面上每针都沿顺时针方向转动，但因速度不同总是分针追赶时针，或是分针超越时针的局面，因此常见的钟面问题往往转化为追及问题来解? 在*悔上，各针转动的Jt窿是礴定的，分针的遠度是时针的遠度的12倍. RBrni I . 单i±? Φa??+Ef∣?ft??ttfi 6度，吋計輛分?MT[J,5rL

1、在10点与11点之间，钟面上时针和分针在什么时刻垂直? 2、现在是2点15分，再过几分钟，时针和分针第一次重合? 3、在7点与8点之间（包含7点与8点）的什么时刻，两针之间的夹角为120°? 4、小明在7点与8点之间解了一道题，开始时分针与时针正好成一条直线, 解完题时两针正好重合，小明解题的起始时间？小明解题共用了多少时间？ 5、一只旧钟的分钟和时针每65分钟（标准时间的65分钟）重合一次.问这只旧钟一天（标准时间24小时）慢或快几分钟?

钟面上的追及问题

第一部分：师：同学们，《龟兔赛跑》的故事大家一定很熟悉吧，今天老师也让大家来听一个新的《龟兔赛跑》故事。学生听故事。师：看来兔子是没有办法来解决这个问题了，那么同学们体们有没有兴趣来帮助兔子解决这个问题? 讨论问题一、( 出题) “比赛时，兔子追到乌龟时用了多少分钟? ” 师：老师为同学们准备了一张表格，我们讨论的时候可以用这张表来解决这个问题。师：首先我们来讨论一下，兔子每分钟比乌龟多跑了多少米? 生：(55 米) 。师：你的55 米是怎样得到的? 生：兔子每分钟跑60 米，乌龟每分钟跑5 米，所以…… 师：好，接下来请同学们根据刚才得出来的兔子每分钟比乌龟多跑55 米这个速度，分别计算出“兔子跑1 分钟比乌龟多跑了多少米，2 分钟、3 分钟…呢? 最后可以根据左边的图找出当兔子追到了乌龟时，兔子比乌龟多跑了多少米? ”( 学生开始讨论) 。生：1 分钟多跑55 米。师：那么当兔子追到了乌龟时，兔子比乌龟多跑了多少米? 生：900 米，因为兔子跑了1200 米，乌龟跑了3OO 米，所以多跑了900 米；因为兔子和乌龟相距3 格，每大格是300 米，所以是900 米。师：那你能不能根据900 米和55 这两个条件，列式算出兔子共追了多少时间? 动动脑，把你的算式列在方框下的横线上。生：(900 ÷55=16 分多) 师：同学们做得真不错! 从算式中我们可以知道，兔子追上乌龟的时间等于兔子一共多跑的路程除以兔子每分钟多跑的路程。第二部分：师：同学们，你们仔细看一看，这个龟兔赛跑的跑道有点像我们生活中的哪样东西啊? 生：钟师：对了，我们的钟面上有时针、分钟、秒针，但是在今天的课上我们只用到分针和时针，秒针我们今天就暂时不用。师：那么同学们，请你们再想一想，刚才的故事中的兔子像钟里面的什么，乌龟

行测——时钟问题1

时钟问题 “时间就是生命”。自从人类发明了计时工具——钟表，人们的生活就离不开它了。什么时间起床，什么时间吃饭，什么时间上学……全都依靠钟表，如果没有钟表，生活就乱套了。时钟问题就是研究钟面上时针和分针关系的问题。大家都知道，钟面的一周分为60格，分针每走60格，时针正好走5格，所以时针的速度是分针速度垂直、两针成直线、两针成多少度角提出问题。因为时针与分针的速度不同，并且都沿顺时针方向转动，所以经常将时钟问题转化为追及问题来解。例1现在是2点，什么时候时针与分针第一次重合？分析：如右图所示，2点分针指向12，时针指向2，分针在时针后面例2在7点与8点之间，时针与分针在什么时刻相互垂直？分析与解：7点时分针指向12，时针指向7（见右图），分针在时针后面5×7＝35（格）。时针与分针垂直，即时针与分针相差15格，在7点与8点之间，有下图所示的两种情况：

（1）顺时针方向看，分针在时针后面15格。从7点开始，分针要比时针多走35-15=20（格），需（2）顺时针方向看，分针在时针前面15格。从7点开始，分针要比时针多走35＋15＝50（格），需例3在3点与4点之间，时针和分针在什么时刻位于一条直线上？分析与解：3点时分针指向12，时针指向3（见右图），分针在时针后面5×3＝15（格）。时针与分针在一条直线上，可分为时针与分针重合、时针与分针成180°角两种情况（见下图）：（1）时针与分针重合。从3点开始，分针要比时针多走15格，需15÷ （2）时针与分针成180°角。从3点开始，分针要比时针多走15＋30

例4晚上7点到8点之间电视里播出一部动画片，开始时分针与时针正好成一条直线，结束时两针正好重合。这部动画片播出了多长时间？分析与解：这道题可以利用例3的方法，先求出开始的时刻和结束的时刻，再求出播出时间。但在这里，我们可以简化一下。因为开始时两针成180°，结束时两针重合，分针比时针多转半圈，即多走30格，所以播出时间为例1～例4都是利用追及问题的解法，先找出时针与分针所行的路程差是多少格，再除以它们的速度差求出准确时间。但是，有些时钟问题不太容易求出路程差，因此不能用追及问题的方法求解。如果将追及问题变为相遇问题，那么有时反而更容易。例53点过多少分时，时针和分针离“3”的距离相等，并且在“3”的两边？分析与解：假设3点以后，时针以相反的方向行走，时针和分针相遇的时刻就是本题所求的时刻。这就变成了相遇问题，两针所行距离和是15个格。例6小明做作业的时间不足1时，他发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时时针、分针的位置交换了一下。小明做作业用了多少时间？分析与解：从左上图我们可以看出，时针从A走到B，分针从B走到A，两针一共走了一圈。换一个角度，问题可以化为：时针、分针同时从B出发，反向而行，它们在A点相遇。两针所行的

小学数学行程问题之时钟问题含答案

时钟问题知识框架时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及或相遇问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。我们通常把研究时钟上时针和分针的问题称为时钟问题，其中包括时钟的快慢，时钟的周期，时钟上时针与分针所成的角度等等。时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。对于正常的时钟，具体为：整个钟面为360度，上面有12个大格，每个大格为30度；60个小格，每个小格为6度。分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度时针速度：每分钟走 1 12 小格，每分钟走0.5度注意：但是在许多时钟问题中，往往我们会遇到各种“怪钟”，或者是“坏了的钟”，它们的时针和分针每分钟走的度数会与常规的时钟不同，这就需要我们要学会对不同的问题进行独立的分析。要把时钟问题当做行程问题来看，分针快，时针慢，所以分针与时针的问题，就是他们之间的追及问题。另外，在解时钟的快慢问题中，要学会十字交叉法。例如：时钟问题需要记住标准的钟，时针与分针从一次重合到下一次重合，所需时间为 5 65 11 分。例题精讲【例 1】小明上午 8点要到学校上课，可是家里的闹钟早晨 6点10分就停了，他上足发条但忘了对表就急急忙忙上学去了，到学校一看还提前了10分。中午12点放学，小明回到家一看钟才11点整。如果小明上学、下学在路上用的时间相同，那么，他家的闹钟停了多少分？【考点】行程问题之时钟问题【难度】☆☆【题型】解答【解析】根据题意可知，小明从上学到放学一共经过的时间是290分钟（11点减去6点10分）,在校时间为250分钟（8点到12点，再加上提前到的10分钟）所以上下学共经过290-250=40（分钟），即从家到学校需要20分钟，所以从家出来的时间为7：30（8：00-10分-20分）即他家的闹钟停了1小时20分钟，即80分钟。【答案】80分钟【巩固】—辆汽车的速度是每小时121千米，现有一块每小时快30秒的表，若用该表计时，测得这辆汽车的时速是多少? 【考点】行程问题之时钟问题【难度】☆☆【题型】解答

钟面上的行程问题

钟面上的行程问题钟面行程问题是研究钟面上的时针和分针关系的问题，常见的有两种：⑴研究时针、分针成一定角度的问题，包括重合、成一条直线、成直角或成一定角度；⑵研究有关时间误差的问题．在钟面上每针都沿顺时针方向转动，但因速度不同总是分针追赶时针，或是分针超越时针的局面，因此常见的钟面问题往往转化为追及问题来解．时钟问题—钟面追及基本思路：封闭曲线上的追及问题。关键问题： ①确定分针与时针的初始位置； ②确定分针与时针的路程差；基本方法： ①分格方法：时钟的钟面圆周被均匀分成60小格，每小格我们称为1分格。分针每小时走60分格，即一周；而时针只走5分格，故分针每分钟走1分格，时针每分钟走1／12分格。 ②度数方法：从角度观点看，钟面圆周一周是360°，分针每分钟转360/60度，

即6°，时针每分钟转360/12*60度，即0.5度。基础练习题： 1. 现在是下午3点，从现在起时针和分针什么时候第一次重合？ 2. 分针和时针每隔多少时间重合一次？一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次？ 3. 钟面上5点零8分时，时针与分针的夹角是多少度？ 4. 在4点与5点之间，时针与分针什么时候成直角？ 5. 9点过多少分时，时针和分针离“9”的距离相等，并且在“9”的两边？参考答案详解： 1. 现在是下午3点，从现在起时针和分针什么时候第一次重合？解析：分针：1格/分时针：(1/12) 格/分 3点整，时针在分针前面15格，所以第一次重合时，分针应该比时针多走15格，用追及问题的处理方法解：15格/(1-1/12)格/分=16+4/11分钟所以下午3点16又4/11分时，时针和分针第一次重合 PS:这类题目也可以用度数方法解 2. 分针和时针每隔多少时间重合一次？一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次？解析：分针：6度/分时针0.5度/分当两针第一次重合到第二次重合，分针比时针多转360度。

钟表问题含答案

模块一、时针与分针的追及与相遇问题【例 1】王叔叔有一只手表，他发现手表比家里的闹钟每小时快 30 秒.而闹钟却比标准时间每小时慢 30 秒，那么王叔叔的手表一昼夜比标准时间差多少秒？【解析】闹钟比标准的慢那么它一小时只走（3600-30）/3600个小时，手表又比闹钟快那么它一小时走（3600+30）/3600个小时，则标准时间走1小时手表则走（3600-30）/3600*（3600+30）/3600 个小时，则手表每小时比标准时间慢1—【（3600-30）/3600*（3600+30）/3600】=1— 14399/14400=1/14400个小时，也就是1/14400*3600=四分之一秒，所以一昼夜24小时比标准时间慢四分之一乘以24等于6秒【巩固】小强家有一个闹钟，每时比标准时间快3分。有一天晚上10点整，小强对准了闹钟，他想第二天早晨6∶00起床，他应该将闹钟的铃定在几点几分？【解析】 6：24 【巩固】小翔家有一个闹钟，每时比标准时间慢3分。有一天晚上9点整，小翔对准了闹钟，他想第二天早晨6∶30起床，于是他就将闹钟的铃定在了6∶30。这个闹钟响铃的时间是标准时间的几点几分？【解析】 7点【巩固】当时钟表示1点45分时，时针和分针所成的钝角是多少度？【解析】 142.5度【例 2】有一座时钟现在显示10时整．那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针与时针第二次重合? 【解析】在lO 点时，时针所在位置为刻度10，分针所在位置为刻度12；当两针重合时，分针必须追上50 个小刻度，设分针速度为“l”，有时针速度为“ 112”，于是需要时间：1650(1)541211÷-=．所以，再过65411 分钟，时针与分针将第一次重合．第二次重合时显然为12点整，所以再经过65(1210)6054651111 -?-=分钟，时针与分针第二次重合．标准的时钟，每隔56511分钟，时针与分针重合一次．我们来熟悉一下常见钟表(机械)的构成：一般时钟的表盘大刻度有12个，即为小时数；小刻度有60个，即为分钟数．所以时针一圈需要12小时，分针一圈需要60分钟(1 小时)，时针的速度为分针速度的112．如果设分针的速度为单位“l”，那么时针的速度为“112 ”．【巩固】钟表的时针与分针在4点多少分第一次重合？【解析】此题属于追及问题，追及路程是20格，速度差是11111212- =，所以追及时间是：11920211211÷=（分）。【巩固】现在是3点，什么时候时针与分针第一次重合？

钟表上的追及问题

钟表上的追及问题 20！=08Y7664X000，请问X-Y=多谢回复！解：5*10*15*20*2=30000 => X=0 此数能被99整除 =＞2+43+29+02+8Y+76+64是99的倍数 =＞ Y=1 钟表上的追及问题一个n(n≥2)位正整数M中的相邻的一个、两个、...(n- 1)个数码组成的数叫的片段数( 新课标提倡，数学走进生活，教科书中出现了与日常生活密切相关的钟表问题。例如：在3点和4点之间的哪个时刻，钟表的时针与分针：（1）重合；（2）成平角；（3）成直角。许多同学面对此题，束手无策，不知如何解决。实际上，因为分针旋转的速度快，时针旋转的速度慢，而旋转的方向却是一致的。因此上面这类问题也可看做追及问题。通常有以下两种解法：一. 格数法钟表面的外周长被分为60个“分格”，时针1小时走5个分格，所以时针一分钟转1 12 分格，分针一分钟转1个分格。因此可以利用时针与分针旋转的“分格”数来解决这个问题。解析（1）设3点x分时，时针与分针重合，则分针走x个分格，时针走 x 12 个分格。因为在3点这一时刻，时针在分针前15分格处，所以当分针与时针在3点与4点之间重合时，分针比时针多走15个分格，于是得方程x x -= 12 15，解得x=16 4 11 。

所以3点164 11 分时，时针与分针重合。（2）设3点x分时，时针与分针成平角。因为在3点这一时刻，时针在分针前15分格处，而在3点到4点之间，时针与分针成一平角时，分针在时针前30分格处，此时分针比时针多走了45分格，于是得方程x x -= 12 45，解得x=49 1 11 。所以3点491 11 分时，时针与分针成平角。（3）设3点x分时，时针与分针成直角。此时分针在时针前15分格处，所以在3点到4点之间，时针与分针成直角时，分针比时针多走了30分格，于是得方程 x x -= 12 30，解得x=32 8 11 。所以3点32 8 11 分时，时针与分针成直角。二. 度数法对钟表而言，时针12小时旋转一圈，分针1小时旋转一圈，转过的角度都是360 °，所以时针1分钟转过的角度是°，分针1分钟转过的角度是6°。故也可以利用时针与分针转过的度数来解决这道题。解析（1）设3点x分时，时针与分针重合，则时针旋转的角度是°，分针旋转的角度是6x °。整3点时，时针与分针的夹角是90°，当两针重合时，分针比时针多转了90°，于是得方程60590 x x -= .，解得x=164 11 。（2）设3点x分时，时针与分针成平角。此时分针比时针多转了90°+180°=270° ，于是得方程605270 x x -= .，解得x=491 11 。（3）设3点x分时，时针与分针成直角。此时分针比时针多转了9090180 ?+?=? ，于是得方程605180 x x -= .，解得x=328 11 。练一练 1. 钟表上9点到10点之间，什么时刻时针与分针重合 2. 钟表上5点到6点之间，什么时刻时针与分针互相垂直 3. 钟表上3点到4点之间，什么时刻时针与分针成40°的角 4. 钟表上2点到3点之间，什么时刻时针与分针成一直线（参考答案：1. 9点491 11 分； 2. 5点43 7 11 或5点10 10 11 分；

时钟问题的经典解法

17 . 时钟问题就是行程问题，两个人速度不一样同向走，后面的追前面的，确定要追的路程。在初始时刻需追赶的格数÷（1-1/12）=追及时间（分钟），其中，1-1/12 为分针每分钟比时钟多走的格数。时针：分钟 1格：12格 X/12 ：X 1）在10点与11点之间，钟面上时针和分针在什么时刻垂直？ ①第一次垂直，时针和分钟差15分钟 10+X-X/12=15 =〉11/12X=5 =〉X=5*12/11=5又5/11分钟所以第一次垂直时，10点5又5/11分钟 ②第二次垂直，时针和分钟差15分钟 50+X/12-X=15 =〉11/12X=35 =〉X=12*35/11=420/11=38又2/11分钟所以第二次垂直时，10点38又2/11分钟 2）现在是2点15分，再过几分钟，时针和分针第一次重合？因为要重合肯定是在3点15分之后，所以从三点开始算 15+X/12=X [时钟走的格子数和分钟走的格子数相同] =〉15=11/12X =〉X=16又4/11分钟所以第一次重合的时间是3点16又4/11分钟需要经过的时间是45+16又4/11=61又4/11分钟 3）在7点与8点之间（包含7点与8点）的什么时刻，两针之间的夹角为120°？ ①第一次夹角成120°，时针和分钟差20分钟 35+X/12-X=20 =〉11/12X=15 =〉X=180/11=16又4/11 所以时间是7点16又4/11分钟 ②第二次夹角成120°，时针和分钟差20分钟正好是8点整 4）小明在7点与8点之间解了一道题，开始时分针与时针正好成一条直线，解完题时两针正好重合，小明解题的起始时间？小明解题共用了多少时间？答案：32又2/11分钟 ①开始分针与时针正好成一条直线，时针和分钟差30分钟 35+X/12-X=30 =〉11/12X=5 =〉X= 60/11= 5又5/11分钟所以此时是7点5又5/11分钟 ②后来两针正好重合，时针和分钟差0分钟 35+X/12-X=0 =〉11/12X=35 =〉X= 420/11=38又2/11 所以此时是7点38又2/11 那么时间差是38又2/11 – 5又5/11 = 32又8/11分钟 5）.一只旧钟的分钟和时针每65分钟（标准时间的65分钟）重合一次.问这只旧钟一天（标准时间24小时）慢或快几分钟？答案：快10又10/143分钟（按旧钟上的时间）正常的时钟应该是12小时重合11次, 所以重合一次需要的时间是12/11*60=720/11=65又5/11分钟

时钟问题.题库教师版

时钟问题教学目标： 1．行程问题中时钟的标准制定； 2．时钟的时针与分针的追及与相遇问题的判断及计算； 3．时钟的周期问题. 知识点拨：时钟问题知识点说明时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及或相遇问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。我们通常把研究时钟上时针和分针的问题称为时钟问题，其中包括时钟的快慢，时钟的周期，时钟上时针与分针所成的角度等等。时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。对于正常的时钟，具体为：整个钟面为360度，上面有12个大格，每个大格为30度；60个小格，每个小格为6度。分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度时针速度：每分钟走 1 12 小格，每分钟走0.5度注意：但是在许多时钟问题中，往往我们会遇到各种“怪钟”，或者是“坏了的钟”，它们的时针和分针每分钟走的度数会与常规的时钟不同，这就需要我们要学会对不同的问题进行独立的分析。要把时钟问题当做行程问题来看，分针快，时针慢，所以分针与时针的问题，就是他们之间的追及问题。另外，在解时钟的快慢问题中，要学会十字交叉法。例如：时钟问题需要记住标准的钟，时针与分针从一次重合到下一次重合，所需时间为 5 65 11 分。例题精讲：模块一、时针与分针的追及与相遇问题【例1】王叔叔有一只手表，他发现手表比家里的闹钟每小时快30 秒.而闹钟却比标准时间每小时慢 30 秒，那么王叔叔的手表一昼夜比标准时间差多少秒？【解析】闹钟比标准的慢那么它一小时只走（3600-30）/3600个小时，手表又比闹钟快那么它一小时走（3600+30）/3600个小时，则标准时间走1小时手表则走（3600-30）/3600*（3600+30）/3600个小时，则手表每小时比标准时间慢1—【（3600-30）/3600*（3600+30）/3600】=1—14399/14400=1/14400个小时，也就是1/14400*3600=四分之一秒，所以一昼夜24小时比标准时间慢四分之一乘以24等于6秒【巩固】小强家有一个闹钟，每时比标准时间快3分。有一天晚上10点整，小强对准了闹钟，他想第二天早晨6∶00起床，他应该将闹钟的铃定在几点几分？【解析】6：24 【巩固】小翔家有一个闹钟，每时比标准时间慢3分。有一天晚上9点整，小翔对准了闹钟，他想第二天早晨6∶30起床，于是他就将闹钟的铃定在了6∶30。这个闹钟响铃的时间是标准时间的几点几分？【解析】7点【巩固】当时钟表示1点45分时，时针和分针所成的钝角是多少度？【解析】142.5度【例2】有一座时钟现在显示10时整．那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针与时针第二次重合?

钟表上的追及问题讲课讲稿

钟表上的追及问题

精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除钟表上的追及问题例如：在3点和4点之间的哪个时刻，钟表的时针与分针：（1）重合；（2）成平角；（3）成直角。解析：分针旋转的速度快，时针旋转的速度慢，而旋转的方向却是一致的。因此上面这类问题也可看做追及问题。通常有以下两种解法：一. 格数法钟表面的外周长被分为60个“分格”，时针1小时走5个分格，所以时针一分钟转1 12 分格，分针一分钟转1个分格。因此可以利用时针与分针旋转的“分格”数来解决这个问题。解析（1）设3点x 分时，时针与分针重合。则分针走x 个分格，时针走 x 12个分格。因为在3点这一时刻，时针在分针前15分格处，所以当分针与时针在3点与4点之间重合时，分针比时针多走15个分格，于是得方程x x -=1215，解得x =16411。所以3点16411分时，时针与分针重合。（2）设3点x 分时，时针与分针成平角。因为在3点这一时刻，时针在分针前15分格处，而在3点到4点之间，时针与分针成一平角时，分针在时针前30分格处，此时分针比时针多走了45分格，于是得方程x x -=1245，解得x =491 11。所以3点491 11分时，时针与分针成平角。（3）设3点x 分时，时针与分针成直角。此时分针在时针前15分格处，所以在3点到4点之间，时针与分针成直角时，分针比时针多走了30分格，于是得方程x x - =1230，解得x =32811。所以3点32811 分时，时针与分针成直角。二. 度数法对钟表而言，时针12小时旋转一圈，分针1小时旋转一圈，转过的角度都是360°，所以时针1分钟转过的角度是0.5°，分针1分钟转过的角度是6°。故也可以利用时针与分针转过的度数来解决这道题。解析（1）设3点x 分时，时针与分针重合，则时针旋转的角度是0.5x °，分针旋转的角度是6x °。整3点时，时针与分针的夹角是90°，当两针重合时，分针比时针多转了90°，于是得方程60590x x -=.，解得x =16411。（2）设3点x 分时，时针与分针成平角。此时分针比时针多转了90°+180°=270°，于是得方程605270x x -=.，解得x =49111 。