初中数学专题训练--圆--正多边形的有关计算

例 求同圆的内接正六边形与外切正六边形的周长比与面积比． 分析：边数相同的正多边形是相似形，因此要求同因的内接正六边形与外切正六边形的周长比与面积比，只需求出相似比(边长比、边心距比、半径比均为相似比) 解：如图，连接OA ’、OA ，则在△ABC 中，

2

3

30cos 6180cos n 180cos OA 'OA =

?=?=?=． ∵OA ’、OA 分别为⊙O ；的内接正六边形的半径和外切正六边形的半径， ∴它们的相似比=

2

3

OA 'OA =

∴周长比为

23 ， 面积比为4

3)23(2=． 说明：①转化为直角三角形；②同圆的内接正n 边形与外切正n 边形的相似比为

n

180cos

?

． 例 如图，⊙O 为正三角形ABC 的内切圆，EFGH 是⊙O 的内接正方形，且2EF =

，

求正三角形的边长．

分析：因为⊙O 是正三角形的内切圆；又是正方形的外接，所以求⊙O 的半径成为解题的关键．

解：连结OB 、OE 、OF ， 在等腰直角三角形OEF 中，

12

2

245sin EF OF =?=??=．

在Rt △BOF 中，∠BOF=60°，OF=1， ∴BF=OF ·sin60°=3． ∴BC=2BF=23．

故正三角形的边长为23．

说明：应用圆外切三角形和圆内接正方形的性质，构造直角三角形．

例 如图，⊙O 的直径为AB 、CD ，AB ⊥CD ，弦MN 垂直平分OB ．求证：CM 为正十二边形的一个边，MB 为正六边形的一个边，CB 正四边形的一个边，MN 为正三角形的一个边． 证明：连结OM 、ON

∵MN 垂直平分OB ，∴OM=MN ． ∵OM=OB ，

∴△OBM 为等边三角形．

∴∠MOB=60°，即360°/n=60°，

∴n=6，∴MB 为正六边形的一个边．

∵AB ⊥CD ，∴∠COM=30°，即360°/n=30°

B

C D

∴n=12，∴CM 为正十二边形的一个边．

同理由∠COB=90°，得CB 正四边形的一个边，∠MON=120°，得MN 为正三角形的一个边．

典型例题四

例 已知正六边形ABCDEF 的半径为2cm ，求这个正六边形的边长、周长和面积。 解：∵正六边的半径等于边长， ∴正六边形的边长2=a cm 。 正六边形的周长126==a l cm 。 正六边形的面积2

3

22216?

???

=S 2

cm 36=

说明：本题的关键是正六边形的边长等于半径。

典型例题五

例 如图，⊙O 的半径为R ，弦AB 将圆周分成弧长之比为7:3的两段弧，求弦AB 的长，如果将7:3改为n m :，此时弦AB 的长度是多少？

分析：欲求弦长AB ，需用弦长公式，需知圆心角的度数，

AOB ∠可通过两弧长之比7:3求得，再利用

DOA R

AD

∠=sin 求得AD ，AB 就可求. 解 这两段弧之比为7:3，

∴这两段所对的圆心角之比也7:3，

设这两个圆心角的度数为x 3，x 7，则?=+36073x x

则

?=108，

?=252，?=∠108AOB ?=∠∴54DOA ，又?=54sin R

AD

，

?=∴54sin R AD ，

AD AB 2= ，??=∴54sin 2R AB 同理可得7:3改为n m :时，解得

)(sin 2m n n

m m

R AB >+?=π

说明：有关正多边形的计算，都要作出它的半径和边心距为辅助线，从而将问题转化为解直角三角形的问题.

典型例题六

例 已知正十边形的半径为R ，边长为10a ，求证：102

1

5a R +=

.

分析：如图，AB 为正十边形的边长10a ，?=?=

∠3610360AOB ，要证102

1

5a R +=，需寻找10a 与R 之间的关系，因?=∠36AOB ，OB OA =，则?=∠=∠72OBA OAB ，只需作ABO ∠的平分线BD ，可证ABD ?∽AOB ?，总是即可解决.

证明

设10a AB =，OBA ∠的平分线交OA 于D .

102

1021010102

15010a R a R a R a R a a R +=?=--?-=?

（舍去负根）

典型例题七

例 已知：圆内接正n 边形的边长为a ，求同圆外切正n 边形的边长（用三角函数表示）

解析 如图，设圆内接正n 边形的半径为R ，同圆外切正n 边形的边长为n

a '，边心距为n r '.

a AB =，n

a B A '=''，n r R OB OA '===， n d B O A AOB n ?=

=''∠=∠360，n OB A ?

='∠180. 在BOH ?Rt 中，n

n

a n a

R ?=

?=1802180sin 2. 在B O A ''?Rt 中，n

R n OB B A ?

=?='180tan 180tan n a n n n a n

R B A a n ?=???

??=?='='∴180cos

180cos 180sin

180sin 22180tan 22 说明：由于两个边数相同的正n 边形相似，因此，还可以利用相似多边形的性质.

典型例题八

例 如图，⊙O 为正三角形ABC 的内切圆，EFGH 是⊙O 的内接正方形，且2EF =

，

求正三角形的边长．

分析：因为⊙O 是正三角形的内切圆；又是正方形的外接，所以求⊙O 的半径成为解题的关键．

解：连结OB 、OE 、OF ， 在等腰直角三角形OEF 中，

12

2

245sin EF OF =?=??=．

在Rt △BOF 中，∠BOF=60°，OF=1， ∴BF=OF ·sin60°=3． ∴BC=2BF=23．

B

故正三角形的边长为23．

典型例题八

例 已知：如图，正三角形ABC 的半径为R ，求ABC ?的边长a ，周长P ，边心距r ，面积S

.

解 作BC AD ⊥，垂足为D .∵ABC ?是正三角形， ∴点O 在AD 上，?=∠==30,2OCD CD BC a . 在Rt COD ?中，R OC OD r 2

1

21==

=， .

333,32,

23

)21(2222R a P R CD BC a R R R OD OC CD =====∴=-=-= 又R R R OD OA AD 2

3

21=+

=+=， ∴2

4

332332121R R R AD BC S =??=?=

. 说明:本题考查正多边形的计算，解题关键是正确理解相关的概念和灵活应用正多边形

性质.

典型例题十

例 周长为1的正方形和正六边形，谁的面积较大？试证明之

.

解 正六边形的面积较大，如图，设正方形的边长为4a AC =，正六边形的边长AB 为6a ，则6

,464l a l a ==

.

.,0483********,

24312363216,

16

)4(,12

3

62360sin ,606360642

666222

44666S S l l l a S l l a S l l a a <∴>-=-=??=???====∴=?=?=?=?=

γγ

故周长是l 的正六边形面积大于正方形的面积.

说明：本题综合考查正多边形的有关计算、数式比较能力，解题关键是正确进行相关计算.

选择题

1．正三角形的边心距、半径、边长之比为（） A ．1：2：3

B ．1：2：3

C ．1：3：2

D ．1：2：32

2．正六边形内接于半径为cm 8的圆，则这个正六边形的面积为（） A ．2

cm 396

B ．2

cm 316

C ．2

cm 3192

D ．2

cm 192

3．在半径为R 的圆中，内接正方形与内接六边形的边长之比为（） A ．2：3

B ．2：3

C ．2：2

D ．1：2

4．正六边形的两条平行边间的距离为2则它的边长为（） A ．

3

3 B ．

3

3

2 C ．

2

1 D ．

2

3 5．正五边形的边长为4，则这个正五边形的面积为（） A ．?72sin 40 B ．?36tan 20 C ．?72cos 40 D ．?36cot 20 6．圆内接正方形和同圆外切正方形面积的比为（） A ．1：

4 B ．1：2 C ．4：1 D ．2：1

7．正三角形的外接圆半径是cm 4，以正三角形的一边为边作正方形，则此正方形的外接圆半径长为（） A ．cm 68

B ．cm 64

C ．cm 62

D ．cm 6

参考答案：

1．D 2. A 3. C 4. B 5. D 6. B 7. C.

填空题

1. 正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成 个全等的 ．

2. 半径为2cm 的圆的内接正三、四、六边形的边长分别为a 3= ，a 4= ，a 6= ．

3. 正六边形的边长是2，则此正六边形的半径为 、边心距为 、面积为 ．

4. 边长等于a 的正三角形的外接圆半径为 ．

5. 在半径为R 的圆中，内接正四边形与内接正六边形的边长之比是 .

6. 同一圆的外切正六边形和内接正六边形的周长之比为 ．

7. 正六边形的一个内角为______度，若它的边长为1，则面积为_______.

8. 一个正八边形要绕它的中心至少转_______度，才能和原来的图形重合，它有_______条对称轴.

9. 正六边形的边长为cm 4，它的边心距为________.

10. 已知正多边形的一个外角为?90，则它的边长、边心距、半径之比为________.

11. 一个正多边形的一个外角等于一个内角时，则其边数为_______；若一个外角大于一个内角时，则边数为_______；若一个外角是一个内角的一半时，边数为______. 12. 一个正多边形的边长是半径的2倍，则这个正多边形的边数为________. 13. 正三角形和正六边形的周长相等，则它们的面积比为________. 14. 边长为a ，面积为S 的正n 边形的边心距为_________.

15. 边长为a 的正六边形的半径为________ ，边心距为_______，面积为________. 参考答案：

1. 2n 、直角三角形；

2. 32、22、2 ；

3. 2、3、36；

4.

a 3

3

；5. 1:2；

6. 3:2.

7. ?120、

2

3

3 8. 45、8 9. 32 10. 2:1:2 11. 4、3、6 12.

4 13. 2：3 14. na S 2 15. a 、a 23、2

2

33a .

解答题

1．（1）正多边形的面积是2

cm 240，周长是cm 60求边心距？ （2）正多边形的面积是2

0cm 2，内切圆半径是cm 5.2，求周长？

2．已知一个正n 边形的外接圆半径和内切圆半径分别为0cm 2、cm 301，求这个多边形的边长和面积？

3．已知正五边形ABCDE 中，对角线AC 和BE 相交于点F ，求证： （1）四边形CDEF 是菱形；

（2）FAB ?∽ABE ?；（3）BE BF EF ?=2

4．有两个正多边形，边数的比为2：1，内角度数的比是4：3，求它们的边数？

5. 一块直径为8cm 的圆木板，要充分利用它，可以锯成一块每边多长的正方形木板？

6. 已知正六边形的边心距为3，求此正六边形的周长p 6，半径R 6和面积S 6．

7. 已知圆外切正方形的边长为6，求该圆的内接正三角形的边心距．

参考答案： 1．（1）cm 8（2）6cm 1 2．边长0cm 2，面积2

cm 3600 3．略

4．5，10

5. 提示：为圆内接正方形，边长为24.

6. 32R 6=，312p 6=，318S 6=.

7. 3/2 .