初中数学圆的专题训练

圆得专题训练初中数学组卷

一.选择题(共15小题)

1.如图,⊙O得半径为4,△ABC就是⊙O得内接三角形,连接OB、OC.若∠BAC与∠BOC互补,则弦BC得长为()

A.3

B.4

C.5

D.6

2.如图,AB就是⊙O得直径,弦CD⊥AB于点E,∠CDB=30°,⊙O得半径为5cm,则圆心O到弦CD得距离为()

A.cm

B.3cm

C.3cm

D.6cm

3.如图,AB就是⊙O得直径,CD⊥AB,∠ABD=60°,CD=2,则阴影部分得面积为()

A. B.πC.2πD.4π

4.如图,已知AB就是⊙O得直径,∠D=40°,则∠CAB得度数为()

A.20°

B.40°

C.50°

D.70°

5.如图,半径为3得⊙A经过原点O与点C(0,2),B就是y轴左侧⊙A优弧上一点,则tan∠OBC 为()

A. B.2 C. D.

6.如图,AB就是圆O得直径,弦CD⊥AB,∠BCD=30°,CD=4,则S阴影=()

A.2π

B.π

C.π

D.π

7.如图,⊙O中,弦AB与CD交于点M,∠A=45°,∠AMD=75°,则∠B得度数就是()

A.15°

B.25°

C.30°

D.75°

8.如图,点A,B,C在⊙O上,∠A=36°,∠C=28°,则∠B=()

A.100°

B.72°

C.64°

D.36°

9.如图,在平面直角坐标系中,⊙P与x轴相切,与y轴相交于A(0,2),B(0,8),则圆心P得坐标就是()

A.(5,3)

B.(5,4)

C.(3,5)

D.(4,5)

10.如图,正方形ABCD得边AB=1,与都就是以1为半径得圆弧,则无阴影两部分得面积之差就是()

A. B.1﹣ C.﹣1 D.1﹣

11.如图,△ABC内接于半径为5得⊙O,圆心O到弦BC得距离等于3,则∠A得正切值等于()

A. B. C. D.

12.如图所示,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=2cm,⊙A与BC相切于点D,阴影部分得面积为()

A. B. C. D.

13.如图,某工件形状如图所示,等腰Rt△ABC中斜边AB=4,点O就是AB得中点,以O为圆心得圆分别与两腰相切于点D、E,则图中阴影部分得面积就是()

A. B. C. D.2﹣π

14.若圆锥经过轴得截面就是一个正三角形,则它得侧面积与底面积之比就是()

A.3:2

B.3:1

C.5:3

D.2:1

15.如图,AB为半圆O得直径,C为半圆上一点,且为半圆得.设扇形AOC、△COB、弓形BmC 得面积分别为S1、S2、S3,则下列结论正确得就是()

A.S1＜S2＜S3

B.S2＜S1＜S3

C.S2＜S3＜S1

D.S3＜S2＜S1

二.解答题(共10小题)

16.已知AB就是半径为1得圆O直径,C就是圆上一点,D就是BC延长线上一点,过点D得直线交AC于E点,且△AEF为等边三角形

(1)求证:△DFB就是等腰三角形;

(2)若DA=AF,求证:CF⊥AB.

17.已知△ABC,以AB为直径得⊙O分别交AC于D,BC于E,连接ED,若ED=EC.

(1)求证:AB=AC;

(2)若AB=4,BC=2,求CD得长.

18.如图,正方形ABCD内接于⊙O,M为中点,连接BM,CM.

(1)求证:BM=CM;

(2)当⊙O得半径为2时,求得长.

19.如图,⊙O就是△ABC得外接圆,AC为直径,弦BD=BA,BE⊥DC交DC得延长线于点E.

(1)求证:∠1=∠BAD;

(2)求证:BE就是⊙O得切线.

20.如图,⊙O得直径为AB,点C在圆周上(异于A,B),AD⊥CD.

(1)若BC=3,AB=5,求AC得值;

(2)若AC就是∠DAB得平分线,求证:直线CD就是⊙O得切线.

21.如图,直角△ABC内接于⊙O,点D就是直角△ABC斜边AB上得一点,过点D作AB得垂线交AC于E,过点C作∠ECP=∠AED,CP交DE得延长线于点P,连结PO交⊙O于点F.

(1)求证:PC就是⊙O得切线;

(2)若PC=3,PF=1,求AB得长.

22.如图,在△ABC,AB=AC,以AB为直径得⊙O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC得延长线上,且∠CBF=∠CAB.

(1)求证:直线BF就是⊙O得切线;

(2)若AB=5,sin∠CBF=,求BC与BF得长.

23.如图,AB就是⊙O得直径,点F、C在⊙O上且,连接AC、AF,过点C作CD⊥AF交AF得延长线于点D.

(1)求证:CD就是⊙O得切线;

(2)若,CD=4,求⊙O得半径.

24.如图,已知圆O得直径AB垂直于弦CD于点E,连接CO并延长交AD于点F,且CF⊥AD.

(1)请证明:E就是OB得中点;

(2)若AB=8,求CD得长.

25.如图,AB就是⊙O得直径,弦CD⊥AB于点E,且CD=24,点M在⊙O上,MD经过圆心O,联结MB.

(1)若BE=8,求⊙O得半径;

(2)若∠DMB=∠D,求线段OE得长.

圆得专题训练初中数学组卷

参考答案与试题解析

一.选择题(共15小题)

1.(2016?陕西)如图,⊙O得半径为4,△ABC就是⊙O得内接三角形,连接OB、OC.若∠BAC 与∠BOC互补,则弦BC得长为()

A.3

B.4

C.5

D.6

【分析】首先过点O作OD⊥BC于D,由垂径定理可得BC=2BD,又由圆周角定理,可求得∠BOC得度数,然后根据等腰三角形得性质,求得∠OBC得度数,利用余弦函数,即可求得答案. 【解答】解:过点O作OD⊥BC于D,

则BC=2BD,

∵△ABC内接于⊙O,∠BAC与∠BOC互补,

∴∠BOC=2∠A,∠BOC+∠A=180°,

∴∠BOC=120°,

∵OB=OC,

∴∠OBC=∠OCB=(180°﹣∠BOC)=30°,

∵⊙O得半径为4,

∴BD=OB?cos∠OBC=4×=2,

∴BC=4.

故选:B.

【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形得性质以及三角函数等知识.注意掌握辅助线得作法,注意数形结合思想得应用.

2.(2016?黔南州)如图,AB就是⊙O得直径,弦CD⊥AB于点E,∠CDB=30°,⊙O得半径为5cm,则圆心O到弦CD得距离为()

A.cm

B.3cm

C.3cm

D.6cm

【分析】根据垂径定理知圆心O到弦CD得距离为OE;由圆周角定理知∠COB=2∠CDB=60°,已知半径OC得长,即可在Rt△OCE中求OE得长度.

【解答】解:连接CB.

∵AB就是⊙O得直径,弦CD⊥AB于点E,

∴圆心O到弦CD得距离为OE;

∵∠COB=2∠CDB(同弧所对得圆周角就是所对得圆心角得一半),∠CDB=30°,

∴∠COB=60°;

在Rt△OCE中,

OC=5cm,OE=OC?cos∠COB,

∴OE=cm.

故选A.

【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理及解直角三角形得综合应用.解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题,不知从何处入手造成错解.

3.(2016?通辽)如图,AB就是⊙O得直径,CD⊥AB,∠ABD=60°,CD=2,则阴影部分得面积为()

A. B.πC.2πD.4π

【分析】连接OD,则根据垂径定理可得出CE=DE,继而将阴影部分得面积转化为扇形OBD 得面积,代入扇形得面积公式求解即可.

【解答】解:连接OD.

∵CD⊥AB,

∴CE=DE=CD=,

故S△OCE=S△ODE,即可得阴影部分得面积等于扇形OBD得面积,

又∵∠ABD=60°,

∴∠CDB=30°,

∴∠COB=60°,

∴OC=2,

∴S扇形OBD==,即阴影部分得面积为.

故选A.

【点评】本题考查得就是垂径定理,熟知平分弦(不就是直径)得直径垂直于弦,并且平分弦所对得两条弧就是解答此题得关键.

4.(2016?娄底)如图,已知AB就是⊙O得直径,∠D=40°,则∠CAB得度数为()

A.20°

B.40°

C.50°

D.70°

【分析】先根据圆周角定理求出∠B及∠ACB得度数,再由直角三角形得性质即可得出结论. 【解答】解:∵∠D=40°,

∴∠B=∠D=40°.

∵AB就是⊙O得直径,

∴∠ACB=90°,

∴∠CAB=90°﹣40°=50°.

故选C.

【点评】本题考查得就是圆周角定理,熟知在同圆或等圆中,同弧或等弧所对得圆周角相等,都等于这条弧所对得圆心角得一半就是解答此题得关键.

5.(2016?达州)如图,半径为3得⊙A经过原点O与点C(0,2),B就是y轴左侧⊙A优弧上一点,则tan∠OBC为()

A. B.2 C. D.

【分析】作直径CD,根据勾股定理求出OD,根据正切得定义求出tan∠CDO,根据圆周角定理得到∠OBC=∠CDO,等量代换即可.

【解答】解:作直径CD,

在Rt△OCD中,CD=6,OC=2,

则OD==4,

tan∠CDO==,

由圆周角定理得,∠OBC=∠CDO,

则tan∠OBC=,

故选:C.

【点评】本题考查得就是圆周角定理、锐角三角函数得定义,掌握在同圆或等圆中,同弧或等弧所对得圆周角相等,都等于这条弧所对得圆心角得一半、熟记锐角三角函数得定义就是解题得关键.

6.(2016?广安)如图,AB就是圆O得直径,弦CD⊥AB,∠BCD=30°,CD=4,则S阴影=()

A.2π

B.π

C.π

D.π

【分析】根据垂径定理求得CE=ED=2,然后由圆周角定理知∠DOE=60°,然后通过解直角三角形求得线段OD、OE得长度,最后将相关线段得长度代入S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC. 【解答】解:如图,假设线段CD、AB交于点E,

∵AB就是⊙O得直径,弦CD⊥AB,

∴CE=ED=2,

又∵∠BCD=30°,

∴∠DOE=2∠BCD=60°,∠ODE=30°,

∴OE=DE?cot60°=2×=2,OD=2OE=4,

∴S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC=﹣OE×DE+BE?CE=﹣2+2=.

故选B.

【点评】考查了垂径定理、扇形面积得计算,通过解直角三角形得到相关线段得长度就是解答本题得关键.

7.(2016?自贡)如图,⊙O中,弦AB与CD交于点M,∠A=45°,∠AMD=75°,则∠B得度数就是()

A.15°

B.25°

C.30°

D.75°

【分析】由三角形外角定理求得∠C得度数,再由圆周角定理可求∠B得度数.

【解答】解:∵∠A=45°,∠AMD=75°,

∴∠C=∠AMD﹣∠A=75°﹣45°=30°,

∴∠B=∠C=30°,

故选C.

【点评】本题主要考查了三角形得外角定理,圆周角定理,熟记圆周角定理就是解题得关键.

8.(2016?毕节市)如图,点A,B,C在⊙O上,∠A=36°,∠C=28°,则∠B=()

A.100°

B.72°

C.64°

D.36°

【分析】连接OA,根据等腰三角形得性质得到∠OAC=∠C=28°,根据等腰三角形得性质解答即可.

【解答】解:连接OA,

∵OA=OC,

∴∠OAC=∠C=28°,

∴∠OAB=64°,

∵OA=OB,

∴∠B=∠OAB=64°,

故选:C.

【点评】本题考查得就是圆周角定理,掌握圆得半径相等、等腰三角形得性质就是解题得关键.

9.(2016?河池)如图,在平面直角坐标系中,⊙P与x轴相切,与y轴相交于A(0,2),B(0,8),则圆心P得坐标就是()

A.(5,3)

B.(5,4)

C.(3,5)

D.(4,5)

【分析】过P作PC⊥AB于点C,过P作PD⊥x轴于点D,由切线得性质可求得PD得长,则可得PB得长,由垂径定理可求得CB得长,在Rt△PBC中,由勾股定理可求得PC得长,从而可求得P点坐标.

【解答】解:

如图,过P作PC⊥AB于点C,过P作PD⊥x轴于点D,连接PB,

∵P为圆心,

∴AC=BC,

∵A(0,2),B(0,8),

∴AB=8﹣2=6,

∴AC=BC=3,

∴OC=8﹣3=5,

∵⊙P与x轴相切,

∴PD=PB=OC=5,

在Rt△PBC中,由勾股定理可得PC===4,

∴P点坐标为(4,5),

故选D.

【点评】本题主要考查切线得性质与垂径定理,利用切线得性质求得圆得半径就是解题得关键.

10.(2015?黄冈中学自主招生)如图,正方形ABCD得边AB=1,与都就是以1为半径得圆弧,则无阴影两部分得面积之差就是()

A. B.1﹣ C.﹣1 D.1﹣

【分析】图中1、2、3、4图形得面积与为正方形得面积,1、2与两个3得面积与就是两个扇形得面积,因此两个扇形得面积得与﹣正方形得面积=无阴影两部分得面积之差,即﹣1=. 【解答】解:如图:

正方形得面积=S1+S2+S3+S4;①

两个扇形得面积=2S3+S1+S2;②

②﹣①,得:S3﹣S4=S扇形﹣S正方形=﹣1=.

故选:A.

【点评】本题主要考查了扇形得面积计算公式及不规则图形得面积计算方法.找出正方形内四个图形面积之间得联系就是解题得关键.

11.(2014?镇江)如图,△ABC内接于半径为5得⊙O,圆心O到弦BC得距离等于3,则∠A得正切值等于()

A. B. C. D.

【分析】过点O作OD⊥BC,垂足为D,根据圆周角定理可得出∠BOD=∠A,再根据勾股定理可求得BD=4,从而得出∠A得正切值.

【解答】解:过点O作OD⊥BC,垂足为D,

∵OB=5,OD=3,

∴BD=4,

∵∠A=∠BOC,

∴∠A=∠BOD,

∴tanA=tan∠BOD==,

故选:D.

【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理以及解直角三角形,要熟练掌握这几个知识点.

12.(2013?江门模拟)如图所示,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=2cm,⊙A与BC相切于点D,阴影部分得面积为()

A. B. C. D.

【分析】阴影部分得面积就是三角形ABC得面积减去圆得面积,根据勾股定理可求得BC得长,连接AD,由等腰直角三角形得性质可得出AD等于BC得一半.

【解答】解:连接AD,

∵∠A=90°,AB=AC=2cm,

∴由勾股定理得BC=2cm,

∴AD=BC,

∴AD=cm,

∴S阴影=S△ABC﹣S圆=﹣=2﹣.

故选B.

【点评】本题就是一道综合题,考查了扇形面积得计算以及等腰三角形得性质,就是中档题.

13.(2011?深圳模拟)如图,某工件形状如图所示,等腰Rt△ABC中斜边AB=4,点O就是AB得中点,以O为圆心得圆分别与两腰相切于点D、E,则图中阴影部分得面积就是()

A. B. C. D.2﹣π

【分析】本题需先求出直角三角形得边长,再利用切线得性质与等腰直角三角形得性质得出四边形CDOE就是正方形,然后分别求出直角三角形ABC、扇形FOD,正方形CDOE,扇形EOG得面积,即可求出阴影部分得面积.

【解答】解:设AC=BC=x,

则x2+x2=4

x=2

∴

设OD=R,则OE=R

∵AC,BC与⊙O相切,

∴OD⊥AD,OE⊥BC

∵∠A=45°

∴∠AOD=45°

∴∠A=∠AOD

∴AD=OD=R

∵AC=2

∵AC=2

∴AD=OD

∵∠C=90°

∴四边形ODCE就是正方形

∴

∴S正方形CDOE==2

S扇形FOD=S扇形EOG=

=

∴阴影部分得面积就是2﹣

故选A

【点评】本题主要考查了扇形面积得求法,在解题时要注意面积计算公式与图形得有关性质得综合应用.

14.(2006?兰州)若圆锥经过轴得截面就是一个正三角形,则它得侧面积与底面积之比就是

()

A.3:2

B.3:1

C.5:3

D.2:1

【分析】利用轴得截面就是一个正三角形,易得圆锥得底面半径与母线长得关系,把相应数值代入圆锥得侧面积=底面周长×母线长÷2,圆锥底面积=π×半径2比较即可.

【解答】解:设圆锥底面圆得半径为r,

∴S底=πr2,S侧=?2r?2πr=2πr2,

∴S侧:S底=2πr2:πr2=2:1.

故选D.

【点评】此题主要考查圆锥得轴截面、侧面积与底面积得求法.

15.(2003?海南)如图,AB为半圆O得直径,C为半圆上一点,且为半圆得.设扇形AOC、△COB、弓形BmC得面积分别为S1、S2、S3,则下列结论正确得就是()

A.S1＜S2＜S3

B.S2＜S1＜S3

C.S2＜S3＜S1

D.S3＜S2＜S1

【分析】首先根据△AOC得面积=△BOC得面积,得S2＜S1.再根据题意,知S1占半圆面积得.所以S3大于半圆面积得.

【解答】解:根据△AOC得面积=△BOC得面积,得S2＜S1,

再根据题意,知S1占半圆面积得,

所以S3大于半圆面积得.

故选B.

【点评】此类题首先要比较有明显关系得两个图形得面积.

二.解答题(共10小题)

16.(2016?株洲)已知AB就是半径为1得圆O直径,C就是圆上一点,D就是BC延长线上一点,过点D得直线交AC于E点,且△AEF为等边三角形

(1)求证:△DFB就是等腰三角形;

(2)若DA=AF,求证:CF⊥AB.

【分析】(1)由AB就是⊙O直径,得到∠ACB=90°,由于△AEF为等边三角形,得到∠CAB=∠EFA=60°,根据三角形得外角得性质即可得到结论;

(2)过点A作AM⊥DF于点M,设AF=2a,根据等边三角形得性质得到FM=EM=a,AM=a,在根据已知条件得到AB=AF+BF=8a,根据直角三角形得性质得到AE=EF=AF=CE=2a,推出∠ECF=∠EFC,根据三角形得内角与即可得到结论.

【解答】解:(1)∵AB就是⊙O直径,

∴∠ACB=90°,

∵△AEF为等边三角形,

∴∠CAB=∠EFA=60°,

∴∠B=30°,

∵∠EFA=∠B+∠FDB,

∴∠B=∠FDB=30°,

∴△DFB就是等腰三角形;

(2)过点A作AM⊥DF于点M,设AF=2a,

∵△AEF就是等边三角形,∴FM=EM=a,AM=a,

在Rt△DAM中,AD=AF=2a,AM=,

∴DM=5a,∴DF=BF=6a,

∴AB=AF+BF=8a,

在Rt△ABC中,∠B=30°,∠ACB=90°,∴AC=4a,

∵AE=EF=AF=2a,

∴CE=AC﹣AE=2a,

∴∠ECF=∠EFC,

∵∠AEF=∠ECF+∠EFC=60°,∴∠CFE=30°,

∴∠AFC=∠AFE+∠EFC=60°+30°=90°,

∴CF⊥AB.

【点评】本题考查了圆周角定理,等边三角形得性质,等腰三角形得判定与性质,垂径定理,勾股定理,正确得作出辅助线就是解题得关键.

17.(2016?宁夏)已知△ABC,以AB为直径得⊙O分别交AC于D,BC于E,连接ED,若ED=EC.

(1)求证:AB=AC;

(2)若AB=4,BC=2,求CD得长.

【分析】(1)由等腰三角形得性质得到∠EDC=∠C,由圆外接四边形得性质得到∠EDC=∠B,由此推得∠B=∠C,由等腰三角形得判定即可证得结论;

(2)连接AE,由AB为直径,可证得AE⊥BC,由(1)知AB=AC,证明△CDE∽△CBA后即可求得CD得长.

【解答】(1)证明:∵ED=EC,

∴∠EDC=∠C,

∵∠EDC=∠B,

∴∠B=∠C,

∴AB=AC;

(2)方法一:

解:连接AE,

∵AB为直径,

∴AE⊥BC,

由(1)知AB=AC,

∴BE=CE=BC=,

∵△CDE∽△CBA,

∴,

∴CE?CB=CD?CA,AC=AB=4,

∴?2=4CD,

∴CD=.

方法二:

解:连接BD,

∵AB为直径,

∴BD⊥AC,

设CD=a,

由(1)知AC=AB=4,

则AD=4﹣a,

在Rt△ABD中,由勾股定理可得:

BD2=AB2﹣AD2=42﹣(4﹣a)2

在Rt△CBD中,由勾股定理可得:

BD2=BC2﹣CD2=(2)2﹣a2

∴42﹣(4﹣a)2=(2)2﹣a2

整理得:a=,

即:CD=.

【点评】本题考查了圆周角定理,等腰三角形得判定与性质,勾股定理,正确得作出辅助线就是解题得关键.

18.(2016?福州)如图,正方形ABCD内接于⊙O,M为中点,连接BM,CM.

(1)求证:BM=CM;

(2)当⊙O得半径为2时,求得长.

【分析】(1)根据圆心距、弦、弧之间得关系定理解答即可;

(2)根据弧长公式计算.

【解答】(1)证明:∵四边形ABCD就是正方形,

∴AB=CD,

∴=,

∵M为中点,

∴=,

∴+=+,即=,

∴BM=CM;

(2)解:∵⊙O得半径为2,

∴⊙O得周长为4π,

∵===,

∴=+=,

∴得长=××4π=×4π=π.

【点评】本题考查得就是正方形得性质、弧长得计算、圆心距、弦、弧之间得关系,掌握弧长得计算公式、圆心距、弦、弧之间得关系定理就是解题得关键.

19.(2016?自贡)如图,⊙O就是△ABC得外接圆,AC为直径,弦BD=BA,BE⊥DC交DC得延长线于点E.

(1)求证:∠1=∠BAD;

(2)求证:BE就是⊙O得切线.

【分析】(1)根据等腰三角形得性质与圆周角定理得出即可;

(2)连接BO,求出OB∥DE,推出EB⊥OB,根据切线得判定得出即可;

【解答】证明:(1)∵BD=BA,

∴∠BDA=∠BAD,

∵∠1=∠BDA,

∴∠1=∠BAD;

(2)连接BO,

∵∠ABC=90°,

又∵∠BAD+∠BCD=180°,

∴∠BCO+∠BCD=180°,

∵OB=OC,

∴∠BCO=∠CBO,

∴∠CBO+∠BCD=180°,

∴OB∥DE,

∵BE⊥DE,

∴EB⊥OB,

∵OB就是⊙O得半径,

∴BE就是⊙O得切线.

【点评】本题考查了三角形得外接圆与外心,等腰三角形得性质,切线得判定,熟练掌握切线得判定定理就是解题得关键.

20.(2016?黄石)如图,⊙O得直径为AB,点C在圆周上(异于A,B),AD⊥CD.

(1)若BC=3,AB=5,求AC得值;

(2)若AC就是∠DAB得平分线,求证:直线CD就是⊙O得切线.

【分析】(1)首先根据直径所对得圆周角为直角得到直角三角形,然后利用勾股定理求得AC 得长即可;

(2)连接OC,证OC⊥CD即可;利用角平分线得性质与等边对等角,可证得∠OCA=∠CAD,即可得到OC∥AD,由于AD⊥CD,那么OC⊥CD,由此得证.

【解答】(1)解:∵AB就是⊙O直径,C在⊙O上,

∴∠ACB=90°,

又∵BC=3,AB=5,

∴由勾股定理得AC=4;

(2)证明:连接OC

∵AC就是∠DAB得角平分线,

∴∠DAC=∠BAC,

又∵AD⊥DC,

∴∠ADC=∠ACB=90°,

∴△ADC∽△ACB,

∴∠DCA=∠CBA,

又∵OA=OC,

∴∠OAC=∠OCA,

∵∠OAC+∠OBC=90°,

∴∠OCA+∠ACD=∠OCD=90°,

∴DC就是⊙O得切线.

【点评】此题主要考查得就是切线得判定方法.要证某线就是圆得切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.

21.(2016?菏泽)如图,直角△ABC内接于⊙O,点D就是直角△ABC斜边AB上得一点,过点D 作AB得垂线交AC于E,过点C作∠ECP=∠AED,CP交DE得延长线于点P,连结PO交⊙O 于点F.

(1)求证:PC就是⊙O得切线;

(2)若PC=3,PF=1,求AB得长.

【分析】(1)连接OC,欲证明PC就是⊙O得切线,只要证明PC⊥OC即可.

(2)延长PO交圆于G点,由切割线定理求出PG即可解决问题.

【解答】解:(1)如图,连接OC,

∵PD⊥AB,

∴∠ADE=90°,

∵∠ECP=∠AED,

又∵∠EAD=∠ACO,

∴∠PCO=∠ECP+∠ACO=∠AED+∠EAD=90°,

∴PC⊥OC,

∴PC就是⊙O切线.

(2)解法一:

延长PO交圆于G点,

∵PF×PG=PC2,PC=3,PF=1,

∴PG=9,

∴FG=9﹣1=8,

∴AB=FG=8.

解法二:

设⊙O得半径为x,则OC=x,OP=1+x

∵PC=3,且OC⊥PC

∴32+x2=(1+x)2

解得x=4

∴AB=2x=8

【点评】本题考查切线得判定、切割线定理、等角得余角相等等知识,解题得关键就是熟练运用这些知识解决问题,学会添加常用辅助线,属于中考常考题型.

22.(2016?新疆)如图,在△ABC,AB=AC,以AB为直径得⊙O分别交AC、BC于点D、E,点F 在AC得延长线上,且∠CBF=∠CAB.

(1)求证:直线BF就是⊙O得切线;

(2)若AB=5,sin∠CBF=,求BC与BF得长.

【分析】(1)连接AE,利用直径所对得圆周角就是直角,从而判定直角三角形,利用直角三角形两锐角相等得到直角,从而证明∠ABF=90°.

(2)利用已知条件证得△AGC∽△ABF,利用比例式求得线段得长即可.

【解答】(1)证明:连接AE,

∵AB就是⊙O得直径,

∴∠AEB=90°,

∴∠1+∠2=90°.

∵AB=AC,

∴∠1=∠CAB.

∵∠CBF=∠CAB,

∴∠1=∠CBF

∴∠CBF+∠2=90°

即∠ABF=90°

∵AB就是⊙O得直径,

∴直线BF就是⊙O得切线.

(2)解:过点C作CG⊥AB于G.

∵sin∠CBF=,∠1=∠CBF,

∴sin∠1=,

∵在Rt△AEB中,∠AEB=90°,AB=5,

∴BE=AB?sin∠1=,

∵AB=AC,∠AEB=90°,

∴BC=2BE=2,

在Rt△ABE中,由勾股定理得AE==2,

∴sin∠2===,cos∠2===,

在Rt△CBG中,可求得GC=4,GB=2,

∴AG=3,

∵GC∥BF,

∴△AGC∽△ABF,

∴

∴BF==

【点评】本题考查常见得几何题型,包括切线得判定,角得大小及线段长度得求法,要求学生掌握常见得解题方法,并能结合图形选择简单得方法解题.

23.(2016?南昌校级自主招生)如图,AB就是⊙O得直径,点F、C在⊙O上且,连接AC、AF,过点C作CD⊥AF交AF得延长线于点D.

(1)求证:CD就是⊙O得切线;

(2)若,CD=4,求⊙O得半径.

【分析】(1)连结OC,由F,C,B三等分半圆,根据圆周角定理得∠FAC=∠BAC,而∠OAC=∠OCA,则∠FAC=∠OCA,可判断OC∥AF,由于CD⊥AF,所以OC⊥CD,然后根据切线得判定定理得到CD就是⊙O得切线;

(2)连结BC,由AB为直径得∠ACB=90°,由F,C,B三等分半圆得∠BOC=60°,则∠BAC=30°,所以∠DAC=30°,在Rt△ADC中,利用含30度得直角三角形三边得关系得AC=2CD=8,在Rt△ACB中,根据勾股定理求得AB,进而求得⊙O得半径.

【解答】(1)证明:连结OC,如图,

∵,

∴∠FAC=∠BAC,

∵OA=OC,

∴∠OAC=∠OCA,

∴∠FAC=∠OCA,

∴OC∥AF,

∵CD⊥AF,

∴OC⊥CD,

∴CD就是⊙O得切线;

(2)解:连结BC,如图,

∵AB为直径,

∴∠ACB=90°,

∵=,

∴∠BOC=×180°=60°,

∴∠BAC=30°,

∴∠DAC=30°,

在Rt△ADC中,CD=4,

∴AC=2CD=8,

在Rt△ACB中,BC2+AC2=AB2,

即82+(AB)2=AB2,

∴AB=,

∴⊙O得半径为.

【点评】本题考查了切线得判定定理:经过半径得外端且垂直于这条半径得直线就是圆得切线.也考查了圆周角定理与含30度得直角三角形三边得关系.

24.(2016?西安校级三模)如图,已知圆O得直径AB垂直于弦CD于点E,连接CO并延长交AD于点F,且CF⊥AD.

(1)请证明:E就是OB得中点;

(2)若AB=8,求CD得长.

【分析】(1)要证明:E就是OB得中点,只要求证OE=OB=OC,即证明∠OCE=30°即可. (2)在直角△OCE中,根据勾股定理就可以解得CE得长,进而求出CD得长.

【解答】(1)证明:连接AC,如图

∵直径AB垂直于弦CD于点E,

∴,

∴AC=AD,

∵过圆心O得线CF⊥AD,

∴AF=DF,即CF就是AD得中垂线,

∴AC=CD,

∴AC=AD=CD.

即:△ACD就是等边三角形,

∴∠FCD=30°,

在Rt△COE中,,

∴,

∴点E为OB得中点;

(2)解:在Rt△OCE中,AB=8,

∴,

又∵BE=OE,

∴OE=2,

∴,

∴.

【点评】解此类题一般要把半径、弦心距、弦得一半构建在一个直角三角形里,运用勾股定理求解.

25.(2016?金乡县一模)如图,AB就是⊙O得直径,弦CD⊥AB于点E,且CD=24,点M在⊙O 上,MD经过圆心O,联结MB.

(1)若BE=8,求⊙O得半径;

(2)若∠DMB=∠D,求线段OE得长.

【分析】(1)根据垂径定理求出DE得长,设出半径,根据勾股定理,列出方程求出半径;

(2)根据OM=OB,证出∠M=∠B,根据∠M=∠D,求出∠D得度数,根据锐角三角函数求出OE 得长.

【解答】解:(1)设⊙O得半径为x,则OE=x﹣8,

∵CD=24,由垂径定理得,DE=12,

在Rt△ODE中,OD2=DE2+OE2,

x2=(x﹣8)2+122,

解得:x=13.

(2)∵OM=OB,

∴∠M=∠B,

∴∠DOE=2∠M,

又∠M=∠D,

∴∠D=30°,

在Rt△OED中,∵DE=12,∠D=30°,

∴OE=4.

【点评】本题考查得就是垂径定理、勾股定理与圆周角定理得综合运用,灵活运用定理求出线段得长度、列出方程就是解题得关键,本题综合性较强,锻炼学生得思维能力.