初三数学圆的专项培优练习题
初三数学圆的专项培优练习题
【知识点回顾】
1、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，?并且平分弦所对的两条弧及其运用．
2、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，?所对的弦也相等及其运用．
3、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弧所对的圆心角的一半及其运用．
4、半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?°的圆周角所对的弦是直径及其运用．
5、不在同一直线上的三个点确定一个圆．
6、直线L 和⊙O 相交?d
7、圆的切线垂直于过切点的半径及其运用．
8、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并利用它解决一些具体问题．
9、从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，?这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角及其运用．
10、两圆的位置关系：d 与r 1和r 2之间的关系：外离?d>r 1+r 2；外切?d=r 1+r 2；相交?│r 2-r 1│ 11、正多边形和圆中的半径R 、边心距r 、中心角θ之间的等量关系并应用这个等量关系解决具体题目． 12、n °的圆心角所对的弧长为L=180n R π，n °的圆心角的扇形面积是S 扇形= 2 360 n R π及其运用这两个公式进行计算． 13、圆锥的侧面积和全面积的计算． 14、垂径定理的探索与推导及利用它解决一些实际问题． 15、弧、弦、圆心有的之间互推的有关定理的探索与推导，?并运用它解决一些实际问题． 16、有关圆周角的定理的探索及推导及其它的运用． 17、点与圆的位置关系的应用． 18、三点确定一个圆的探索及应用． 19、直线和圆的位置关系的判定及其应用． 20、切线的判定定理与性质定理的运用． 21、切线长定理的探索与运用． 22、圆和圆的位置关系的判定及其运用． 23、正多边形和圆中的半径R 、边心距r 、中心角θ的关系的应用． 24、n 的圆心角所对的弧长L=180n R π及S 扇形＝2 360 n R π的公式的应用． 25、圆锥侧面展开图的理解． 例题讲解例1 例2 例3 例4 例5 课堂练习 1．如图1，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是EB的中点，则下列结论不成 立的是（） A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE 图一图二图三2．如图2，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（） A．4 B．33C．6 D．23 3．四个命题： ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分； ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（－1，－2）； ④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1 其中正确的是（） A. ①② B.①③ C.②③ D.③④ 4．如图三，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 5．如图四，AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点，过点C作⊙O的切线，切点为B，连结AC 交⊙O于D，∠C＝38°。点E在AB右侧的半圆上运动（不与A、B重合），则∠AED的大小是（） A．19° B．38° C．52° D．76° 图四图五 6．如图五，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=6，且AE：BE =1：3，则AB= ． 7．已知AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D． （1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小； （2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小． 8．如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P 作AB的垂线交BC的延长线于点Q。在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD 与⊙O的位置关系，并说明理由。 9．如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA 的平行线与AF相交于点F，CD=43，BE=2．求证：（1）四边形FADC是菱形；（2）FC是⊙O的切线． 例题答案 课堂练习 1.D 2.B 3.B 4A 5B 6．43 【解析】 试题分析：如图，连接OD ，设AB=4x ， ∵AE ：BE =1：3，∴AE= x ，BE=3x ，。 ∵AB 为⊙O 的直径，∴OE= x ，OD=2x 。 又∵弦CD ⊥AB 于点E ， CD=6，∴DE=3。 在Rt △ODE 中，222OD OE DE =+，即()2 222x x 3=+，解得 x 3。 ∴ AB=4x 43= 7.解：（1）如图①，连接OC， ∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l。 ∵AD⊥l，∴OC∥AD。 ∴∠OCA=∠DAC。 ∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA。 ∴∠BAC=∠DAC=30°。 （2）如图②，连接BF， ∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°。 ∴∠BAF=90°－∠B。 ∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90°+18°=108°。 在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形， ∴∠AEF+∠B=180°。∴∠B=180°－108°=72°。 ∴∠BAF=90°－∠B=180°－72°=18°。 【解析】 试题分析：（1）如图①，首先连接OC，根据当直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l于点D．易证得OC∥AD，继而可求得∠BAC=∠DAC=30°。 （2）如图②，连接BF，由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠AFB=90°，由三角形外角的性质，可求得∠AEF的度数，又由圆的内接四边形的性质，求得∠B的度数，继而求得答案。 8．解：（1）CD 是⊙O 的切线,。理由如下： 连接OC ， ∵OC=OB ，∴∠B=∠BCO 。 又∵DC=DQ ，∴∠Q=∠DCQ 。 ∵PQ ⊥AB ，∴∠QPB=90°。 ∴∠B+∠Q=90°。∴∠BCO +∠DCQ =90°。 ∴∠DCO=∠QCB －(∠BCO +∠DCQ)=180°－90°=90°。 ∴OC ⊥DC 。 ∵OC 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线。 9．证明：（1）连接OC ， ∵AF 是⊙O 切线，∴AF ⊥AB 。 ∵CD ⊥AB ，∴AF ∥CD 。 ∵CF ∥AD ，∴四边形FADC 是平行四边形。 ∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ， ∴11 CE DE CD 432322 === ? 设OC=x ， ∵BE=2，∴OE=x ﹣2。 在Rt △OCE 中，OC 2=OE 2+CE 2 ， ∴()(2 2 2x x 223 =-+，解得：x=4。 ∴OA=OC=4，OE=2。∴AE=6。 在Rt △AED 中，22AD AE DE 43=+AD=CD 。 ∴平行四边形FADC 是菱形。 （2）连接OF， ∵四边形FADC是菱形，∴FA=FC。 在△AFO和△CFO中，∵ FA FC OF OF OA OC = ? ? = ? ?= ? ，∴△AFO≌△CFO（SSS）。 ∴∠FCO=∠FAO=90°，即OC⊥FC。 ∵点C在⊙O上，∴FC是⊙O的切线。 【解析】 试题分析：（1）连接OC，由垂径定理，可求得CE的长，又由勾股定理，可求得半径OC的长，然后由勾股定理求得AD的长，即可得AD=CD，易证得四边形FADC是平行四边形，继而证得四边形FADC是菱形； （2）连接OF，易证得△AFO≌△CFO，继而可证得FC是⊙O的切线。 (2018?畐建A卷)已知四边形ABCD是O O的内接四边形，AC是。O的直径，DE丄AB,垂足为E. (1)延长DE交。O于点F,延长DC, FB交于点P,如图1.求证：PC=PB (2)过点B作BC丄AD,垂足为G, BG交DE于点H,且点O和点A都在DE的 左侧，如图2.若AB=；, DH=1,Z OHD=8°，求/ BDE的大小. (12.00分)(2018?畐建B卷)如图，D是厶ABC外接圆上的动点，且B, D位于AC的两侧，DE丄AB,垂足为E, DE的延长线交此圆于点F. BG丄AD,垂足为G, BG交DE于点H, DC, FB的延长线交于点P,且PC=PB (1)求证：BG// CD; (2)设厶ABC外接圆的圆心为O,若AB^'DH,/ OHD=8°，求/ BDE的大小. 备用圉 25. (10.00分)(2018?河北)如图，点A在数轴上对应的数为26，以原点O为 4 圆心，OA为半径作优弧■■-,使点B在O右下方，且tan/AOB=，在优弧加上任取一点P,且能过P作直线I// OB交数轴于点Q,设Q在数轴上对应的数为x, 连接OP (1)若优弧恥上一段4P的长为13 n求/ AOP的度数及x的值； (2)求x的最小值，并指出此时直线I与?期所在圆的位置关系； （3）若线段PQ 的长为12.5,直接写出这时x 的值. 23. （10.00分）（2018?恩施州）如图，AB 为。O 直径，P 点为半径 OA 上异于O 点和A 点的一个点，过P 点作与直径AB 垂直的弦CD,连接AD,作BE ± AB, OE// AD 交 BE 于 E 点，连接 AE 、DE 、AE 交 CD 于 F 点. AD _ EC 交EC 的延长线于点D ，AD 交L O 于F ，FM _AB 于H ，分别交L O 、AC 于 M 、N ，连接 MB ，BC . （1）求证：AC 平方.DAE ; 4 (2)若 cosM ，BE =1，①求 5 25. （10.00分）（2018?株洲）如图，已知 AB 为。O 的直径，AB=8,点C 和点D 是。O 上关于直线AB 对称的两个点，连接 OC AC,且/ BOC X 90°直线BC 和 直线AD 相交于点E,过点C 作直线CG 与线段AB 的延长线相交于点F ,与直线 O 的半径；②求FN 的长. （1）求证：DE 为。O 切线； DC E 第23融圈 一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，AB是半圆O的直径，C是的中点，D是的中点，AC与BD相交于点E. （1）求证：BD平分∠ABC； （2）求证：BE=2AD； （3）求DE BE 的值. 【答案】（1）答案见解析（2）BE=AF=2AD（3）21 2 - 【解析】 试题分析：（1）根据中点弧的性质，可得弦AD=CD，然后根据弦、弧、圆周角、圆心角的性质求解即可； （2）延长BC与AD相交于点F, 证明△BCE≌△ACF, 根据全等三角形的性质可得 BE=AF=2AD； （3）连接OD,交AC于H.简要思路如下：设OH为1，则BC为2，OB=OD=2， DH=21 -, 然后根据相似三角形的性质可求解. 试题解析：（1）∵D是的中点 ∴AD=DC ∴∠CBD=∠ABD ∴BD平分∠ABC （2）提示：延长BC与AD相交于点F, 证明△BCE≌△ACF, BE=AF=2AD （3）连接OD,交AC于H.简要思路如下： 设OH为1，则BC为2，2， 21, DE BE = DH BC DE BE = 21 2 - 2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，BD＝BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E (1) 求证：BE是⊙O的切线 (2) 若EC＝1，CD＝3，求cos∠DBA 【答案】（1）证明见解析；（2）∠DBA 3 5 = 【解析】 分析：（1）连接OB，OD，根据线段垂直平分线的判定，证得BF为线段AD的垂直平分线，再根据直径所对的圆周角为直角，得到∠ADC=90°，证得四边形BEDF是矩形，即 ∠EBF=90°，可得出结论. （2）根据中点的性质求出OF的长，进而得到BF、DE、OB、OD的长，然后根据等角的三角函数求解即可. 详解：证明：(1) 连接BO并延长交AD于F，连接OD ∵BD＝BA，OA＝OD ∴BF为线段AD的垂直平分线 ∵AC为⊙O的直径 ∴∠ADC＝90° ∵BE⊥DC ∴四边形BEDF为矩形 ∴∠EBF＝90° ∴BE是⊙O的切线 (2) ∵O、F分别为AC、AD的中点 ∴OF＝1 2CD＝ 3 2 ∵BF＝DE＝1＋3＝4 初三数学圆的专项培优练习题（含答案） ?EB 1．如图1，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论不成 立的是（） A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE 图一图二图三 2．如图2，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆 的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（） A．4 B．C．6 D． 3．四个命题： ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分； ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（－1，－2）； ④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1 7．已知AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D． （1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小； （2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小． 8．如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q。在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由。 9．如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA 的平行线与AF相交于点F，CD=，BE=2． 初三数学圆的专项培优练习题(含答案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 初三数学圆的专项培优练习题（含答案） 1．如图1，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是EB的中点，则下列结论不成立的 是（） A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE 图一图二图三2．如图2，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（） A．4 B．33C．6 D．23 3．四个命题： ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分； ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（－1，－2）； ④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1 A．19° B．38° C．52° D．76° 图四图五 6．如图五，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=6，且AE：BE =1：3，则AB= ．7．已知AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D． （1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小； （2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小． 8．如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q。在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由。 一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图1，已知扇形MON 的半径为2，∠MON=90°，点B 在弧MN 上移动，联结BM ，作OD ⊥BM ，垂足为点D ，C 为线段OD 上一点，且OC=BM ，联结BC 并延长交半径OM 于点A ，设OA=x ，∠COM 的正切值为y. （1）如图2，当AB ⊥OM 时，求证：AM=AC ； （2）求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （3）当△OAC 为等腰三角形时，求x 的值. 【答案】 (1)证明见解析;(2) 2=+y x 02<≤x 142 2 =x . 【解析】 分析：（1）先判断出∠ABM =∠DOM ，进而判断出△OAC ≌△BAM ，即可得出结论； （2）先判断出BD =DM ，进而得出 DM ME BD AE =，进而得出AE =1 22 x （），再判断出2OA OC DM OE OD OD ==，即可得出结论； （3）分三种情况利用勾股定理或判断出不存在，即可得出结论． 详解：（1）∵OD ⊥BM ，AB ⊥OM ，∴∠ODM =∠BAM =90°． ∵∠ABM +∠M =∠DOM +∠M ，∴∠ABM =∠DOM ． ∵∠OAC =∠BAM ，OC =BM ，∴△OAC ≌△BAM ， ∴AC =AM ． （2）如图2，过点D 作DE ∥AB ，交OM 于点E ． ∵OB =OM ，OD ⊥BM ，∴BD =DM ． ∵DE ∥AB ，∴DM ME BD AE =，∴AE =EM ．∵OM 2，∴AE =1 22x （）． ∵DE ∥AB ，∴ 2OA OC DM OE OD OD ==， ∴22 DM OA y OD OE x =∴=+，02x ≤＜ 初三数学圆的综合的专项培优易错难题练习题 一、圆的综合 1．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC． （1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线； （2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）8． 【解析】 （1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可； （2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案． 试题解析：连接AD，OA， ∵∠ADC=∠B，∠B=60°， ∴∠ADC=60°， ∵CD是直径， ∴∠DAC=90°， ∴∠ACO=180°-90°-60°=30°， ∵AP=AC，OA=OC， ∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°， ∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°， 即OA⊥AP， ∵OA为半径， ∴AP是⊙O切线． （2）连接AD，BD， ∵CD是直径， ∴∠DBC=90°， ∵CD=4，B为弧CD中点， ∴BD=BC=， ∴∠BDC=∠BCD=45°， ∴∠DAB=∠DCB=45°， 即∠BDE=∠DAB， ∵∠DBE=∠DBA， ∴△DBE∽△ABD， ∴， ∴BE?AB=BD?BD=． 考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质． 2．如图，⊙A过?OBCD的三顶点O、D、C，边OB与⊙A相切于点O，边BC与⊙O相交于点H，射线OA交边CD于点E，交⊙A于点F，点P在射线OA上，且∠PCD=2∠DOF，以O为原点，OP所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，点B的坐标为（0，﹣2）． （1）若∠BOH=30°，求点H的坐标； （2）求证：直线PC是⊙A的切线； （3）若OD=10，求⊙A的半径． 【答案】（1）（132）详见解析；（3）5 3 . 【解析】 【分析】 （1）先判断出OH=OB=2，利用三角函数求出MH，OM，即可得出结论； 初三数学圆的专项培优练习题 【知识点回顾】 1、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，?并且平分弦所对的两条弧及其运用． 2、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，?所对的弦也相等及其运用． 3、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弧所对的圆心角的一半及其运用． 4、半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?°的圆周角所对的弦是直径及其运用． 5、不在同一直线上的三个点确定一个圆． 6、直线L 和⊙O 相交?d 初三数学圆与相似的专项培优练习题及答案 一、相似 1．如图所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AC，△CDE沿直线BC翻折到△CDF，连结AF交BE、DE、DC分别于点G、H、I． （1）求证：AF⊥BE； （2）求证：AD=3DI． 【答案】（1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC的中点， ∴AD=BD=CD，∠ACB=45°， ∵在△ADC中，AD=DC，DE⊥AC， ∴AE=CE， ∵△CDE沿直线BC翻折到△CDF， ∴△CDE≌△CDF， ∴CF=CE，∠DCF=∠ACB=45°， ∴CF=AE，∠ACF=∠DCF+∠ACB=90°， 在△ABE与△ACF中，， ∴△ABE≌△ACF（SAS）， ∴∠ABE=∠FAC， ∵∠BAG+∠CAF=90°， ∴∠BAG+∠ABE=90°， ∴∠AGB=90°， ∴AF⊥BE （2）证明：作IC的中点M，连接EM，由（1）∠DEC=∠ECF=∠CFD=90° ∴四边形DECF是正方形， ∴EC∥DF，EC=DF， ∴∠EAH=∠HFD，AE=DF， 在△AEH与△FDH中， ∴△AEH≌△FDH（AAS）， ∴EH=DH， ∵∠BAG+∠CAF=90°， ∴∠BAG+∠ABE=90°， ∴∠AGB=90°， ∴AF⊥BE， ∵M是IC的中点，E是AC的中点， ∴EM∥AI， ∴， ∴DI=IM， ∴CD=DI+IM+MC=3DI， ∴AD=3DI 【解析】【分析】（1）根据翻折的性质和SAS证明△ABE≌△ACF，利用全等三角形的性质得出∠ABE=∠FAC，再证明∠AGB=90°，可证得结论。 （2）作IC的中点M，结合正方形的性质，可证得∠EAH=∠HFD，AE=DF，利用AAS证明△AEH与△FDH全等，再利用全等三角形的性质和中位线的性质解答即可。 2．如图，抛物线y=﹣ +bx+c过点A（3，0），B（0，2）．M（m，0）为线段OA上一个动点（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N． 初三数学圆的综合的专项培优练习题(含答案)及答案 一、圆的综合 1．（1）如图1，在矩形ABCD 中，点O 在边AB 上，∠AOC =∠BOD ，求证：AO =OB ； （2）如图2，AB 是⊙O 的直径，PA 与⊙O 相切于点A ，OP 与⊙O 相交于点C ，连接CB ，∠OPA =40°，求∠ABC 的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）25°. 【解析】 试题分析： （1）根据等量代换可求得∠AOD=∠BOC ，根据矩形的对边相等，每个角都是直角，可知∠A=∠B=90°，AD=BC ，根据三角形全等的判定AAS 证得△AOD ≌△BOC ，从而得证结论． （2）利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠POA 的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC 的度数． 试题解析：（1）∵∠AOC=∠BOD ∴∠AOC -∠COD=∠BOD-∠COD 即∠AOD=∠BOC ∵四边形ABCD 是矩形 ∴∠A=∠B=90°，AD=BC ∴AOD BOC ??? ∴AO=OB （2）解：∵AB 是O e 的直径，PA 与O e 相切于点A ， ∴PA ⊥AB ， ∴∠A=90°. 又∵∠OPA=40°， ∴∠AOP=50°， ∵OB=OC ， ∴∠B=∠OCB. 又∵∠AOP=∠B+∠OCB ， ∴1 252 B OCB AOP ∠=∠= ∠=?. 2．如图，AB 为⊙O 的直径，点D 为AB 下方⊙O 上一点，点C 为弧ABD 的中点，连接CD ，CA ． （1）求证：∠ABD =2∠BDC ； （2）过点C 作CH ⊥AB 于H ，交AD 于E ，求证：EA =EC ； 2020-2021中考数学圆的综合(大题培优)含详细答案 一、圆的综合 1．如图，已知△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，过点E作EG⊥AC于G，交BC的延长线于F． （1）求证：AE=BE； （2）求证：FE是⊙O的切线； （3）若FE=4，FC=2，求⊙O的半径及CG的长． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）. 【解析】（1）证明：连接CE，如图1所示： ∵BC是直径，∴∠BEC=90°，∴CE⊥AB； 又∵AC=BC，∴AE=BE． （2）证明：连接OE，如图2所示： ∵BE=AE，OB=OC，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，AC=2OE=6． 又∵EG⊥AC，∴FE⊥OE，∴FE是⊙O的切线． （3）解：∵EF是⊙O的切线，∴FE2=FC?FB． 设FC=x，则有2FB=16，∴FB=8，∴BC=FB﹣FC=8﹣2=6，∴OB=OC=3，即⊙O的半径为3；∴OE=3． ∵OE∥AC，∴△FCG∽△FOE，∴，即，解得：CG=． 点睛：本题利用了等腰三角形三线合一定理，三角形中位线的判定，切割线定理，以及勾股定理，还有平行线分线段成比例定理，切线的判定等知识． 2．如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，过点E的切线与AB的延长线交于点D，连接BE，过点O作BE的平行线，交⊙O于点F，交切线于点C，连接AC （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）连接EF，当∠D=°时，四边形FOBE是菱形． 【答案】（1）见解析；（2）30. 【解析】 【分析】 （1）由等角的转换证明出OCA OCE ??≌，根据圆的位置关系证得AC 是⊙O 的切线. （2）根据四边形FOBE 是菱形，得到OF=OB=BF=EF ，得证OBE ?为等边三角形，而得出 60BOE ∠=?，根据三角形内角和即可求出答案. 【详解】 （1）证明：∵CD 与⊙O 相切于点E ， ∴OE CD ⊥， ∴90CEO ∠=?， 又∵OC BE P ， ∴COE OEB ∠=∠，∠OBE=∠COA ∵OE=OB ， ∴OEB OBE ∠=∠， ∴COE COA ∠=∠， 又∵OC=OC ，OA=OE ， ∴OCA OCE SAS ??≌（）， ∴90CAO CEO ∠=∠=?， 又∵AB 为⊙O 的直径， ∴AC 为⊙O 的切线； （2）解：∵四边形FOBE 是菱形， ∴OF=OB=BF=EF ， ∴OE=OB=BE ， ∴OBE ?为等边三角形， ∴60BOE ∠=?， 而OE CD ⊥， ∴30D ∠=?． 故答案为30． 【点睛】 本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键. 初三数学圆的专项培优练习题 【知识点回顾】 １、平分弦（不是直径)的直径垂直于弦,?并且平分弦所对的两条弧及其运用. ２、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，?所对的弦也相等及其运用. 3、在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,?都等于这条弧所对的圆心角的一半及其运用． 4、半圆（或直径)所对的圆周角是直角，9０?°的圆周角所对的弦是直径及其运用． 5、不在同一直线上的三个点确定一个圆. ６、直线Ｌ和⊙Ｏ相交?d 初三数学圆的综合的专项培优易错难题练习题附详细答案 一、圆的综合 1．如图1，直角梯形OABC中，BC∥OA，OA=6，BC=2，∠BAO=45°． （1）OC的长为； （2）D是OA上一点，以BD为直径作⊙M，⊙M交AB于点Q．当⊙M与y轴相切时，sin∠BOQ=； （3）如图2，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点O沿线段OA向点A运动；同时动点D以相同的速度，从点B沿折线B﹣C﹣O向点O运动．当点P到达点A时，两点同时停止运动．过点P作直线PE∥OC，与折线O﹣B﹣A交于点E．设点P运动的时间为t （秒）．求当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标． 【答案】（1）4；（2）3 5 ；（3）点E的坐标为（1，2）、（ 5 3 ， 10 3 ）、（4，2）． 【解析】 分析：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），易证四边形OCBH是矩形，从而有OC=BH，只需在△AHB中运用三角函数求出BH即可． （2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2），则有OH=2，BH=4，MN⊥OC．设圆的半径为r，则 MN=MB=MD=r．在Rt△BHD中运用勾股定理可求出r=2，从而得到点D与点H重合．易证△AFG∽△ADB，从而可求出AF、GF、OF、OG、OB、AB、BG．设OR=x，利用BR2=OB2﹣OR2=BG2﹣RG2可求出x，进而可求出BR．在Rt△ORB中运用三角函数就可解决问题．（3）由于△BDE的直角不确定，故需分情况讨论，可分三种情况（①∠BDE=90°， ②∠BED=90°，③∠DBE=90°）讨论，然后运用相似三角形的性质及三角函数等知识建立关于t的方程就可解决问题． 详解：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），则有∠BHA=90°=∠COA，∴OC∥BH．∵BC∥OA，∴四边形OCBH是矩形，∴OC=BH，BC=OH． ∵OA=6，BC=2，∴AH=0A﹣OH=OA﹣BC=6﹣2=4． ∵∠BHA=90°，∠BAO=45°， ∴tan∠BAH=BH HA =1，∴BH=HA=4，∴OC=BH=4． 故答案为4． （2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2）． 初三数学圆的综合的专项培优练习题附答案解析 一、圆的综合 1．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）． （1）求⊙M的半径； （2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH． （3）在（2）的条件下求AF的长． 【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4． 【解析】 【分析】 （1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长； （2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论； （3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．【详解】 （1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM， ∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径， ∴BT=TC=1 2 3 ∴124 ； （2）如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，∵CE⊥AB， ∴∠HBC+∠BCH=90° 在△COF中， ∵∠OFC+∠OCF=90°， ∴∠HBC=∠OFC=∠AFH， 在△AEH和△AFH中， ∵ AFH AEH AHF AHE AH AH ∠=∠ ? ? ∠=∠ ? ?= ? ， ∴△AEH≌△AFH（AAS）， ∴EH=FH； （3）由（1）易知，∠BMT=∠BAC=60°， 作直径BG，连CG，则∠BGC=∠BAC=60°， ∵⊙O的半径为4， ∴CG=4， 连AG， ∵∠BCG=90°， ∴CG⊥x轴， ∴CG∥AF， ∵∠BAG=90°， ∴AG⊥AB， ∵CE⊥AB， ∴AG∥CE， ∴四边形AFCG为平行四边形， ∴AF=CG=4． 【点睛】 本题考查的是垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 2．如图，以O为圆心，4为半径的圆与x轴交于点A，C在⊙O上，∠OAC=60°． （1）求∠AOC的度数； （2）P为x轴正半轴上一点，且PA=OA，连接PC，试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由； （3）有一动点M从A点出发，在⊙O上按顺时针方向运动一周，当S△MAO=S△CAO时，求动点M所经过的弧长，并写出此时M点的坐标． 初三数学圆的综合的专项培优练习题及答案 一、圆的综合 1．如图，AB是半圆O的直径，C是的中点，D是的中点，AC与BD相交于点E. （1）求证：BD平分∠ABC； （2）求证：BE=2AD； （3）求DE BE 的值. 【答案】（1）答案见解析（2）BE=AF=2AD（3）21 - 【解析】 试题分析：（1）根据中点弧的性质，可得弦AD=CD，然后根据弦、弧、圆周角、圆心角的性质求解即可； （2）延长BC与AD相交于点F, 证明△BCE≌△ACF, 根据全等三角形的性质可得 BE=AF=2AD； （3）连接OD,交AC于H.简要思路如下：设OH为1，则BC为2，OB=OD=2， DH=21 -, 然后根据相似三角形的性质可求解. 试题解析：（1）∵D是的中点 ∴AD=DC ∴∠CBD=∠ABD ∴BD平分∠ABC （2）提示：延长BC与AD相交于点F, 证明△BCE≌△ACF, BE=AF=2AD （3）连接OD,交AC于H.简要思路如下： 设OH为1，则BC为2，2， 21, DE BE = DH BC DE BE =21 2 - 2．四边形 ABCD 的对角线交于点 E ，且 AE ＝EC ，BE ＝ED ，以 AD 为直径的半圆过点 E ，圆心 为 O ． （1）如图①，求证：四边形 ABCD 为菱形； （2）如图②，若 BC 的延长线与半圆相切于点 F ，且直径 AD ＝6，求弧AE 的长． 【答案】（1）见解析；（2）π 2 【解析】 试题分析：（1）先判断出四边形ABCD 是平行四边形，再判断出AC ⊥BD 即可得出结论； （2）先判断出AD =DC 且DE ⊥AC ，∠ADE =∠CDE ，进而得出∠CDA =30°，最后用弧长公式即可得出结论． 试题解析：证明：（1）∵四边形ABCD 的对角线交于点E ，且AE =EC ，BE =ED ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∵以AD 为直径的半圆过点E ，∴∠AED =90°，即有AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形； （2）由（1）知，四边形ABCD 是菱形，∴△ADC 为等腰三角形，∴AD =DC 且DE ⊥AC ，∠ADE =∠CDE ．如图2，过点C 作CG ⊥AD ，垂足为G ，连接FO ．∵BF 切圆O 于点F ，∴OF ⊥AD ，且1 32 OF AD = =，易知，四边形CGOF 为矩形，∴CG =OF =3． 在Rt △CDG 中，CD =AD =6，sin ∠ADC = CG CD =1 2 ，∴∠CDA =30°，∴∠ADE =15°． 连接OE ，则∠AOE =2×∠ADE =30°，∴? 303180 2 AE ππ??==． 点睛：本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键． 3．如图1 O e ，的直径12AB P =，是弦BC 上一动点(与点B C ，不重合)30ABC o ，∠=，过点P 作PD OP ⊥交O e 于点D ． 3 初三数学圆的专项培优练习题（含答案） 1．如图 1，已知 AB 是⊙O 的直径，AD 切⊙O 于点 A ，点 C 是E B 立的是（ ） 的中点，则下列结论不成 A ．OC∥AE B ．EC=BC C ．∠DAE=∠ABE D ．AC⊥OE 图一 图二 图三 2．如图 2，以等边三角形 ABC 的 BC 边为直径画半圆，分别交 AB 、AC 于点 E 、D ，DF 是圆的切线，过点 F 作 BC 的垂线交 BC 于点 G ．若 AF 的长为 2，则 FG 的长为（ ） A ．4 B ． 3 C ．6 D ． 2 3. 四个命题： ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分； ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ③点 P （1,2）关于原点的对称点坐标为（－1，－2）； ④两圆的半径分别是 3 和 4，圆心距为 d ，若两圆有公共点，则1 初三数学圆的专项培优练习题（含答案） 1．如图 1，已知 AB 是⊙O 的直径， AD 切⊙O 于点 A ，点 C 是 ? 的中点，则下列结论不成 EB 立的是（ ） A ．OC ∥AE B ．EC=BC C ．∠ DAE=∠ABE D ．AC ⊥OE 图一 图二 2．如图 2，以等边三角形 ABC 的 BC 边为直径画半圆，分别交 的切线，过点 F 作 BC 的垂线交 BC 于点 G ．若 AF 的长为 2，则 AB 、 AC 于点 FG 的长为（ 图三 E 、 D ， D F 是圆 ） A ． 4 B ． 3 3 C ． 6 D ． 2 3 3．四个命题： ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分； ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ③点 P （ 1,2 ）关于原点的对称点坐标为（－ 1，－ 2）； ④两圆的半径分别是 3 和 4，圆心距为 d ，若两圆有公共点，则 1 2020-2021中考数学圆的综合(大题培优易错难题)及详细答案 一、圆的综合 1．如图，⊙A过?OBCD的三顶点O、D、C，边OB与⊙A相切于点O，边BC与⊙O相交于点H，射线OA交边CD于点E，交⊙A于点F，点P在射线OA上，且∠PCD=2∠DOF，以O为原点，OP所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，点B的坐标为（0，﹣2）． （1）若∠BOH=30°，求点H的坐标； （2）求证：直线PC是⊙A的切线； （3）若OD=10，求⊙A的半径． 【答案】（1）（132）详见解析；（3）5 3 . 【解析】 【分析】 （1）先判断出OH=OB=2，利用三角函数求出MH，OM，即可得出结论； （2）先判断出∠PCD=∠DAE，进而判断出∠PCD=∠CAE，即可得出结论；（3）先求出OE═3，进而用勾股定理建立方程，r2-（3-r）2=1，即可得出结论．【详解】 （1）解：如图，过点H作HM⊥y轴，垂足为M． ∵四边形OBCD是平行四边形， ∴∠B=∠ODC ∵四边形OHCD是圆内接四边形 ∴∠OHB=∠ODC ∴∠OHB=∠B ∴OH=OB=2 ∴在Rt△OMH中， ∵∠BOH=30°， ∴MH=1 2 OH=1，33 ∴点H的坐标为（13 （2）连接AC． ∵OA=AD， ∴∠DOF=∠ADO ∴∠DAE=2∠DOF ∵∠PCD=2∠DOF， ∴∠PCD=∠DAE ∵OB与⊙O相切于点A ∴OB⊥OF ∵OB∥CD ∴CD⊥AF ∴∠DAE=∠CAE ∴∠PCD=∠CAE ∴∠PCA=∠PCD+∠ACE=∠CAE+∠ACE=90°∴直线PC是⊙A的切线； （3）解：⊙O的半径为r． 在Rt△OED中，DE=1 2 CD= 1 2 OB=1，OD=10， ∴OE═3 ∵OA=AD=r，AE=3﹣r． 在Rt△DEA中，根据勾股定理得，r2﹣（3﹣r）2=1 解得r=5 3 ． 【点睛】 此题是圆的综合题，主要考查了平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，勾股定理，切线的性质和判定，构造直角三角形是解本题的关键． 2．如图1，直角梯形OABC中，BC∥OA，OA=6，BC=2，∠BAO=45°． （1）OC的长为； （2）D是OA上一点，以BD为直径作⊙M，⊙M交AB于点Q．当⊙M与y轴相切时，sin∠BOQ=； -九年级数学培优提高题-圆 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： G O F E D C B A 南门学校九年级数学培优提高题(圆) 1. 在平面直角坐标系中，半径为5的⊙O 与x 轴交于A （－2，0）、B （4，0），则圆心点M 坐标为 _________. 2．如图，MON 中，∠MON=900 ，过线段MN 中点A 作AB ∥ON 交M 弧MN 于点B ，则∠BON= 度。 3．一个半径为1cm 的圆，在边长为6cm 的正六边形内任意挪动（圆可以与正六边形的 边相切），则圆在正六边形内不能达到的部分的面积为 cm 2 。 4．如图，⊙A 、⊙B 的圆心A 、B 在直线l 上，两圆半径都为1cm ，开始时圆心距AB=4cm 现⊙A 沿直线l 以每秒2cm 的速度相向⊙B 移动（⊙B 不动），则当两圆相切时， ⊙A 运动的时间为 秒． 5．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，OD ∥AC ，下列结论错误的是（ ） ①∠BOD＝∠BAC ； ②∠BOD＝∠COD ； ③∠BAD＝∠CAD ； ④∠C＝∠D ； 其中正确的结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．将两枚同样大小的硬币放在桌上，固定其中一枚，而另一枚则沿着其边缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了( ) A ．1圈 B ．1.5圈 C ．2圈 D ．2.5圈 7．如图，在⊙O 中，直径AB 垂直弦CD ，E 为BC 弧上一点，下列结论：①∠1=∠2；②∠3=2∠4； ③∠3+∠5=180°。其中正确的是（ ） A ．①③ B ．①② C ．①②③ D ．②③ 8．如图，△ABC 内接于⊙O ，BA ＝BC ，AD ⊥BC 于D 并延长交⊙O 于G ，OE 是BC 的弦心距，连结BO 并延长交AD 于F ，连OA ，下列结论：①∠ABC ＝2∠CAF ；②AF ＝2OE ；③DF ＝DG ；④AF ＝CD ．其中正确的结论是（ ） A ．只有①②③ B ．只有①③④ C ．只有②③④ D ．只有①④ 9．如图，A 、B 、C 、D 、E 、F 是⊙O 的六等分点，点P 是DE 的中点，连结AD 、BF 、AC 、BP ，AC 、BP 交于H.下列结论中：①GF=GB ；②AC=BF ；③3AC AB =；④2PH AH =.其中正确的命题有（ ） r r 第6 A B O M N B O A C D O A B C D E 初三数学圆练习题 1．如图1，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是EB的中点，则下列结论不成 立的是（） A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE 图一图二图三2．如图2，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（） A．4 B．C．6 D． 3．四个命题： ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分； ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（－1，－2）； ④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1 7．已知AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D． （1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小； （2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小． 8．如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P 作AB的垂线交BC的延长线于点Q。在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD 与⊙O的位置关系，并说明理由。 9．如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA 的平行线与AF相交于点F，CD=，BE=2． 求证：（1）四边形FADC是菱形；（2）FC是⊙O的切线．2018中考数学圆(大题培优)
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