高中数学第六章平面向量及其应用章末复习提升课学案新人教A版必修第二册
章末复习提升课
平面向量的线性运算
(1)(2018·高考全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →
＝( )
A.34AB →－14
AC →
B.14AB →－34
AC →
C.34AB →＋14AC →
D.14AB →＋34
AC →
(2)如图所示，在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC →＝λAM →＋μBD →
，则λ＋μ＝( ) A.43 B.53 C.158
D.2
【解析】 (1)法一：如图所示，EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝
3
4AB →
－14
AC →
，故选A .
法二：EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →＝AB →－12×12(AB →＋AC →
)＝34AB →－14
AC →，故选A .
(2)因为AC →＝λAM →＋μBD →＝λ(AB →＋BM →)＋μ(BA →＋AD →)＝λ(AB →＋12AD →)＋μ(－AB →＋AD →
)＝
(λ－μ)错误！未定义书签。＋? ????12λ＋μAD →，且AC →＝AB →＋AD →，所以?????λ－μ＝1，
12λ＋μ＝1得?????λ＝43，μ＝13，
所以λ＋μ＝5
3
，故选B .
【答案】 (1)A (2)B
向量线性运算的基本原则
向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．
已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1，1)，c ＝(－5，1)．若(a ＋k b )∥c ，则实数k 的值为( )
A ．2
B ．12
C ．114
D ．－114
解析：选B.由题意知，a ＋k b ＝(2，－1)＋k (1，1)＝(k ＋2，k －1)，由(a ＋k b )∥c ，得－5(k －1)＝k ＋2，解得k ＝1
2
，故选B.
平面向量数量积的运算
如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝
AD ＝1.若点E 为边CD 上的动点，则AE →·BE →
的最小值为( )
A.2116
B.32
C.2516
D.3
【解析】 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图的平面直角坐标系， 因为在平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝1，∠BAD ＝120°，所以A (0，0)，B (1，0)，D ? ????－1
2，32，
设C (1，m )，E (x ，y )，所以DC →＝? ????3
2，m －32，AD →＝? ??
??－12，32，
因为AD ⊥CD ，所以? ????3
2，m －32·? ????－12，32＝0，即32×? ????－12＋32? ????m －32＝0，解得m ＝
3，即C (1，3)，因为E 在CD 上，所以
32≤y ≤3，由CE →∥DC →
，得(x －1)?
????3－32＝32(y －3)，即x ＝3y －2，因为AE →＝(x ，y )，BE →＝(x －1，y )，所以AE →·BE →
＝(x ，y )·(x －1，y )＝x 2
－x ＋y 2
＝(3y －2)2
－3y ＋2＋y 2
＝4y 2
－53y ＋6，令f (y )＝4y 2
－53y ＋6，y ∈
??????32，3.因为函数f (y )＝4y 2
－53y ＋6在??????32，538上单调递减，在? ??
??538，3上单调递
增，所以f (y )min ＝4×? ??
??5382
－53×538＋6＝2116.
所以AE →·BE →
的最小值为2116，故选A.
【答案】 A
向量数量积的两种计算方法
(1)当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b ＝|a ||b |cos θ. (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.
1．已知向量a ，b 的夹角为3π
4，|a |＝2，|b |＝2，则a ·(a －2b )＝________．
解析：a ·(a －2b )＝a 2
－2a ·b ＝2－2×2×2×? ??
??
－22＝6. 答案：6
2．设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →
，则AM →·NM →
等于________．
解析：AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋34AD →
，
NM →＝CM →－CN →
＝－14AD →＋13
AB →，
所以AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42
)＝9.
答案：9
向量的夹角及垂直问题
(1)已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2
D ．－1
(2)已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°
D ．以上都不对
【解析】 (1)因为m ＋n ＝(2λ＋3，3)，m －n ＝(－1，－1)，(m ＋n )⊥(m －n )， 所以(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3，3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3. (2)设向量a 与b 的夹角为θ，因为a ＋b ＋c ＝0， 所以c ＝－(a ＋b )，所以c 2
＝(a ＋b )2
， 即|c |2
＝|a |2
＋|b |2
＋2|a ||b |cos θ， 所以19＝4＋9＋12cos θ，
所以cos θ＝1
2，又0°≤θ≤180°，所以a 与b 的夹角为60°.
【答案】 (1)B (2)C
解决两个向量垂直问题，其关键在于将问题转化为它们的数量积为零，与求夹角一样．若向量能用坐标表示(或能建立适当的直角坐标系)，将它转化为“x 1x 2＋y 1y 2＝0”较为简单．
1．设向量a ＝(1，0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝________． 解析：因为a ＝(1，0)，b ＝(－1，m )，所以m a －b ＝(m ＋1，－m )． 由a ⊥(m a －b )得a ·(m a －b )＝0， 即m ＋1＝0，得m ＝－1.
答案：－1
2．(2019·东北三省三校检测)已知非零向量a ，b 满足|a －b |＝|a |，a ·(a －b )＝0，则
a －
b 与b 夹角的大小为________．
解析：因为非零向量a ，b 满足a ·(a －b )＝0，所以a 2
＝a ·b ，由|a －b |＝|a |可得a 2
－2a ·b ＋b 2＝a 2
，解得|b |＝2|a |，设a －b 与b 的夹角为θ，则cos θ＝（a －b ）·b |a －b ||b |
＝
a ·
b －|b |2|a ||b |＝|a |2－2|a |22|a |
2
＝－2
2，又0°≤θ≤180°，所以θ＝135°. 答案：135°
向量的长度(模)与距离的问题
已知平面向量a ，b 的夹角为π6，且|a |＝3，|b |＝2，在△ABC 中，AB →＝2a ＋2b ，AC →＝
2a －6b ，D 为BC 的中点，则|AD →
|等于( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
【解析】 因为AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(2a ＋2b ＋2a －6b )＝2a －2b ，所以|AD →|2＝4(a －b )2
＝
4(a 2－2b·a ＋b 2
)＝4×? ??
??3－2×2×3×cos π6＋4＝4，则|AD →|＝2.
【答案】 A
解决向量模的问题常用的策略
(1)应用公式：|a |＝x 2
＋y 2
(其中a ＝(x ，y ))． (2)应用三角形法则或平行四边形法则．
(3)应用向量不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. (4)研究模的平方|a ±b |2
＝(a ±b )2
.
(2019·河南八市重点高中质检)已知平面向量a ，b 的夹角为2π
3，且a ·(a －b )＝8，
|a |＝2，则|b |等于( )
A ． 3
B ．2 3
C ．3
D ．4
解析：选D.因为a ·(a －b )＝8，
所以a·a －a·b ＝8，即|a |2
－|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝8，
所以4＋2|b |×1
2＝8，解得|b |＝4.
利用正、余弦定理解三角形
已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin
B .
(1)求角B 的大小；
(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .
【解】 (1)由正弦定理得a 2
＋c 2
－2ac ＝b 2
. 由余弦定理得b 2
＝a 2
＋c 2
－2ac cos B . 故cos B ＝
2
2
，所以B ＝45°. (2)因为sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°·sin 45°＝2＋6
4
. 故a ＝
b sin A
sin B
＝1＋ 3. 又C ＝180°－45°－75°＝60°， 所以c ＝
b sin C sin B ＝2×sin 60°
sin 45°
＝ 6.
解三角形的一般方法
(1)已知两角和一边，如已知A ，B 和c ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，由正弦定理求a ，b . (2)已知两边和这两边的夹角，如已知a ，b 和C ，应先用余弦定理求c ，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A ＋B ＋C ＝π，求另一角．
(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a ，b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c ，要注意解可能有多种情况．
(4)已知三边a ，b ，c ，可应用余弦定理求A ，B ，C .
1．(2018·高考全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为
a 2＋
b 2－
c 2
4，则C ＝( )
A.π2
B.π
3 C.
π4
D.π6
解析：选C.根据题意及三角形的面积公式知12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以sin C ＝
a 2＋
b 2－c
2
2ab ＝cos C ，所以在△ABC 中，C ＝π
4
.
2．(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2
＝sin 2
A －sin
B sin
C .
(1)求A ；
(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C .
解：(1)由已知得sin 2
B ＋sin 2
C －sin 2
A ＝sin
B sin
C ，故由正弦定理得b 2
＋c 2
－a 2
＝bc .
由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12
.
因为0°＜A ＜180°，所以A ＝60°.
(2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ，即62
＋
32cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos(C ＋60°)＝－2
2. 因为0°＜C ＜120°， 所以sin(C ＋60°)＝
2
2
，故 sin C ＝sin(C ＋60°－60°)
＝sin(C ＋60°)cos 60°－cos(C ＋60°)sin 60° ＝6＋2
4
.
判断三角形的形状
在△ABC 中，若已知b 2
sin 2
C ＋c 2
sin 2
B ＝2bc cos B cos
C ，试判断三角形的形状． 【解】 由正弦定理的推论，得a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ＝2R ，
则已知条件转化为
4R 2
sin 2
B sin 2
C ＋4R 2
sin 2
C sin 2B ＝8R 2sin B sin C cos B cos C . 因为sin B sin C ≠0，
所以sin B sin C ＝cos B cos C ， 所以cos(B ＋C )＝0.
因为0°
所以△ABC 为直角三角形．
判定三角形形状的两种途径
(1)通过正弦定理和余弦定理化边为角，如a ＝2R sin A ，a 2
＋b 2
－c 2
＝2ab cos C 等，再利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断，此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sin A ＝sin B ?A ＝B ，sin(A －B )＝0?A ＝B ，sin 2A ＝sin 2B ?A ＝B 或A ＋B ＝
π
2等．
(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A ＝a 2R ，cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc
等，通过代数
恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．
(2019·福建省闽侯二中五校教学联合体高二上学期期中)在△ABC 中，若lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝lg 2，则该三角形的形状是( )
A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
解析：选A.因为lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝lg 2，所以sin A
cos B ·sin C
＝2，
由正弦定理可得a sin A ＝c sin C ，所以sin A sin C ＝a
c ，
所以cos B ＝a 2c ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a
2c
，
整理得c 2
＝b 2
，c ＝b ，所以△ABC 的形状是等腰三角形，故选A.
正、余弦定理的实际应用
已知海岛A 周围8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，望见岛A 在北偏东75°，航行202海里后，见此岛在北偏东30°，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？
【解】 如图所示，在△ABC 中，
依题意得BC ＝202海里， ∠ABC ＝90°－75°＝15°， ∠BAC ＝60°－∠ABC ＝45°. 由正弦定理，得
AC sin 15°＝BC
sin 45°
， 所以AC ＝202sin 15°
sin 45°＝10(6－2)(海里)．
过点A 作AD ⊥BC .
故A到航线的距离为AD＝AC sin 60°
＝10(6－2)×
3
2
＝(152－56)(海里)．
因为152－56>8，
所以货轮无触礁危险．
正、余弦定理在实际应用中应注意的问题
(1)分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图．
(2)明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等．
(3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形．
(4)在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累．
(5)按照题目中已有的精确度计算，并根据题目要求的精确度确定答案并注明单位．
1．某运动会上举行升旗仪式，在坡角为15°的看台上，同一列上的第一排B处和最后一排C处测得旗杆顶部P处的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 6 m(如图所示)，则旗杆的高度为( )
A．10 m B．30 m
C．10 3 m D．10 6 m
解析：选 B.依题意可知∠PCB＝45°，∠PBC＝180°－60°－15°＝105°，所以∠CPB
＝180°－45°－105°＝30°.在△PBC中，由正弦定理可得BP＝CB
sin∠CPB
·sin∠PCB＝203
(m)，所以在Rt△BOP中，OP＝PB·sin∠PBO＝203×
3
2
＝30(m)，即旗杆的高度为30 m.
2．如图，A，C两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A岛出发，以10海里/小时的速度，沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B处，然后以同样的速度，沿北偏东15°方向直线航行，下午4时到达C岛．
(1)求A，C两岛之间的直线距离；
(2)求∠BAC的正弦值．
解：(1)在△ABC中，由已知，AB＝10×5＝50，BC＝10×3＝30，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°.
根据余弦定理，得AC 2＝502＋302
－2×50×30cos 120°＝4 900， 所以AC ＝70.故A ，C 两岛之间的直线距离是70海里． (2)在△ABC 中，由正弦定理， 得BC sin ∠BAC ＝AC
sin ∠ABC ，所以sin ∠BAC ＝
BC sin ∠ABC
AC
＝
30sin 120°70＝33
14
.
故∠BAC 的正弦值是33
14
.
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知AB →＝(2，3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →
＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2
D ．3
解析：选C.因为BC →＝AC →－AB →＝(3，t )－(2，3)＝(1，t －3)，|BC →|＝1，所以12＋（t －3）2
＝1，所以t ＝3，所以BC →＝(1，0)，所以AB →·BC →
＝2×1＋3×0＝2.
2．已知e 1，e 2是单位向量，m ＝e 1＋2e 2，n ＝5e 1－4e 2，若m ⊥n ，则e 1与e 2的夹角为( ) A.π4 B.π3 C.2π3
D.3π4
解析：选B.因为m ⊥n ，|e 1|＝|e 2|＝1，所以m·n ＝(e 1＋2e 2)·(5e 1－4e 2)＝5e 2
1＋6e 1·e 2
－8e 2
2＝－3＋6e 1·e 2＝0.所以e 1·e 2＝12.设e 1与e 2的夹角为θ，则cos θ＝e 1·e 2|e 1||e 2|＝12.因为
θ∈[0，π]，所以θ＝π
3
.
3．在△ABC 中，A ＝π
3，BC ＝6，AB ＝26，则C ＝( )
A.π4或3π4
B.π6或5π6
C.
π4
D.3π4
解析：选C. 由正弦定理BC sin A ＝AB sin C ，得sin C ＝AB sin A BC ＝26×sin
π
36＝2
2.又BC ＝
6>AB ＝26，所以A >C ，所以C ＝π
4
，故选C.
4．如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3 PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →
的值是________．
解析：由CP →＝3 PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB →－AB
→
＝AD →－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以?
????AD →＋14AB →·? ????AD →－34AB →＝2，即AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2.
又AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →
＝22. 答案：22
5．在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，B ＝2A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．
解：(1)因为a ＝3，b ＝26，B ＝2A ，所以在△ABC 中， 由正弦定理得3sin A ＝26
sin 2A
.
所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63.
(2)由(1)知cos A ＝
6
3
， 所以sin A ＝1－cos 2
A ＝33
. 又因为B ＝2A ，
所以cos B ＝2cos 2
A －1＝13.
所以sin B ＝1－cos 2
B ＝
22
3
. 在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝53
9.
所以c ＝
a sin C
sin A
＝5. 6．(2019·江西省赣州教育发展联盟联考)已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C ．
(1)求边AB 的长；
(2)若△ABC 的面积为1
6
sin C ，求角C 的度数．
解：(1)由题意，及正弦定理，得AB ＋BC ＋AC ＝2＋1，BC ＋AC ＝2AB ， 两式相减，得AB ＝1.
(2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝16sin C ，得BC ·AC ＝1
3
，
由余弦定理，得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 2
2AC ·BC
＝（AC ＋BC ）2
－2AC ·BC －AB 2
2AC ·BC ＝12
，所以C ＝60°.
[A 基础达标]
1．将3????
??? ????23a －b －? ????a －23b ＋（2b －a ）化成最简式为( ) A ．－43a ＋5
3b
B ．－4a ＋5b C.43a －5
3
b D ．4a －5b
解析：选B.原式＝3[? ????23－1－1a ＋? ????－1＋23＋2b ]＝3? ??
??－43a ＋53b ＝－4a ＋5b . 2．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )
A. 5
B.10 C ．2 5
D ．10
解析：选B.由题意可知?????2x －4＝0，－4－2y ＝0，解得?
????x ＝2，
y ＝－2，故a ＋b ＝(3，－1)，|a ＋b |＝10. 3．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边长为( ) A.6
2
B.63
C.12
D.
32
解析：选B.A ＝180°－(60°＋45°)＝75°， 故最短边为b ，由正弦定理可得b sin B ＝c
sin C ，
即b ＝
c sin B sin C ＝1×sin 45°sin 60°＝6
3
，故选B. 4．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( ) A.
π12
B.
π6
C.
π4
D.
π3
解析：选D.由已知及正弦定理得2sin A sin B ＝3sin B ，因为sin B >0，所以sin A ＝32
.又A ∈?
????0，π2，所以A ＝π3.
5．在△ABC 中，已知sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2
C ，且sin A ＝2sin B cos C ，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
解析：选D.由sin 2
A ＝sin 2
B ＋sin 2
C 及正弦定理可知a 2
＝b 2
＋c 2
?A 为直角；而由sin A ＝2sin B cos C ，可得sin(B ＋C )＝2sin B cos C, 整理得sin B cos C ＝cos B sin C ，即sin(B －C )＝0，故B ＝C .综合上述，B ＝C ＝π4，A ＝π
2
.即△ABC 为等腰直角三角形．
6．已知非零向量a ＝(t ，0)，b ＝(－1，3)，若a ＋2b 与a 的夹角等于a ＋2b 与b 的夹角，则t ＝________．
解析：由题设得
（a ＋2b ）·a |a ＋2b |·|a |＝（a ＋2b ）·b |a ＋2b |·|b |
，所以|b |(|a |2＋2b ·a )＝|a |(a ·b ＋
2|b |2
)，将a ＝(t ，0)，b ＝(－1，3)代入整理得2t 2
＋t ·|t |＝8|t |＋4t ，当t >0时，3t 2
＝12t ，所以t ＝4；当t <0时，t 2
＝－4t ，所以t ＝－4.综上，t 的值为4或－4.
答案：4或－4
7．在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边．若2a sin B ＝3b ，b ＋c ＝5，bc ＝6，则a ＝________．
解析：因为2a sin B ＝3b ，所以2sin A sin B ＝3sin B . 所以sin A ＝
3
2
，因为△ABC 为锐角三角形， 所以cos A ＝1
2，因为bc ＝6，b ＋c ＝5，
所以b ＝2，c ＝3或b ＝3，c ＝2.
所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝22＋32
－2×6×12＝7，
所以a ＝7. 答案：7
8．(2019·湖南株洲市检测)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AD →·EB →＝2，则AB →
的模为________．
解析：因为在平行四边形ABCD 中，EB →＝EC →＋CB →＝12
DC →－BC →，又DC →＝AB →，BC →＝AD →，所以EB →
＝
12AB →－AD →，所以AD →·EB →＝AD →·? ????12AB →－AD →＝12AB →·AD →－AD →2＝12|AB →||AD →|cos 60°－|AD →
|2＝14|AB →|－1＝2，所以|AB →
|＝12.
答案：12
9．已知向量e 1，e 2，且|e 1|＝|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝π
3.
(1)求证：(2e 1－e 2)⊥e 2；
(2)若m ＝λe 1＋e 2，n ＝3e 1－2e 2，且|m |＝|n |，求λ的值． 解：(1)证明：因为|e 1|＝|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝π
3，
所以(2e 1－e 2)·e 2＝2e 1·e 2－e 2
2＝2|e 1||e 2|cos π3－|e 2|2＝2×1×1×12
－12
＝0，所以(2e 1－e 2)⊥e 2.
(2)由|m |＝|n |得(λe 1＋e 2)2
＝(3e 1－2e 2)2
， 即(λ2
－9)e 2
1＋(2λ＋12)e 1·e 2－3e 2
2＝0. 因为|e 1|＝|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝π
3，
所以e 21＝e 2
2＝1，e 1·e 2＝1×1×cos π3＝12，
所以(λ2
－9)×1＋(2λ＋12)×12－3×1＝0，
即λ2＋λ－6＝0.所以λ＝2或λ＝－3.
10．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若B ＝π
3，且(a －b ＋c )(a ＋b
－c )＝37
bc .
(1)求cos C 的值；
(2)若a ＝5，求△ABC 的面积． 解：(1)由(a －b ＋c )(a ＋b －c )＝3
7bc ，
得a 2－(b －c )2
＝37
bc ，
即a 2＝b 2＋c 2
－117
bc ，由余弦定理，
得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝11
14
，
所以sin A ＝514 3.又因为B ＝π
3
，
所以cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝1
7.
(2)由(1)得sin C ＝4
7 3.
在△ABC 中，由正弦定理，得c
sin C ＝
b sin B ＝a
sin A
.
所以c ＝
a sin C sin A ＝8，所以S ＝12ac sin B ＝12×5×8×sin π
3
＝10 3. [B 能力提升]
11．飞机沿水平方向飞行，在A 处测得正前下方地面目标C 的俯角为30°，向前飞行10 000米，到达B 处，此时测得目标C 的俯角为75°，这时飞机与地面目标C 的距离为( )
A ．5 000米
B ．5 0002米
C ．4 000米
D ．4 0002米
解析：选B.如图，在△ABC 中，AB ＝10 000米，A ＝30°，C ＝75°－30°＝45°.根据正弦定理得，
BC ＝AB ·sin A
sin C ＝10 000×
1
22
2
＝5 000
2(米)．
12．在△ABC 中，点D 满足BD ＝34BC ，当E 点在线段AD 上移动时，若AE →＝λAB →＋μAC →
，
则t ＝(λ－1)2
＋μ2
的最小值是( )
A.310
10 B.824 C.910
D.
418
解析：选C.如图所示，存在实数m 使得AE →＝mAD →(0≤m ≤1)，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34
BC →＝AB →
＋
34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →，所以AE →＝m ? ????14AB →＋34AC →＝m 4AB →＋3m 4AC →
，所以?????λ＝m 4，μ＝3m
4，
所以t ＝(λ－1)
2
＋μ2
＝? ????m 4－12
＋? ????3m 42
＝58m 2－m 2＋1＝58? ????m －252
＋910，所以当m ＝25时，t ＝(λ－1)2＋μ2
取得
最小值9
10
.
13．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2
－23x ＋2＝0的两个根，且2cos(A ＋B )＝1.则C ＝________，AB ＝________．
解析：因为cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－1
2，所以C ＝120°.
由题设，得??
?a ＋b ＝23，
ab ＝2，
所以AB 2
＝AC 2
＋BC 2
－2AC ·BC cos C ＝a 2
＋b 2
－2ab cos 120°＝a 2
＋b 2
＋ab ＝(a ＋b )2
－ab ＝(23)2
－2＝10.
所以AB ＝10. 答案：120°
10
14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －b )cos C ＝c cos B ，△
ABC 的面积S ＝103，c ＝7.
(1)求角C ； (2)求a ，b 的值．
解：(1)因为(2a －b )cos C ＝c cos B ， 所以(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ， 2sin A cos C －sin B cos C ＝sin C cos B ， 即2sin A cos C ＝sin(B ＋C )． 所以2sin A cos C ＝sin A . 因为A ∈(0，π)， 所以sin A ≠0. 所以cos C ＝1
2.
所以C ＝π
3
.
(2)由S ＝12ab sin C ＝103，C ＝π
3，
得ab ＝40.①
由余弦定理得c 2
＝a 2
＋b 2
－2ab cos C ， 即c 2＝(a ＋b )2
－2ab ?
????1＋cos π3，
所以72＝(a ＋b )2
－2×40×? ??
??1＋12.
所以a ＋b ＝13.②
由①②得a ＝8，b ＝5或a ＝5，b ＝8.
[C 拓展探究]
15．某单位有A ，B ，C 三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点O ，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为AB ＝80 m ，BC ＝70 m ，CA ＝50 m ．假定A ，B ，C ，O 四点在同一平面内．
(1)求∠BAC 的大小； (2)求点O 到直线BC 的距离．
解：(1)在△ABC 中，因为AB ＝80 m ，BC ＝70 m ，CA ＝50 m ，由余弦定理得cos ∠BAC ＝
AB 2＋AC 2－BC 22×AB ×AC ＝802＋502－7022×80×50＝1
2
.
因为∠BAC 为△ABC 的内角，所以∠BAC ＝π3
.
(2)法一：因为发射点O 到A ，B ，C 三个工作点的距离相等，所以点O 为△ABC 外接圆的圆心．
设外接圆的半径为R ，则在△ABC 中，BC
sin A ＝2R .
由(1)知A ＝π3，所以sin A ＝3
2.
所以2R ＝
703
2
＝14033.即R ＝7033.
如图，连接OB ，OC ，过点O 作边BC 的垂线，垂足为D .在△OBD 中，OB ＝R ＝703
3
，BD ＝
BC 2
＝70
2
＝35，
所以OD ＝OB 2
－BD 2
＝
（
7033）2－352
＝3533
. 即点O 到直线BC 的距离为353
3
m.
法二：因为发射点O 到A ，B ，C 三个工作点的距离相等，所以点O 为△ABC 外接圆的圆心．连接OB ，OC ，过点O 作边BC 的垂线，垂足为D .
由(1)知∠BAC ＝π3
，
所以∠BOC ＝2π3，所以∠BOD ＝π
3
.
在Rt △BOD 中，BD ＝BC 2＝70
2
＝35 ，
所以OD ＝
BD
tan ∠BOD ＝35tan 60°＝3533
.
即点O 到直线BC 的距离为353
3 m.
2021年高中数学-平面向量专题
第一部分：平面向量的概念及线性运算 欧阳光明（2021.03.07） 一.基础知识自主学习 1．向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量；向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量；其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 减法求a与b的相反向量－b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a－b＝a＋(－b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|＝|λ||a|. (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向； 当λ<0时，λa的方向与a的方向；当λ ＝0时，λa＝0. λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 二.难点正本疑点清源 1．向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线
段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合． 三．基础自测 1．化简OP →－QP →＋MS →－MQ → 的结果等于________． 2．下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量； ④相等向量一定共线．其中不正确命题的序号是_______． 3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b.若点D 满足BD →＝2DC →，则AD → ＝________(用b 、c 表示)． 4．如图，向量a －b 等于() A ．－4e1－2e2 B ．－2e1－4e2 C ．e1－3e2 D ．3e1－e2 5．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD → ＝7a －2b ，则一定共线的三点是 () A ．A 、B 、DB ．A 、B 、C C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D 四．题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a|＝|b|且a ∥b ；⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c.其中正确的序号是________． 变式训练1 判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由． (1)若向量a 与b 同向，且|a|＝|b|，则a>b ； (2)若|a|＝|b|，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a|＝|b|，且a 与b 方向相同，则a ＝b ； (4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反； (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上； (7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边作?OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13 CD →，用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中，AD →＝23 AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →＝a ，AC → ＝b ，用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1，e2是两个不共线向量，已知AB →＝2e1－8e2，CB →＝e1＋3e2，CD → ＝2e1－e2. (1)求证：A 、B 、D 三点共线； (2)若BF → ＝3e1－ke2，且B 、D 、F 三点共线，求k 的值．
高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的， 0 与任意向量平行零向量a ＝0 ｜a ｜＝0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线） 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 ｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a 大 小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r （1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法
【最新】高中数学必修四导学案
高中数学《必修四》导学案 班级________ 姓名___________ 第一章三角函数 1.1.1 任意角 【学习目标】 1、了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念 2、正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示 【学习重点、难点】用集合与符号语言正确表示终边相同的角 【自主学习】 一、复习引入 问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？ ______________________________________________________ 所学的角的范围是什么？ ______________________________________________________ 问题2：在体操、跳水中，有“转体0 720”，怎么刻画？ 720”这样的动作名词，这里的“0 ______________________________________________________ 二、建构数学 1．角的概念 角可以看成平面内一条______绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形。 射线的端点称为角的________，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和______。 2．角的分类 按__________方向旋转形成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转形成的角叫做_________。 如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_________，它的______和_______重合。这样，我们就把角的概念推广到了_______，包括_______、________和________。 3.终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合_________ ， 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成。 4．象限角、轴线角的概念 我们常在直角坐标系内讨论角。为了讨论问题的方便，使角的________与__________重合，角的___________与_______________________重合。那么，角的_________(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是__________________。
北师大版高中数学必修五教学案
数列 1．1数列的概念 预习课本P3～6，思考并完成以下问题 (1)什么是数列？数列的项指什么？ (2)数列的一般表示形式是什么？ (3)按项数的多少，数列可分为哪两类？ (4)数列的通项公式是什么？数列的通项公式与函数解析式有什么关系？ [新知初探] 1．数列的概念 (1)定义：按一定次序排列的一列数叫作数列． (2)项：数列中的每一个数叫作这个数列的项． (3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n…，简记为数列{a n}．数列的第1项a1，也称首项；a n是数列的第n项，也叫数列的通项． [点睛] (1)数列的定义中要把握两个关键词：“一定次序”与“一列数”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定次序”排列的，即确定的数在确定的位置． (2)项a n与序号n是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位次． (3){a n}与a n是不同概念：{a n}表示数列a1，a2，a3，…，a n，…；而a n表示数列{a n}中的第n 项． 2．数列的分类 项数有限的数列叫作有穷数列，项数无限的数列叫作无穷数列．
3．数列的通项公式 如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n ＝f (n )，那么这个式子叫作数列{a n }的通项公式． [点睛] (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N ＋或它的有限子集{1,2,3，…，n }为定义域的函数解析式． (2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式． 4．数列的表示方法 数列的表示方法一般有三种：列表法、图像法、解析法． [小试身手] 1．判断下列结论是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)同一数列的任意两项均不可能相同．( ) (2)数列－1,0,1与数列1,0，－1是同一个数列．( ) (3)数列中的每一项都与它的序号有关．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1－(－1)n ＋1 2，则该数列的前4项依次为( ) A ．1,0,1,0 B ．0,1,0,1 C.12，0，1 2 ，0 D ．2,0,2,0 解析：选B 把n ＝1,2,3,4分别代入a n ＝1－(－1)n ＋ 12中，依次得到0,1,0,1. 3．已知数列{a n }中，a n ＝2n ＋1，那么a 2n ＝( ) A ．2n ＋1 B ．4n －1 C ．4n ＋1 D ．4n 解析：选C ∵a n ＝2n ＋1，∴a 2n ＝2(2n )＋1＝4n ＋1. 4．数列1,3,6,10，x,21，…中，x 的值是( ) A ．12 B ．13 C ．15 D ．16 解析：选C ∵3－1＝2,6－3＝3,10－6＝4， ∴? ???? x －10＝5，21－x ＝6，∴x ＝15. [典例] (1){0,1,2,3,4}；(2)0,1,2,3；(3)0,1,2,3,4，…； (4)1，－1,1，－1,1，－1，…；(5)6,6,6,6,6. [解] (1)是集合，不是数列；
高中数学平面向量公式(精选课件)
高中数学平面向量公式１、向量的的数量积 定义:已知两个非零向量a，b。作OＡ＝a,OB=b，则角AOB称作向量ａ和向量b的夹角,记作〈ａ，b〉并规定0≤ ２、向量的数量积不满足消去律，即:由ａ?b=a? c （a≠0)，推不出 b=ｃ。 3、|a?b｜≠|ａ｜?|b｜ 4、由 |a｜=|ｂ| ，推不出a=ｂ或ａ=－ｂ。 2、向量的向量积 定义：两个向量a和ｂ的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作ａ×b。若a、b不共线,则ａ×b的模是：∣a×b ∣＝｜ａ|?｜ｂ｜?ｓｉn〈a，b>；ａ×ｂ的方向是:垂直于ａ和ｂ,且ａ、ｂ和ａ×b按这个次序构成右手系.若ａ、ｂ共线，则a×b=0。...文档交流仅供参考... 向量的向量积性质: ∣a×ｂ∣是以a和b为边的平行四边形面积. a×a=０。 a‖b〈=〉ａ×b＝０。 向量的向量积运算律 a×b=－b×a； （λa）×b=λ（ａ×b)=a×（λb)； （a+b)×c=a×ｃ+b×c。 注:向量没有除法，“向量ＡB/向量CＤ”是没有意义的. 3、向量的三角形不等式 1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a＋ｂ∣≤∣ａ∣+∣b∣； 专题讲座 高中数学“平面向量” 一、整体把握“平面向量”教学内容 （一）平面向量知识结构图 （二）重点难点分析 本专题内容包括：平面向量的概念、运算及应用． 课标要求： 平面向量（约12课时） （1）平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。（2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。 ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。 ③了解向量的线性运算性质及其几何意义。 （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义。 ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。 ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 （4）平面向量的数量积 ①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。 ③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。 ④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 （5）向量的应用 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。 依据课标要求，并结合前面的分析可知：新概念、新运算的定义，向量运算和向量运算的几何意义是本专题的重点，平面向量基本定理是坐标表示（几何代数化）的关键，也是本专题教学的难点。 二、“平面向量”教与学的策略 （一）在概念教学中，依据概念教学的方法，建构概念知识体系 本专题的教学中，向量、向量的运算等都是新定义的概念，如何让这些概念的出现自然轻松，还能让学生迅速把握住本质，达成理解？不妨遵循概念教学的方法。 比如说：“向量的概念”教学中，可从力、位移等实例引入，进行抽象概括，形成向量的概念。之后，提出“温度、功是不是向量？”这样的问题，通过比较，对向量的概念进行辨析，在此基础上，抓住向量的两个要点：大小、方向进行拓展，按如下表格整理，将向量概念精致化。 概念辨析： 【高二数学学案】 §1.1 正弦定理和余弦定理 第一课时 正弦定理 一、1、基础知识 设?ABC 的三个角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，R 是?ABC 的外接圆半径。 （1）正弦定理： = = =2R 。 （2）正弦定理的三种变形形式： ①==b A R a ,sin 2 ，c= 。 ②== B R a A sin ,2sin ，=C sin 。 ③=c b a :: 。 （3）三角形中常见结论： ①A+B+C= 。②a B sin ，则有（ ） A 、a b D 、a ，b 的大小无法确定 （2）在ABC ?中，A=30°，C=105°，b=8，则a 等于（ ） A 、4 B 、24 C 、34 D 、54 （3）已知ABC ?的三边分别为c b a ,,，且a b B A :cos :cos =，则ABC ?是 三角形。 二、例题 例1、根据下列条件，解ABC ?： （1）已知 30,7,5.3===B c b ，求C 、A 、a ； （2）已知B=30°，2=b ，c=2，求C 、A 、a ； （3）已知b=6，c=9，B=45°，求C 、A 、a 。 例2、在ABC ?中，C B C B A cos cos sin sin sin ++= ，试判断ABC ?的形状。 三、练习 1、在ABC ?中，若B b A a cos cos =，求证：ABC ?是等腰三角形或直角三角形。 2、在ABC ?中，5:3:1::=c b a ，求 C B A sin sin sin 2-的值。 四、课后练习 1、在ABC ?中，下列等式总能成立的是（ ） A 、A c C a cos cos = B 、A c C b sin sin = C 、B bc C ab sin sin = D 、A c C a sin sin = 2、在ABC ?中， 120,3,5===C b a ，则B A sin :sin 的值是（ ） A 、 35 B 、53 C 、73 D 、7 5 3、在ABC ?中，已知 60,8==B a ，C=75°，则b 等于（ ） A 、24 B 、34 C 、64 D 、3 32 4、在ABC ?中，A=60°，24,34==b a ，则角B 等于（ ） A 、45°或135° B 、135° C 、45° D 、以上答案都不对 5、根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ） 第一部分：平面向量的概念及线性运算 一.基础知识自主学习 1．向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量；向量的大小叫做向量 平面向量是自由向量的(或称) 零向量长度为的向量；其方向是任意的记作 0 单位向量长度等于的非零向量 a 的单位向量为± a 向量|a| 平行向量方向或的非零向量 0 与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0 的相反向量为 0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则 (或几何 运算律意义 ) 加法求两个向量和的运算 求 a 与 b 的相反向量－ b 减法的和的运算叫做 a 与 b 的差 (1)交换律： a＋ b＝ b＋ a. (2)结合律： (a＋ b)＋ c＝ a＋ (b＋c)． a－ b＝ a＋ (－ b) 法则 求实数λ与向量 a 的积的(1)|λa|＝ |λ||a|. ；λ(μa)＝λμa； 数乘 (2)当λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向 运算当λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向；当λ (λ＋μ)a＝λa＋μa； ＝0 时，λa＝ 0. λ(a＋ b)＝λa＋λb. 3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得 b＝λa. 二.难点正本疑点清源 1．向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说， 即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线 (或重合 )的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合． 第二章 平面向量 一、选择题 1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．与相等 D ．与相等 2．下列命题正确的是( )． A ．向量与是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝b C ．若＝，则A ，B ，C ， D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )． A ．3x ＋2y －11＝0 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5 C ．2x －y ＝0 D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 56 π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则＝( )． A ．λ(＋)，λ∈(0，1) B ．λ(＋)，λ∈(0，22 ) C ．λ(－)，λ∈(0，1) D ．λ(－)，λ∈(0， 2 2) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则＝( )． A ．＋ B ．－ C ．＋ D ．＋ 7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )． (第1题) 任 意 角 高中数学 1.1.1任意角导学案新人教A版必修4 一、学习目标：1.理解并掌握任意角、象限角、终边相同的角的定义。2.会写终边相同的角的集合并且会利用终边相同的角的集合判断任意角所在的象限。 二、重点、难点：任意角、象限角、终边相同的角的定义是本节课的重点，用集合和符号来表示终边相同的角是本节课的难点 三、知识链接： 1.初中是如何定义角的？ 2.什么是周角，平角，直角，锐角，钝角？ 四、学习过程: （一）阅读课本1-3页解决下列问题。 问题1、按方向旋转形成的角叫做正角，按 - 方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作____旋转，我们称它形成了一个零角。零角的与重合。如果α是零角，那么α= 。 问题2、 问题3、象限角与象限界角 为了讨论问题的方便，我们总是把任意大小的角放到平面直角坐标系内加以讨论，具体做法是：（1）使角的顶点和坐标重合；（2）使角的始边和x轴重合.这时，角的终边落在第几象限，就说这个角是的角（有时也称这个角属于第几象限）；如果这个角的终边落在坐标轴上，那么这个角就叫做，这个角不属于任何一个象限。 问题4、在平面直角坐标系中作出下列各角并指出它们是第几象限角： （1）420o （2） -75o（3） 855o（4） -510o 问题6、以上各角的终边有什么关系？这些有相同的始边和终边的角，叫做 。 把与-32o 角终边相同的所有角都表示为 ，所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内可构成集合为 .。即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α 与整数个周角的和。 例1. 在0?～360?之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角： （１）?480； （２）?-760； （３）03932'?. 变式练习 1、 在0?～360?之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角： (1)420 o (2)—54 o18′ （3）395o 8 ′ (4)—1190o 30′ 2、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式-720 o β≤＜360o 的元素 写出来： （1）1303o 18， （2）--225o 问题8、(1)写出终边在x 轴上角的集合 (2) 写出终边在y 轴上角的集合 变式练习 写出终边在直线y ＝x 上角的集合s,并把s 中适合不等式-360 ≤β＜720o 元素β写出来。 必修五解三角形测试题答案 一、选择题：共8小题，每小题5分，共计40分 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9．______________14/5___________ 10．_2___ 11． __________2_ 12．_______ 90_______ 13． ___________ 120 14．__不用做___）），（），（（321_____ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15.解:(1)在ABC ?中,由 cos A =,可得sin A =,又由s i n s i n a c A C =及 2a =,c =可得sin C = 由2 2 2 2 2cos 20a b c bc A b b =+-?+-=,因为0b >,故解得1b =. 所以sin 1C b = = (2)由cos 4A =- sin 4 A =, 得2 3cos 22cos 14A A =-=- ,sin 2sin cos A A A == 所以3cos(2)cos 2cos sin 2sin 3 3 3 8 A A A π π π -+ =-= 16.解:(I)由已知得:sin (sin cos cos sin )sin sin B A C A C A C +=, sin sin()sin sin B A C A C +=,则2sin sin sin B A C =, 再由正弦定理可得:2b ac =,所以,,a b c 成等比数列. (II)若1,2a c ==,则2 2b ac ==,∴2223 cos 24 a c b B a c +-==, sin C == , ∴△ABC 的面积11sin 1222S ac B = =??=. 17. 【解析】(Ⅰ),,(0,)sin()sin 0A C B A B A C B ππ+=-∈?+=> 2sin cos sin cos cos sin sin()sin B A A C A C A C B =+=+= 1cos 23 A A π?= ?= (II)2 2 2 2 2 2 2cos 2 a b c bc A a b a c B π =+-?==+?= 在Rt ABD ?中,AD = == 18. 【解析】 解:(1)证明:由 sin( )sin()44 b C c B a π π +-+=及正弦定理得: sin sin()sin sin()sin 44 B C C B A ππ +-+=, 即sin )sin )B C C C B B -+= 整理得:sin cos cos sin 1B C B C -=,所以sin()1B C -=,又30,4 B C π << 所以2 B C π -= (2) 由(1)及34B C π+=可得5,88B C ππ= =,又,4 A a π ==所以sin 5sin 2sin ,2sin sin 8sin 8 a B a C b c A A ππ = ===, 所以三角形ABC 的面积 151 sin sin cos 2888842 bc A πππππ===== 19.考点分析:本题考察三角恒等变化,三角函数的图像与性质. 解析:(Ⅰ)因为22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-+?+ cos22x x ωωλ=-+π 2sin(2)6 x ωλ=-+. 一、 知识清单 1. 极化恒等式：如图，+=AD AB AC 2 ① -=CB A B A C ②,则： ①2 +②2 得：AC AD BC AB +=+242 2 22 ；①2-②2 得：AC AD BC AB ?=-4422 推广：AC AB AC BC AB AB AC cosA ?=?=?+-2 222 速记方法：?==-+-a b a b a b 4()()22，=++=+-a b a b a b 2 ()()2222 2. 矩形大法：如图，由极化恒等式可得 +=+PO BD 2PD PB 42 2 22①+=+PO AC 2 PA PC 422 22 ② 因为BD=AC ，所以PD PB PA PC +=+2222， 速记方法：矩形外一点到矩形对角顶点的平方和相等。 推广1：若ABCD 为平行四边形，则有PA PC PD PB =+-+-AC 2 )(BD 2 2 2 2 22 =-?= -AC AM BC 4 422 =4 1 0，且对于边AB 上任一点P ，恒有?≥?PB PC P B PC 00 。则( ) A.∠=ABC 90 B. ∠=BAC 90 C.=AB AC D. =AC BC 解析：D 为BC 中点，由极化恒等式有：?=-PC PD BC 4 PB 422 则当PD 最小时，PB ????? ?PC ????? 最小， 所以过D 作AB 垂线，垂足即为P 0,作AB 中点E ，则CE ⊥AB ，即AC=BC 。 3. 已知向量a b e ,,是平面向量，e 是单位向量． ?-++===b e a b a b a ()12,3,0,求-a b 的范围？ 解析：由?-++=b e a b a ()10,得-?-=e b e a ()()0 如图，===OA a OB b OE e ,, ，构造矩形ACBE ，由矩形大法有 +=+OE OC OA OB 222 2，则=OC ==∈-+=-+-AB CE OC OE OC OE a b [,] [2 3 1,231] 高三数学复习微专题之平面向量篇 第三讲：极化恒等式与矩形大法 解析：由极化恒等式有：AB 16推广2：若P 为平面外一点，上述性质仍成立。二、典型例题1．（２０１９浙江模拟卷）在?ABC 中，M 是BC 的中点，AM =3，BC =10，则A B A ? C =_________． 2.（2019山东模拟）在?ABC 中,P 0是边AB 上一定点，满足P B AB 第三章 三角恒等变换 1.三角恒等变换中角的变换的技巧 三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换.观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧. 一、利用条件中的角表示目标中的角 例1.已知cos ? ????π6＋α＝33，求cos ? ??? ?5π6－α的值. 分析.将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π 6 －α的关系. 解.∵? ????π6＋α＋? ?? ? ?5π6－α＝π， ∴ 5π6－α＝π－? ?? ??π6 ＋α. ∴cos ? ????5π6－α＝cos ???? ? ?π－? ????π6＋α ＝－cos ? ????π6＋α＝－33，即cos ? ?? ??5π 6－α ＝－33. 二、利用目标中的角表示条件中的角 例 2.设 α 为第四象限角，若sin 3α sin α ＝13 5 ，则tan 2α＝ _______________________________. 分析.要求tan 2α的值，注意到sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α，代入到sin 3αsin α＝13 5中，首先求出cos 2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan 2α. 解析.由sin 3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α sin α ＝2cos 2 α＋cos 2α＝135 . ∵2cos 2 α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝135.∴cos 2α＝45. ∵α为第四象限角，∴2k π＋3π 2<α<2k π＋2π(k ∈Z )， ∴4k π＋3π<2α<4k π＋4π(k ∈Z )， 2016-2017学年高中数学必修五 全册导学案及章节检测 目 录 1．1.1 正弦定理(一) ............................................................................................................. 1 1.1.1 正弦定理(二) ................................................................................................................ 5 1．1.2 余弦定理(一) ............................................................................................................. 9 1．1.2 余弦定理(二) ........................................................................................................... 13 1.2 应用举例(一) ................................................................................................................. 18 1.2 应用举例(二) ................................................................................................................. 24 第一章 解三角形章末复习课 ............................................................................................... 30 第一章 解三角形章末检测（A ） ........................................................................................ 35 第一章 解三角形章末检测（B ） ........................................................................................ 42 2.1 数列的概念与简单表示法(一) ................................................................................... 50 2.1 数列的概念与简单表示法(二) ................................................................................... 54 2.2 等差数列(一) ............................................................................................................... 59 2.2 等差数列(二) ............................................................................................................... 63 2.3 等差数列的前n 项和(一) ........................................................................................... 67 2.4 等比数列(一) ............................................................................................................... 76 2.4 等比数列(二) ............................................................................................................... 80 2.5 等比数列的前n 项和(二) ........................................................................................... 88 数列复习课检测试题 ............................................................................................................. 93 数列习题课（1）检测试题 ................................................................................................... 98 数列习题课（2）新人教A 版必修5 .................................................................................. 102 数列章末检测（A ）新人教A 版必修5 .............................................................................. 106 数列章末检测（B ）新人教A 版必修5 .............................................................................. 112 第二章 数 列 章末检测(B) 答案 ............................................................................. 115 3.1 不等关系与不等式 ...................................................................................................... 120 3.2 一元二次不等式及其解法(一) ................................................................................... 125 3.2 一元二次不等式及其解法(二) ................................................................................... 130 3．3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 ......................................................................... 134 3．3.2 简单的线性规划问题(一) . (140) 3．3.2 简单的线性规划问题(二) (146) 3.4 ≤a ＋b 2(二) (157) 第三章 不等式复习课 ......................................................................................................... 161 第三章 不等式章末检测（A ） .......................................................................................... 167 第三章 不等式章末检测（B ） (174) 高中数学平面向量专题训练 一、选择题： 1、若向量方程23(2)0x x a --=r r r r ，则向量x r 等于 A 、65 a r B 、6a -r C 、6a r D 、65 a -r 2、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a r 和b r ，那么下列命题中错误的一个是 A 、a r 与b r 为平行向量 B 、a r 与b r 为模相等的向量 C 、a r 与b r 为共线向量 D 、a r 与b r 为相等的向量 3、AB BC AD +-=u u u r u u u r u u u r A 、AD u u u r B 、CD uuu r C 、DB u u u r D 、DC u u u r 4、下列各组的两个向量，平行的是 A 、(2,3)a =-r ，(4,6)b =r B 、(1,2)a =-r ，(7,14)b =r C 、(2,3)a =r ，(3,2)b =r D 、(3,2)a =-r ，(6,4)b =-r 5、若P 分AB u u u r 所成的比为4 3 ，则A 分BP u u u r 所成的比为 A 、7 3 - B 、3 7 - C 、73 D 、 3 7 6、已知(6,0)a =r ，(5,5)b =-r ，则a r 与b r 的夹角为 A 、045 B 、060 C 、0135 D 、0120 7、已知i r ，j r 都是单位向量，则下列结论正确的是 A 、1i j ?=r r B 、22 i j =r r C 、i r ∥j i j ?=r r r D 、0i j ?=r r 8、如图，在四边形ABCD 中，设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ， BC c =u u u r r ，则DC =u u u r A 、a b c -+r r r B 、()b a c -+r r r C 、a b c ++r r r D 、b a c -+r r r 9、点),0(m A )0(≠m ，按向量a r 平移后的对应点的坐标是)0,(m ，则向量a r 是 C B A D高中数学平面向量doc
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